圓錐曲線題型及方法

1、 黃岡立傳智能教育中小學各科功課快速提分輔導方案1黃岡立傳教育導學案黃岡立傳教育導學案 高二數(shù)學 導學案 學生：學生： 課題名稱圓錐曲線復習圓錐曲線復習時間 2012 年 11 月 日第 課時課型復習課課時6主備人張思藤審核人教學目標：教學目標：掌握圓錐曲線和其它知識點交匯綜合性問題的解題技巧。將圓錐曲線知識系統(tǒng)化，形成問題規(guī)律化。教學重點：教學重點：橢圓的定義、標準方程、橢圓的簡單幾何性質(zhì)及應用等知識，主要考查概念、基本量求解、求曲線方程、求參數(shù)范圍問題等幾類高考中常出現(xiàn)的問題主要解題策略主要解題策略：運用第一定義，第二定義進行突破；構造含參數(shù)的不等式，通過解不等式求參數(shù)范圍；與直線有關的問

2、題經(jīng)常通過消元，得到一個一元二次方程，再利用韋達定理進行變形求解；充分運用曲線的性質(zhì)及圖形的特征，使得解法更簡捷，因此在解題時要提高運用曲線的定義及圖形的幾何特征的意識體現(xiàn)主要數(shù)學思想有：化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、分類與整合思想等應注意的問題是對直線斜率是否存在的討論，應用定義時是否符合要求等（一）考查概念（一）考查概念例例 1 1（2009，全國）已知橢圓22:12xCy的右焦點為F，右準線為l，點Al，線段AF交C于點B，若3FAFB ，則|AF =( )A. 2 B. 2 C.3 D. 3w解析：解析：過點B作BMl于M，并設右準線l與x軸的交點為N，易知FN =1由

3、題意3FAFB ，故2|3BM 又由橢圓的第二定義，得2 22|233BF 黃岡立傳智能教育中小學各科功課快速提分輔導方案2|2AF故選 A.歸納小結歸納小結：本題充分挖掘圖形的幾何性質(zhì)，應用橢圓的第二定義解決問題例例 2 2 橢圓14922yx的焦點為1F，2F，點P為其上的動點，當21PFF為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是 分析：分析：欲求點P橫坐標0 x的取值范圍，需要建立關于0 x的不等式，從不同的知識點切入就得到不同的解法解法解法 1 1：（兩個定義相結合）由條件可知，3a ，2b ，所以 5c ，35ace根據(jù)橢圓的定義，12| 26PFPFa，于是兩邊平方得362212221PF

4、PFPFPF，又在21PFF中，由余弦定理得，222121212cos02PFPFFFPF PF，所以 2221PFPF22220F F，將代入上式得，128PFPF，設P的橫坐標為0 x，由焦半徑公式得00() ()8aexaex，所以 205989x，故03 53 555x解法解法 2 2：（與向量知識結合）因為21PFF為鈍角，所以120PF PF 設00(,)P xy，由分析 1 可知，100(5,)PFxy ，200( 5,)PFxy ，所以 0000(5,).( 5,)xyxy052020yx， 又00(,)P xy在橢圓上，所以 2200194xy，、兩式聯(lián)立，消去0y，即得 0

5、3 53 555x 黃岡立傳智能教育中小學各科功課快速提分輔導方案3歸納小結歸納小結：本題考查橢圓的定義及余弦定理、向量、不等式等知識綜合，因此應注意提高綜合解決問題的能力例例 3 3（2009 全國卷理）已知直線20yk xk與拋物線2:8C yx相交于AB、兩點，F(xiàn)為C的焦點，若| 2|FAFB，則 k（ ）A13 B23 C23 D2 23解析：解析：分析圖形，利用三角形相似，再利用拋物線的定義將問題轉化，求出直線上一點的坐標，求得k的值設拋物線2:8C yx的準線為:2l x .直線20yk xk恒過定點 P2,0如圖過AB、分別作AMl于M，BNl于N.由| 2|FAFB，則| 2|

