空間幾何何的表面積與體積學(xué)習(xí)教案

1、空間空間(kngjin)幾何何的表面積與體積幾何何的表面積與體積第一頁，共77頁。多面體是由一些平面多邊形圍成的幾何體，多面體是由一些平面多邊形圍成的幾何體，沿著多面體的某些棱將它剪開，各個(gè)沿著多面體的某些棱將它剪開，各個(gè)(gg)面就可展開在一個(gè)平面內(nèi)，得到一個(gè)平面面就可展開在一個(gè)平面內(nèi)，得到一個(gè)平面圖形圖形,這個(gè)平面圖形叫做該多面體的平面展這個(gè)平面圖形叫做該多面體的平面展開圖開圖.第1頁/共77頁第二頁，共77頁。 棱柱、棱錐棱柱、棱錐(lngzhu)、棱臺(tái)都是由多個(gè)、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計(jì)算它們的表面積？如何

2、計(jì)算它們的表面積？第2頁/共77頁第三頁，共77頁。右圖是直六棱右圖是直六棱柱的側(cè)面柱的側(cè)面(cmin)展開圖。展開圖。正六棱柱的側(cè)面展開圖是什么正六棱柱的側(cè)面展開圖是什么(shn me)(shn me)？如何？如何計(jì)算它的表面積？計(jì)算它的表面積？第3頁/共77頁第四頁，共77頁。正棱柱正棱柱(lngzh)的的側(cè)面展開圖側(cè)面展開圖ha第4頁/共77頁第五頁，共77頁。側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱.把直棱柱的側(cè)面沿一條側(cè)棱剪開后展在一個(gè)(y )平面上,展開圖的面積就是棱柱的側(cè)面面積.chSch直棱柱側(cè)第5頁/共77頁第六頁，共77頁。S直棱柱直棱柱(lngzh)側(cè)面積側(cè)面積 =ch即直棱柱的側(cè)

3、面積等于即直棱柱的側(cè)面積等于(dngy)它的它的底面周長(zhǎng)和高的乘積。底面周長(zhǎng)和高的乘積。設(shè)棱柱的高為設(shè)棱柱的高為h h，底面多邊形的周長(zhǎng)為，底面多邊形的周長(zhǎng)為c c，則得到直棱柱的側(cè)面則得到直棱柱的側(cè)面(cmin)(cmin)面積計(jì)面積計(jì)算公式：算公式：直棱柱的表面積 棱柱的表面積或全面積等于側(cè)面積與棱柱的表面積或全面積等于側(cè)面積與底面積的和。底面積的和。*第6頁/共77頁第七頁，共77頁。正棱錐(lngzhu)的展開圖右圖是正三棱錐右圖是正三棱錐的展開圖。的展開圖。正棱錐的側(cè)面展正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等開圖是一些全等的等腰三角形，的等腰三角形，底面是正多邊形，底面是正多邊形，如果設(shè)它的底

4、面如果設(shè)它的底面邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為a a，底面周，底面周長(zhǎng)長(zhǎng)(zhu chn(zhu chn) )為為c c，斜高為，斜高為h h 。第7頁/共77頁第八頁，共77頁。如果如果(rgu)(rgu)一個(gè)棱錐的底面是正多形一個(gè)棱錐的底面是正多形, ,并且頂點(diǎn)在并且頂點(diǎn)在底面的正投影是底面的中心叫做正棱錐底面的正投影是底面的中心叫做正棱錐. .正棱錐的側(cè)正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)相等棱長(zhǎng)相等, ,與底面所成的角也相等與底面所成的角也相等, ,側(cè)面與底面所成的側(cè)面與底面所成的角也相等角也相等. .hhc12Sch正棱錐側(cè)面積第8頁/共77頁第九頁，共77頁。正棱錐正棱錐(lngzhu)的的表面積表面積即正棱錐的側(cè)面積等

