48關(guān)于雙曲線的“內(nèi)部”和“外部”的對(duì)話

1、關(guān)于雙曲線的“內(nèi)部”和“外部”的對(duì)話王敬虞岳昌慶（北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院100875）（北京師范大學(xué)出版集團(tuán)100875）2014年第53巻第12期數(shù)學(xué)通報(bào)#2014年第53巻第12期數(shù)學(xué)通報(bào)49岳昌慶（以下簡(jiǎn)稱岳）：王老師您好.在我的印象中，您曾在數(shù)學(xué)通報(bào)等刊物上談到過(guò)有關(guān)雙曲線的“內(nèi)部”和“外部”的問(wèn)題.您能把它的基本內(nèi)容再簡(jiǎn)單地說(shuō)一說(shuō)嗎？王敬康（以下簡(jiǎn)稱王）：好，那是刊載在1991年第4期數(shù)學(xué)通報(bào)上的文章射影幾何指導(dǎo)中學(xué)解析幾何教學(xué)舉例中提出關(guān)于雙曲線的“內(nèi)部”和“外部”的問(wèn)題.在數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)1994年3卷1期的髙觀點(diǎn)下的解析幾何一文中，具體解釋了這個(gè)問(wèn)題.基本內(nèi)容是：有一些教學(xué)參考書(shū)

2、中說(shuō),“橢圓的準(zhǔn)線在橢圓外部?jī)蓚?cè)，而雙曲線的準(zhǔn)線在雙曲線內(nèi)部?jī)蓚?cè)”;“拋物線的焦點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，而雙曲線的焦點(diǎn)在雙曲線外部?jī)蓚?cè)”.這種關(guān)于雙曲線內(nèi)部和外部的用射影幾何的觀點(diǎn)來(lái)考察，在拓廣平面（歐氏平面上添加了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)直線所組成）上,橢圓（包括圓，圓是橢圓的特殊情形）、拋物線和雙曲線都是封閉圖形，它們的區(qū)別在于和無(wú)窮遠(yuǎn)直線的位置關(guān)系不同，橢圓和無(wú)窮遠(yuǎn)直線相離，拋物線和無(wú)窮遠(yuǎn)直線相切，而雙曲線和無(wú)窮遠(yuǎn)直線相交，如圖1所示.或者說(shuō)，橢圓上沒(méi)有實(shí)的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),拋物線上有唯一的一個(gè)實(shí)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，而雙曲線上有兩個(gè)不同的實(shí)的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).在歐氏平面上沒(méi)有無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),所以橢圓仍是封閉的，拋物線去掉一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)以

3、后不再封閉了，但仍連通，只是一支，而雙曲線去掉兩個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)以后也不封閉而且不連通了，被分離成了兩支.對(duì)于歐氏平面上的封閉曲線圓，其內(nèi)部和外部可以用點(diǎn)到圓心的距離來(lái)定義，其距離小于半徑的點(diǎn)為內(nèi)部的點(diǎn)，其距離大于半徑的點(diǎn)為外部的點(diǎn)，這個(gè)用距離定義的概念是純度量性質(zhì)，只適用于圓，不能推廣到橢圓、拋物線和雙曲線.我們轉(zhuǎn)而對(duì)圓采用“過(guò)一點(diǎn)能作兩條實(shí)切線的，稱該點(diǎn)在外部，只能作一條切線的，稱該點(diǎn)在曲線上，不能作實(shí)切線的點(diǎn)稱在其內(nèi)部”.這個(gè)定義是射影性質(zhì)，可以從圓推廣到橢圓、拋物線和雙曲線.在這個(gè)定義下，橢圓乃至拋物線，內(nèi)部和外部與原來(lái)宜觀認(rèn)定的內(nèi)部和外部相一致.而雙曲線應(yīng)、右兩支之間的部分是“外部”，兩支

