第六章 流體運(yùn)動(dòng)微分方程

1、1 6 流體流動(dòng)微分方程 基本內(nèi)容基本內(nèi)容：l掌握連續(xù)性方程及其推導(dǎo)掌握連續(xù)性方程及其推導(dǎo)l熟悉熟悉Navier-Stokes方程方程l了解了解Euler方程方程 2 優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)定常流動(dòng)，當(dāng)已知控制面上流在于對(duì)定常流動(dòng)，當(dāng)已知控制面上流動(dòng)的有關(guān)信息后，就能求出總力的分量和平均動(dòng)的有關(guān)信息后，就能求出總力的分量和平均速度，而不必深究控制體內(nèi)各處流動(dòng)的詳細(xì)情速度，而不必深究控制體內(nèi)各處流動(dòng)的詳細(xì)情況，給一些工程問(wèn)題的求解帶來(lái)方便。況，給一些工程問(wèn)題的求解帶來(lái)方便。 缺點(diǎn)不能得到控制體內(nèi)各處流動(dòng)的細(xì)節(jié)，不能得到控制體內(nèi)各處流動(dòng)的細(xì)節(jié)，而這對(duì)深入研究流體運(yùn)動(dòng)是非常重要的。而這對(duì)深入研究流體運(yùn)動(dòng)是非常重

2、要的。 這一章中我們將推導(dǎo)微分形式的守恒方程。3 流體流動(dòng)微分方程包括流體流動(dòng)微分方程包括:l連續(xù)性方程連續(xù)性方程l運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程 連續(xù)性方程連續(xù)性方程是流體是流體質(zhì)量守恒質(zhì)量守恒的數(shù)學(xué)描述。的數(shù)學(xué)描述。 運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程是流體是流體動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒的數(shù)學(xué)描述。的數(shù)學(xué)描述。二者都是基于流場(chǎng)中的點(diǎn)建立的微分方程。二者都是基于流場(chǎng)中的點(diǎn)建立的微分方程。46.1 6.1 連續(xù)性方程連續(xù)性方程zyxvzdzzvvzz)(vydyyvvyy)(vxdxx)v(vxx 連續(xù)性方程反映流動(dòng)過(guò)程遵循質(zhì)量守恒。連續(xù)性方程反映流動(dòng)過(guò)程遵循質(zhì)量守恒?，F(xiàn)取微元體如圖。現(xiàn)取微元體如圖。5dxdyvdxdzvdydzv

3、zyx輸出微元體的質(zhì)量流量為輸出微元體的質(zhì)量流量為：dxdydzzvvdxdzdyyvvdydzdxxvvzzyyxx)()()(輸入微元體的質(zhì)量流量輸入微元體的質(zhì)量流量：zyxvzdzzvvzz)(vydyyvvyy)(vxdxx)v(vxx6則輸出與輸入之差為則輸出與輸入之差為：dxdydzzvyvxvzyx)()()(微元體內(nèi)質(zhì)量變化率為微元體內(nèi)質(zhì)量變化率為：dxdydzt7根據(jù)質(zhì)量守恒原理有根據(jù)質(zhì)量守恒原理有：0)()()(tzvyvxvzyx或或0)(tv該式即為直角坐標(biāo)系下的該式即為直角坐標(biāo)系下的連續(xù)性方程連續(xù)性方程。該方程適用于層流和湍流、牛頓和非牛頓流體。該方程適用于層流和湍流

4、、牛頓和非牛頓流體。8 對(duì)對(duì)不可壓縮流體不可壓縮流體，=常數(shù)，有常數(shù)，有/t=0，則，則連續(xù)性方程為連續(xù)性方程為0v不可壓縮流體的連續(xù)性方程形式簡(jiǎn)單，應(yīng)用廣不可壓縮流體的連續(xù)性方程形式簡(jiǎn)單，應(yīng)用廣泛。泛。 0)(tv9在直角坐標(biāo)系中可表示為在直角坐標(biāo)系中可表示為0zvyvxvzyx對(duì)平面流動(dòng)對(duì)平面流動(dòng)0yvxvyx( (柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)下的連續(xù)性方程自學(xué)。柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)下的連續(xù)性方程自學(xué)。) )10例題例題：不可壓縮流體的二維平面流動(dòng)，：不可壓縮流體的二維平面流動(dòng)，y方向方向的速度分量為的速度分量為xyyvy2試求試求x方向的速度分量，假定方向的速度分量，假定x=0時(shí)，時(shí)，vx=0。11解：不可

