2018年高考數(shù)學常見題型解法歸納反饋訓練第93講極坐標系與參數(shù)方程問題的處理

1、第93講極坐標系與參數(shù)方程問題的處理【知識要點】、在平面內(nèi)取一個定點 0為極點，引一條射線0X為叫做極軸，再選定一個長度單位和角度單位及XOM，稱它的正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系對于平面內(nèi)的點 M，設(shè)|0M |,為點M的極徑、極角，有序數(shù)對 (，)就叫做M的極坐標.平面內(nèi)任二、直角坐標系的原點 0為極點，x軸的正半軸為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位意一點P的直角坐標與極坐標分別為(x, y)和(，)，則由三角函數(shù)的定義可以得到:COs (求 sin2 x2點的直角坐標的公式)，ytan x2y(求點的極坐標的公式,求極角時要先定位后定量)(R)表示過原點且傾斜角為

2、0)表示過原點且傾斜角為的向上的射三、參數(shù)方程的定義：一般地，在平面直角坐標中，如果曲線C上任一點M的坐標x,y都是某個變數(shù)tOx = f (t)的函數(shù)1，反過來，對于t的每個允許值，由函數(shù)式y(tǒng) = g(t)Ox = f (t)_ 丿所確定的點M(x, y)都在曲線C上,y = g(t)ox = f (t)那么方程彳叫做曲線C的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)y = g(t)x, y的變數(shù)t是參變數(shù)，簡稱參數(shù).相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關(guān)系的叫普通方程.四、常見曲線的參數(shù)方程:(1)圓(x Xo)2 (y y。)2r2的參數(shù)方程為 yx0 rcos(為參數(shù))；yo r si n(2)2芯 1的參

3、數(shù)方程為b2acosbsi n(為參數(shù))；2(3)雙曲線令a2每 1的參數(shù)方程b2asecbta n(為參數(shù))；(4)拋物線y2x2 px參數(shù)方程y2 pt22 pt(t為參數(shù))x x0 tcos(5)過定點P(x0,y0)、傾斜角為的直線的參數(shù)方程(t為參數(shù)).當動點A在定點y y tsinP(x0, y0)上方時,t 0,且t | PA|.當動點B在定點P(x0, y0)下方時,t 0,且t| PB|.【方法講評】方法轉(zhuǎn)化法解題步驟先把已知條件都化成直角坐標，再利用解析幾何的知識解答【例1】【2017課標3，理科22】在直角坐標系 xoy中，直線l 1的參數(shù)方程為( t為參數(shù))，y kt.

4、x直線I 2的參數(shù)方程為ym,(m為參數(shù)).設(shè)11與12的交點為P,當k變化時，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程;(2)以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)13: p (cos 0 +sin 0)-2 =0, M為 13與C的交點，求M的極徑【解析】淆去裁數(shù)t得h的普通內(nèi) t二盤匕一2消去蜃數(shù)曲得h的普迪方稈厶: 二*(卄2)y =圧(x_2)1,消去占得疋-於二4。二0),所以G的普通方程為工0) 鳥的直甬坐標方程為_3血2 2 2 1 18 2 =JT+j =-H- = 5 ,?=一-”仏與住的交點M的根徑対歷、【點評】本題就是轉(zhuǎn)化法解答極坐標與參數(shù)方程問題的典型例子

5、問直接把條件化成直角坐標再解答，比較直接，解題效率也比較高x【反饋檢測1】在平面直角坐標系 xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為y2cos 1,(為參數(shù))以平2si n面直角坐標系的原點 O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為4sin（i）求曲線g的普通方程和曲線 C2的直角坐標方程；（2）求曲線Ci和C2公共弦的長度.方法二用極坐標解決解析幾何問題解題步驟把已知條件化成極坐標，再利用極坐標的知識解答【例2】【2017課標II ,理22】在直角坐標系xoy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線Ci的極坐標方程為cos 4.（1）M為曲線G上的動點，點P