4、之外的部分卻是“內(nèi)部”了，這與“直觀認(rèn)定”的雙曲線兩支之外（雙曲線左支左側(cè)及右支右側(cè)）的部分叫“外部”，兩支之間的部分叫“內(nèi)部”說(shuō)法不一致了.但這樣定義是合理的，它把三種圓錐曲線“內(nèi)部”和“外部”的定義統(tǒng)一起來(lái)了，這樣，橢圓、拋物線和雙曲線的準(zhǔn)線都在其外部，橢圓、拋物線和雙曲線的焦點(diǎn)都在其內(nèi)部，完全一致了.可見(jiàn)上述教學(xué)參考書(shū)中憑直觀將“雙曲線兩支之外的部分叫外部，兩支之間的部分叫內(nèi)部的說(shuō)法是不合適的.圖2岳:您上述用切線來(lái)定義圓錐曲線的內(nèi)部和外部，我認(rèn)為是有道理的.我現(xiàn)在就遇到兩個(gè)與雙曲線內(nèi)部和外部有關(guān)的問(wèn)題：第一個(gè)問(wèn)題是關(guān)于圓錐曲線的弦，有沒(méi)有統(tǒng)一的定義？如果定義為圓錐曲線上任意兩點(diǎn)所連線段

5、稱為弦，那么，如圖2,雙曲線左右兩支上各取一點(diǎn)所連線段也是弦，按您上面關(guān)于內(nèi)部外部的說(shuō)法，雙曲線的上述弦，是在雙曲線的“外部”了，怎樣解釋它的合理性？第二個(gè)問(wèn)題是：斗+簽一10表示橢圓的外ab部,密+召一1表示橢圓的內(nèi)部；卄2如0表示拋物線的外部,y-2px0表示拋物線的內(nèi)部，而一釜T0表示雙曲線的內(nèi)部，弓一簽abao-KO表示雙曲線的外部.如何解釋這種雙曲線與前兩者（橢圓和拋物線）不一致的現(xiàn)象？王：先說(shuō)第一個(gè)問(wèn)題.如前文所說(shuō)，在拓廣平面上，橢圓、拋物線和雙曲線都是封閉圖形，它們的區(qū)別在于和無(wú)窮遠(yuǎn)直線的位置關(guān)系不同，橢圓和無(wú)窮遠(yuǎn)直線相離，因此楠圓上任意兩點(diǎn)所連線段（即歐氏平面上的弦）都在橢圓內(nèi)

6、部；拋物線和尢窮遠(yuǎn)直線相切，因此拋物線上除無(wú)窮遠(yuǎn)切點(diǎn)以外的任意兩點(diǎn)所連線段（即歐氏平面上的弦都在拋物線內(nèi)部；而雙曲線與無(wú)窮遠(yuǎn)直線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)交點(diǎn)把雙曲線分成兩部分（即歐氏平面上的兩支），在這兩部分上各自任取兩點(diǎn)所連線段（即歐氏平面上的弦）都在雙曲線內(nèi)部;而分別在這兩部分上各取一點(diǎn)所連線段（在封閉圖形內(nèi)部的部分），如圖3,因與無(wú)窮遠(yuǎn)直線（在封閉曲線內(nèi)）相交，即該線段上有一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，即該線段的長(zhǎng)度無(wú)限，不是歐氏平面上的通常線段,于是該線段所在拓廣直線（是封閉的）上余下的另一部分線段（在封閉曲線外部、也是連接這兩點(diǎn)的線段），就不含有無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，即為有限長(zhǎng)線段了，這就是歐氏平面上雙曲

7、線的上述弦，因此在雙曲線外部.關(guān)于第二個(gè)問(wèn)題，可能要多說(shuō)一些了.對(duì)于圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程/（工,y）=0,只有圓的悄形時(shí)JQ,有幾何意義，表示點(diǎn)（hq）到圓心（0,0）的距離的平方與半徑平方的差，當(dāng)這個(gè)差小于零（即點(diǎn)到圓心的距離小于半徑）時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)部，得表示圓的內(nèi)部;大于零時(shí)，/+y/o表示圓的外部.而對(duì)于圓以外的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程/（x,）=0來(lái)說(shuō),/（x,y）0和/（x,）0都沒(méi)有幾何意義.此時(shí)/（x,y）0和/（x.XO是表示曲線的內(nèi)部還是外部，不是由/（x）0和/（x,y）0來(lái)決定的，而是由代入計(jì)算求值的點(diǎn)（工是在曲線的內(nèi)部還是外部決定的.對(duì)于橢圓和拋物線，用內(nèi)部的點(diǎn)（工力）（例如分別