6、AMBN，點 B 為 AP 的中點連結OB，則1|2OBAF， | |OBBF.點B的橫坐標為1，故點B的坐標為2 202 2(1,2 2)1 ( 2)3k ，故選D歸納小結歸納小結：充分研究圖形，結合拋物線的定義解決問題是解析幾何重要方法（二）基本量求解（二）基本量求解例例 4 4（2009，上海）已知1F、2F是橢圓1:2222byaxC（ab0）的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且21PFPF 若21FPF的面積為 9，則b=_ 黃岡立傳智能教育中小學各科功課快速提分輔導方案4解析：解析：依題意，有1212222122184PFPFaPFPFPFPFc，可得 4c2364a2，即a2c29，

7、故有b3歸納小結歸納小結：本題主要考查橢圓的定義、長軸、短軸、焦距之間的關系 屬于基礎知識、基本運算的考查例例 5 5 橢圓22221(0)xyabab的半焦距為c，若直線2yx與橢圓一個交點P的橫坐標恰好為c，則橢圓的離心率為（ ）A222. B.2 212 C.21 D.31分析：分析：求離心率關鍵是根據(jù)已知條件得到a、b、c的等量關系若能充分利用圖形的幾何特征及曲線的定義，可簡化運算過程達到求解的目的解法解法 1 1：由題知點( ,2 )P cc，因為點P在橢圓22221xyab上，所以222241ccab，化簡得2222224b ca ca b，又因為222bac，所以22222222

8、()4()ac ca caac，化簡得422460ca ca，同除以4a得42610ee ，解得2232 2( 21)e ，因為01e，所以 21e ，故選 C解法解法 2 2：由題知點P在橢圓上且橫坐標為c，縱坐標為正數(shù)，所以點P的坐標為2( ,)bca， 黃岡立傳智能教育中小學各科功課快速提分輔導方案5又因為點P在直線2yx上，所以22bca，即22bac，又因為222bac，所以2220caca，同除以2a得2210ee ，解得12e ，因為01e，所以21e ，故選 C解法解法 3 3：由題意可知點P坐標為( ,2 )cc，即2| 2PFc所以12PFF為等腰直角三角形，所以1| 2

9、2PFc由橢圓定義 12| 2PFPFa，即2 222cca，所以12121cea，故選 C歸納小結歸納小結：本題三種解法各有特點，解法 2、解法 3 充分運用曲線的性質(zhì)及圖形的特征，使得解法更簡捷，因此在解題時要提高運用曲線的定義及圖形的幾何特征的意識例例 2 2(2009 山東理)設雙曲線12222byax的一條漸近線與拋物線21yx只有一個公共點，則雙曲線的離心率為（ ）A45 B5 C25 D5解析：解析：雙曲線12222byax的一條漸近線為xaby ，由方程組21byxayx，消去 y，得210bxxa 有唯一解，所以=2( )40ba， 黃岡立傳智能教育中小學各科功課快速提分輔導

10、方案6所以2ba，2221 ( )5cabbeaaa，故選 D（三）最值問題（三）最值問題例例 6 6 已知拋物線24yx，過點(4,0)P的直線與拋物線相交于1122(,), (,)A x yB xy兩點，則2212yy的最小值是 解析：解析：由于過點(4,0)P且與拋物線24yx相交的直線不能是x軸，故可設這條直線為4()xmymR，與拋物線方程聯(lián)立，消去x，得24160ymy，所以，1212416yymy y ，進而2122122212)(yyyyyy3232162m，當且僅當0m ，即直線與x軸垂直時，221232yy 歸納小結歸納小結：本題并沒有落入“設直線的斜率為k、將2212yy