5、于它的底面周長(zhǎng)即正棱錐的側(cè)面積等于它的底面周長(zhǎng)和斜高乘積和斜高乘積(chngj)(chngj)的一半。的一半。 棱錐的表面積棱錐的表面積(min j)(min j)或全面積或全面積(min j)(min j)等于側(cè)面積等于側(cè)面積(min j)(min j)與底面積與底面積(min j)(min j)的和。的和。正正n n棱錐的側(cè)面積計(jì)算公式：棱錐的側(cè)面積計(jì)算公式：S S正棱錐側(cè)正棱錐側(cè) =1/2=1/2nah=1/2=1/2ch* *第9頁/共77頁第十頁，共77頁。正棱臺(tái)正棱臺(tái)(lngti)(lngti)的展的展開圖開圖右圖是正四棱右圖是正四棱臺(tái)臺(tái)(lngti)(lngti)的展開圖，棱的展

6、開圖，棱臺(tái)臺(tái)(lngti)(lngti)的展開圖是由的展開圖是由棱臺(tái)棱臺(tái)(lngti)(lngti)的的各個(gè)側(cè)面和上各個(gè)側(cè)面和上下底組成的。下底組成的。 第10頁/共77頁第十一頁，共77頁。正棱錐被平行于底面的平面所截正棱錐被平行于底面的平面所截, ,截面和底面之間的部截面和底面之間的部分叫做正棱臺(tái)分叫做正棱臺(tái). .設(shè)棱臺(tái)的上下設(shè)棱臺(tái)的上下(shngxi)(shngxi)底面的周長(zhǎng)底面的周長(zhǎng)分別為分別為c,c/.c,c/.斜面為斜面為h/.h/.h1hcc12Scc h正棱臺(tái)側(cè)第11頁/共77頁第十二頁，共77頁。正正n n棱臺(tái)的側(cè)面棱臺(tái)的側(cè)面(cmin)(cmin)展開圖是展開圖是n n個(gè)

7、全個(gè)全等的等腰梯形，設(shè)棱臺(tái)下底面邊長(zhǎng)為等的等腰梯形，設(shè)棱臺(tái)下底面邊長(zhǎng)為a a、周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為c c ， 上底面邊長(zhǎng)為上底面邊長(zhǎng)為a a、周長(zhǎng)為、周長(zhǎng)為c c，斜高為，斜高為h h，可以得出正，可以得出正n n棱臺(tái)的側(cè)棱臺(tái)的側(cè)面面(cmin)(cmin)積公式：積公式：正棱臺(tái)側(cè)面積(min j)分析S S正棱臺(tái)正棱臺(tái)(lngti)(lngti)側(cè)側(cè)=n=n1/2(1/2(+ +) )=1/2(=1/2(+ +) )=1/2(=1/2(+ +) )第12頁/共77頁第十三頁，共77頁。正棱臺(tái)(lngti)的表面積 S正棱臺(tái)(lngti)側(cè)=1/2(+) =1/2(+) 這一結(jié)果也可以用求兩個(gè)正棱錐面

8、積之差的這一結(jié)果也可以用求兩個(gè)正棱錐面積之差的方法方法(fngf)(fngf)得出。得出。S S正棱臺(tái)側(cè)正棱臺(tái)側(cè)= S= S大棱錐大棱錐側(cè)側(cè) S S小棱錐側(cè)小棱錐側(cè)棱臺(tái)的表面積或全面積等于側(cè)面積與底面積的棱臺(tái)的表面積或全面積等于側(cè)面積與底面積的和。和。 *第13頁/共77頁第十四頁，共77頁。第14頁/共77頁第十五頁，共77頁。正棱柱正棱柱, ,正棱錐和正棱臺(tái)正棱錐和正棱臺(tái)(lngti)(lngti)的側(cè)面積公式之間的關(guān)系為的側(cè)面積公式之間的關(guān)系為: :正棱臺(tái)側(cè)面積正棱臺(tái)側(cè)面積正棱柱側(cè)面積正棱柱側(cè)面積正棱錐側(cè)面積正棱錐側(cè)面積12Scc h正棱臺(tái)側(cè)Sch正棱柱側(cè)12Schcc 0c 第15頁/

9、共77頁第十六頁，共77頁。例例1 已知棱長(zhǎng)為已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面體，各面均為等邊三角形的四面體S-ABC，求它的表面積求它的表面積 D分析：四面體的展開圖是由四個(gè)全等的正三角形分析：四面體的展開圖是由四個(gè)全等的正三角形(zhn sn jio xn)組成組成,因此只要求因此只要求.因?yàn)橐驗(yàn)镾B=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此因此(ync)，四面體，四面體S-ABC 的表面積的表面積 交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)D解：先求解：先求 的面積，過點(diǎn)的面積，過點(diǎn)S作作SBCBCSD BCASa第16頁/共77頁第十七頁，共77頁。想一想想一

