【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 圓錐曲線小題（精解精析）

1、2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 圓錐曲線小題（精解精析）一、選擇題1(2021年高考全國甲卷理科)已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為()ABCD【答案】A解析：因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵2(2021年高考全國乙卷理科)設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是()ABCD【答案】C解析：設(shè)，由，因為，所以，因為，當，即時，即，符合題意，由可得，即；當，即時，即，化簡得，顯然該不等式不成立故選：C【點睛

2、】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值3(2020年高考數(shù)學(xué)課標卷理科)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=()A2B3C6D9【答案】C【解析】設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得故選：C【點晴】本題主要考查利用拋物線的定義計算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易題4(2020年高考數(shù)學(xué)課標卷理科)設(shè)為坐標原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，則的焦距的最小值為()A4B8C16D32【答案】B解析：雙曲線的漸近線方程是

3、直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當且僅當取等號的焦距的最小值：故選：B【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題5(2020年高考數(shù)學(xué)課標卷理科)設(shè)雙曲線C：(a>0，b>0)左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為P是C上一點，且F1PF2P若PF1F2的面積為4，則a=()A1B2C4D8【答案】A解析：，根據(jù)雙曲線的定義可得，即，即，解得，故選：A【點睛】本題

4、主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用，涉及了勾股定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題6(2020年高考數(shù)學(xué)課標卷理科)設(shè)為坐標原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標為()ABCD【答案】B解析：因為直線與拋物線交于兩點，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標為，故選：B【點睛】該題考查的是有關(guān)圓錐曲線的問題，涉及到的知識點有直線與拋物線的交點，拋物線的對稱性，點在拋物線上的條件，拋物線的焦點坐標，屬于簡單題目7(2019年高考數(shù)學(xué)課標卷理科)雙曲線C：=1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點，若，則PFO的面積為()ABCD【答案

5、】A【解析】由，又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在上，則，故選A【點評】本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)采取公式法，利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題8(2019年高考數(shù)學(xué)課標全國卷理科)設(shè)為雙曲線的右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與圓交于，兩點，若，則的離心率為()ABCD【答案】A【解析】設(shè)與軸交于點，由對稱性可知軸，又， ，為以為直徑的圓的半徑，為圓心，又點在圓上，即，故選A【點評】準確畫圖，由圖形對稱性得出點坐標，代入圓的方程得到與關(guān)系，可求雙曲線的離心率本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避

6、免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來9(2019年高考數(shù)學(xué)課標全國卷理科)若拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，則()ABCD【答案】D【解析】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D【點評】利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關(guān)于的方程，即可解出，或者利用檢驗排除的方法，如時，拋物線焦點為，橢圓焦點為，排除A，同樣可排除B，C，故選D10(2019年高考數(shù)學(xué)課標全國卷理科)已知橢圓的焦點為，過的直線與交于，兩點若，則的方程為()ABCD【答案】B解析：如圖，設(shè)，則，由，可得，所以點為橢圓的

7、上頂點或下頂點在中，由余弦定理可得，所以，即，即，又，所以橢圓方程為11(2018年高考數(shù)學(xué)課標卷（理）)設(shè)是雙曲線的左、右焦點，是坐標原點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則的離心率為()ABCD【答案】C解析：法一：根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)過點作漸近線的垂線，該垂線的方程為，聯(lián)立方程，解得由整理可得即即即，所以，所以，故選C法二：由雙曲線的性質(zhì)易知，所以在中，在中，由余弦定理可得所以，整理可得，即所以，所以，故選C12(2018年高考數(shù)學(xué)課標卷（理）)已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，則的離心率為()ABCD【答案】D解析：因為為等腰三角形，

