理學(xué)數(shù)值分析節(jié)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1理學(xué)理學(xué)(lxu)數(shù)值分析節(jié)數(shù)值分析節(jié)第一頁，共80頁。2 設(shè) 是 上線性無關(guān)函數(shù)族，)(,),(),(10 xxxn,baC在 中找一函數(shù) ，)(,),(),(10 xxxspann)(*xS使誤差(wch)平方和miiimiiyxS02*0222)(,)(min02)(miiixSyxS（5.1）這里(zhl) )()()()(1100 xaxaxaxSnn).(mn （5.2）第1頁/共80頁第二頁，共80頁。3 這個問題稱為最小二乘逼近(bjn)，幾何上稱為曲線擬合的最小二乘法. 用最小二乘求擬合曲線時,首先要確定 的形式.)(xS 確定 的形式問題不僅是數(shù)學(xué)問題, 還與問題的

2、實際背景有關(guān).)(xS 通常要用問題的運動規(guī)律及給定(i dn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)描圖,確定 的形式, 然后通過實際計算選出較好的結(jié)果.)(xS第2頁/共80頁第三頁，共80頁。4 為了使問題(wnt)的提法更有一般性，通常在最小二乘法中考慮加權(quán)平方和 )()()()(1100 xaxaxaxSnn)(mn （5.2）,)()(0222miiiiyxSx（5.3）這里 是 上的權(quán)函數(shù)，它表示不同點 處的數(shù)據(jù)比重不同. 0)(x,ba)(,(iixfx就是 次多項式.)(xSn 若 是 次多項式，)(xkk 的一般表達(dá)式為（5.2）表示的線性形式. )(xS第3頁/共80頁第四頁，共80頁。5 這樣

3、，最小二乘問題(wnt)就轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù) ),(10naaaIminjiijjixfxax002)()()(（5.4）的極小點 問題. ),(*1*0naaa 用最小二乘法求擬合曲線的問題，就是在形如(5.2)的 中求一函數(shù) ，)(xS)(*xSy 由求多元函數(shù)極值(j zh)的必要條件，有 minjikiijjikxxfxaxaI000)()()()(2)., 1 ,0(nk使（5.3）取得(qd)最小.)()()()(1100 xaxaxaxSnn)(mn （5.2）.)()(0222miiiiyxSx（5.3）第4頁/共80頁第五頁，共80頁。6若記 , )()()(),(0miiki

4、jikjxxx（5.5）kmiikiikdxxfxf0)()()(),()., 1,0(nk上式可改寫(gixi)為 knjjjkda 0),()., 1,0(nk（5.6）這個(zh ge)方程稱為法方程，可寫成矩陣(j zhn)形式第5頁/共80頁第六頁，共80頁。7其中 ,),(,),(T10T10nndddaaada.),(),(),(),(),(),(),(),(),(101110101000nnnnnnG（5.7）,dGa 要使法方程(5.6)有惟一解，就要求矩陣 非奇異，G而 在 上線性無關(guān)不能推出)(,),(),(10 xxxn,ba矩陣 非奇異，必須加上另外的條件. Gknj

5、jjkda 0),()., 1,0(nk（5.6）第6頁/共80頁第七頁，共80頁。8 顯然 在任意 個點上滿足哈爾條件. nxx, 1)(nmm哈爾條件，則法方程(5.6) 的系數(shù)矩陣(5.7) 非奇異， 如果 在 上滿足,)(,),(),(10baxxxnmix0函數(shù) 的最小二乘解為)(xf 定義(dngy)10設(shè) 的任意線,)(,),(),(10baxxxn性組合在點集 上至多只有 個)(, 1 , 0,nmmixin不同的零點，則稱 在點集 )(,),(),(10 xxxn, 1 , 0,mixi上滿足哈爾哈爾( (Haar)條件條件., 1 ,0,*nkaakk方程(5.6)存在惟一

