第6章積分和微分運算ppt課件

1、第第6 6章章 積分和微分運算積分和微分運算積分和微分是微積分的重要內容，本章將對積分和微分的內積分和微分是微積分的重要內容，本章將對積分和微分的內容進行詳細的介紹。積分包括單變量數(shù)值積分、雙重積容進行詳細的介紹。積分包括單變量數(shù)值積分、雙重積分和三重積分等。然后介紹了常微分方程的符號解和數(shù)分和三重積分等。然后介紹了常微分方程的符號解和數(shù)值解。最后介紹了如何求函數(shù)的最小值和零點。值解。最后介紹了如何求函數(shù)的最小值和零點。6.1 6.1 數(shù)值積分數(shù)值積分MATLAB提供了一些進行定積分的專用函數(shù)，用戶可以很方提供了一些進行定積分的專用函數(shù)，用戶可以很方便的進行單變量數(shù)值積分、雙重積分和三重積分等

2、。下便的進行單變量數(shù)值積分、雙重積分和三重積分等。下面將首先介紹定積分的概念，然后對這些函數(shù)進行詳細面將首先介紹定積分的概念，然后對這些函數(shù)進行詳細的介紹。的介紹。6.1.1 6.1.1 定積分概念定積分概念函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的定積分，記作：上的定積分，記作：其中其中f(x)稱為被積函數(shù)，稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，稱為被積表達式，x稱為積分稱為積分變量，變量，a稱為積分下限，稱為積分下限，b稱為積分上限，區(qū)間稱為積分上限，區(qū)間a, b稱為稱為積分區(qū)間。積分區(qū)間。 01( )lim( )nbiiaxif x dxfx 6.1.2 6.1.2 利用梯形求面積利用

3、梯形求面積求解定積分的數(shù)值方法有很多，例如簡單的梯形法、求解定積分的數(shù)值方法有很多，例如簡單的梯形法、Simpson法和法和Romberg法等等都是數(shù)值分析課程中經(jīng)常法等等都是數(shù)值分析課程中經(jīng)常介紹的方法。它們的基本思想是將整個積分空間分割成介紹的方法。它們的基本思想是將整個積分空間分割成若干個子空間。這樣積分問題，就轉換為求和問題。若干個子空間。這樣積分問題，就轉換為求和問題。求取定積分的最直觀的方法是用梯形法，用直線將這些點連求取定積分的最直觀的方法是用梯形法，用直線將這些點連接起來，定積分近似為用這些折線和接起來，定積分近似為用這些折線和x軸間圍成的面積。軸間圍成的面積。在在MATLAB

4、中，采用函數(shù)中，采用函數(shù)trapz( )可以直接采用梯形法求解可以直接采用梯形法求解定積分的近似值。定積分的近似值。6.1.3 6.1.3 利用矩形求面積利用矩形求面積函數(shù)函數(shù)cumsum( )采用矩形法求解定積分的近似值。該函數(shù)的調用采用矩形法求解定積分的近似值。該函數(shù)的調用格式為：格式為：y=cumsum(X)：該函數(shù)采用矩形法計算定積分的近似值。：該函數(shù)采用矩形法計算定積分的近似值。y=cumsum(X, DIM)：在第：在第DIM維來計算定積分的近似值。維來計算定積分的近似值。6.1.4 6.1.4 單變量數(shù)值積分求解單變量數(shù)值積分求解在在MATLAB中，采用函數(shù)中，采用函數(shù)quad(

5、 )來求解定積分的數(shù)值解，該來求解定積分的數(shù)值解，該函數(shù)采用自適應變步長的方法。該函數(shù)的調用格式為：函數(shù)采用自適應變步長的方法。該函數(shù)的調用格式為：y=quad(Fun, a, b)：求函數(shù)：求函數(shù)Fun的定積分，定積分的下限為的定積分，定積分的下限為a，定積分的上限為，定積分的上限為b。y=quad(Fun, a, b, )：該函數(shù)的輸入?yún)?shù)：該函數(shù)的輸入?yún)?shù)用來指定誤差限用來指定誤差限，默認值為，默認值為10-6。此外，還有函數(shù)此外，還有函數(shù)quadl( )，其調用格式和函數(shù)，其調用格式和函數(shù)quad( )完全一致完全一致，但是求解的精度和速度高于函數(shù)，但是求解的精度和速度高于函數(shù)quad