8、所以，由余弦定理得，所以，而，由已知，得，即，故選D13(2018年高考數(shù)學(xué)課標卷（理）)雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為()ABCD【答案】A解析：因為，所以，所以，漸進線的方程為，故選A14(2018年高考數(shù)學(xué)課標卷（理）)已知雙曲線,為坐標原點，為的右焦點,過的直線與的兩條漸近線的交點分別為若為直角三角形,則()ABCD【答案】B解析：雙曲線的漸近線方程為：，漸近線的夾角為：，不妨設(shè)過的直線為：，則解得;解得：，則，故選B15(2018年高考數(shù)學(xué)課標卷（理）)設(shè)拋物線的焦點為過點且斜率為的直線與交于兩點，則()ABCD【答案】D解析：拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線為：，聯(lián)立直線與拋

9、物線，消去可得：，解得，不妨，則，故選D16(2017年高考數(shù)學(xué)新課標卷理科)已知為拋物線的焦點,過作兩條互相垂直的直線,直線與交于兩點,直線與交于兩點,則的是小值為()ABCD【答案】A 【解析】法一:設(shè),直線方程為 取方程,得 同理直線與拋物線的交點滿足 由拋物線定義可知 當且僅當(或)時,取得等號 法二:設(shè)的傾斜角為,則直線的傾斜角為 根據(jù)焦點弦長公式有: 故選A 法三:設(shè)的傾斜角為,則直線的傾斜角為,而 則,代入拋物線中,可得 設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為,則有 所以 同理可得 所以 故選A 法四:設(shè)點,則 設(shè)直線的方程為 聯(lián)立直線與拋物線方程消去可得 所以,所以 同理 所以(當且僅當時等號成立

10、)小結(jié):本質(zhì)回歸 拋物線的正交弦性質(zhì):已知為拋物線的焦點,過作兩條互相垂直的直線,直線與交于兩點,直線與交于兩點,則的調(diào)和平均數(shù)為定值: 于是本題可以直接利用這個性質(zhì)秒殺 ,所以 橢圓與雙曲線有類似的性質(zhì),于是得到圓錐曲線的正交定值定理 已知圓錐曲線的焦點作兩條互相垂直的直線,直線與交于兩點,直線與交于兩點,則 其中是圓錐曲線的離心率,是焦點到對應(yīng)準線的距離 【考點】拋物線的簡單性質(zhì) 【點評】對于拋物線的焦點弦長問題,要重點抓住拋物線的定義,到定點的距離要想到轉(zhuǎn)化到準線上,另外,直線與拋物線聯(lián)立,求判別式、韋達定理是通法,需要重點掌握考查到最值問題時要能想到用函數(shù)方法進行解決和基本不等式法 1

11、7(2017年高考數(shù)學(xué)課標卷理科)已知橢圓，的左、右頂點分別為，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為()ABCD【答案】A【解析】以線段為直徑的圓的圓心為原點，半徑為，該圓與直線相切所以圓心到直線的距離，整理可得所以，故選A【考點】橢圓的離心率的求解；直線與圓的位置關(guān)系【點評】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見的有兩種方法：求出，代入公式e；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)18(2017年高考數(shù)學(xué)課標卷理科)已知雙曲線的一條漸

12、近線方程為,且與橢圓有公共焦點，則的方程為()ABCD【答案】 B【解析】由漸近線的方程，可設(shè)雙曲線的方程為又橢圓的焦點坐標為所以，且，故所求雙曲線的方程為：，故選B【考點】雙曲線與橢圓共焦點問題；待定系數(shù)法求雙曲線的方程【點評】求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù)及漸近線之間的關(guān)系，求出的值如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出的值即可19(2017年高考數(shù)學(xué)課標卷理科)若雙曲線(，)的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為()A2BCD【答案】 A【命題意圖】

13、主要考查雙曲線的性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系，意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸思想【解析】解法一：常規(guī)解法根據(jù)雙曲線的標準方程可求得漸近線方程為，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可求得圓心到漸進線的距離為， 圓心到漸近線的距離為，即，解得解法二：待定系數(shù)法設(shè)漸進線的方程為，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可求得圓心到漸進線的距離為， 圓心到漸近線的距離為，即，解得；由于漸近線的斜率與離心率關(guān)系為，解得解法三：幾何法從題意可知：，為等邊三角形，所以一條漸近線的傾斜較為由于，可得，漸近線的斜率與離心率關(guān)系為，解得解法四：坐標系轉(zhuǎn)化法根據(jù)圓的直角坐標系方程：，可得極坐標方程，由可得極角，從上圖可知：漸近線的傾斜角與圓的極坐標方程中

