邏輯函數(shù)化簡方法

1、一、標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式一、標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式) ( A ,B ,CFY CBABCACABABC CAAB 1. 2. 1 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式和最簡式邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式和最簡式)()(BBCACCAB 標(biāo)準(zhǔn)與標(biāo)準(zhǔn)與或式或式標(biāo)準(zhǔn)與或式就是最小項(xiàng)之和的形式標(biāo)準(zhǔn)與或式就是最小項(xiàng)之和的形式最小項(xiàng)最小項(xiàng)1. 最小項(xiàng)的概念：最小項(xiàng)的概念： 包括所有變量的乘積項(xiàng)，每個(gè)變量均以原變量或包括所有變量的乘積項(xiàng)，每個(gè)變量均以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。反變量的形式出現(xiàn)一次。) ( A ,B FY ( ( 2 變量共有變量共有 4 個(gè)最小項(xiàng)個(gè)最小項(xiàng)) )BABABAAB) (A ,B ,C ,DFY ( ( 4 變量共

2、有變量共有 16 個(gè)最小項(xiàng)個(gè)最小項(xiàng)) )( ( n 變量共有變量共有 2n 個(gè)最小項(xiàng)個(gè)最小項(xiàng)) )DCBADCBADABCABCDDCBA) ( A ,B ,CFY ( ( 3 變量共有變量共有 8 個(gè)最小項(xiàng)個(gè)最小項(xiàng)) )CBACBACBABCACBACBACABABC1 CBA1 CBA對應(yīng)規(guī)律：對應(yīng)規(guī)律：1 原變量原變量 0 反變量反變量2. 最小項(xiàng)的性質(zhì)：最小項(xiàng)的性質(zhì)：00000001000000100000010000001000000100000010000001000000100000000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B CCB

3、ACBACBABCACBACBACABABC(1) 任一最小項(xiàng)，只有一組對應(yīng)變量取值使其值為任一最小項(xiàng)，只有一組對應(yīng)變量取值使其值為 1 ；A B C 0 0 1A B C 1 0 1(2) 任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為 0 ；(3) 全體最小項(xiàng)之和為全體最小項(xiàng)之和為 1 。3. 最小項(xiàng)的編號：最小項(xiàng)的編號： 把與最小項(xiàng)對應(yīng)的變量取值當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與之把與最小項(xiàng)對應(yīng)的變量取值當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與之相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是該最小項(xiàng)的編號，用相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是該最小項(xiàng)的編號，用 mi 表示。表示。對應(yīng)規(guī)律：對應(yīng)規(guī)律：原變量原變量 1 反變量反變量 0CBACBACBABCACBACBAC

4、ABABC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10 1 234567m0m1m2m3m4m5m6m74. 最小項(xiàng)是組成邏輯函數(shù)的基本單元最小項(xiàng)是組成邏輯函數(shù)的基本單元CAABA ,B ,CFY ) ( BCA CBAABCCAB 3176mmmm m7 , 6 , 3 , 1 任何邏輯函數(shù)都是由其變量的若干個(gè)最小項(xiàng)構(gòu)成，任何邏輯函數(shù)都是由其變量的若干個(gè)最小項(xiàng)構(gòu)成，都可以表示成為最小項(xiàng)之和的形式。都可以表示成為最小項(xiàng)之和的形式。)()(BBCACCABY 例例 寫出下列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式：寫出下列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式： 解解 或或m6m7m1m3 例例 寫出下

5、列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式：寫出下列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式：CBADABY )( )( )(CBDABA )( )(CBD BA DCBCABA )()()(AADCBBBCACCBA DCBADCBACBACBABCA DCBADCBADCBADCBA DCBADCBADBCABCDA m7m6m5m4m1m0m88014567mmmmmmm ) 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 1 , 0 (mm0與前面與前面m0相重相重最簡最簡或與式或與式最簡最簡與或非式與或非式二、二、邏輯函數(shù)的最簡表達(dá)式及相互轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)的最簡表達(dá)式及相互轉(zhuǎn)換BCCAABY 最簡最簡與或式與或式CAAB 最簡最簡與非與非-與