10、想如何計(jì)算圓柱、圓錐、圓臺(tái)如何計(jì)算圓柱、圓錐、圓臺(tái)(yunti)側(cè)面積側(cè)面積公式。公式。第17頁/共77頁第十八頁，共77頁。OOr)(2222lrrrlrS圓柱表面積lr2圓柱圓柱(yunzh)的側(cè)面展開的側(cè)面展開圖是矩形圖是矩形第18頁/共77頁第十九頁，共77頁。圓錐的側(cè)面展開圓錐的側(cè)面展開(zhn ki)圖是扇形圖是扇形)(2lrrrlrS圓錐表面積r2lOr第19頁/共77頁第二十頁，共77頁。 參照?qǐng)A柱參照?qǐng)A柱(yunzh)和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么 )(22rllrrrS圓臺(tái)表面積r2lOrO r2 r圓臺(tái)的側(cè)

11、面圓臺(tái)的側(cè)面(cmin)展開圖展開圖是扇環(huán)是扇環(huán)第20頁/共77頁第二十一頁，共77頁。lOrO rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS錐)(22rllrrrS臺(tái) 圓柱圓柱(yunzh)(yunzh)、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？這種關(guān)系是巧合還是存在必然聯(lián)系？之間有什么關(guān)系？這種關(guān)系是巧合還是存在必然聯(lián)系？rrr0第21頁/共77頁第二十二頁，共77頁。例例2 2 如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑20 cm20 cm，盆底直，盆底直徑為徑為15cm15cm，底部滲水圓孔直徑為，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm1.5 cm，

12、盆壁長(zhǎng)，盆壁長(zhǎng)15cm15cm那么花盆的表面積約是多少平方厘米（那么花盆的表面積約是多少平方厘米（ 取取3.143.14，結(jié)果精確到，結(jié)果精確到1 1 ）？）？2cmcm15cm20cm15解：由圓臺(tái)的表面積公式解：由圓臺(tái)的表面積公式(gngsh)(gngsh)得得 花盆的表面積：花盆的表面積：2225 . 11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面積約是答：花盆的表面積約是999 999 2cm第22頁/共77頁第二十三頁，共77頁。1、幾何體的側(cè)面積就是它們的側(cè)面展開圖的面積、幾何體的側(cè)面積就是它們的側(cè)面展開圖的面積,因此要因此要看清楚側(cè)面展開圖的形狀及側(cè)面展開圖中各線段

13、與原旋轉(zhuǎn)看清楚側(cè)面展開圖的形狀及側(cè)面展開圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系體的關(guān)系,是掌握它們的側(cè)面積公式及解有關(guān)問題是掌握它們的側(cè)面積公式及解有關(guān)問題(wnt)的關(guān)鍵。的關(guān)鍵。知識(shí)知識(shí)(zh shi)小結(jié)小結(jié)2、對(duì)于圓臺(tái)的問題、對(duì)于圓臺(tái)的問題(wnt),重現(xiàn)重現(xiàn)“還臺(tái)為錐還臺(tái)為錐”的想的想方法。方法。3、軸截面聯(lián)系著母線、底面半徑、高等主要元素，因此軸截面聯(lián)系著母線、底面半徑、高等主要元素，因此處理好軸截面中邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵之一。處理好軸截面中邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵之一。.一般的棱柱一般的棱柱,棱錐和棱臺(tái)的側(cè)面積，按定義計(jì)算，即棱錐和棱臺(tái)的側(cè)面積，按定義計(jì)算，即側(cè)面積側(cè)面積等于等于各個(gè)側(cè)面的面積之

