2022年高考數(shù)學(xué)考前必練題

1、2022年高考數(shù)學(xué)考前必練題1.如圖，在正三棱柱ABC-481cl中，AC=2AAi=4,E,尸分別是BC,4小的中點.(I)求證：EF平面ACC4；(II)求二面角A-EF-C的余弦值.【分析】(I)取Bi。的中點G,推導(dǎo)出EGCC”FG/A1C1，由面面平行的判定定理可得平面E尸G平面ACCiAi,再由面面平行的性質(zhì)定理即可得證；(II)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AEF與平面CE尸的法向量，利用向量的夾角公式求解即可.【解答】(I)證明：如圖，取BiCi的中點G,連接EG,FG,因為E,尸分別是8C,的中點，所以EGCG，F(xiàn)G/AC,又EGCFG=G,CCiClAiCi”，所以平面EFG

2、平面ACGAi，又ERz平面EFG,所以Ek平面ACCiAi.(II)由題意，以A為原點，垂直與AE的直線為x軸，AE為y軸，AA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(0,0,0),E(0,2V3,0),F(1,62),C(-2,2VI,0),>>>所以AE=(0,2V3,0),EF=(1,-V3,2),CE=(2,0,0),設(shè)平面AE尸的一個法向量為?n=(xi，yi，zi),則巧四=2痢=0，取處=2,則拓=(2,0,7),E尸=與一迎Xi+2zt=0設(shè)平面CE尸的一個法向量為n=(X2,Z2),m-CE=2x2=0,取”=2,則晨(0,2,V3),m-EF=x2V

3、3y2+2z2=010535-1T(匚g、i、m-n-v3所以cosOn,n>=_>_>=-7=三|m|n|V5xV7由圖象可得二面角A-EF-C的平面角為銳角,所以二面角A-EF-C的余弦值為【點評】本題主要考查直線與平面平行的判斷，二面角的求法，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于中檔題.2.如圖，在四棱錐P-A8CO中，底面ABCQ為菱形，平面外。！,平面ABC。，PA=PD,E為棱A8的中點.(1)證明：AC±PE；(2)若以=AQ,N8AO=60°,求二面角E-PC-8的余弦值.【分析】(1)取AO的中點尸，連結(jié)PF,EF,BD,利用面面垂直的性

4、質(zhì)定理證明?凡L平面A8CZ),可得凡LAC,又4C_LEF,即可證明AC_L平面PEF,從而證明4cl/；(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面PEC和平面P8C的法向量，由向量的夾角公式求解即可.【解答】(1)證明：如圖，取AO的中點尸，連結(jié)PF,EF,BD,因為辦=刊3,則尸F(xiàn)J_A£>,又因為平面心。，平面4BCC,平面辦OC平面ABCO=4。，PFu平面以。，所以尸平面ABCD,又ACu平面ABCD,所以PF1.AC,因為底面A8C。為菱形，所以ACLB。，因為E,尸分別為A8,AO的中點，則EFBD,所以ACLEF,

5、XEFCPF=E,EF,PFu平面PEF,所以4cL平面PEF,又PEu平面PEF,所以AC_LPE；(2)解：由(1)可知，PF_L平面488,連結(jié)BF,因為ZBA£)=60°,AB=AD,點尸為AO的中點，所以AFJLBF,則以，F(xiàn)B,尸尸兩兩垂直，以點尸為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，不妨設(shè)AO=2a,則A尸=a,FB=>/3a,FP=V3a,所以F(0,0,0),A(a,0,0),B(0,百a,0),P(0,0,V3a),C(-2a,V5a,0),E&a,*a,0),所以PE=(如，竽a,-V3a),PC=(-2a,V5a,-V3a),BC=(-

6、2a,0,0),設(shè)平面PEC的法向量為l=(x,y,z),則層后=0,即卜島-產(chǎn)=0,令U-PF=0(X+by-2gZ=0x=V3»則y=5,z=3,故n=(V3/5,3),設(shè)平面PBC的法向量為就=(p,q,r),則(蔡PC=0g|j(-2p+y/3q-y/3r=0Im-BC=0l-2P=0令夕=L則r=l,故m=(0,1,1),TTI所以|cosV, m>| =|n-m|_8_4v74=/3+25+9x72=F故二面角E - PC - B的余弦值為4V7437【點評】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面垂宜的判定定理和面面垂宜的性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角的求解問題，在求解有

7、關(guān)空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進行研究，屬于中檔題.3.如圖，在四棱錐P-A8co中，底面四邊形4BCZ)是矩形，AB=AP=2BC,平面以81_平面A8CZ),二面角P-BC-4的大小為45°.(1)求證：以J_平面4BCD；(2)求直線P8與平面所成的角的正弦值.【分析】先由四邊形ABC。是矩形推導(dǎo)出：BCLAB,然后由平面平面ABC。推導(dǎo)出：BC_L平面以8,進而有：BC±AB,BCLPB,BCLPA,再由二面角P-BC-A的大小為45°推導(dǎo)出：AB±AP,最后利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論；(2

8、)先由題設(shè)條件和(1)作出直線PB與平面FC所成的角，再計算出其正弦值即可.【解答】(1)證明：底面四邊形A8CO是矩形，.BCLA8,又；平面兩8_L平面ABC。，平面切BC平面A8CO=48,8Cu平面48CO,平面PAB,：ABu平面以8,尸Bu平面%B,%u平面附B/.BC±AB,BC1PB,BCA.PA,：.ZPBA為二面角P-BC-A的平面角，又二面角尸-BC-A的大小為45°,，NP8A=45°,.在必B中A8=AP,：.ZPBA=ZBPA=45a,必8=90°,BPABLAP,又8cL必，ABDBC=B,二勿，平面ABC。；（2）解：如右圖所示，在底面ABC。內(nèi)，過點B作B/L4C,垂足為H,連接PH,由（1）知必_1_平面48c。，8"u平面ABCD,：.BH1PA,又以CAC=A,二8"_1平面以。，"BPH為直線PB與平面PAC所成的角，其中84=