南寧市普通高中2021屆高三10月摸底測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)(含答案解析)

1、絕密啟用前理科數(shù)學(xué)試題第3頁（共4頁）2021屆南寧市普通高屮畢業(yè)班摸底測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分）注意事項(xiàng)：1. 本試卷分第t卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓 名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2. 回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把簽題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需 改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。3. 回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。4. 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷一、選擇題:本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題

2、目要求的.1.已知集合 A=x|-l<x<3,B=ez|/=2x+leA,則 ARB 的元素個(gè)數(shù)為A. 4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D. 1個(gè)2復(fù)數(shù)吿的虛部是3. 已知a"均為單位向量，它們的夾角為120°,c=M若a丄c,則下列結(jié)論正確的是A. 2入+=OB. 2A “=0C.入一“=0D.卄“=04. 設(shè)直線忑=4與拋物線C：y=2Ar（p>0）交于D,E兩點(diǎn)，若OD丄OE（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）則C 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A. （+，0）B（*,0）C.（l,0）D. （2,0）5. 組數(shù)IE的平均數(shù)為加，方差為",將這組數(shù)據(jù)的毎個(gè)數(shù)都乘以«（«

3、>0）得到一組新數(shù)據(jù)則 下列說法正確的是A. 這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為mB. 這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為a+加C. 這組新數(shù)據(jù)的方差為anD. 這組新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為a店6. 在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊為a "心若a=4=5,c=6,則辱孕=Sill k-zA-1D. 17. 如圖網(wǎng)格紙上小正方形邊長(zhǎng)為1,粗線是一個(gè)棱錐的三視 圖，則此棱錐的表面積為A. 4+4 屈B. 2+672C. 3+32D. 88. 已知 (0,Q ,cos(a+$) =*，則 sin a 的值為A "土3r 4用_3凡 10-10D牛9射線測(cè)厚技術(shù)原理公式為Z=70e-SKi|-厲分別為射線穿過被

4、測(cè)物前后的強(qiáng)度,e是自 然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為被測(cè)物厚度屮為被測(cè)物的密度屮是被測(cè)物對(duì)射線的吸收系數(shù).丁業(yè)上通 常用鏘241(2tlAm)低能y射線測(cè)量鋼板的厚度.若這種射線對(duì)鋼板的半價(jià)層厚度為0. 8(單 位:cm),鋼的密度為7. 6(單位:g/cm3),則這種射線的吸收系數(shù)為(注:半價(jià)層厚度是指將已知射線強(qiáng)度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度，In 2 = 0. 6931,結(jié)果粘確 到 0. 001)A. 0.110B.O. 112C. 0.114D.O. 11610. 已知過定點(diǎn)A(0,6)(6>0)的直線2與圓O：F+y = l相切時(shí)，與，軸夾角為45°,則宜線/ 的方程為A. jty

5、+屈=0B.工+夕一1=0C. x-yj2=Q 或、y+"2=0D.広十1=0 或 xy十 1=011. 已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為B, 點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，且PF丄工軸，若| PF|=2|BF|，則雙曲線C的離心率為A. 3B. 2C 號(hào)D號(hào)12. 已知函數(shù) /(/)=¥+*一工,若 o = /(20 3)=/ (2),c=f(log25)ia,b,c 的大小關(guān) 系為A. c<ib<ZaB aWcC. c>a>bD. bAc>ci第II卷本卷包括必考題和選琴題兩部分.第1321題為必考題每個(gè)試題

6、考生都必須作答第 22.23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題:本大題共4小題每小題5分，共20分.徉匸+耳一3=0,13. 設(shè)工*滿足約束條件2工一3y+3$0,則尤=2工+y的最小值是y+3$014. 若Q十2)' =:r'+a疋十加+“力十“則ad-b+c+d+e的值為15. 已知球在底面半徑為1、高為2©的圓錐內(nèi),則該圓錐內(nèi)半徑報(bào)大的球的體積為.16. 已知函數(shù) y（x）=sin x2x 若 /（l3a）+2a+3）冬0則實(shí)數(shù) a 的取o»Z*值范禺是三、解答題:本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. （本小題滿分12分