14、和各個(gè)側(cè)面的面積之和第23頁/共77頁第二十四頁，共77頁。1.1.設(shè)計(jì)一個(gè)正四棱錐形冷水塔塔頂設(shè)計(jì)一個(gè)正四棱錐形冷水塔塔頂, ,高是高是0.85m0.85m底面的邊是底面的邊是1.5m,1.5m,制造制造(zhzo)(zhzo)這種塔頂需要多少平方米這種塔頂需要多少平方米? ?CBASD第24頁/共77頁第二十五頁，共77頁。2.2.圓錐的底面直徑圓錐的底面直徑(zhjng)(zhjng)為為5cm,5cm,母線長(zhǎng)母線長(zhǎng)為為10cm,10cm,如圖如圖, ,一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā), ,圍繞圓錐表圍繞圓錐表面走一圈回到原位面走一圈回到原位, ,它至少要走多遠(yuǎn)它至少要走多遠(yuǎn)? ?A第2

15、5頁/共77頁第二十六頁，共77頁。蜜蜂蜜蜂(mfng)爬行的最短路線問題爬行的最短路線問題.易拉罐的易拉罐的底面直徑底面直徑(zhjng)為為8cm,高高25cm.分析分析: 可以把圓柱沿開始時(shí)蜜蜂所在位置的母線展開可以把圓柱沿開始時(shí)蜜蜂所在位置的母線展開(zhn ki),將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問題將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問題. AB第26頁/共77頁第二十七頁，共77頁。1cm3長(zhǎng)方體體積長(zhǎng)方體體積(tj)為多少？為多少？V長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體=abcV長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體=sc第27頁/共77頁第二十八頁，共77頁。如何如何(rh)求柱體的求柱體的體積？體積？shSS底面積底面積(min j)相等，高也相

16、等的柱體的體積也相等。相等，高也相等的柱體的體積也相等。V柱體柱體=sh第28頁/共77頁第二十九頁，共77頁。 類似的類似的,底面積底面積(min j)相等相等,高也相等的兩個(gè)錐高也相等的兩個(gè)錐體的體積也相等體的體積也相等.V錐體錐體(zhu t)=sh1 13 3S為底面積為底面積(min j),h為高為高.ss錐體的體積該怎么求呢？錐體的體積該怎么求呢？第29頁/共77頁第三十頁，共77頁。ss/ss/hx臺(tái)體的體積臺(tái)體的體積(tj)V V臺(tái)體臺(tái)體= =1 1h(s+ss +s)h(s+ss +s)3 3上下上下(shngxi)底面積分別是底面積分別是s/,s,高是高是h，則，則第30頁

17、/共77頁第三十一頁，共77頁。V V臺(tái)體臺(tái)體= =1 1h(s+ss +s)h(s+ss +s)3 3V柱體柱體=shV錐體錐體=1 1shsh3 3ss/ss/sS/=0S=S第31頁/共77頁第三十二頁，共77頁。?)14. 3(,10,10,12,8 . 5)()/8 . 7( 33取大約有多少個(gè)問這堆螺帽高為內(nèi)孔直徑邊長(zhǎng)為已知底面是正六邊形共重如下圖六角螺帽鐵的密度是有一堆規(guī)格相同的鐵制例mmmmmmkgcmg第32頁/共77頁第三十三頁，共77頁。解解. V正六棱柱正六棱柱(lngzh)=3.74103 V圓柱圓柱= 0.785103V=1210123.74103-0.785103

18、2.96103（mm3）=2.956cm3一個(gè)一個(gè)(y )螺帽的體積為螺帽的體積為約有毛坯約有毛坯(mop)5.8103（2.9567.8)252(個(gè)）個(gè)）答：這堆答：這堆螺帽大螺帽大約有約有252個(gè)個(gè)第33頁/共77頁第三十四頁，共77頁。VSh13VSh1()3VSS SS hVSh第34頁/共77頁第三十五頁，共77頁。第35頁/共77頁第三十六頁，共77頁。h實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)(shyn)：排液法測(cè)小球的：排液法測(cè)小球的體積體積第36頁/共77頁第三十七頁，共77頁。h實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球?qū)嶒?yàn)：排液法測(cè)小球(xio qi)的體積的體積第37頁/共77頁第三十八頁，共77頁。h實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)(shyn)：