11、轉化為k的函數(shù)，這個函數(shù)的最小值”的俗套而是類比直線方程的斜截式，將這條直線設為4()xmymR，如此處理，既不丟解又簡捷明快例例 8 8（2006 江西）P是雙曲線221916xy的右支上一點，M，N分別是圓22(5)4xy和22(5)1xy上的點，則|PMPN的最大值為（ ）A.6 B.7 C.8 D.9解析：解析：雙曲線的兩個焦點1( 5,0)F 與2(5,0)F恰好是兩圓的圓心，欲使|PMPN的值最大，當且僅當|PM最大且|PN最小，由平面幾何性質(zhì)知，點M在線段1PF的延長線上，點N是線段2PF與圓的交點時所求的值最大. 黃岡立傳智能教育中小學各科功課快速提分輔導方案7此時12| (2

12、)(1)PMPNPFPF9321PFPF因此選 D（四）突出幾何性質(zhì)的考查（四）突出幾何性質(zhì)的考查例例 6 6 如圖，已知圓O方程為10022 yx，點A的坐標為），（06，M為圓O上任意一點，線段AM的垂直平分線交OM于點P，則點P的軌跡方程為（ ）A2212516xy B22(3)12516xy C2212516xy D22(3)12516xy解析：解析：由于POPA POPM 106，所以，點P的軌跡是以OA、為焦點、以10 為長軸長的橢圓因此選 B歸納總結：歸納總結：應用定義求動點軌跡或其方程，其優(yōu)勢在于避免列式、化簡等煩瑣的代數(shù)處理過程，給人以簡捷、明快之感定義法是解析幾何中求動點軌

13、跡及其方程的重要方法之一例例 7 7 已知橢圓22132xy的左右焦點分別為1F、2F，過1F的直線交橢圓于B、D兩點，過2F的直線交橢圓于A、C兩點，且ACBD，垂足為P.（1）設P點的坐標為00(,)xy，證明：2200132xy； 黃岡立傳智能教育中小學各科功課快速提分輔導方案8（2）求四邊形ABCD的面積的最小值分析分析: :因為ACBD于點P，又1F、2F是兩個定點，所以，點P在以線段12FF為直徑的圓上，即P點的坐標為00(,)xy滿足22001xy，這樣問題就轉化為在此代數(shù)條件下求代數(shù)式220032xy的取值范圍的問題了方法顯然不唯一由條件知ABCD是對角線互相垂直的四邊形，那么

14、，這樣的四邊形的面積怎樣計算呢？由平面幾何易知，1| |2ABCDSACBD這就將問題轉化為求橢圓的弦長問題了，顯然|AC，|BD的長由它們的斜率決定，這已是常規(guī)的解析幾何問題了解：解：（1）方法 1：橢圓的半焦距321c ，由ACBD知點P在以線段12FF為直徑的圓上，故22001xy，所以，222200001132222xyxy方法 2：由方法 1 知，22001xy，即22001yx ，所以 222220000011113232262xyxxx（2） （）當BD的斜率k存在且0k 時，BD的方程為(1)yk x，代入橢圓方程22132xy，并化簡得 2222(32)6360kxk xk顯

15、然0 設11()B xy，22()D xy，則 2122632kxxk ，21223632kx xk.222221212221224 3(1)()()(1) ()432kBDxxyykxxx xk； 黃岡立傳智能教育中小學各科功課快速提分輔導方案9又由于直線AC與BD過同一點P，且相互垂直，同理可得，222214 314 3(1)12332kkACkk四邊形ABCD的面積為111| | |222ABCADCSSSACBPACDPBDAC222224(1)(32)(23)kkk22222(1)9625(32)(23)2kkk當21k 時，上式取等號（）當BD的斜率0k 或斜率不存在時，四邊形AB

16、CD的面積4S 綜上，四邊形ABCD的面積的最小值為9625歸納小結歸納小結：第一問實際上是證明點P在橢圓的內(nèi)部，這只需利用不等式進行放縮即得到結論，或者，由點P滿足的關系，消去變量0y，得到關于0 x的函數(shù)，求其取值范圍即可；第二問把要解決的解析幾何問題轉化為代數(shù)中的方程、不等式或函數(shù)問題，這是在轉化與化歸思想指導下“幾何問題代數(shù)化”的具體體現(xiàn)（5）軌跡問題軌跡問題直接法直接法：直接利用條件建立之間的關系；, x y( , )0F x y 如如已知動點 P 到定點 F(1,0)和直線的距離之和等于 4，求 P 的軌跡方程（答：3x或）；212(4)(34)yxx 24 (03)yxx待定系數(shù)