5、壓縮流體的平面運(yùn)動(dòng)滿足連續(xù)性方程解：不可壓縮流體的平面運(yùn)動(dòng)滿足連續(xù)性方程0yvxvyx由已知條件得由已知條件得012yxvx積分得積分得)()21 (yfxyvxvy=y2-y-x12根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件x=0時(shí)時(shí)vx=0代入上式得代入上式得)(0)21 (0yfy故有故有0)(yf所以所以xyxxyvx2)21 (13例題例題：不可壓縮流體的速度分布為：不可壓縮流體的速度分布為 u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0若此流場(chǎng)滿足連續(xù)性方程和無(wú)旋條件，試求若此流場(chǎng)滿足連續(xù)性方程和無(wú)旋條件，試求A，B，C，D所滿足的條件。不計(jì)重力影響。所滿足的條件。不計(jì)重力影響。14解：由連續(xù)方程可知解

6、：由連續(xù)方程可知0yvxu則有則有0 DA又由于流動(dòng)無(wú)旋，則有又由于流動(dòng)無(wú)旋，則有xvyu則有則有0CBu=Ax+By, v=Cx+Dy, w=015練習(xí)：練習(xí)：有一個(gè)三維不可壓流場(chǎng)，已知其有一個(gè)三維不可壓流場(chǎng)，已知其x向和向和y向的分向的分速度為速度為)(322zxyzxyvzyxvyx求其求其z向的分速度的表達(dá)式。當(dāng)向的分速度的表達(dá)式。當(dāng)x=0，z=0時(shí)，時(shí)，vz=2y。2y2zv2zzx答案：166.26.2不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)微分方程 在運(yùn)動(dòng)著的不可壓縮粘性流體中取微元平在運(yùn)動(dòng)著的不可壓縮粘性流體中取微元平行六面體流體微團(tuán)，作用在流體微元上的各法行六面體流體

7、微團(tuán)，作用在流體微元上的各法向應(yīng)力和切向應(yīng)力如圖所示。向應(yīng)力和切向應(yīng)力如圖所示。17zyxxx xy xzyy yx yz zyzz zxfxfzfy xy xy+xdx xz xz+xdxxxxx+xdx zy zy+zdz zx zx+zdzzzzz+zdzdzdydx yx yx+ydy yz yz+ydyyyyy+ydy18 對(duì)流體微團(tuán)應(yīng)用牛頓第二定律，則沿對(duì)流體微團(tuán)應(yīng)用牛頓第二定律，則沿x軸軸方向的運(yùn)動(dòng)微分方程為方向的運(yùn)動(dòng)微分方程為DtDvdxdydzdxdydzzdxdydzdxdyydzdxdydzdxxdydzdxdydzfxzxzxzxyxyxyxxxxxxxx)()()(1

8、9化簡(jiǎn)后得化簡(jiǎn)后得DtDv)zyx(1fxzxyxxxx同理得同理得DtDv)yxz(1fDtDv)xzy(1fzyzxzzzzyxyzyyyy以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程20將切應(yīng)力和法向應(yīng)力的關(guān)系式將切應(yīng)力和法向應(yīng)力的關(guān)系式zvpxvzvyvpzvyvxvpxvyvzzzzxzxyyyyzyzxxxyxxy2)(2)(2)(代入上式的第一式并整理得：代入上式的第一式并整理得：21)(1)(1)(1222222222222222222zvyvxvzpfDtDvzvyvxvypfDtDvzvyvxvxpfDtDvzzzzzyyyyyxxxxx同同理理得得不可壓縮粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程，也不可壓縮粘性流

