2018-2019學(xué)年江蘇省無錫市宜興市普通高中高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、【詳解】第 1 1 頁共 1616 頁2018-2019 學(xué)年江蘇省無錫市宜興市普通高中高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題一、填空題1 1 已知集合A 1,2,3,B x| 2 x 3，則AI B _【答案】1, ,2【解析】 分析：直接利用交集的定義求解即可 詳解：因?yàn)榧螦 1,2,3,B x 2 x 3,所以由交集的定義可得A B 1,2,故答案為1, ,2點(diǎn)睛：本題考查集合的交集的定義，意在考查對(duì)基本運(yùn)算的掌握情況，屬于簡(jiǎn)單題2 2已知復(fù)數(shù)z 1 2i，其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部為_. .【答案】【解析】 根據(jù)模長(zhǎng)公式求出z，即可求解【詳解】Q z 12i, |z| J1222腐，復(fù)數(shù)

2、; 乙的實(shí)部為 7575. .故答案為：一5. .【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念以及模長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題51 “3 3 .矩陣A的逆矩陣A1為7331【答案】887588【詳解】第 1 1 頁共 1616 頁【解【解析】通過逆矩陣的定義構(gòu)建方程組即可得到答案第3 3頁共 1616 頁AA1I, ,設(shè)A1a b，由題意可得:c d【點(diǎn)睛】本題主要考查逆矩陣的相關(guān)計(jì)算，難度不大E(X)E(X) 2.2.則a b _X0 03 36 6P12ab1【答案】181【解析】通過概率和為 1 1 建立方程a b，再通過 E(X)E(X) 2 2 得到方程3a 6b 2,2從而得到答案 【詳解】【點(diǎn)睛】本題

3、主要考查分布列與期望相關(guān)概念，難度不大1 1 個(gè)英文字母和 1 1 個(gè)數(shù)字組成，且英文字母在前，數(shù)字在 后 已知英文字母是A，B，C，D，E這 5 5 個(gè)字母中的 1 1 個(gè)，數(shù)字是 1 1，2 2，3 3, 4 4，5 5,6 6，7 7，8 8，9 9 這 9 9 個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，則共有 _ 個(gè)不同的編號(hào)(用數(shù)字作答)【答案】4545【解【解析】通過分步乘法原理即可得到答案(5,1) (a,c)15ac1b(5,1)(b,d)05b d0，即解得(7,3) (a,c)07a3c0c(7,3) (b,d)17b3d1d3818，因此A858由逆矩陣的定義4 4 某一智力游戲玩一次所得的積分是

4、一個(gè)隨機(jī)變量X，其概率分布如表，數(shù)學(xué)期望根據(jù)題意可得方程組:ab12，解得a3a6b2b5 5 已知某種新產(chǎn)品的編號(hào)由第4 4頁共 1616 頁【詳解】對(duì)于英文字母來說， 共有 5 5 種可能，對(duì)于數(shù)字來說，共有 9 9 種可能，按照分步乘法原理， 即可知道共有5 945個(gè)不同的編號(hào) 【點(diǎn)睛】本題主要考查分步乘法原理的相關(guān)計(jì)算，難度很小6 6 .在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)P 2, Q 23,，則線段PQ的長(zhǎng)度為 _ . .36【答案】4 4【解析】 可將點(diǎn) P P 和點(diǎn) Q Q 先化為直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)，從而利用距離公式求解【詳解】X COS5根據(jù)，可將P 2 -化為直角坐標(biāo)點(diǎn)為P 1.3，將Q 2

5、.3,化為ysi n36直角坐標(biāo)點(diǎn)為Q 3,、3，從而PQ, 42024. .【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)點(diǎn)和直角坐標(biāo)點(diǎn)的互化，距離公式，難度不大7.7. 若指數(shù)函數(shù)y f(x)的圖象過點(diǎn)(2,4)，則f(3)_. .1【答案】丄8【解析】設(shè)指數(shù)函數(shù)為y ax, a 0且且a 1,代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出a的值，再求f的值 【詳解】設(shè)指數(shù)函數(shù)為y ax,a 0且且a 11 1所以4=( (a)2, a刁，刁，f(x)(?)x. .1所以f(3)-.81故答案為丄8【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的解析式的求法和指數(shù)函數(shù)求值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力 8.8._用反證法證明命題如果x