19、排液法測(cè)小球的體：排液法測(cè)小球的體積積第38頁/共77頁第三十九頁，共77頁。h實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)(shyn)：排液法測(cè)小球的：排液法測(cè)小球的體積體積第39頁/共77頁第四十頁，共77頁。h實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)(shyn)：排液法測(cè)小球的：排液法測(cè)小球的體積體積第40頁/共77頁第四十一頁，共77頁。h實(shí)驗(yàn)：排液法測(cè)小球?qū)嶒?yàn)：排液法測(cè)小球(xio qi)的體積的體積第41頁/共77頁第四十二頁，共77頁。h實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)(shyn)：排液法測(cè)小球的：排液法測(cè)小球的體積體積第42頁/共77頁第四十三頁，共77頁。hH實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)(shyn)：排液法測(cè)小球的：排液法測(cè)小球的體積體積曹沖稱象曹沖稱象第43頁/共77頁第四十四頁，共

20、77頁。R.34,32:33RVRV 從而從而猜測(cè)猜測(cè)半球半球? 半球半球V331RV 圓錐圓錐333RV 圓柱圓柱高等于底面半徑高等于底面半徑(bnjng)的旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)比的旋轉(zhuǎn)體體積對(duì)比球的體積球的體積(tj)第44頁/共77頁第四十五頁，共77頁。 學(xué)習(xí)球的知識(shí)要注意學(xué)習(xí)球的知識(shí)要注意(zh y)和圓的有關(guān)指示結(jié)合起和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來所以我們先來回憶圓面積計(jì)算公式的導(dǎo)出方法來所以我們先來回憶圓面積計(jì)算公式的導(dǎo)出方法 我們把一個(gè)半徑為我們把一個(gè)半徑為R的圓分成若干等分，然后如上圖重新的圓分成若干等分，然后如上圖重新拼接起來，把一個(gè)圓近似的看成是邊長(zhǎng)分別是拼接起來，把一個(gè)圓近似的看成是邊

21、長(zhǎng)分別是.的矩形的矩形和和RR .2R 于于那么圓的面積就近似等那么圓的面積就近似等第45頁/共77頁第四十六頁，共77頁。當(dāng)所分份數(shù)不斷增加時(shí)，精確程度就越來越高；當(dāng)當(dāng)所分份數(shù)不斷增加時(shí)，精確程度就越來越高；當(dāng)份數(shù)無窮大時(shí)，就得到了圓的面積份數(shù)無窮大時(shí)，就得到了圓的面積(min j)(min j)公式公式法導(dǎo)出球的體積公式法導(dǎo)出球的體積公式下面我們就運(yùn)用上述方下面我們就運(yùn)用上述方即先把半球分割成即先把半球分割成n n部分部分(b fen)(b fen)，再求出每一部分，再求出每一部分(b fen)(b fen)的近似體積，并將這些近似值相加，得出半球的的近似體積，并將這些近似值相加，得出半球

22、的近似體積，最后考慮近似體積，最后考慮n n變?yōu)闊o窮大的情形，由半球的近似體變?yōu)闊o窮大的情形，由半球的近似體積推出準(zhǔn)確體積積推出準(zhǔn)確體積分割分割(fng)求近似和求近似和化為準(zhǔn)確和化為準(zhǔn)確和第46頁/共77頁第四十七頁，共77頁。第47頁/共77頁第四十八頁，共77頁。第48頁/共77頁第四十九頁，共77頁。第49頁/共77頁第五十頁，共77頁。已知球的半徑為已知球的半徑為R,R,用用R R表示表示(biosh)(biosh)球的球的體積體積. .AOB2C2AO第50頁/共77頁第五十一頁，共77頁。(1)Rinr ri icoBR第51頁/共77頁第五十二頁，共77頁。Rn(1)Rinr

23、ri icoBRir22(1) ,(1,2., )iRrRiinn32211() iiRRiVrnnn(1,2,., )in第52頁/共77頁第五十三頁，共77頁。12nVVVV半球322222212(1)1(1)(1)1Rnnnnn 3222212(1)Rnnnn321 (1)(21)6Rnnnnnn32(1)( 21)16nnRn第53頁/共77頁第五十四頁，共77頁。311(1)(2)16nnVR半球1nn當(dāng) 無限變大時(shí)， 趨于0323VR半球343VR球第54頁/共77頁第五十五頁，共77頁。343VR定理定理(dngl): 半徑是半徑是R的球的體的球的體積積O O第55頁/共77頁第