6、非式與非式最簡最簡或與非式或與非式CBCABA )()(CA BA CA BA 最簡最簡或非或非-或非式或非式CAAB CA BA 最簡最簡或非或非-或式或式)(CABA 核心核心1. 2. 2 邏輯函數(shù)的公式化簡法邏輯函數(shù)的公式化簡法一、一、并項(xiàng)法并項(xiàng)法: :ABAAB BACABABCY BAAB B CBACABCBAABCY )()(CBCBA C BBCA A )(CBACBA 例例 1. 2. 8 例例 （與或式（與或式最簡與或式）最簡與或式）公式公式定理定理二、二、吸收法：吸收法：AABA EBDAABY EBDABA BA BCDC BA BCAAY )( )()()(DC B

7、A BCABCA BCA 例例 1. 2. 10 例例 例例 1. 2. 11 CDBCDAABY CDBAAB )( CDABAB AB BA 三、三、消去法：消去法：BABAA CBCAABY CBAAB)( CABAB CAB ABCCBABABAY )()(BCBA CBB A )()(CBA CB A ACCABABA CBABA 例例 例例 1. 2. 13 四、四、配項(xiàng)消項(xiàng)法：配項(xiàng)消項(xiàng)法：CAABBCCAAB AB ABCACB 或或BCCACACB BCCABA BCCABACBACBAY CBACBA BCCABA BA BCCACACBY 或或BCCABACBACBA 例例

8、 例例 1. 2. 15 冗余項(xiàng)冗余項(xiàng)冗余項(xiàng)冗余項(xiàng)綜合練習(xí)：綜合練習(xí)：EACDECBEDCBBEAACEY DCBACDCBBAACE ) (DCBEADEBECE DCBEADCBE )(DCBEADCBE DCBEAE DCBE DCBADBCE ) (1. 2. 3 邏輯函數(shù)的圖形化簡法邏輯函數(shù)的圖形化簡法一、邏輯變量的卡諾圖一、邏輯變量的卡諾圖(Karnaugh maps)卡諾圖：卡諾圖：1. 二變量二變量 的卡諾圖的卡諾圖最小項(xiàng)方格圖最小項(xiàng)方格圖( (按循環(huán)碼排列按循環(huán)碼排列) )( (四個(gè)最小項(xiàng)四個(gè)最小項(xiàng)) )ABAABBBABABAAB0mAB01011m2m3mAB01012.

9、 變量卡諾圖的畫法變量卡諾圖的畫法三變量三變量 的卡諾圖：的卡諾圖：八個(gè)最小項(xiàng)八個(gè)最小項(xiàng)ABC010001 10 1111 10卡諾圖的實(shí)質(zhì)：卡諾圖的實(shí)質(zhì)：邏輯相鄰邏輯相鄰幾何相鄰幾何相鄰邏輯不相鄰邏輯不相鄰邏輯相鄰邏輯相鄰邏輯相鄰邏輯相鄰緊挨著緊挨著行或列的兩頭行或列的兩頭對折起來位置重合對折起來位置重合邏輯相鄰：邏輯相鄰：兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同邏輯相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)可以邏輯相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)可以合并成一項(xiàng)，并消去一個(gè)因子。合并成一項(xiàng)，并消去一個(gè)因子。如：如：CABCACBA m0m1m2m3m4m5m6m7五變量五變量 的卡諾圖：的卡諾圖：四變量四變量 的卡諾圖：

10、的卡諾圖：十六個(gè)最小項(xiàng)十六個(gè)最小項(xiàng)ABCD0001111000 01 11 10 當(dāng)變量個(gè)數(shù)超過當(dāng)變量個(gè)數(shù)超過六個(gè)以上時(shí)，無法使六個(gè)以上時(shí)，無法使用圖形法進(jìn)行化簡。用圖形法進(jìn)行化簡。ABCDE00011110000 001 011 010 110 111 101 100以此軸為對稱軸（對折后位置重合）以此軸為對稱軸（對折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21幾幾何何相相鄰鄰幾