6、的解從而(cng r)得到于是(ysh)knjjjkda 0),()., 1,0(nk（5.6）第7頁/共80頁第八頁，共80頁。9,)()()()()()(0202*miiiimiiiixfxSxxfxSx這樣得到的 ，)(*xS對任何形如(5.2)的 ，)(xS).()()()(*1*10*0*xaxaxaxSnn都有故 確是所求最小二乘解. )(*xS)()()()(1100 xaxaxaxSnn)(mn （5.2）第8頁/共80頁第九頁，共80頁。10一般可取 ，但這樣做當(dāng) 時，, 1nxxspan3n通常對 的簡單情形都可通過求法方程（5.6）得到 1n).(*xS 給定 的離散數(shù)據(jù)

7、 ，, 1 ,0),(miyxii)(xf 例如， ，bxaxSe)(,ln)(lnbxaxS求解法方程（5.6）將出現(xiàn)系數(shù)矩陣 為病態(tài)的問題，G 有時根據(jù)給定數(shù)據(jù)圖形，其擬合函數(shù) 表面上)(xfy 不是（5.2）的形式，但通過變換仍可化為線性模型. 若兩邊(lingbin)取對數(shù)得knjjjkda 0),()., 1,0(nk（5.6）)()()()(1100 xaxaxaxSnn)(mn （5.2）第9頁/共80頁第十頁，共80頁。11 例例7 7113125.8865.4454321iiifx這樣(zhyng)就變成了形如（5.2）的線性模型 .此時(c sh)，若令 則,ln),(ln

8、)(bBaAxSxS,)(BxAxS已知一組實驗數(shù)據(jù)(shj)如下，求它的擬合曲線. 第10頁/共80頁第十一頁，共80頁。12 解解 從圖中看到各點在一條直線附近，故可選擇(xunz)線性函數(shù)作擬合曲線， 將所給數(shù)據(jù)(shj)在坐標(biāo)紙上標(biāo)出，見圖3-4.圖3-4第11頁/共80頁第十二頁，共80頁。13 令,)(101xaaxS,8),(4000ii,22),(),(400110iiix,74),(40211iiix,47),(400iiiff.5.145),(401iiiifxf, 1)(, 1,40 xnm這里故 ,)(1xx 第12頁/共80頁第十三頁，共80頁。14. 5 .1457

9、422,472281010aaaa解得.13.1,77.210aa.13. 177. 2)(*1xxS由（5.6）得方程組 于是(ysh)所求擬合曲線為knjjjkda 0),()., 1,0(nk（5.6）第13頁/共80頁第十四頁，共80頁。15 關(guān)于多項式擬合，Matlab中有現(xiàn)成(xinchng)的程序 ),(polyfitmyxa 其中輸入?yún)?shù) 為要擬合的數(shù)據(jù)， 為擬合多項式的次數(shù)，yx,m輸出參數(shù) 為擬合多項式的系數(shù).a 利用(lyng)下面的程序，可在Matlab中完成上例的多項式擬合.第14頁/共80頁第十五頁，共80頁。16x=1 1 2 3 3 3 4 5; f=4 4 4

10、.5 6 6 6 8 8.5;aa=poly(x,f,1);y=polyval(aa,x);plot(x,f,r+,x,y,k)xlabel(x);ylabel(y);gtext(y=s1(x)）第15頁/共80頁第十六頁，共80頁。17結(jié)果(ji gu)如下：第16頁/共80頁第十七頁，共80頁。18 例例8 8設(shè)數(shù)據(jù) 由表3-1給出，)4,3,2, 1 ,0)(,(iyxii,ebxay用最小二乘法確定 及 . ab46.845.753.679.510.500.200.143210iiyxi1表3 解解,lniiyy 表中第4行為通過(tnggu)描點可以看出數(shù)學(xué)模

11、型為它不是(b shi)線性形式. ,ebxay用給定數(shù)據(jù)描圖可確定擬合曲線方程為兩邊(lingbin)取對數(shù)得第17頁/共80頁第十八頁，共80頁。19 若令,ln,lnaAyy先將 轉(zhuǎn)化為),(iiyx),(iiyx為確定 ，bA, 根據(jù)最小二乘法，取 , 1)(,)(, 1)(10 xxxx.lnlnbxay., 1,xbxAy則得數(shù)據(jù)表見表3-1.得,5),(00,5.7),(4010iix,875.11),(40211iix135.2008.2876.1756.1629.146.845.753.679.510.500.200.143210iiiyyxi1表3第