8、用（0,0）和（p,0）分別代入計(jì)算得召+召一10和b-2/zV0,所以手+召一10和y-2px0分別表示橢圓的內(nèi)部和拋物線的內(nèi)部；而用橢圓和拋物線外部的點(diǎn)（x,）（例如分別用（2a,0）和（0,1）分別代入計(jì)算得召+召一10和一2加0,所以召十話一10和?-2px0分別表示橢圓的外部和拋物線的外部.至于雙曲線，用外部的點(diǎn)（工2）（例如用（0,0）代入計(jì)算得召-話TV0,所以斗一簽一1V0表示雙曲線的外部;而用內(nèi)部的點(diǎn)aD（x,y）（例如（2a,0）代入計(jì)算得牙一召一10,所以三一簽T0表示雙曲線的內(nèi)部.aD也就是說(shuō)，對(duì)圓的方程/（X，5r）=0而言，/（x,jr）o和/（x,y）0分別表示圓

9、的外部和內(nèi)部，是由相對(duì)于圓的f.y）的幾何意義決定的.而對(duì)于圓以外的橢圓、雙曲線和拋物線的方程/（x,y）=O而言,/（x,）0和/（x,j）0沒(méi)有明顯的幾何意義，它們是表示曲線的內(nèi)部還是外部，完全由代入計(jì)算的點(diǎn)是在曲線的內(nèi)部還是外部來(lái)決定.這就是f（x,y）0和/（x,y）0是表示曲線的內(nèi)部還是外部，出現(xiàn)雙曲線與橢圓和拋物線不一致的現(xiàn)象的原因.（注意：對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)方程，坐標(biāo)原點(diǎn)在橢圓內(nèi)部而在雙曲線外部）不知上述考慮，有沒(méi)有把問(wèn)題說(shuō)清楚？岳：我認(rèn)為對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題您已經(jīng)解釋清楚了，雙曲線的弦可以在雙曲線外部.對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，您從圓說(shuō)起，對(duì)于圓您是從不等式的幾何意義上解釋的但您說(shuō)對(duì)于稱圓、枷物線和雙曲

10、線的方程f（H,y）=0而言，不等式/（x,y）0和/（x,WV0沒(méi)有幾何意義，因此無(wú)法從幾何意義上來(lái)解釋.對(duì)于您的這個(gè)說(shuō)法，我有些不同看法.我已用平面幾何及橢圓、雙曲線的第一定義及拋物線定義證岀： 橢圓外部的點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)尺和F?的距離之和大于長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,即|PFj+|PF2|2a；橢圓內(nèi)部的點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)碼和F2的距離之和小于長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,即|PF,|+|PF,|d；拋物線內(nèi)部的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離小于該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離d,即PF2；雙曲線外部（雙曲線之左右兩支之間的部分）的點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)Fi和F2的距離之差小于實(shí)軸長(zhǎng)2a,即|PF.|-|PF2|）0和/（x），焦點(diǎn)Fi（cO）及尸2（c,0）,長(zhǎng)軸

11、長(zhǎng)2a,則由|PF訂+|PF訂2a可得審+一1而滿足不等式|PF】I+IPF2I2a的點(diǎn)P組成橢圓的外部，因此我們得到召+石一1。表示橢圓外部同理號(hào)+看一1V0表示楠圓的內(nèi)部.對(duì)于拋物線:設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（z,y），然點(diǎn)F（#,0）及準(zhǔn)線記點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d,則由|PF|N可得-2px0.而滿足不等式|PF|d的點(diǎn)P組成拋物線的外部因此我們得到亍一2工0,表示拋物線外部.同理：/一2px0表示拋物線的內(nèi)部.對(duì)于雙曲線：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（h，W，焦點(diǎn)F,（c,O）及幾（一c,0）,實(shí)軸長(zhǎng)2a,則由|PF-PF22a可得務(wù)一看一1V0.而滿足不等式UPF.I-IPFJ|0表示雙曲線的內(nèi)部（雙曲線左支左側(cè)及右支右