6、 y 0，那么jx jy”時(shí)，應(yīng)假設(shè)_ . .第5 5頁共 1616 頁【答案】、x, , y【解析】由反證法的定義得應(yīng)假設(shè)：,x, y【詳解】由反證法的定義得應(yīng)假設(shè)：,X, y故答案為：、一x, y【點(diǎn)睛】本題主要考查反證法的證明過程，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力 9 9在ABC中，若BC AC, AC b, BC a，則ABC的外接圓半徑rb?，將此結(jié)論拓展到空間，可得出的正確結(jié)論是：在四面體S ABC中，2若SA SB SC兩兩垂直，SA a, SB b, SC c，則四面體S ABC的外接球半徑R _2722【答案】 一b乞2【解析】 通過條件三條棱兩兩垂直，可將其

7、補(bǔ)為長(zhǎng)方體，從而求得半徑【詳解】若SA SB SC兩兩垂直，可將四面體S ABC補(bǔ)成一長(zhǎng)方體，從而長(zhǎng)方體的外接球即r2 b2r22 2為四面體的外接球，于是半徑R一b一-，故答案為一b一乞.22【點(diǎn)睛】本題主要考查外接球的半徑，將四面體轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體求解是解決本題的關(guān)鍵n1*1010 若2x nN的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為6464,則展開式中的x常數(shù)項(xiàng)是_ . .【答案】240240【解析】分析：利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n n 的值，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中的常數(shù)項(xiàng).n詳解：2x 4的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為2n64,，則n 6；x第6 6頁共 1616 頁則2x 2x

8、Jr展開式的通項(xiàng)公式為xxrr6 r 2rrr 6 r 6 3rTr 1C6(1) (2x)xC6(1 2 x,令6 3r 0，求得r = 2，可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)是C； (1)24240,故答案為 240240.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.1111.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線I的參數(shù)方程為x cos ,參數(shù)方程是，(為參數(shù))，直線I與圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，當(dāng)點(diǎn)Py sin在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PAB面積的最大值為_ . .【答案】2 12【解析】通過將PAB面積轉(zhuǎn)化為以 ABAB 為底，P P 到 ABAB 的距離為高即可求解

9、【詳解】直線I的直角坐標(biāo)方程為：x y 1 0，圓C的直角坐標(biāo)方程為:SPABmaxt 5,(t為參數(shù))，圓C的4 t1，即圓第7 7頁共 1616 頁1AB hmax2【點(diǎn)睛】心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1 1 因此圓心到直線的距離為因此AB 2.r2d22，設(shè) P P 到線段 ABAB 的高為h，則hmax1，因此本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，面積最值問題 意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能計(jì)算能力，難度中等 1212.已知函數(shù)f(x) x | x| 3x 1，若f(a)a222，則實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】(2,1)第8 8頁共 1616 頁由題得f(a) 1 f a2所以x23x( (x【解析】設(shè)F (x)

10、 f (x) 1 x x 3x=2x23x (x0），再求函數(shù)的奇偶性和單0）調(diào)性，再利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式得解【詳2I Ix設(shè)F(x) f3x( (x3x (x0）0），F(xiàn)（x）是奇函數(shù)，其函數(shù)的圖像所以F(a) F a220, ,所以2F(a) F a 2a22, ,所以a22, a20, (a 2)(a 1) 0,第9 9頁共 1616 頁【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性及其應(yīng)用，考查函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力1313 已知直線- -1（a,b是非零常數(shù)）與圓x2y2100有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)a b的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這