9、體的運(yùn)動(dòng)微分方程，也叫叫Navier-Stokes方程，簡(jiǎn)稱方程，簡(jiǎn)稱N-S方程。方程。vvtvDtvD)(其中其中22 法國(guó)工程師和物理學(xué)家。特別對(duì)力學(xué)法國(guó)工程師和物理學(xué)家。特別對(duì)力學(xué)理論有很大貢獻(xiàn)。流體力學(xué)中的理論有很大貢獻(xiàn)。流體力學(xué)中的納維爾納維爾. .斯斯托克斯（托克斯（NavierNavier-Stokes-Stokes）方程）方程就用他和斯托克就用他和斯托克斯的名字命名的。他首次建立了可以用于工程實(shí)斯的名字命名的。他首次建立了可以用于工程實(shí)際的際的彈性理論的數(shù)學(xué)表達(dá)式彈性理論的數(shù)學(xué)表達(dá)式。1826年，他提出年，他提出彈彈性模量性模量概念。納維爾通常被認(rèn)為是概念。納維爾通常被認(rèn)為是現(xiàn)

10、代結(jié)構(gòu)分析現(xiàn)代結(jié)構(gòu)分析的奠基人的奠基人。納維爾的最大貢獻(xiàn)當(dāng)然還是。納維爾的最大貢獻(xiàn)當(dāng)然還是N-S方程，方程，流體力學(xué)的基本方程。流體力學(xué)的基本方程。 23 英國(guó)力學(xué)家、數(shù)學(xué)家。英國(guó)力學(xué)家、數(shù)學(xué)家。18451845年斯托克斯在年斯托克斯在論運(yùn)動(dòng)中流體的內(nèi)摩擦理論和彈性體平衡和論運(yùn)動(dòng)中流體的內(nèi)摩擦理論和彈性體平衡和運(yùn)動(dòng)的理論運(yùn)動(dòng)的理論中給出粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本方程中給出粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本方程組，后稱組，后稱納維納維- -斯托克斯方程斯托克斯方程，流體力學(xué)中最，流體力學(xué)中最基本的方程組?；镜姆匠探M。 斯托克斯在數(shù)學(xué)方面以場(chǎng)論中關(guān)于線積分和面積分之斯托克斯在數(shù)學(xué)方面以場(chǎng)論中關(guān)于線積分和面積分之間的一個(gè)

11、轉(zhuǎn)換公式（斯托克斯公式）而聞名。間的一個(gè)轉(zhuǎn)換公式（斯托克斯公式）而聞名。 納維納維從分子假設(shè)出發(fā)，將歐拉流體運(yùn)動(dòng)方程推廣，從分子假設(shè)出發(fā)，將歐拉流體運(yùn)動(dòng)方程推廣，18211821年獲得粘年獲得粘性流體運(yùn)動(dòng)方程。性流體運(yùn)動(dòng)方程。18451845年年斯托克斯斯托克斯從連續(xù)系統(tǒng)的力學(xué)模型和牛頓關(guān)于從連續(xù)系統(tǒng)的力學(xué)模型和牛頓關(guān)于粘性流體的規(guī)律出發(fā)，給出粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本方程組，后稱納維粘性流體的規(guī)律出發(fā)，給出粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本方程組，后稱納維- -斯托克斯方程。斯托克斯方程。 24N-S方程方程理想流體理想流體=0=0理想流體理想流體歐拉運(yùn)動(dòng)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程微分方程 定常流動(dòng)定常流動(dòng)歐拉歐拉平衡平衡微