24、五十六頁，共77頁。343VR球第56頁/共77頁第五十七頁，共77頁。例例1. 1.鋼球直徑鋼球直徑(zhjng)(zhjng)是是5cm,5cm,求它的體積求它的體積. .3336125)25(3434cmRV注意：題目(tm)的變換第57頁/共77頁第五十八頁，共77頁。27.9 /g cm3 45 07 .9()5 1 7 0 5 4 ()32g3345047.9 x 145000323（）3x11239.422x45cm（）第58頁/共77頁第五十九頁，共77頁。( (變式變式2) 2)把鋼球放入一個(gè)把鋼球放入一個(gè)(y )(y )正方體的有蓋紙正方體的有蓋紙盒中盒中, ,至少要用多大

25、的紙至少要用多大的紙? ?用料最省時(shí)用料最省時(shí), ,球與正方體有什么球與正方體有什么(shn me)(shn me)位置位置關(guān)系關(guān)系? ?球內(nèi)切于正方體球內(nèi)切于正方體2215056cmS側(cè)側(cè)棱長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)為5cm第59頁/共77頁第六十頁，共77頁。1.球的直徑伸長(zhǎng)為原來球的直徑伸長(zhǎng)為原來(yunli)的的2倍倍,體積體積變?yōu)樵瓉碜優(yōu)樵瓉?yunli)的幾倍的幾倍?2.一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上,它的棱長(zhǎng)它的棱長(zhǎng)是是4cm,求這個(gè)球的體積求這個(gè)球的體積. 8倍倍332A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O正方體的體對(duì)角線為球的直徑

26、(zhjng)32342144421222r332)32(434333rV第60頁/共77頁第六十一頁，共77頁。練習(xí)練習(xí)(linx)P56 1,2,3,4例例2 如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯(jingbi)的三視圖的三視圖,單位是單位是cm，試畫出它的直觀圖，并計(jì)算這個(gè)獎(jiǎng)杯試畫出它的直觀圖，并計(jì)算這個(gè)獎(jiǎng)杯(jingbi)的體積的體積.(精確到精確到0.01cm)866185 515151111x/y/z/第61頁/共77頁第六十二頁，共77頁。這個(gè)獎(jiǎng)杯這個(gè)獎(jiǎng)杯(jingbi)的體積為的體積為V=V正四棱臺(tái)正四棱臺(tái)(lngti)+V長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體+ V球球 其中(qzhng)V正四棱臺(tái)2215

27、(1515 11+11 )851.6673 V正方體=6818=864V球=113.0973433所以這個(gè)獎(jiǎng)杯的體積為V=1828.76cm3第62頁/共77頁第六十三頁，共77頁。2)2)若每小塊表面看作一個(gè)平面若每小塊表面看作一個(gè)平面, ,將每小塊平面作為底面將每小塊平面作為底面, ,球心球心(qixn)(qixn)作為頂點(diǎn)便得到作為頂點(diǎn)便得到n n個(gè)棱錐個(gè)棱錐, ,這些棱錐體積之和近似為球的這些棱錐體積之和近似為球的體積體積. .當(dāng)當(dāng)n n越大越大, ,越接近于球的體積越接近于球的體積, ,當(dāng)當(dāng)n n趨近于無窮大時(shí)就精確到等于趨近于無窮大時(shí)就精確到等于球的體積球的體積. .1) 1)球的

28、表面是曲面球的表面是曲面, ,不是不是(b shi)(b shi)平面平面, ,但如果將表面平均分割成但如果將表面平均分割成n n個(gè)小塊個(gè)小塊, ,每小塊表面可近似看作一個(gè)平面每小塊表面可近似看作一個(gè)平面, ,這這n n小塊平面面積之和可近似看作球小塊平面面積之和可近似看作球的表面積的表面積. .當(dāng)當(dāng)n n趨近于無窮大時(shí)趨近于無窮大時(shí), ,這這n n小塊平面面積之和接近于甚至等于小塊平面面積之和接近于甚至等于球的表面積球的表面積. . 球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求出，如何求球的表面積公式呢出，如何求球的表面積公式呢