6、( )。6.1.4 6.1.4 雙重積分求解雙重積分求解在在MATLAB中，可以通過函數(shù)中，可以通過函數(shù)dblquad( )計算雙重積分的數(shù)計算雙重積分的數(shù)值解，雙重積分的格式為：值解，雙重積分的格式為：該函數(shù)的調用格式為：該函數(shù)的調用格式為：q=dblquad(Fun, xm, xM, ym, yM)：該函數(shù)計算矩形區(qū)域：該函數(shù)計算矩形區(qū)域的雙重積分。的雙重積分。q=dblquad(Fun, xm, xM, ym, yM, )：該函數(shù)限定雙重積：該函數(shù)限定雙重積分的精度為。分的精度為。 ( ,)yMxMymxmfx y dxdy6.1.5 6.1.5 三重定積分求解三重定積分求解在在MATL

7、AB中，可以通過函數(shù)中，可以通過函數(shù)triplequad( )計算三重積分的計算三重積分的數(shù)值解，三重積分的格式為：數(shù)值解，三重積分的格式為：q=dblquad(Fun, xm, xM, ym, yM, zm, zM)：該函數(shù)計算：該函數(shù)計算三重積分。三重積分。q=dblquad(Fun, xm, xM, ym, yM, zm, zM, tol)：該函數(shù)的：該函數(shù)的輸入?yún)?shù)輸入?yún)?shù)tol是積分的精度控制量，默認為是積分的精度控制量，默認為10-6，為了提，為了提高計算的精度，可以選擇更小的值。高計算的精度，可以選擇更小的值。 ( , , )zMyMxMzmymxmf x y z dxdydz

8、6.2 6.2 常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程Ordinary Differential Equation， ODE求求解是高等數(shù)學的基礎內容，在實際中有廣泛的應用。解是高等數(shù)學的基礎內容，在實際中有廣泛的應用。MATLAB提供了很多函數(shù)用于求解常微分方程，包括常提供了很多函數(shù)用于求解常微分方程，包括常微分方程的符號解和常微分方程的數(shù)值解。微分方程的符號解和常微分方程的數(shù)值解。6.2.1 6.2.1 常微分方程符號解常微分方程符號解在在MATLAB中，采用函數(shù)中，采用函數(shù)dsolve( )求解常微分方差的符號解求解常微分方差的符號解。Dy表示一階微分項，表示一階微分項，D2y表示二階

9、微分項。該函數(shù)的調表示二階微分項。該函數(shù)的調用格式為：用格式為：dsolve(equation)：該函數(shù)求微分方程的通解。：該函數(shù)求微分方程的通解。dsolve(equation, condition)：該函數(shù)求微分方程的特解。：該函數(shù)求微分方程的特解。dsolve(equation1, equation2, , condation1, condition2)：該函數(shù)求解微分方程組。：該函數(shù)求解微分方程組。dsolve(, v)：該函數(shù)求解微分方程，并表示為：該函數(shù)求解微分方程，并表示為v的函數(shù)。的函數(shù)。6.2.2 6.2.2 常微分方程數(shù)值解常微分方程數(shù)值解對于大多數(shù)的微分方程，很難求出一般

10、解，可以求滿足規(guī)定對于大多數(shù)的微分方程，很難求出一般解，可以求滿足規(guī)定精度的近似解，即數(shù)值解。在精度的近似解，即數(shù)值解。在MATLAB 2019a中，提供中，提供了常微分方程的了常微分方程的7種解法，它們是函數(shù)種解法，它們是函數(shù)ode45( )、ode23( )、ode113( )、ode15s( )、ode23s( )、ode23t( )、ode23tb( )。6.3 6.3 函數(shù)的極小值和零點函數(shù)的極小值和零點求函數(shù)的最小值和零點是工程上常見的問題，在求函數(shù)的最小值和零點是工程上常見的問題，在MATLAB中中提供了一些函數(shù)能夠用于求解函數(shù)的最小值和零點。對提供了一些函數(shù)能夠用于求解函數(shù)的最