12、18頁/共80頁第十九頁，共80頁。20.422.14),(401iiiyxy,404.9),(400iiyy故有法方程(fngchng) .422.14875.1150. 7,404. 950. 75bAbA解得.071.3e,505.0,122.1AabA.e071.3505.0 xy 于是得最小二乘擬合(n h)曲線為 第19頁/共80頁第二十頁，共80頁。21 利用下面(xi mian)的程序，可在Matlab中完成曲線擬合.x=1.00 1.25 1.50 1.75 2.00; y=5.10 5.79 6.53 7.45 8.46;y1=log(y);aa=poly(x,y1,1);

13、a=aa(1); b=exp(aa(2);y2=b*exp(a*x);plot(x,y,r+,x,y2,k)xlabel(x);ylabel(y);gtext(y=a*exp(bx);第20頁/共80頁第二十一頁，共80頁。22結(jié)果(ji gu)如下：第21頁/共80頁第二十二頁，共80頁。23 如果 是關(guān)于點集)(,),(),(10 xxxn,0,0)()()(),(0kmiikijikjAxxx,kj ,kj （5.8） 用最小二乘法得到的法方程組（5.6），其系數(shù)矩陣 是病態(tài)的. G帶權(quán) 正交的), 1 ,0(mixi), 1 ,0()(mixi函數(shù)族，即knjjjkda 0),().,

14、 1,0(nk（5.6）第22頁/共80頁第二十三頁，共80頁。24miikimiikiikkkkxxxxfxfa020*)()()()()(),(),()., 1 ,0(nk（5.9）則方程(fngchng)（5.6）的解為 且平方(pngfng)誤差為 .)(02*2222nkkkaAfknjjjkda 0),()., 1,0(nk（5.6）第23頁/共80頁第二十四頁，共80頁。25 接下來根據(jù)給定節(jié)點 及權(quán)函數(shù) mxxx,10, 0)(x構(gòu)造帶權(quán) 正交的多項式 .)(x)(xPn 注意 ，用遞推公式表示 ，即mn )(xPk)()()()(),()()(, 1)(1110110 xPx

15、PxxPxPxxPxPkkkkk).1,2, 1(nk（5.10）這里 是首項系數(shù)為1的 次多項式，)(xPkk根據(jù) 的)(xPk正交性，得第24頁/共80頁第二十五頁，共80頁。26),(),(11kkkkPPPP（5.11）).1,2, 1(nkmiikimiikikxPxxPx02102)()()()(miikimiikiikxPxxPxx02021)()()()( 下面用歸納法證明這樣給出的 是正交的. )(xPk)(),()(),(xPxPxPxxPkkkk),(),(kkkkPPPxP第25頁/共80頁第二十六頁，共80頁。27),(),(),(0010010PPxPPPP 假定

16、對 及)(0),(slPPsl1, 1 ,0ls, 1 ,0kl要證 對 均成立. 0),(1skPPks, 1 ,0由（5.10）有 ),(),)(),(111skkskkskPPPPxPP 由（5.10）第二式及（5.11）中 的表達(dá)式，有 1),(),(),(),(00000000PPPPPxPxPP.0nk 均成立，（5.12）).,(),(),(11skkskkskPPPPPxP)()()()(),()()(, 1)(1110110 xPxPxxPxPxxPxPkkkkk).1,2, 1(nk（5.10）)()()()(),()()(, 1)(1110110 xPxPxxPxPxxP