17、法待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據(jù)條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。如如線段 AB 過 x 軸正半軸上一點 M（m，0），端點 A、B 到 x 軸距離之積為 2m，)0(m以 x 軸為對稱軸，過 A、O、B 三點作拋物線，則此拋物線方程為（答：） ；22yx定義法定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；如如(1)(1)由動點 P 向圓作兩條切線 PA、PB，切點分別為 A、B，APB=600，則動點221xyP 的軌跡方程為（答：）；224xy（2 2）點 M 與點 F(4,0)的距離比它到直線的距離小于 1，則點 M

18、 的軌跡方程是05xl：_ （答：）；216yx(3)(3) 一動圓與兩圓M：和N：都外切，則動圓圓心的122 yx012822xyx軌跡為（答：雙曲線的一支）；代入轉移法代入轉移法：動點依賴于另一動點的變化而變化，并且又在( , )P x y00(,)Q xy00(,)Q xy某已知曲線上，則可先用的代數(shù)式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程；, x y00,xy00,xy 黃岡立傳智能教育中小學各科功課快速提分輔導方案10如如動點 P 是拋物線上任一點，定點為,點 M 分所成的比為 2，則 M122xy) 1, 0( APA的軌跡方程為_（答：）；3162 xy參數(shù)法參數(shù)法：當動點坐標之

19、間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮( , )P x y將均用一中間變量（參數(shù)）表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程）。, x y如（如（1 1）AB 是圓 O 的直徑，且|AB|=2a，M 為圓上一動點，作 MNAB，垂足為 N，在 OM 上取點，使，求點的軌跡。（答：）；P| |OPMNP22|xya y（2 2）若點在圓上運動，則點的軌跡方程是_（答：),(11yxP122 yx),(1111yxyxQ）；2121(|)2yxx例例 7 已知點100(,)P xy為雙曲線222218xybb（b為正常數(shù)）上任一點，2F為雙曲線的右焦點，過1P作右準線的垂線，垂足為A，連接

20、2F A并延長交y軸于2P求線段1P2P的中點P的軌跡E的方程分析：分析：求軌跡問題有多種方法，如相關點法等，本題注意到點P是線段1P2P的中點，可利用相關點法解：解：由已知得208(3 ,0), (,)3FbAb y，則直線2F A的方程為：03(3 )yyxbb 令0 x 得09yy，即20(0,9)Py設P xy（，），則0000 2952xxyyyy，即0025xxyy代入22002218xybb得：222241825xybb，即P的軌跡E的方程為22221225xybb()xR歸納小結歸納小結：將幾何特征轉化為代數(shù)關系是解析幾何常用方法（六）求參數(shù)范圍問題（六）求參數(shù)范圍問題例例 8

21、 8（2008，福建）橢圓22221xyab(0)ab的一個焦點是(1,0)F，O為坐標 黃岡立傳智能教育中小學各科功課快速提分輔導方案11原點（1）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形，求橢圓的方程；（2）設過點F的直線 l 交橢圓于A、B兩點若直線 l 繞點F任意轉動，恒有222OAOBAB，求a的取值范圍分析：分析：將幾何條件“橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構成正三角形”轉化為代數(shù)等式，解之即得3b，繼而由橢圓參數(shù)之間的關系便可求出a；對于第（2）問，容易知道，當三點,A O B不共線時，222OAOBABcos0AOB 0OA OB 12120 x xy y（設1122(

22、 ,), (,)A x yB xy）由此可得關于 , a b的不等式，再由221ba消去b，就得到關于a的不等式，解之即可解：解：(1)設,M N為短軸的兩個三等分點，因為MNF為正三角形，所以32OFMN，3 2123b，解得3b2214,ab 因此，橢圓方程為22143xy (2) 設1122( ,), (,)A x yB xy()當直線AB與x重合時，2222222,4(1)OAOBaABaa，因此，恒有222OAOBAB()當直線AB不與x軸重合時，設直線AB的方程為1()xmymR ，代入22221xyab ，整理得 22222222()20ab myb myba b，所以 2122