12、分方程微分方程25 萊昂哈德萊昂哈德歐拉歐拉 （Leonhard Euler） 17071783 瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。他被稱為歷史上最偉大的瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家。他被稱為歷史上最偉大的兩位數(shù)學(xué)家之一兩位數(shù)學(xué)家之一。歐拉是第一個(gè)使用歐拉是第一個(gè)使用“函數(shù)函數(shù)”一詞來(lái)描述包含各種參數(shù)一詞來(lái)描述包含各種參數(shù)的表達(dá)式的人，例如：的表達(dá)式的人，例如：y = F(x) (函數(shù)的定義由萊布尼函數(shù)的定義由萊布尼茲在茲在1694年給出年給出)。他是把微積分應(yīng)用于物理學(xué)的先驅(qū)。他是把微積分應(yīng)用于物理學(xué)的先驅(qū)者之一。者之一。歐拉在微積分、微分方程、幾何、數(shù)論、變歐拉在微積分、微分方程、幾何、數(shù)論、變分學(xué)等領(lǐng)域均做

13、出了巨大貢獻(xiàn)。分學(xué)等領(lǐng)域均做出了巨大貢獻(xiàn)。 26vpfvvtv21)(非定常項(xiàng)非定常項(xiàng) 對(duì)流項(xiàng)對(duì)流項(xiàng)單位質(zhì)量流體的體積力單位質(zhì)量流體的體積力單位質(zhì)量流體的壓力差單位質(zhì)量流體的壓力差擴(kuò)散項(xiàng)或粘性力項(xiàng)擴(kuò)散項(xiàng)或粘性力項(xiàng)N-S方程的矢量形式為方程的矢量形式為各項(xiàng)意義為：各項(xiàng)意義為：27 由于引入了廣義牛頓剪切定律，故由于引入了廣義牛頓剪切定律，故N-S方方程只適用于牛頓流體程只適用于牛頓流體，處理非牛頓流體問(wèn)題處理非牛頓流體問(wèn)題時(shí)可用以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程。時(shí)可用以應(yīng)力表示的運(yùn)動(dòng)方程。 NavierNavier-Stokes-Stokes方程是不可壓流體理論中最根本的非線性偏微分方程組，是描述不可壓縮粘

14、性流體運(yùn)動(dòng)最完整的方程，是現(xiàn)代流體力學(xué)的主干方程 。286.36.3基本微分方程組的定解條件基本微分方程組的定解條件 N-SN-S方程有四個(gè)未知數(shù)，方程有四個(gè)未知數(shù)，vx、vy、vz和和p，將，將N-SN-S方方程和不可壓縮流體的連續(xù)性方程聯(lián)立，理論上可通過(guò)程和不可壓縮流體的連續(xù)性方程聯(lián)立，理論上可通過(guò)積分求解，得到四個(gè)未知量。一般而言，通過(guò)積分得積分求解，得到四個(gè)未知量。一般而言，通過(guò)積分得到的是微分方程的通解，再結(jié)合基本微分方程組的定到的是微分方程的通解，再結(jié)合基本微分方程組的定解條件，即初始條件和邊界條件，確定積分常數(shù)，才解條件，即初始條件和邊界條件，確定積分常數(shù)，才能得到具體流動(dòng)問(wèn)題的

15、特解。能得到具體流動(dòng)問(wèn)題的特解。vpfvvtv21)(291.1.初始條件初始條件 對(duì)非定常流動(dòng)，要求給定變量初始時(shí)刻對(duì)非定常流動(dòng)，要求給定變量初始時(shí)刻t=tt=t0 0的空間分布的空間分布),(),(),(),(0000zyxppzyxvvzyxvvzyxvvzzyyxx顯然，對(duì)于定顯然，對(duì)于定常流動(dòng)，不需常流動(dòng)，不需要初始條件。要初始條件。302.2.邊界條件邊界條件 所謂邊界條件，是包圍流場(chǎng)每一條邊界上的流場(chǎng)所謂邊界條件，是包圍流場(chǎng)每一條邊界上的流場(chǎng)數(shù)值。不同種類的流動(dòng)，邊界條件也不相同。流體流數(shù)值。不同種類的流動(dòng)，邊界條件也不相同。流體流動(dòng)分析中最常遇到的三類邊界條件如下：動(dòng)分析中最常

