第4章離散余弦變換

1、第4章離散余弦變換2022-4-14 1)數(shù)字圖像傅里葉變換的頻譜分布 數(shù)字圖像的二維離散傅里葉變換所得結(jié)果的頻率成分如圖所示，左上角為直流成分，變換結(jié)果的四個(gè)角的周?chē)鷮?duì)應(yīng)于低頻成分，中央部位對(duì)應(yīng)于高頻部分。為了便于觀察譜的分布，使直流成分出現(xiàn)在窗口的中央，可采用圖示的換位方法，根據(jù)傅里葉頻率位移的性質(zhì)，只需要用f(x，y)乘上 因子進(jìn)行傅里葉變換即可實(shí)現(xiàn)，變換后的坐標(biāo)原點(diǎn)移動(dòng)到了窗口中心，圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻。2022-4-14圖圖4.10 二維傅里葉變換的頻譜分布二維傅里葉變換的頻譜分布 NoImage2022-4-14圖4.11 頻率位移示例NoImage2022-4-14

2、圖為二維離散傅里葉變換的頻率位移特性。圍繞坐標(biāo)中心的是低頻，向外是高頻，頻譜由中心向周邊放射，而且各行各列的譜對(duì)中心點(diǎn)是共軛對(duì)稱(chēng)的，利用這個(gè)特性，在數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和傳輸時(shí)，僅存儲(chǔ)和傳輸它們中的一部分，進(jìn)行逆變換恢復(fù)原圖像前，按照對(duì)稱(chēng)性補(bǔ)充另一部分?jǐn)?shù)據(jù)，就可達(dá)到數(shù)據(jù)壓縮的目的。 2）圖像傅里葉變換的統(tǒng)計(jì)分布 （1）傅里葉變換后的零頻分量F（0，0），也稱(chēng)作直流分量，根據(jù)傅里葉變換公式有： 1010),(1)0 , 0(MxNyyxfMNF它反映了原始圖像的平均亮度。 2022-4-14（2）對(duì)大多數(shù)無(wú)明顯顆粒噪音的圖像來(lái)說(shuō)，低頻區(qū)集中了85的能量，這一點(diǎn)成為對(duì)圖像變換壓縮編碼的理論根據(jù)，如變換后僅傳送

3、低頻分量的幅值，對(duì)高頻分量不傳送，反變換前再將它們恢復(fù)為零值，就可以達(dá)到壓縮的目的。（3）圖像灰度變化緩慢的區(qū)域，對(duì)應(yīng)它變換后的低頻分量部分；圖像灰度呈階躍變化的區(qū)域，對(duì)應(yīng)變換后的高頻分量部分。除顆粒噪音外，圖像細(xì)節(jié)的邊緣、輪廓處都是灰度變化突變區(qū)域，它們都具有變換后的高頻分量特征。4.2 4.2 離散余弦變換離散余弦變換l 數(shù)字圖像處理中的正交變換，除了傅里葉變換以外，數(shù)字圖像處理中的正交變換，除了傅里葉變換以外，還經(jīng)常用到離散余弦變換（還經(jīng)常用到離散余弦變換（Discrete Cosine Transform，DCT)。lDCT是與傅里葉變換相關(guān)的一種變換，它類(lèi)似于離散傅是與傅里葉變換相關(guān)

4、的一種變換，它類(lèi)似于離散傅里葉變換里葉變換(Discrete Fourier Transform, DFT)，但是只，但是只使用實(shí)數(shù)。使用實(shí)數(shù)。l離散余弦變換相當(dāng)于一個(gè)長(zhǎng)度大概是它兩倍的離散傅里離散余弦變換相當(dāng)于一個(gè)長(zhǎng)度大概是它兩倍的離散傅里葉變換，這個(gè)離散傅里葉變換是對(duì)一個(gè)實(shí)偶函數(shù)進(jìn)行的葉變換，這個(gè)離散傅里葉變換是對(duì)一個(gè)實(shí)偶函數(shù)進(jìn)行的(因?yàn)橐粋€(gè)實(shí)偶函數(shù)的傅里葉變換仍然是一個(gè)實(shí)偶函數(shù)因?yàn)橐粋€(gè)實(shí)偶函數(shù)的傅里葉變換仍然是一個(gè)實(shí)偶函數(shù))。2022-4-14 4.2 離散余弦變換離散余弦變換l 對(duì)信號(hào)和圖像進(jìn)行有損數(shù)據(jù)壓縮。對(duì)信號(hào)和圖像進(jìn)行有損數(shù)據(jù)壓縮。l 離散余弦變換具有很強(qiáng)的離散余弦變換具有很強(qiáng)的