23、222b myyab m ，22212222ba by yab m因為恒有 222OAOBAB，所以AOB恒為鈍角即 11221212( ,) (,)0OA OBx yxyx xy y 恒成立2121212121212(1)(1)(1)() 1x xy ymymyy ymy ym yy 黃岡立傳智能教育中小學各科功課快速提分輔導方案12222222222222(1)()21mba bb mab mab m22222222220m a bba baab m又2220ab m，所以 22222220m a bba ba對mR恒成立，即 2222222m a baba b對mR恒成立，當mR時，22

24、2m a b 最小值為 0，所以22220aba b， 2224(1)ab ab，因為0,0ab，221aba，即210aa ，解得152a或152a(舍去)，即152a，綜合（i）(ii)，a的取值范圍為15(,)2 歸納小結歸納小結：主要考查直線、橢圓和不等式等基本知識，側重考查橢圓與不等式交匯問題，是對多個知識點的綜合考查本題的亮點在第 2 問，實質(zhì)是探究“橢圓中心恒在以焦點弦為直徑的圓內(nèi)”的充分必要條件當三點,A O B不共線時，222OAOBABcos0AOB 12120 x xy y為了得到1212x xy y，需要將過點F的直線l與橢圓的方程聯(lián)立，通過消元，得到一個一元二次方程，

25、再利用韋達定理整體變形，得到1212x xy y用m表示解析式，應用不等式性質(zhì)使問題獲得解決如果選擇“點斜式”的方法給出直線l的方程，則需要按直線l與x軸是否垂直分類討論例例 7 過拋物線2:xyC上兩點M，N的直線l交y軸于點0,Pb（1）若0OM ON （O 為坐標原點） ，求實數(shù)b的取值范圍；（2）若2b，曲線C在點M，N處的切線的交點為Q證明：點Q必在一條定直線上運動分析：分析：結合向量知識及拋物線的知識建立關于b的關系式求b的取值范圍；（2）問結合導數(shù)的知識求切線的方程，求交點Q滿足的關系解：解：（1）設點M，N坐標分別為211( ,)x x，22212(,)()x xxx，則211

26、( ,)OMx x ， 黃岡立傳智能教育中小學各科功課快速提分輔導方案13222(,)ONx x由題意可設直線l方程為bkxy.由2yxykxb，消去y得，20 xkxb，則2121240kbxxkxxb 因為0OM ON ，所以222121xxxxONOM02bb，解得01b所以實數(shù)b的取值范圍為 1 , 0（2）當2b時，由（1）知, 2,2121bxxkxx因為函數(shù)2xy 的導數(shù)為xy2，拋物線在211( ,)M x x，222(,)N x x兩點處切線的斜率分別為12Mkx，22Nkx，所以拋物線在點M，N處的切線方程分別為21112 ()yxx xx和22222()yxx xx，由2

27、1111222222 (),()2()yxx xxxxyxx xx ，解得交點Q的坐標( , )x y滿足1212,2,xxxyxx即,22,kxy 所以點Q在定直線2y 上運動歸納小結歸納小結：（2）中結論的一般化是：過點(0, )b的直線與拋物線22xpy相交于A，B兩點，拋物線在A，B兩點處的切線的交點為Q，則點Q的軌跡是yb （去掉在拋物線內(nèi)部的部分） 黃岡立傳智能教育中小學各科功課快速提分輔導方案14例例 8 8 給定拋物線2:4C yx，F(xiàn)是C的焦點，過F的直線l與C交于A、B兩點，記O為坐標原點（）求OA OB 的值；（）設AFFB ，當三角形OAB的面積2, 5S 時，求的取值范圍分析：分析：結合向量知識和解析幾何知識，設坐標，列出關系式求的取值范圍（1）解解：設11( ,)A x