7、）設(shè)數(shù)列“滿足心=1 ,d”+i = 2a“一（2打一3）.（I）計(jì)算如心，猜想仏”的通項(xiàng)公式并利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（U）記九=2” 5，求數(shù)列仏的前w項(xiàng)和S,頻率18. （本小題滿分12分）某地區(qū)為了解學(xué)生課余時(shí)間的讀書情況，隨機(jī)抽取 了 “名學(xué)生進(jìn)行調(diào)査將調(diào)査得到的學(xué)生日均課余 讀書時(shí)間分成0,10）10.20）,20,30）, 30,40）, 40,50）,50,60六組，繪制成如圖所示的頻率分 布克方圖將日均課余讀書時(shí)間不低于40分鐘的 學(xué)生稱為“讀書之星”，日均課余讀書時(shí)間低于40 分鐘的學(xué)生稱為“非讀書之星”.已知抽取的樣本屮 口均課余讀書時(shí)間低于10分鐘的有10人（I）求”和

8、”的值；（II）根據(jù)已知條件和下而表中兩個(gè)數(shù)據(jù)完成下而的2X2列聯(lián)表，并判斷是否有95%以上的把握認(rèn)為“讀書之星”與性別有關(guān)?非讀書之星讀書之星總計(jì)男女1055總計(jì)（III）將木次訓(xùn)查所得到冇關(guān)事件發(fā)生的頻率視為梵發(fā)生的概率J：見從該地區(qū)大址學(xué)生中隨 機(jī)抽取20名學(xué)生參加讀書與文學(xué)素養(yǎng)的研討會(huì)，記被抽取的J賣書之星"人數(shù)為隨機(jī)變 最X求X的數(shù)學(xué)期望E（X>.附sK' = (a+")(c+d)(a+CG+d)'其中P（KS。）0. 100. 050.0250.0100. 0050. 0012. 7063. 8415.0246. 6357. 87910.

9、82819（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A山G中,點(diǎn)E、F在側(cè)棱上, 且"E=2EE，GF=2FC，點(diǎn) D、G 在側(cè)棱 AB、AC 上，且 BD = 2DA,CG=2GA.（I）證明：點(diǎn)G在平面EFD內(nèi)；（11 ）若ZBAC=9O°,AB=AC=1,AA1=2,求二面角 A-AB, 一 C.的余弦值.20. （本小題滿分12分）已知橢圓C：若+話=1 （«>/;>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F,、R ,橢圓的離心率為曹，若M是 橢圓上的一個(gè)點(diǎn)，且|MFj +|MFz | =4旋.（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）已知點(diǎn)P（2,y。）是橢圓（:上

10、位于第一象限內(nèi)一點(diǎn)，直線I平行于OP（O為原點(diǎn)）交橢圓 C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AB上（異于端點(diǎn)）的一點(diǎn)，延丘PD至點(diǎn)Q,使得3PD= 反，求四邊形PAQB面積的最大值.21. （本小題滿分12分）已知函數(shù)/（刃=4（工一2記+ （工一1）2,（°工0,“1）.（I）當(dāng)a = T 時(shí),求函數(shù)/Cr）的單調(diào)區(qū)間；（II）若心>0,證明：函數(shù)3，=/匕）有兩個(gè)不同的零點(diǎn).請(qǐng)考生在第22.23兩題中任選一題作答.注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做 的第一個(gè)題目計(jì)分.22. （本小題滿分10分選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程：匕=1 +2cos a在玄角坐標(biāo)系.rQy中，曲線G

11、的參數(shù)方程為H 廠 C . （a為參數(shù)），曲線G與坐標(biāo) ly=J3 +2sm a軸交于（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O）兩點(diǎn)m,n.（I）求線段MN的長(zhǎng)度；（II）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)m軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，己知點(diǎn)M,N關(guān)于直線/對(duì) 稱，求宜線/的極坐標(biāo)方程.23. （本小題滿分10分選修4一5：不等式選講：已知函數(shù) /（x） = 12工一 11 +12x+a | ,g（x） =乂+3（I ）當(dāng)a = -2時(shí)，求不等式fCxXgM的解集；（II）設(shè)“一1,且當(dāng)疋| y*y）時(shí)，/（工XpQ）,求的取值范國2021屆南寧市普通高中畢業(yè)班摸底測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案一、選擇題2.D【解析】豈=厝船葺=寧=卡+今

12、i,故選D.3. A【解析】因?yàn)閍丄c,所以a c=a 伽一/方）=0,可得卄專=0,即2卄“=0.故選24（：【解析】曲對(duì)稱性可知：JU）的坐標(biāo)為（4川）戎（4.一4）代入拋物線y=2p.r,解得p=2.所以犯物線方程為：y =4<它的假點(diǎn)坐標(biāo)為（1<0）>故選C6. D【解析】瞬=警罟亠淪“諾鶴磐=專護(hù)1故選D.7. A【解析】由已知中的三視圖可得：此校錐ABCD的克現(xiàn)圖如下圖所示： ABD和CED都是直角邊為2和2©的點(diǎn)角三角形.A/WC和ADC均 是邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形所以其表面積為S=2X*X2X2血+ 2X*X2? =4+4挖故選 A.&B【