16、遇到的三類邊界條件如下：（1）固體壁面）固體壁面 粘性流體與一不滲透的，無(wú)滑移的固體壁面相接粘性流體與一不滲透的，無(wú)滑移的固體壁面相接觸，在貼壁處，流體速度觸，在貼壁處，流體速度wvv 若流體與物面處于熱平衡態(tài)，則在物面上必須保持溫若流體與物面處于熱平衡態(tài)，則在物面上必須保持溫度連續(xù)度連續(xù)wTT 31（2）進(jìn)口與出口）進(jìn)口與出口 流動(dòng)的進(jìn)口與出口截面上的速度與壓強(qiáng)的分布通流動(dòng)的進(jìn)口與出口截面上的速度與壓強(qiáng)的分布通常也是需要知道的，如管流。常也是需要知道的，如管流。（3）液體）液體-氣體交界面氣體交界面 液體液體-氣體交界面的邊界條件主要有兩個(gè)：氣體交界面的邊界條件主要有兩個(gè)： 運(yùn)動(dòng)學(xué)條件運(yùn)動(dòng)學(xué)

17、條件，即通過(guò)交界面的法向速度應(yīng)相等。，即通過(guò)交界面的法向速度應(yīng)相等。 壓強(qiáng)平衡條件壓強(qiáng)平衡條件，即液體的壓強(qiáng)必須與大氣壓和表，即液體的壓強(qiáng)必須與大氣壓和表面張力相平衡。面張力相平衡。32 根據(jù)這些初始條件和邊界條件，我們可對(duì)根據(jù)這些初始條件和邊界條件，我們可對(duì)基本微分方程組積分，并確定積分常數(shù)，得到基本微分方程組積分，并確定積分常數(shù)，得到符合實(shí)際流動(dòng)的求解結(jié)果。符合實(shí)際流動(dòng)的求解結(jié)果。 但實(shí)際上，只有極少數(shù)的問(wèn)題可求出理論但實(shí)際上，只有極少數(shù)的問(wèn)題可求出理論解，解，通常采用數(shù)值解法通常采用數(shù)值解法。33例題例題：不可壓縮粘性流體在距離為：不可壓縮粘性流體在距離為b的兩個(gè)大水的兩個(gè)大水平板間作定

18、常層流流動(dòng)，假定流體沿流動(dòng)方向平板間作定常層流流動(dòng)，假定流體沿流動(dòng)方向的壓強(qiáng)降已知，求的壓強(qiáng)降已知，求: （1 1）兩板固定不動(dòng)兩板固定不動(dòng);（2 2）下板固定上板以等速下板固定上板以等速U沿流動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)；沿流動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)；兩板間流體運(yùn)動(dòng)的速度分布。兩板間流體運(yùn)動(dòng)的速度分布。流向流向yxb34解：由于流體水平運(yùn)動(dòng)，則有解：由于流體水平運(yùn)動(dòng)，則有0,0zyxfgff由于流動(dòng)是一維的，有由于流動(dòng)是一維的，有vy=vz=0；由于流動(dòng)是定常的，有由于流動(dòng)是定常的，有0tvtvtvzyx35)(1)(1)(1222222222222222222zvyvxvzpfDtDvzvyvxvypfDtDvzvyvxvxpfDtDvzzzzzyyyyyxxxxxvvtvDtvD)(水平流動(dòng)、一維、穩(wěn)態(tài)流動(dòng)水平流動(dòng)、一維、穩(wěn)態(tài)流動(dòng)36所以所以N-S方程可簡(jiǎn)化為方程可簡(jiǎn)化為)2() 1 ()(12222ypgyvxvxpxvvxxxx由連續(xù)方程可得由連續(xù)方程可得)3(0 xvx37將式將式(3)代入式代入式(1)得得)4(22dyvdxpx思考題：為什么上式右端偏導(dǎo)數(shù)改寫(xiě)成全導(dǎo)數(shù)？思考題：為什么上式右端偏導(dǎo)數(shù)改寫(xiě)成全導(dǎo)數(shù)？對(duì)上