6、在線段0M上，且滿足|OM | |0P| 16,求點P的軌跡C2的直角坐 標方程；（2）設(shè)點A的極坐標為（2,），點B在曲線C2上，求 OAB面積的最大值3【解析】設(shè)尸的根坐標為S #）（4）, M的極坐標為（必 （必沁），由題a oAfop = i&得q的極坐標方程嚴宓詔30）因此G的直角坐標方程為2尸* J 4（如0）（2）設(shè)點B的極坐標為b,b0 ,由題設(shè)知OA =2, b =4cos1SOAB sin AOB 4cossin232 sin 2232當 二12時，S取得最大值2+ 3，所以 OAB面積的最大值為2+. 3 .如果用極坐標【點評】（1）本題的兩問，如果用直角坐標來解答，思路

7、難找，計算量大，解題效率低來解答，問題就簡單了很多 （2）怎么聯(lián)想到利用極坐標解答呢？因為已知里面有信息，譬如，第1問中,|OM |就是點M的極徑，|OP|就是點P的極徑，并且點 M ,P的極角相同，所以用極坐標解答就自然了,所以我們要注意觀察已知的信息第2小問的觀察和思維類似x 1 COS【反饋檢測2】在直角坐標系xOy中，曲線Ci : x y 4，曲線C2:（為參數(shù)），以坐y sin標原點|O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線Ci,C2的極坐標方程；（2） 若射線l:p 0分別交Ci,C2于代B兩點，求墮的最大值.|0A|方法三用圓錐曲線參數(shù)方程解決解析幾何的問題解題步驟

8、先把某些已知條件化成參數(shù)方程，再利用參數(shù)方程的知識解答.x 3cos【例3】【2017課標1，理22】在直角坐標系xoy中，曲線C的參數(shù)方程為 3COS （為參數(shù)），y sin ,x a 4t直線I的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）y 1 t,（1）若a 1，求C與l的交點坐標；（2）若C上的點到l的距離的最大值為.17，求a.【解析】 曲線C的普通方程為二L當盤=1吋，直線/的昔通方程為丸+4p*4卩-3二0由打衛(wèi)f解得21x=2524F 二25從而C與l的交點坐標為（3,0）,（,）.25 25直線I的普通方程為掘十4y44=0,故C上的點08詞血巧到的距禽為13co殊B + 4sib 34 4|加

9、“時，嘶大林需由題設(shè)得器“脅當7 的最大值疥由題設(shè)得芮F + =荷，所以盤=_16綜上，口 = &或口=16一、【點評】(1)本題就是利用圓錐曲線解決解析幾何問題的典型例子本題如果把已知條件都化成直角坐標再解答，計算量比較復(fù)雜，解題效率比較低.但是如果利用圓錐參數(shù)方程設(shè)點的坐標，再利用三角函數(shù)的知識來解答，計算量小，解題效率高了很多 (2)圓錐曲線的參數(shù)方程的一個重要作用就是設(shè)點所以一般情況下，設(shè)點有三種方式，一是利用直角坐標設(shè)點，這是最普遍的一種.二是利用參數(shù)方程設(shè)點，三是利用x 3 cosy sin極坐標設(shè)點，大家要注意靈活選用【反饋檢測3】(2016年全國III高考)在直角坐標系 xOy

10、中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為(I)寫出Ci的普通方程和C2的直角坐標方程；(II )設(shè)點P在Ci上，點Q在C2上，求|PQ的最小值及此時P的直角坐標方法四用直線參數(shù)方程解決解析幾何的冋題解題步驟先把某些已知條件化成參數(shù)方程，再利用參數(shù)方程的知識解答x 3 t【例4】在直角坐標系xOy中，直線I的參數(shù)方程為2 _ （t為參數(shù)）在極坐標系（與直角坐y忑馬2標系xOy取相同的長度單位，且以原點0為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為 2 一弔sin（1）求圓C的直角坐標方程；（2）設(shè)圓C與直線I交于點A, B，