17、xPkkkkk).1,2, 1(nk（5.10）第26頁/共80頁第二十七頁，共80頁。28 而 ，11ks, 0),(),(skskxPPPxP于是由（5.12），當(dāng) 時， 2 ks.0),(1skPP 另外， 是首項系數(shù)為1的 次多項式，它可由)(xxPs1s由歸納法假定(jidng)，當(dāng) 時20ks,0),(slPP.0),(1skPP110,sPPP的線性組合表示.由歸納法假定(jidng)又有),(),)(),(111skkskkskPPPPxPP（5.12）).,(),(),(11skkskkskPPPPPxP第27頁/共80頁第二十八頁，共80頁。29由假定(jidng)有 ),

18、(),(11kkkkxPPPxP 再考慮(kol) （5.13）),(),(),(),(1111111kkkkkkkkkkPPPPPxPPP),(10kjjjkkPcPP).,(kkPP利用（5.11）中 表達(dá)式及以上結(jié)果，得 k),(),(),(11111kkkkkkkPPPxPPP.0),(),(kkkkPPPP),(),(11kkkkkPPPP第28頁/共80頁第二十九頁，共80頁。30),(),(),(),(111kkkkkkkkkkPPPPPxPPP至此已證明了由（5.10）及（5.11）確定的多項式 )(xPk組成一個關(guān)于點集 的正交系.ix 用正交多項式 的線性組合作最小二乘曲線

19、擬合，)(xPk只要根據(jù)公式（5.10）及（5.11）逐步求 的同時，)(xPk相應(yīng)計算出系數(shù)*ka.0),(),(),(),(kkkkkkkkPPPPPxPPxP最后，由 和 的表達(dá)式（5.11）有 kk),(),(11kkkkkPPPP),(),(1kkkkkPPPxP第29頁/共80頁第三十頁，共80頁。31),(),(*kkkkPPPfa ), 1 ,0(nk并逐步把 累加到 中去，最后就可得到所求的 )(*xPakk)(xS).()()()(*1*10*0 xPaxPaxPaxSynn 用這種方法編程序不用(byng)解方程組，只用遞推公式，并且當(dāng)逼近次數(shù)增加一次時，只要把程序中循環(huán)

20、數(shù)加1，其余不用(byng)改變. 這里 可事先給定或在計算過程中根據(jù)誤差確定. n)()()()()(200ikmiimiikiixPxxPxfx擬合(n h)曲線第30頁/共80頁第三十一頁，共80頁。32 當(dāng) 是周期函數(shù)時，顯然用三角多項式逼近 比用代數(shù)多項式更合適，本節(jié)主要討論用三角多項式做最小平方逼近及快速傅里葉變換，快速傅里葉變換，簡稱FFT算法. )(xf)(xf第31頁/共80頁第三十二頁，共80頁。33 設(shè) 是以 為周期的平方可積函數(shù)，用三角多項式 )(xf2nxbnxaxbxaaxSnnnsincossincos21)(110（6.1）作為(zuwi)最佳平方逼近函數(shù). 由

21、于(yuy)三角函數(shù)族 kx,kx,x,x,sincossincos1在 上是正交函數(shù)族，于是 在 上的最小平方三角逼近多項式 的系數(shù)是 2,02,0)(xf)(xSn第32頁/共80頁第三十三頁，共80頁。34 稱為傅里葉系數(shù). kkba , 函數(shù) 按傅里葉系數(shù)展開得到的級數(shù) )(xf10)sincos(21kkkkxbkxaa（6.3）就稱為(chn wi)傅里葉級數(shù).20dcos)(1xkxxfak), 1 ,0(nk（6.2）), 1 ,0(nk20dsin)(1xkxxfbk第33頁/共80頁第三十四頁，共80頁。35 只要 在 上分段連續(xù)，則級數(shù)（6.3）一致收斂到 . )(xf

22、2,0)(xf 對于(duy)最佳平方逼近多項式（6.1）有 .)()()()(222222xSxfxSxfnn由此可以(ky)得到相應(yīng)于（4.11）的貝塞爾不等式 .d)(1)(2120212220 xxfbaankkk因為右邊不依賴于 ，左邊單調(diào)有界，所以級數(shù) n10)sincos(21kkkkxbkxaa（6.3）nxbnxaxbxaaxSnnnsincossincos21)(110（6.1）.)()(22122*xfxankkk（4.11）第34頁/共80頁第三十五頁，共80頁。36 當(dāng) 只在給定的離散點集 )(xf1, 1 ,0,2NjjNxj上已知時，則可類似得到離散點集正交性與相