14、的極角相等，所以，漸近線的斜率與離心率關(guān)系為，解得解法五：參數(shù)法之直線參數(shù)方程如上圖，根據(jù)雙曲線的標準方程可求得漸近線方程為，可以表示點的坐標為， ， 點的坐標為，代入圓方程中，解得【知識拓展】雙曲線已成為高考必考的圓錐曲線內(nèi)容（理科），一般與三角形直線與圓向量相結(jié)合，屬于中檔偏上的題，但隨著二卷回歸基礎(chǔ)的趨勢，圓錐曲線小題雖然處于中檔題偏上位置，但難度逐年下降20(2016高考數(shù)學(xué)課標卷理科)已知為坐標原點,是橢圓C:的左焦點,分別為的左、右頂點.為上一點,且軸.過點的直線與線段交于點,與軸交于點.若直線經(jīng)過OE的中點,則的離心率為()ABCD【答案】A【解析】由題意,設(shè)直線的方程為,分別令

15、與,得點,由OBECBM,得,即,整理得,所以橢圓的離心率,故選A.21(2016高考數(shù)學(xué)課標卷理科)已知是雙曲線的左，右焦點，點在上，與軸垂直，,則的離心率為()ABCD2【答案】A【解析1】由題可令，則 所以，所以，所以故選【解析2】離心率，由正弦定理得故選A22(2016高考數(shù)學(xué)課標卷理科)以拋物線的頂點為圓心的圓交于兩點，交的準線于兩點已知，則的焦點到準線的距離為()(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】B【解析】以開口向右的拋物線為例來解答，其他開口同理設(shè)拋物線為，設(shè)圓的方程為，題目條件翻譯如圖： 設(shè)，點在拋物線上，點在圓上，點在圓上，聯(lián)立解得：，焦點到準線的距離為 故選B23(2

16、016高考數(shù)學(xué)課標卷理科)已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則的取值范圍是()(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】表示雙曲線，則，由雙曲線性質(zhì)知：，其中是半焦距焦距，解得故選A24(2015高考數(shù)學(xué)新課標2理科)已知為雙曲線的左，右頂點，點在上，為等腰三角形，且頂角為，則的離心率為()ABCD【答案】D解析：設(shè)雙曲線方程為，如圖所示，過點作軸，垂足為，在中，故點的坐標為，代入雙曲線方程得，即，所以，故選D考點：雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)25(2015高考數(shù)學(xué)新課標1理科)已知是雙曲線C：上的一點，是C上的兩個焦點，若，則的取值范圍是()A(-，)B(-，)C(，)D(

17、，)【答案】A解析：由題知，所以= =，解得，故選A考點：雙曲線的標準方程；向量數(shù)量積坐標表示；一元二次不等式解法26(2014高考數(shù)學(xué)課標2理科)設(shè)F為拋物線C:的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于AB兩點，O為坐標原點，則OAB的面積為()ABCD【答案】D解析：由題意可知：直線AB的方程為：，帶入拋物線的方程可得：，設(shè)，則所求三角形的面積為，故選D?？键c：（1）圓錐曲線中的弦長問題；（2）直線與拋物線的位置關(guān)系。難度：C備注：?？碱}27(2014高考數(shù)學(xué)課標1理科)已知拋物線:的焦點為,準線為,是上一點,是直線與的一個交點,若,則=()ABC3D2【答案】C 【解析】:過Q