11、何相鄰幾何相鄰幾何相鄰幾何相鄰三十二個(gè)最小項(xiàng)三十二個(gè)最小項(xiàng)3. 卡諾圖的特點(diǎn)：卡諾圖的特點(diǎn)：用幾何相鄰表示邏輯相鄰用幾何相鄰表示邏輯相鄰(1) 幾何相鄰：幾何相鄰：相接相接 緊挨著緊挨著相對相對 行或列的兩頭行或列的兩頭相重相重 對折起來位置重合對折起來位置重合(2) 邏輯相鄰：邏輯相鄰：CABCBA CBCBAA )(例如例如兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同化簡方法：化簡方法：卡諾圖的缺點(diǎn)：卡諾圖的缺點(diǎn)：函數(shù)的變量個(gè)數(shù)不宜超過函數(shù)的變量個(gè)數(shù)不宜超過 6 個(gè)。個(gè)。邏輯相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)可以合并成一邏輯相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)可以合并成一項(xiàng)，并消去一個(gè)因子。項(xiàng)，并消去一個(gè)因子。4. 卡

12、諾圖中最小項(xiàng)合并規(guī)律：卡諾圖中最小項(xiàng)合并規(guī)律：(1) 兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去一個(gè)因子兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去一個(gè)因子ABC010001 11 100432CBCBACBA BACBACBA ABCD0001111000 01 11 101946DCBDCBADCBA DBADCBADCBA (2) 四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去兩個(gè)因子四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去兩個(gè)因子ABCD0001111000 01 11 1004128DC 321011CB ABCD0001111000 01 11 105713 15BD02810DB 81240mmmm DCBADCABDCBADCBA DC 111

13、023mmmm DCBADCBADCBADCBA CB 151375mmmm DCBADCBADCBADCBA BD 10820mmmm DCBADCBADCBADCBA DB (3) 八個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去三個(gè)因子八個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去三個(gè)因子ABCD0001111000 01 11 1004128C 321011B ABCD0001111000 01 11 105713 15B02810D151394612142n 個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去 n 個(gè)因子個(gè)因子總結(jié)：總結(jié)：二、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法二、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法1. 根據(jù)變量個(gè)數(shù)畫出相應(yīng)的卡諾圖；根

14、據(jù)變量個(gè)數(shù)畫出相應(yīng)的卡諾圖；2. 將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式；將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式； 3. 在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對應(yīng)的位置上填入在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對應(yīng)的位置上填入 1 ， 其余位置填其余位置填 0 或不填?；虿惶睢?例例 ) (C B , A ,FY ACBCAB CBABCACABABC ABC010001 11 1011110000三、三、 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)化簡步驟化簡步驟: :(1) 畫函數(shù)的卡諾圖畫函數(shù)的卡諾圖(2) 合并最小項(xiàng)：合并最小項(xiàng)： 畫包圍圈畫包圍圈(3) 寫出最簡與或表達(dá)式寫出最簡與或表達(dá)式 例例 1. 2. 20 CBADCACBCDB

15、Y ABCD0001111000 01 11 1011111111CB DBACBACBADB ACBY 解解 CBADCACBCDBY ABCD0001111000 01 11 1011111111畫包圍圈的原則：畫包圍圈的原則： (1) 先圈孤立項(xiàng)，再圈僅有一先圈孤立項(xiàng)，再圈僅有一種合并方式的最小項(xiàng)。種合并方式的最小項(xiàng)。 (2) 圈越大越好，但圈的個(gè)數(shù)圈越大越好，但圈的個(gè)數(shù)越少越好。越少越好。 (3) 最小項(xiàng)可重復(fù)被圈，但每最小項(xiàng)可重復(fù)被圈，但每個(gè)圈中至少有一個(gè)新的最小項(xiàng)。個(gè)圈中至少有一個(gè)新的最小項(xiàng)。 (4) 必需把組成函數(shù)的全部最小項(xiàng)圈完，并做認(rèn)真必需把組成函數(shù)的全部最小項(xiàng)圈完，并做認(rèn)真