11、樣的直線共有 _ 條（用數(shù)字作答） 【答案】6060【解析】直線是截距式方程，因而不平行坐標(biāo)軸，不過原點(diǎn)，考察圓上橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)故答案為:(2,1)第1010頁共 1616 頁均為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合組合知識(shí)分類解答【詳解】依題意直線x, y截距均不為 0 0，即與坐標(biāo)軸不垂直，不過坐標(biāo)原點(diǎn),圓x2y2100上的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有1212 個(gè)，分別為(6, 8),( 6, 8),(8,6),( 8, 6),(10,0),(0,10)，前8個(gè)點(diǎn)中，過任意一點(diǎn)的圓的切線滿足，有8條；21212 個(gè)點(diǎn)過任意兩點(diǎn)，構(gòu)成C1266條直線，有4條垂直x軸，有4條直線垂直y軸，還有6條直線過原點(diǎn)(

12、圓上點(diǎn)的對(duì)稱性)，滿足條件的直線有52條. .綜上可知滿足條件的直線共有52 860條 故答案為：60. .【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，利用組合知識(shí)是解題的關(guān)鍵，注意直線截距式方程的限制條件，屬于中檔題 1414 在如圖三角形數(shù)陣中，從第3 3 行開始，每一行除 1 1 以外，其它每一個(gè)數(shù)字是它上一行的左右兩個(gè)數(shù)字之和 已知這個(gè)三角形數(shù)陣開頭幾行如圖所示，若在此數(shù)陣中存在某一行，滿足該行中有三個(gè)相鄰的數(shù)字之比為4:5:6，則這一行是第 _行(填行數(shù)) 【詳解】第第2行行第第3行行第第5行行 第第術(shù)術(shù)15104110511561【答9898【解通過楊輝三角于是可得方程組，求出行數(shù)第111

13、1頁共 1616 頁答案為 98.98.【點(diǎn)睛】三角形數(shù)陣中，每一行的數(shù)由二項(xiàng)式系數(shù)Cn,k0,1,2,L n,組成. .如多第n行中有C：1k 4C：n k 15k 1Cn5，那么69k 4n 4，解得5n 11k 698，因此44本題主要考查楊輝三角,二項(xiàng)式定理,意在考第1212頁共 1616 頁難度中等. .二、解答題111515 .已知矩陣Mo1. .(1 1)求直線y =3x +1在M對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的曲線方程;(2(2)求矩陣 M M 的特征值與特征向量【答案】(1 1)3x 2y 1 0； (2 2)屬于特征值1的一個(gè)特征向量為1，屬于特征2值1的一個(gè)特征向量為【解【解析】(

14、1)設(shè)(xo,y)是直線y= 3x+ 1上任一點(diǎn)，在用矩陣變換關(guān)系，將xo, yo用x, y表示，代入y = 3x +(2(2)由特征多項(xiàng)式求出特征值，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的特征向量【詳解】(1)設(shè)(xo, yo)是直線y= 3x+ 1上任一點(diǎn),f( ) o，得1或1，1時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足2x y o，所以對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為M變換作用下變?yōu)?x,y)，利1,即可求解;在矩陣M變換作用下變?yōu)?x,y)，則xoyoxoyoxxoxyoy，Q yo3xoy 3x 3y 1，3x 2y所以變3x 2y(2)矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(21,第1313頁共 1616 頁1時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足1矩陣M屬于

15、特征值1的一個(gè)特征向量為2屬于特征值1的一個(gè)特征向量為【點(diǎn)睛】屬于基礎(chǔ)題占八、(1) 當(dāng)k 3時(shí)，求M,N兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2) 當(dāng)k變化時(shí)，求線段MN中點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程y26y 0,解得y 0，或y 6,當(dāng)y 0時(shí)，x 0，當(dāng)yM,N兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,0),(23,6)；(2 2)直線I與曲線C有一交點(diǎn)為極點(diǎn)，不妨為M,y2y00，得y0，所以對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為本題考矩陣的特征值和特征向量， 考查計(jì)算求解能力,1616 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線I: y y kxkx，以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為8sin 設(shè)直線I與曲線C交于M,

