全等三角形證明方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上全等三角形的證明方法一、三角形全等的判定： （1）三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(SSS)； （2）有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS) ； （3）有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA) ； （4）有兩角及一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS) ； （5）直角三角形全等的判定：斜邊及一直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL). 二、全等三角形的性質(zhì)： （1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等； （2）全等三角形的周長相等、面積相等； （3）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等； （4）全等三角形的對(duì)應(yīng)角的角平分線相等；（5）全

2、等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線相等； 三、找全等三角形的方法： （1）可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形 中； （2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等； （3）從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。 三角形全等的證明中包含兩個(gè)要素：邊和角。 積極發(fā)現(xiàn)隱含條件： 公共角 對(duì)頂角 公共邊 觀察發(fā)現(xiàn)等角等邊: 等邊對(duì)等角 同角的余角相等 同角的補(bǔ)角相等等角對(duì)等邊 等角的余角相等 等角的補(bǔ)角相等 推理發(fā)現(xiàn)等邊等角: 圖1:平行轉(zhuǎn)化 圖2 :等角轉(zhuǎn)化 圖3:中點(diǎn)轉(zhuǎn)化 圖4

3、 :等量和轉(zhuǎn)化 圖5:等量差轉(zhuǎn)化 圖6:角平分線性質(zhì)轉(zhuǎn)化 圖7:三線合一轉(zhuǎn)化 圖8:等積轉(zhuǎn)化 圖9:中垂線轉(zhuǎn)化 圖10:全等轉(zhuǎn)化 圖11:等段轉(zhuǎn)化四、構(gòu)造輔助線的常用方法： 1、關(guān)于角平分線的輔助線:當(dāng)題目的條件中出現(xiàn)角平分線時(shí)，要想到根據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線。 角平分線具有兩條性質(zhì)： 角平分線具有對(duì)稱性； 角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。 關(guān)于角平分線常用的輔助線方法： （1）截取構(gòu)造全等: 如下左圖所示，OC是AOB的角平分線，D為OC上一點(diǎn)，F(xiàn)為OB上一點(diǎn)，若在OA上取一點(diǎn)E，使得OE=OF，并連接DE，則有OEDOFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。 例1、如上右圖所示，

4、AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。 提示：在BC上取一點(diǎn)F使得BF=BA，連結(jié)EF。（2）角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)造全等利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明問題。如下左圖所示，過AOB的平分線OC上一點(diǎn)D向角兩邊OA、OB作垂線，垂足為E、F，連接DE、DF。 則有：DE=DF，OEDOFD。 例2、如上右圖所示，已知AB>AD, BAC=FAC,CD=BC。求證：ADC+B=180° （3）作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形。 如下左圖所示，從角的一邊OB上的一點(diǎn)E作角平分線OC的垂線EF，使之與角的另一邊OA相交，則截得

5、一個(gè)等腰三角形（OEF），垂足為底邊上的中點(diǎn)D，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。 如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一邊相交，從而得到一個(gè)等腰三角形，可總結(jié)為：“延分垂，等腰歸”。 例3、如上右圖所示，已知BAD=DAC，AB>AC,CDAD于D，H是BC中點(diǎn)。 求證： 提示：延長CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問題可證。例4、已知，如圖，在RtABC中，AB = AC，BAC = 90o，1 = 2 ，CEBD的延長線于E,求證：BD = 2CE 提示：延長CE交BA的延長線于點(diǎn)F。 1 2（4）作平行線構(gòu)造等腰

6、三角形 作平行線構(gòu)造等腰三角形分為以下兩種情況： 如下左圖所示，過角平分線OC上的一點(diǎn)E作角的一邊OA的平行線DE，從而構(gòu)造等腰三角形ODE。如下右圖所示，通過角一邊OB上的點(diǎn)D作角平分線OC的平行線DH與另外一邊AO的反向延長線相交于點(diǎn)H，從而構(gòu)造等腰三角形ODH。 2、由線段和差想到的輔助線:（1）遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長補(bǔ)短法： 截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條； 補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。 例1、在ABC中，AD平分BAC，ACB2B，求證：ABACCD。（2）對(duì)于證明有

7、關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將某些線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中證明。 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來，可連接兩點(diǎn)或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。 例2、已知如圖，D、E為ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:ABACBDDECE. （3）在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理： 例3：如圖：已知D為ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：BDCBA

8、C 3、由中點(diǎn)想到的輔助線：在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。 （1）中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形. 即如圖1，AD是ABC的中線，則（因?yàn)锳BD與ACD是等底同高的）。 圖1 圖2 （2）倍長中線，如圖2， 已知中點(diǎn)、中線問題應(yīng)想到倍長中線，由中線的性質(zhì)可知，一條中線將中點(diǎn)所在的線段平分，可得到一組等邊，通過倍長中線又可得到一組等邊及對(duì)頂角，因而可以得到一組全等三角形。如圖，延長AD到E，使得AD=AE，連結(jié)BE。例1、如圖3，已知ABC中，AD是BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ABC是等腰三角形。4、驗(yàn)證中點(diǎn)、中線問題，應(yīng)構(gòu)造平行線，如圖，過B作BE平行AC交AD延長線于E. 例1、如圖3，在等腰ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延長線上截取CE，且使CE=BD連接DE交BC于F求證：DF=EF5、其他輔助線作法：（1）延長已知邊構(gòu)造三角形 在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段（邊）相交，構(gòu)成一個(gè)封閉的圖形，可找到更多的相等關(guān)系，有助于問題的解決 例1、如圖4，在ABC中，AC=BC，C=90°，BD為ABC的平分線若A點(diǎn)到直線BD的距離AD為a，求B