11、若點P的坐標為3/ 5，求I PA PB 【解析】（D由“2話血e,得尸二2右“血肛：*十b =即/+0-厲尸二5將J的參數(shù)方程RAC的直角坐標方程.得（3-#廳+ （弓-緲=5,即“-3血44 = 0由 dLr人=（?卩仆4 = d0,故可設(shè)仆z是上述方程的兩實根，所法卜十勺“厲又直線f過點p（31X/5）, Vi=故由上式及r的幾何意義得円|十|刊|比田劇卡估今血【點評】（1）直線參數(shù)方程中參數(shù) t的幾何意義是這樣的：如果點 A在定點P的上方，則點 A對應(yīng)的參數(shù)tA就表示點A到點P的距離|PA|,即tA |PA|.如果點B在定點P的下方，則點B對應(yīng)的參數(shù)tB就表示點B到點P的距離|PB|的

12、相反數(shù)，即tB| PB| .（ 2）由直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義得：如果求直線上 代B兩點間的距離|AB|,不管A, B兩點在哪里，總有|AB| |tA tB|.【反饋檢測4】在極坐標系中，曲線 C的方程為 2cos29，點P(2、3,_) 以極點0為原點，極6軸為x軸的正半軸建立直角坐標系.(1) 求直線0P的參數(shù)方程和曲線 C的直角坐標方程；_ _ _ 1 1(2) 若直線0P與曲線C交于A、B兩點，求的值.|PA| |PB|【反饋檢測5】在直角坐標系xOy中，直線I過M (2,0)，傾斜角為(0).以0為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為sin2 4cos .

13、(1)求直線l的參數(shù)方程和曲線 C的直角坐標方程；(2)已知直線I與曲線C交于A、B兩點，且|MA| 2|MB |，求直線I的斜率k .高中數(shù)學常見題型解法歸納及反饋檢測第93講:極坐標系與參數(shù)方程問題的處理參考答案【反饋檢測 1 答案】(1) C1 :x2 y2 2x 3, C2 :x2 (y 2)2x= 2cdSt+L【反饋檢測詳細解析】門 曲線G的參數(shù)方程為,1_（化為券數(shù)人消去參數(shù)口可得普通方y(tǒng) = 2sin a程：儀一1尸4八=4即/+于一=曲線q的極坐標方程為p=4心匹 即可得宜目塵詠-J=4y.配勺粵疋+（.，一2=4.（2） +/-2x=3與壬十戸二4#相減可得公共所在的直線方

14、程古-匕十3 = 0.|2亠3|w到公共漸在的聲的距離-何百=7 p 共弦長=21【反饋檢測 2 答案】(1 )p (cos 0 + sin 0 ) = 4,p= 2cos 0; (2)(2+ 1).【反饋檢測2詳細解析】(1) C: p (cos 0+ sin 0 ) = 4, C2的普通方程為(x 1)2+ y2= 1，所以p= 2cos 0.4p 1= cos a + sin a 卩 2=沁-nn(2)設(shè) A( p i,a ) , B( p 2,a ) , VaV ，則|OB| p 21x|OA| p 141=(cos 2 a+ sin42cos a (cos a + Sin a )2

15、a+ 1)=】i 2cos (2 a)+1,當a= 8時，|OA|取得最大值 專（.2 + 1）.【反饋檢測3答案】2x 2(1) C1 :y1,C2: x y30 ；（2）最小值為2，此時P的坐標為幕）.【反饋檢測23詳細解析】（1）G的普通方程為 31, C2的直角坐標方程為 x+y-4=0 .由題意,可設(shè)點P的直角坐標為（一 3 cos ,sin因為C2是直線，所以|PQ|的最小值，即為P到C2的距離d（）的最小值cos sin 41 d( ) | 一石一|in(-) 2|.當且僅當2k（k z）時，d（）取得最小值，最小值為 J2此時P的直角坐標為（-,丄）.6 2 2x 3逅t【反饋檢測4答案】(1)2, x2 y29 ； (2)2 .1 x y 9vy . 3 -t.2【反饋檢測4譯細解析】1T化為直角坐標可得 2 拒）,6二直線0P的參數(shù)方程為/ p1 cos2 & Slfi2 = 9 ,二曲線u的直角坐訴方程：-/=9, w： H十4屁S ,t1+t2 =-+= -6 0 ?丄+丄=丄+丄=旦=屈t4cos tt8t22， tit22sinsin2t2，消去ti與t2，得tan 2，即k|皿|朋| K