18、作QM直線L于M, ,又,由拋物線定義知 選C 考點:(1)拋物線的定義(2)直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用 難度:C 備注:高頻考點 28(2014高考數(shù)學(xué)課標1理科)已知是雙曲線:的一個焦點,則點到的一條漸近線的距離為()AB3CD【答案】 A 解析:由:,得, 設(shè),一條漸近線,即,則點到的一條漸近線的距離=,選A 考點:(1)雙曲線的幾何性質(zhì) (2)點到直線的距離公式 (3)函數(shù)與方程的思想 難度:B 備注:高頻考點 29(2013高考數(shù)學(xué)新課標2理科)設(shè)拋物線的焦點為，點在上，若以為直徑的圓過點，則的方程為()A或B或C或D或【答案】C 解析：由題意知：，拋物線的準線方程為，則由拋物線的

19、定義知，設(shè)以為直徑的圓的圓心為，所以圓的方程為，又因為圓過點，所以，又因為點在上，所以，解得或，所以拋物線的方程為或，故選C考點：（1）831求圓的方程；（2）871拋物線的定義及應(yīng)用難度： C備注：高頻考點30(2013高考數(shù)學(xué)新課標1理科)已知橢圓的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于AB兩點。若AB的中點坐標為(1，1)，則E的方程為()ABCD【答案】解析：設(shè)，則=2，=2， -得，=，又=，=，又9=，解得=9，=18，橢圓方程為，故選D考點:（1）882圓錐曲線中的對稱點與點差法難度：備注：高頻考點31(2013高考數(shù)學(xué)新課標1理科)已知雙曲線：()的離心率為，則的漸近線方程

20、為()ABCD【答案】C解析: 由題知，即=，=，=，的漸近線方程為，故選考點: （1）863雙曲線的幾何性質(zhì)難度：備注：高頻考點32(2012高考數(shù)學(xué)新課標理科)等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于兩點，則的實軸長為()ABC4D8【答案】C解析：設(shè)等軸雙曲線 ，則由拋物線得準線與拋物線的準線交于兩點，將A點坐標代入雙曲線方程得考點：（1）863雙曲線的幾何性質(zhì)；（2）863雙曲線的幾何性質(zhì)；（3）823距離公式的應(yīng)用難度:B備注：高頻考點33(2012高考數(shù)學(xué)新課標理科)設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為()ABCD【答案】C

21、 解析：如上圖，是底角為的等腰三角形可得=2c在中，即又，所以將等式兩邊同時除以a，得考點：(1)851橢圓的定義;(2)853橢圓的幾何性質(zhì)難度：A備注：高頻考點二、填空題34(2021年高考全國甲卷理科)已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為_【答案】解析：因為為上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，所以， ，即四邊形面積等于故答案：35(2021年高考全國乙卷理科)已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_【答案】4解析：由漸近線方程化簡得，即，同時平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），故焦距故答案為：4【點睛】本題為基礎(chǔ)題，考

22、查由漸近線求解雙曲線中參數(shù)，焦距，正確計算并聯(lián)立關(guān)系式求解是關(guān)鍵36(2020年高考數(shù)學(xué)課標卷理科)已知F為雙曲線的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸若AB的斜率為3，則C的離心率為_【答案】2【解析】聯(lián)立，解得，所以依題可得，即，變形得，,因此，雙曲線的離心率為故答案為：【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求法，以及雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題37(2019年高考數(shù)學(xué)課標卷理科)設(shè)為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限若為等腰三角形，則的坐標為_【答案】【解析】由已知可得，設(shè)點的坐標為，則，又，解得，解得（舍去），的坐標為法二、在得出，的坐標為法三、由題知，又由焦半

23、徑公式，得，從而得到，的坐標為【點評】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力，很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)38(2019年高考數(shù)學(xué)課標全國卷理科)已知雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線與的兩條漸近線分別交于兩點若，則的離心率為 【答案】2解析：注意到，得到垂直平分，則，由漸近線的對稱性，得，可得，所以，可得離心率39(2018年高考數(shù)學(xué)課標卷（理）)已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于兩點，若，則 【答案】解析：法一：拋物線的焦點坐標為，可設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去并整理可得所以，由點在拋物線上，可得，所以，由，可得，所以所以即所以即，解得故所求直線的斜率法二：拋物線的焦點，準線方程為