13、解析】因?yàn)閍 W （0,兀），cos （a+青）=g得血6+卡）=*，所以sin a=sin（卡+a） - - ） =sin （卡+a） cos cos （卡+a） sin 卡=令 X73_325xl理科數(shù)學(xué)參考答集一1由已知可得I PF|=J BF| =a+c<9. C【解析】由題總可得* = 1><35,一hi2 = -76XO8/“即6. 08=0. 6931 則“心0114. 這種射線的吸收系數(shù)為0. 114.故選C10. C【解析】設(shè)立線/的方程為y=kr+b.切點(diǎn)為匕曲題設(shè)可知ZPAO=ZR>1=45°,所以6=2 因?yàn)榭司€/與圓才+"

14、= 1相切所以-= = 1,得Xr=±l故直線/的方程為，=士#+施,故選C.11. A【解析】如下圖：設(shè)雙曲線C的半實(shí)軸.半皮軸、半焦距分別為冷=2（卄八即加+2級(jí)， 化簡(jiǎn)得e2-2e-3=0.得亡=3故選代12. B【解析】由/(小山；=2+/-1=“一1($+1), 所以函數(shù)/Q)在(l+oo上單調(diào)遞璟 因?yàn)?<2<2】0也5>1陰?4 = 2 所以 2°彳<2<log25,所以 /(20 3 )</(2)</( lo©5即 a<b<c.故選 R二、填空題2.r+3y3=013.-15【解析】根協(xié)約束條件

15、扌2,r-3y+3>0畫出可行域(圖中陰夠部分)作 y+30直線人2工+y=0,平移直線人將直線平移到點(diǎn)A處二最小點(diǎn)人的坐標(biāo)為 (6.3).將點(diǎn)八的坐標(biāo)代到目標(biāo)函數(shù)z =可得茫=15.即細(xì)門=1514.242 【解析】令工=1 代入可得 p+&+c+d+«=(l+22 15=3' l=24215晉?！窘馕觥恳字霃疥纱笄?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸裁而如圖所 示，點(diǎn)M為EC邊上的中點(diǎn)由題設(shè)BC=2.AM=229.求得AB=AC=39設(shè)內(nèi)切 圓的圓心為O.故SA.A/r=yX2X2/2=2/2,設(shè)內(nèi)切同半徑為廠則：Sg = S“ +Ssc+Sy,=* X7U

16、3X廠十* X BCX廠+* XACXr = yX(3+34-2)Xr=2>/2 解得汀=給其體積：V=y = y 161,4【解析】由 /(Q=sin(H+2一Q (±)= sin函4t/C.r)為奇函數(shù)./(,r)=cos.r+2+4>0 在(一8.0) U(0，十8)上恒成立所以 心在(O.+oo) 上為增函數(shù).曲 f( 13u ) + f(d:2°+3)冬0 得 /(a'2a+3f( 13d) 即/(<r-2a+3X/(3«-l),因?yàn)閍>y時(shí).3么一 lX)./力+3>0所以尋價(jià)于濟(jì)一2“+3冬3“一1 解 得1&#

17、171;三、解答題17【解析】(I山題意可得© = 2山十1 = 2+1 = 3心=2血一1 = 61 = 5由數(shù)列久的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列bd是以1為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列.即心=2一 1, (2 分)證明如下當(dāng) ”=1 時(shí)tai =2X1 1 = 1 成立$假設(shè)n=k時(shí)色=2«1成立.那么 n=k +1 吋山卄1=2彳一(263)=2(2力一1)一(2«3=2/:十1=2伙+1) 1 也成立.則對(duì)任窓的/iN-,都有an=2n-l成立；(6分(II)因?yàn)閹?(2”一1)2“AS. = 1X2+ 3 X 22 +5 X 23HF(2wl)X2%02S4f = lX2

18、2+3X2s+5X24+-+(2M-l)X2-+S 一得：一S用=2+2X22+2X2'+2X2'+十 2X2”一 (2一1 )X2+理科數(shù)學(xué)多考簽案一 2=2+ $#三2匸 2 一（ 2一 1X 2小=一 6（ 2一 3 ） X 2卄I5, = (2兀一3><2卄】+6.（12 分18.【瀚】(I )(0.005+p+0 018+0. 020+0. 022+0. 025)X10=1,解得:p=0.01,所洪打=君=100.（3分（II）因?yàn)閚=100>所以“讀書之星”有100X0.25=25.從而2X2列聯(lián)表如下圖所示,非讀書之星讀書之星總計(jì)男301545女