11、小值和零點。對于求解最大值的問題，可以在原函數(shù)上乘以于求解最大值的問題，可以在原函數(shù)上乘以-1，然后求最，然后求最小值。下面介紹如何求函數(shù)的極小值和零點。小值。下面介紹如何求函數(shù)的極小值和零點。6.3.1 6.3.1 一元函數(shù)的最小值一元函數(shù)的最小值在在MATLAB中，采用函數(shù)中，采用函數(shù)fminbnd( )求解一元函數(shù)在給定的求解一元函數(shù)在給定的區(qū)間內的最小值，該函數(shù)的調用格式為：區(qū)間內的最小值，該函數(shù)的調用格式為：x=fminbnd(fun, x1, x2)：該函數(shù)在區(qū)間：該函數(shù)在區(qū)間x1, x2內尋找函數(shù)內尋找函數(shù)fun的最小值，的最小值，fun為匿名函數(shù)或函數(shù)句柄，為匿名函數(shù)或函數(shù)句柄

12、，x為最小值的為最小值的自變量取值。自變量取值。x=fminbnd(fun, x1, x2, options)：該函數(shù)采用：該函數(shù)采用options進進行優(yōu)化器的設置。行優(yōu)化器的設置。options可以采用函數(shù)可以采用函數(shù)optimset( )來設來設置。置。x, fval=fminbnd()：該函數(shù)返回輸出變量最小值：該函數(shù)返回輸出變量最小值fval。6.3.2 6.3.2 多元函數(shù)的最小值多元函數(shù)的最小值在在MATLAB中，采用函數(shù)中，采用函數(shù)fminsearch( )求多元函數(shù)的最小求多元函數(shù)的最小值。該函數(shù)需要指定一個起始點值。該函數(shù)需要指定一個起始點x0，然后得到在點，然后得到在點x

13、0附附近的局部最小值。該函數(shù)的調用格式為：近的局部最小值。該函數(shù)的調用格式為：x=fminsearch(fun, x0)：該函數(shù)獲取函數(shù)：該函數(shù)獲取函數(shù)fun在在x0點附近的點附近的最小值點，最小值點，x為最小值的自變量的取值。為最小值的自變量的取值。x=fminsearch(fun, x0, options)：該函數(shù)通過：該函數(shù)通過options對優(yōu)對優(yōu)化器的參數(shù)進行設置?；鞯膮?shù)進行設置。x, fval=fminsearch()：該函數(shù)返回最小值：該函數(shù)返回最小值fval。6.3.3 6.3.3 一元函數(shù)的零點一元函數(shù)的零點在在MATLAB中，利用函數(shù)中，利用函數(shù)fzero( )求一元函

14、數(shù)的零點。用戶求一元函數(shù)的零點。用戶可以指定一個區(qū)間或開始點。如果用戶知道函數(shù)零點所可以指定一個區(qū)間或開始點。如果用戶知道函數(shù)零點所在的區(qū)間，則可以使用一個包含兩個元素的向量來指定在的區(qū)間，則可以使用一個包含兩個元素的向量來指定區(qū)間。如果不知道取零點的區(qū)間，也可以指定一個開始區(qū)間。如果不知道取零點的區(qū)間，也可以指定一個開始點，函數(shù)在開始點附近尋找使函數(shù)值改變符號的區(qū)間，點，函數(shù)在開始點附近尋找使函數(shù)值改變符號的區(qū)間，如果沒有找到這樣的區(qū)間，則返回值為如果沒有找到這樣的區(qū)間，則返回值為NaN。x=fzero(fun, x0)：該函數(shù)求一元函數(shù)：該函數(shù)求一元函數(shù)fun的零點，返回值為的零點，返回值為零點的自變量的值。零點的自變量的值。x=fzero(fun, x0, options)：該函數(shù)通過：該函數(shù)通過options對優(yōu)化器的對優(yōu)化器的參數(shù)進行設置。參數(shù)進行設置。x, fval=fzero()：該函數(shù)輸出自變量為：該函數(shù)輸出自變量為x時的函