5、“能量集中能量集中”特性。特性。l 大多數(shù)的自然信號(hào)大多數(shù)的自然信號(hào)(包括聲音和圖像包括聲音和圖像)的能量的能量 都集中在離散余弦變換后的低頻部分。都集中在離散余弦變換后的低頻部分。2022-4-14DCT的步驟的步驟l分塊：在對(duì)輸入圖像進(jìn)行分塊：在對(duì)輸入圖像進(jìn)行DCT前，需要將圖前，需要將圖像分成子塊。像分成子塊。l變換：對(duì)每個(gè)塊的每行進(jìn)行變換：對(duì)每個(gè)塊的每行進(jìn)行DCT變換，然后變換，然后每列進(jìn)行變換。得到的是一個(gè)的變換系數(shù)矩每列進(jìn)行變換。得到的是一個(gè)的變換系數(shù)矩陣。陣。l(0,0)位置的元素就是直流分量，矩陣中的其位置的元素就是直流分量，矩陣中的其他元素根據(jù)其位置，表示不同頻率的交流分他元

6、素根據(jù)其位置，表示不同頻率的交流分量。量。4.2.1 一維離散余弦變換一維離散余弦變換2022-4-14l式中式中 是第是第u個(gè)余弦變換系數(shù)，個(gè)余弦變換系數(shù)，u是廣義頻率變是廣義頻率變量，量， ； 是時(shí)域是時(shí)域N點(diǎn)序點(diǎn)序列，列， ；兩式構(gòu)成了一維離散余弦變；兩式構(gòu)成了一維離散余弦變換對(duì)。換對(duì)。2022-4-14)(uF1,.2 , 1Nu)(xf1,.,2 , 1 , 0Nx4.2.1 一維離散余弦變換一維離散余弦變換 4.2.2 二維離散余弦變換二維離散余弦變換2022-4-14 4.2.2 二維離散余弦變換二維離散余弦變換2022-4-144.2.3 離散余弦變換的矩陣表示離散余弦變換的矩

7、陣表示l 二維離散余弦變換具有系數(shù)為實(shí)數(shù)，正變換與逆變二維離散余弦變換具有系數(shù)為實(shí)數(shù)，正變換與逆變換的核相同的特點(diǎn)。離散余弦變換是一種正交變換。換的核相同的特點(diǎn)。離散余弦變換是一種正交變換。為了分析計(jì)算方便，還可以用矩陣的形式來(lái)表示。為了分析計(jì)算方便，還可以用矩陣的形式來(lái)表示。l 設(shè)設(shè)f為一個(gè)為一個(gè)N點(diǎn)的離散信號(hào)序列，可以用一個(gè)點(diǎn)的離散信號(hào)序列，可以用一個(gè) 的的列向量表示，列向量表示，F(xiàn)為頻域中一個(gè)為頻域中一個(gè) 的列向量。的列向量。 的矩陣的矩陣C為離散余弦變換矩陣，一維離散余弦變換表示為為離散余弦變換矩陣，一維離散余弦變換表示為2022-4-141N1NNN l二維離散余弦變換為二維離散余弦變換為l正變換正變換2022-4-142022-4-144.2.3 離散余弦變換的矩陣表示離散余弦變換的矩陣表示2022-4-144.2.3 離散余弦變換的矩陣表示離散余弦變換的矩陣表示2022-4-144.2.3 離散余弦變換的矩陣表示離散余弦變換的矩陣表示l結(jié)果分析：結(jié)果分析：l 離散余弦變換具有信息強(qiáng)度集中的特點(diǎn)。圖像進(jìn)行離散余弦變換具有信息強(qiáng)度集中的特點(diǎn)。圖像進(jìn)行DCT變換后，在頻域中矩陣左上角低頻的幅值大而右下變換后，在頻域中矩陣左上角低頻的幅值大而右下角高頻幅值小，經(jīng)過(guò)量化處理后產(chǎn)生大量的