16、N兩【答案】(1 1)(0,0),(2 . 3,6); (2 2)【解析】(1 1)根據(jù)2x2y2, sin程，與直線I方程聯(lián)立，即可求解(2 2)設(shè)P(,)，根據(jù)已知可得(2【詳解】(1 1)由8sin得28 sin2 2x y 8y 0，聯(lián)立4sin (0). .y，將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方)在曲線C上，即可求解.3x2小y 8y0，消去x得，6時(shí)，x 23,第1414頁共 1616 頁設(shè)P(,)，則N(2 ,)在曲線C上,所以2 8sin，即4sin,因?yàn)镸,N不重合，所以0所以線段MN中點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程4sin (0)【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系、軌跡方程，意在考

17、查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于基 礎(chǔ)題. .21717.已知函數(shù)f x ax 2a 1 x lnx,a R. .(1) 若 a a 1 1，求函數(shù)y f x的圖像在點(diǎn)1,f 1處的切線方程；(2) 討論f x的單調(diào)性. .【答案】(1 1)6x y 20； (2 2)當(dāng)a 0時(shí)，f f (x)(x)的遞增區(qū)間是(0,)，當(dāng) a a 0 0 時(shí),11f(x)f(x)的遞增區(qū)間是(0,)，遞減區(qū)間是(，). .2a2a【解析】(1 1)求出f (x)，當(dāng) a a 1 1 時(shí)，求出f (1),f (1)，寫出切線的點(diǎn)斜式方程，整理 即可；(2 2)求出 f f (x)(x)的定義域，f (x) 0(

18、或f (x) 0)是否恒成立對(duì)a分類討論，若恒成立，得到 f(x)f(x)單調(diào)區(qū)間，若不恒成立，求解f (x) 0, f (x) 0，即可得到結(jié)論. .【詳解】1(1 1)f (x) 2ax (2a 1),x1當(dāng) a a 1 1 時(shí)，f (x) 2x丄3,f (1)6, f (1)4,x函數(shù)y f x的圖像在點(diǎn)1,4處的切線方程為y 46(x 1),),即6x y 20；(2 2) f f (x)(x)的定義域?yàn)?0,1f (x) 2ax -(2 a 1)x當(dāng)a 0時(shí)，f (x)0在(0,第1515頁共 1616 頁2ax2(2 a 1)x 1(2 ax 1)(x 1)x x，)恒成立，f(x

19、)f(x)的遞增區(qū)間是(0,),1第1616頁共 1616 頁當(dāng) a a 0 0 時(shí)，f (x)10,0 X ,f(x)0,x丄2a2af(x)f(x)的遞增區(qū)間是1(0,)，遞減區(qū)間是(1,),2a2a綜上，當(dāng)a 0時(shí)，f(x)f(x)的遞增區(qū)間是(0,),11當(dāng) a a 0 0 時(shí)，f f (x)(x)的遞增區(qū)間是(0,)，遞減區(qū)間是(,). .2a2a【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想，以及計(jì)算求解能力，屬于中檔題 1818 新高考方案的考試科目簡(jiǎn)稱3 3 1 1 2 2 ”， “ 3 3 是指統(tǒng)考科目語數(shù)外，“1 1 指在首選科目物理、歷史”中任選

20、1 1 門，“2 2 指在再選科目 化學(xué)、生物、政治和地理”中任選 2 2 門 組成每位同學(xué)的 6 6 門高考科目 假設(shè)學(xué)生在選科中，選修每門首選科目的機(jī)會(huì)均等，選 擇每門再選科目的機(jī)會(huì)相等 (I)求某同學(xué)選修物理、化學(xué)和生物”的概率；4(H)若選科完畢后的某次會(huì)考”中，甲同學(xué)通過首選科目的概率是，通過每門再53選科目的概率都是，且各門課程通過與否相互獨(dú)立 用表示該同學(xué)所選的 3 3 門課程4在這次會(huì)考”中通過的門數(shù)，求隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望 【答案】(I) ； (n)詳見解析 121 2【解析】(I)顯然各類別中，一共有C2C412種組合，而選修物理、化學(xué)和生物只有一種可能，于是通過古