16、比較、檢查才能寫出最簡與或式。比較、檢查才能寫出最簡與或式。不正確不正確的畫圈的畫圈 例例 mD,C,B,AF) 15 , 13 , 21 , 8 , 6 , 5 , 4 , 1 () ( 解解 (1) 畫函數(shù)的卡諾圖畫函數(shù)的卡諾圖ABCD0001111000 01 11 1011111111(2) 合并最小項(xiàng)：合并最小項(xiàng)： 畫包圍圈畫包圍圈(3) 寫出最簡與或表達(dá)式寫出最簡與或表達(dá)式多余多余的圈的圈DBAABDDCADCAY 注意：注意：先圈孤立項(xiàng)先圈孤立項(xiàng)利用圖形法化簡函數(shù)利用圖形法化簡函數(shù)利用圖形法化簡函數(shù)利用圖形法化簡函數(shù) 例例 mF) 15 , 14 , 11 , 10 , 8 ,

17、4 , 3 , 2 , 1 , 0 ( 解解 (1) 畫函數(shù)的卡諾圖畫函數(shù)的卡諾圖ABCD0001111000 01 11 101111111111(2) 合并最小項(xiàng)：合并最小項(xiàng)： 畫包圍圈畫包圍圈(3) 寫出最簡與或?qū)懗鲎詈喤c或 表達(dá)式表達(dá)式D BD C AACB AY 例例 用圖形法求反函數(shù)的最簡與或表達(dá)式用圖形法求反函數(shù)的最簡與或表達(dá)式ACBCABY 解解 (1) 畫函數(shù)的卡諾圖畫函數(shù)的卡諾圖ABC010001 11 1011110000(2) 合并函數(shù)值為合并函數(shù)值為 0 的最小項(xiàng)的最小項(xiàng)(3) 寫出寫出 Y 的反函數(shù)的的反函數(shù)的 最簡與或表達(dá)式最簡與或表達(dá)式CACBBAY 1. 2.

18、 4 具有約束的邏輯函數(shù)的化簡具有約束的邏輯函數(shù)的化簡一、一、 約束的概念和約束條件約束的概念和約束條件(1) 約束：約束： 輸入變量取值所受的限制輸入變量取值所受的限制例如，例如，邏輯變量邏輯變量 A、B、C，分別表示電梯的分別表示電梯的 升、降、停升、降、停 命令命令。A = 1 表示升表示升，B = 1 表示降表示降，C = 1 表示停表示停。ABC 的可能取值的可能取值(2) 約束項(xiàng)：約束項(xiàng)：不會出現(xiàn)的變量取值所對應(yīng)的最小項(xiàng)。不會出現(xiàn)的變量取值所對應(yīng)的最小項(xiàng)。不可能取值不可能取值0010101000000111011101111. 約束、約束項(xiàng)、約束條件約束、約束項(xiàng)、約束條件(3) 約束條件：約束條件：ABCCABCBABCACBA 0 ABCCABCBABCAC B A(2) 在邏輯表達(dá)式中，用等于在邏輯表達(dá)式中，用等于 0 的條件等式表示。的條件等式表示。000011101110111由約束項(xiàng)相加所構(gòu)成的值為由約束項(xiàng)相加所構(gòu)成的值為 0 的的邏輯表達(dá)式。邏輯表達(dá)式。約束項(xiàng)：約束項(xiàng)：約束條件：約束條件：或或0) 7 , 6 , 5 , 3 , 0 ( d2. 約束條件的表示方法約束條件的表示方法(1) 在真值表和