12、側(cè)的部分）.上面我們回答的問(wèn)題是，對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程/（工,y）=D而言,/（x,y）0和/（x,y）的幾何意義決定的.對(duì)于圓以外的橢圓、雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程=0而言,/（工,，）0和/（x，3）2a的點(diǎn)P在橢圓外部（其內(nèi)、外部可由直觀認(rèn)定，與由切線定義一致），所以弓+簽一1ao0表示楠圓外部.對(duì)于拋物線由于滿足|PFd的點(diǎn)P在拋物線外部（其內(nèi)、外部可由直觀認(rèn)定，與由切線定義一致），所以y-2px0表示拋物線外部.然而對(duì)于雙曲線，由于滿足PFl-PFt2a的點(diǎn)P在雙曲線內(nèi)部（由切線定義，與直觀說(shuō)法不一致，所以召一君一10表示雙曲線內(nèi)部.可見(jiàn)對(duì)圓以外的橢圓、雙曲線和拋物線的方程/（x,y）=0而

13、（下轉(zhuǎn)第51頁(yè)）2014年第53卷第12期數(shù)學(xué)通報(bào)51透視兩個(gè)相關(guān)的數(shù)學(xué)通報(bào)問(wèn)題李建潮（浙江省湖州市雙林中學(xué)313012）/（x,y）0是表示曲線的內(nèi)部還是外部，出現(xiàn)雙曲線與橢圓和拋物線不一致的現(xiàn)象的原因.這樣修正后不知你的意見(jiàn)如何？岳:我完全同意.2014年第53卷第12期數(shù)學(xué)通報(bào)#2cos2COS22數(shù)學(xué)通眾問(wèn)題欄曾在2005年第10期上刊登了如下問(wèn)題：?jiǎn)栴}1580設(shè)ZXABC的三邊長(zhǎng)分別為a,6,c,內(nèi)切圓半徑為r，求證：丄+丄+丄丄a2十/十嚴(yán)“時(shí)隔九年，又在2014年的第4期上刊出了如下問(wèn)題：?jiǎn)栴}2178在ZXABC中，三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,內(nèi)切圓半徑為r,求

14、證：-+右a4cosbcosccos顯然，問(wèn)題2178是對(duì)問(wèn)題1580的有意識(shí)加強(qiáng)，但筆者在證明問(wèn)題2178時(shí)出于“和諧”的考慮，改證了如下更強(qiáng)的問(wèn)題.加強(qiáng)問(wèn)JS在中三內(nèi)角A.B.C所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,內(nèi)切圓半徑為r,求證：一1一+一!一+一1一2-22BCLi2CA22AB4/acos弦定理）B+CB-C2Ts,nI-)AABC2二(2smjcosysm-)(2sin-sin)(1-cos?今)NO(因?yàn)閏osy=siny)Q(2sir?今血色尹)鼻0(顯然為真)所以，式成立；同理可證：b2cos2”鼻(0+6-c)(6+c-a)ARczcos22N(6+ca)(c+a6)由、三式

15、,有1十1十12zB-cJ2C-A22A-B(TcosXbCOS”一Zccos4X*(c+a6(a+6c)十(a+6c)(b+ca)/（x,y）0是表示曲線的內(nèi)部還是外部，出現(xiàn)雙曲線與橢圓和拋物線不一致的現(xiàn)象的原因.這樣修正后不知你的意見(jiàn)如何？岳:我完全同意.2014年第53卷第12期數(shù)學(xué)通報(bào)#/（x,y）0是表示曲線的內(nèi)部還是外部，出現(xiàn)雙曲線與橢圓和拋物線不一致的現(xiàn)象的原因.這樣修正后不知你的意見(jiàn)如何？岳:我完全同意.2014年第53卷第12期數(shù)學(xué)通報(bào)#證明先證a2cos2M(c+a-6)(a+bc)事實(shí)上，式Oa?cos2旦豆(bc)=(6c)2a2sin2+(6+ca(c+a6)=a+6+e(b+ca)(c+a6)(a+6c)=2-b+cac十a(chǎn)6abc42U(sinBsinC)?NsinAsin2豈(用正=4($。($6)($二c)(其中a