29、? ?回憶球的體積公式的推導(dǎo)回憶球的體積公式的推導(dǎo)(tudo)(tudo)方法方法, ,是否也可借助于這種極限思想方法來推導(dǎo)是否也可借助于這種極限思想方法來推導(dǎo)(tudo)(tudo)球的表面球的表面積公式呢積公式呢? ? 下面，我們?cè)俅芜\(yùn)用這種方法來推導(dǎo)球的表面積公式下面，我們?cè)俅芜\(yùn)用這種方法來推導(dǎo)球的表面積公式球的表面積球的表面積第63頁/共77頁第六十四頁，共77頁。oiS o球的表面積球的表面積第64頁/共77頁第六十五頁，共77頁。第第一一步：步：分分割割(f(fnng)g)球面被分割成球面被分割成n n個(gè)網(wǎng)格個(gè)網(wǎng)格(wn(wn )，表面積，表面積分別為：分別為：nSSSS ,321

30、，則球的表面積：則球的表面積：nSSSSS 321則球的體積則球的體積(tj)(tj)為：為：iV 設(shè)“小錐體”的體積為設(shè)“小錐體”的體積為iVnVVVVV 321iSO OO O球的表面積球的表面積第65頁/共77頁第六十六頁，共77頁。第第二二步：步：求求近近似似(j(jn n s)s)和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O球的表面積球的表面積第66頁/共77頁第六十七頁，共77頁。第第三三步：步：化化為為準(zhǔn)準(zhǔn)確確(z(zhhnqnqu)u)和和RSVii31 如果網(wǎng)格如果網(wǎng)格(wn

31、(wn )分的越細(xì)分的越細(xì), ,則則: : “小錐體小錐體”就越接近小棱錐就越接近小棱錐RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又球的體積為：又球的體積為：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 從而從而球的表面積球的表面積Rhi的值就趨向于球的半徑的值就趨向于球的半徑 第67頁/共77頁第六十八頁，共77頁。例例2.2.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為的棱長(zhǎng)為a,a,它的各它的各個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn)(dngdin)(dngdin)都在球都在球O O的球面上，問球的球面上，問球

32、O O的表的表面積。面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱體都是中心對(duì)稱(zhn(zhn xn du xn du chnchn) )圖形可知，它們中心重合，則正圖形可知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。方體對(duì)角線與球的直徑相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O例題例題(lt)講解講解第68頁/共77頁第六十九頁，共77頁。OAB

33、CO 例已知過球面上三點(diǎn)例已知過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距離的距離(jl)等等于球半徑的一半，且于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的體積，表面，求球的體積，表面積積解：如圖，設(shè)球解：如圖，設(shè)球O半徑半徑(bnjng)為為R，截面截面 O的半徑的半徑(bnjng)為為r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例題例題(lt)講解講解第69頁/共77頁第七十頁，共77頁。.34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解：在解：在 ;81256)34(343433

34、RV例例.已知過球面上三點(diǎn)已知過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距離等的距離等于于(dngy)球半徑的一半，且球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球，求球的體積，表面積的體積，表面積例題例題(lt)講解講解第70頁/共77頁第七十一頁，共77頁。1、一個(gè)、一個(gè)(y )四面體的所有的棱都為四面體的所有的棱都為 ，四個(gè)頂點(diǎn)，四個(gè)頂點(diǎn)在同在同一球面一球面(qimin)上，則此球的表面積（上，則此球的表面積（ ）A 3B 43 3C 2D 6234()3,2S球= 解法解法2 構(gòu)造棱長(zhǎng)為構(gòu)造棱長(zhǎng)為1的正方的正方體，如圖。則體，如圖。則A1、C1、B、D是是棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為 的正四面體的頂點(diǎn)。的正四面體的頂點(diǎn)。正方體的外接球也是正四面體正方體的外接球也是正四面體的外接球，此時(shí)球的直徑的外接球，此時(shí)球的直徑為為 ，23選選A課堂練習(xí)課堂練習(xí)第71頁/共77頁第七十二頁，共77頁。4.4.若兩球體積若兩球體積(tj)(tj)之比是之比是1:21:2，則其表面積之比是，則其表面積之比是_._.練習(xí)練習(xí)(linx)(linx)二二2422:134:11.若球的表面積變?yōu)樵瓉砣羟虻谋砻娣e變?yōu)樵瓉?yunli)的的2倍倍,則半徑變?yōu)樵瓉韯t半徑變?yōu)樵瓉?yunli)的的_倍倍.2.若球半徑變?yōu)樵?/p>