19、451055總計(jì)7525100將2X2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)毎得因?yàn)?.030<3. 841所以沒有95%以上的把握認(rèn)為“讀書之星”與性別有關(guān).（8分（皿）務(wù)碩率視為概率即從該地區(qū)學(xué)生中抽取一名學(xué)生是“讀書之星'的概率為*由題總可知XB（20,*）,所以E（X）=20Xy=5<人）.（12 分19.【解析” I ）證明：連接DG.FG.因?yàn)辄c(diǎn)E、F在側(cè)棱BBt g 上且B,E= 2EB,ClF=2FC.又 BB/CG 且 BBi=CG所以 EB/FC且EB=FC所以四邊形BCFE為平行四邊形所以EF/BC.又因?yàn)辄c(diǎn)D.G在側(cè)枝ABSC上.且BD=2DA.CG=2GA, 所

20、嘆 GD/BG且 GD=BC.所以EF/GD且GD=yEF,故四邊形DEFG為梯形即D、E、F、G四點(diǎn)共面，所以點(diǎn)G在平面EFD內(nèi). （6分）（U）由題設(shè)知人Bx 4G .A】A兩兩垂立以AiCi為工軸為，軸.AiBi為z軸建立空間jt角坐標(biāo) 系A(chǔ)i 巧N.由 AB=AC=l.AAl =2得 Ai (0.0.0) A(0.2.0),B (0,0.1)G<100入設(shè)乂面 ABiG 的法向童為因?yàn)锳G = <b-2,0>.BG= <1,0,-1).n AQ=x2=0>取y=l則 *=z=2所以 n=<2tL2). n BiCt=xz=0所以又m = （1閃,0是

21、平面AA； B）的一個(gè)法向量，所以cox<mt «> =9(12 分)印二面角A, -ABi-Ci的余孩值為手理科教學(xué)參考簽案一320.【解析】（I ）由橢圓的定義及| MF. | + | MF21 =4吃得2°=4©即a=22設(shè)橢圓半焦距為“為£=哼.所以尸哼么=屆 a 2Zlr=（r-r=2.所以確圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為專+備=】 （5分）（II ）由（I ）得P（2,l.所以陽=*設(shè)A5）舊（護(hù)2化）立線I的方程，=*才+”厲0）1聯(lián)立°消去y整理可得2疋+4+4盧一8=0.=+工=I 8 十 21由=16/4 2 （4”一8）&g

22、t;0.又則 0<<4»且x + 文2 = 2/“】工2=2產(chǎn)一4. （7分）所以弦長(zhǎng)|/B| =Q 1+* x/（* + 才2）' in衛(wèi)=用/l尸P到JL線AB的距離為d則d= 上I ,=歲>（9分）吁L設(shè) Q到克線的距離為 dd7 3PD=DQ3|PD| = |1JQ|，所以 / = 3d.所以 Saqib =*/ 丨 AB I =y 3d I AB =3Spab 所以 ®g=SHM+Sg,“=4SaM=2dMB| =2 馬-75/4=7=4 /-<z2-2）2+4<8.當(dāng)且僅當(dāng)l2 =2時(shí)取等號(hào)所以四邊形PAQH面積的說大值為&

23、amp; （12分）21【解析】（I由/（0 = （工一2疋+ "12.f < j-） = < j1 I 2（ j1） = （j1） （ er 4-2>. （1 分）d） /7（x）=0 得 x= 或 x=ln 2,當(dāng) 2-e（-oajn2）./（j-）<o.函數(shù) /a> 單調(diào)遞減：e<ln2-l）t/（）>0>函敎/（工）單調(diào)遞増；才（l+ooJdVO圉數(shù)/（G）單調(diào)遞減. （6分）（II）«/'（丁=“（才1）+2（才1 ） = （.r1 ）（b+2） 當(dāng)a>0時(shí)（卅+2>0,由f （工V 0得x<b所以“才）在（一oo.l）上為減函歌，由/（丁>0得工>1,所 以在（l.+oo上為增函數(shù)而 /（l） = -ae<0,/<2） = l>0,所以/"）在（l.+oo上有唯一零點(diǎn)9且該窣點(diǎn)在（1.2）上取