21、典概率公式即可得到答案；(n)找出的所有可能取值有 0 0, 1 1, 2 2, 3 3,依次求得概率，從而得到分布列和數(shù)學(xué) 期望 【詳解】解：(I)記某同學(xué)選修物理、化學(xué)和生物 ”為事件A,因?yàn)楦黝悇e中，學(xué)生選修每門課程的機(jī)會(huì)均等1第1717頁共 1616 頁則P(A)112，答：該同學(xué)選修物理、化學(xué)和生物的概率為112第1818頁共 1616 頁(D)隨機(jī)變量的所有可能取值有 0 0, 1 1, 2 2, 3.3.所以的分布列為0 01 12 23 311339P8088020所以數(shù)學(xué)期望E()0801 10 2 33 3魯蓋【點(diǎn)睛】(i)求a2,a3的值;(n)當(dāng)n 1時(shí)和n2時(shí)，可得到

22、一組a、b的值，于是假設(shè)該式成立，用數(shù)學(xué)歸納法證明即可8 81 - 003 3 - - 4 41 1 - - 4 41 1 - - 5 53 33 3一23 3 - - 4 41 1 - - 5 53 3 - - 4 41 1 - - 4 42)2)2 2本題主要考查分布列和數(shù)學(xué)期望的相關(guān)計(jì)算,生的分析能力和計(jì)算能力要求較高意在考查學(xué)生處理實(shí)際問題的能力，對(duì)學(xué)1919 已知數(shù)列an滿足anan 114 2an 1n N*，(n)是否存在實(shí)數(shù)a,b，使得an1， 對(duì)任存在，求出實(shí)數(shù)a、b的值并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由17【答案】(1)a2,a3； (n)存在實(shí)數(shù)a2541,b符合題意.

23、 .55【解i)由題意可整理為an 14 a.2 an，從而代入a12，即可求a2,a3的值;第1919頁共 1616 頁【詳解】因?yàn)閍nan 1142an 1，整理得4豈an，ai2，代入得a2rla312122假設(shè)存在實(shí)數(shù)a、b,使得1時(shí),2時(shí),由解得:5F面用數(shù)學(xué)歸納法證明：1對(duì)任意正整數(shù)n恒成立. .存在實(shí)數(shù)a(1)1時(shí),(2)k時(shí),那么,ak 14ak2 aan結(jié)論顯然成立假設(shè)存在k 1時(shí),1k43152511對(duì)任意正整數(shù)n恒成立. .12512352使得ak1k32-11成立,5第2020頁共 1616 頁n13n對(duì)任意正整數(shù)n恒成立. .ab2【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列

24、中的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，分析能力，邏輯 推理能力，比較綜合，難度較大 m2020 .已知fm(x)cmxkn Nk 12019(I)計(jì)算fk( 1)的值;k 1(n)若g(x) f4(x) 2fs(x) 3f6(x) 4f7(x)，求g(x)中含x4項(xiàng)的系數(shù);(川)證明：採(cǎi)1 223Cm 3LnCm n(m 2)n 1pm 2Cm n 1m 3【答案】(I)-2019-2019； ( n )196196;(川)詳見解析. .【解析】(I)由于fn(x)nc；xkcnx1Lk 1C：xn(1nx)1，代入-1-1 即可求得答案；(n)由于g(x) f/x)2fs(x) 3f6(x) 4f7(x)(1 x)42(1 x)53(1x)64(1 x)710，利用二項(xiàng)式定理即可得到x4項(xiàng)的系數(shù);(川)可設(shè)h(x) (1 x)m 12(1 x)m 2L L簡(jiǎn)即可得證【詳解】即當(dāng)n k 1時(shí)，存在a111成立4,b1*k 143k 155525由( 1 1) (2 2)得:存在實(shí)數(shù)aann(1 x)m n，找出含xm 1項(xiàng)的系數(shù),利用錯(cuò)(1