23、應(yīng)(xingyng)的離散傅里葉系數(shù). 下面(xi mian)只給出奇數(shù)個點的情形. 12220)(21kkkbaa收斂(shulin)，并有 .0limlimkkkkba第35頁/共80頁第三十六頁，共80頁。37122mjxj),2, 1 ,0(mj可以證明對任何 成立 mlk,0令.,0,0sincos;0, 12,0212,0coscos;0,212,0,0sinsin202020mjkkxlxklmklmklkxlxklmklklkxlxmjjjmjjjmjjj第36頁/共80頁第三十七頁，共80頁。38這表明函數(shù)族 在點集sincossincos1mxmx,x,x,122mjxj上

24、正交. 若令),2, 1 ,0()(mjxffjj,),sincos(21)(10mnkxbkxaaxSnkkkn其中(qzhng) 則 的最小二)(xf乘三角逼近為), 1 ,0(122cos12220mkmjkfmamjjk第37頁/共80頁第三十八頁，共80頁。39當(dāng) 時 mn ,)2, 1 ,0()(mjfxSjjm于是(ysh) （6.4）)., 1(122sin12220nkmjkfmbmjjkmkkkmkxbkxaaxS10)sincos(21)(就是三角插值多項式，系數(shù)(xsh)仍由（6.4）表示. 第38頁/共80頁第三十九頁，共80頁。40由于(yuy) ),1i, 1,

25、1 , 0()sin(i)cos(eiNjjxjxjx所以函數(shù)族 在區(qū)間 上是正交的. e,e, 1)1( iixNx2,0 一般情形，假定 是以 為周期的復(fù)函數(shù)，給定 )(xf2在 個等分點 上的值)1, 1 , 0(2NjjNxj,2jNffjN.)e,e, 1(T)1(2i2iNNjNjj函數(shù) 在等距點集 上的值jxie)1, 1 ,0(2NkkNxkkjxie組成的向量記作第39頁/共80頁第四十頁，共80頁。41102i2ilee),(NkkNskNls當(dāng) 時， 個復(fù)向量 具有如下正交性： 1, 1 ,0Nj110,NN102)i(eNkkNsl（6.5）.,;,0slNsl第40頁

26、/共80頁第四十一頁，共80頁。42事實上，令,e2)(iNslr,0)1(, 10sNNl于是(ysh) , 1)1(NslN即 ; 1111NNNslNN若,0 sl.1e2)(islNr, 1,0Nsl若則有, 1r則從而(cng r)第41頁/共80頁第四十二頁，共80頁。43于是(ysh) 10l),(NkksrrrN11.0若,sl 10),(Nkkssr這就證明(zhngmng)了（6.5）成立. 即 是正交的. 110,N, 1r則于是(ysh).N 因此， 在 個點 上的最小二乘傅里葉逼近為 )(xf)1, 1 , 0(2NjjNxjN),(ls（6.5）.,;,0slNsl

27、第42頁/共80頁第四十三頁，共80頁。44,e)(10iNncxSnkkxk（6.6）其中(qzhng) .1, 1 ,0,e1102i -nkfNcNjNkjjk（6.7）在（6.6）中，若 ，Nn 則 為 在點)(xS)(xf)1, 1 ,0(Njxj上的插值函數(shù)，于是(ysh)由（6.6）得 ),()(jjxfxS即.1, 1 ,0,e102iNjcfNkjNkkj（6.8）第43頁/共80頁第四十四頁，共80頁。45 而（6.8）是由 求 的過程，稱為反變換反變換.kcjf（6.7）是由 求 的過程，jfkc稱為 的離散離散)(xf傅里葉變換傅里葉變換. 簡稱DFT，.1, 1 ,0

28、,e1102i -nkfNcNjNkjjk（6.7）.1, 1 ,0,e102iNjcfNkjNkkj（6.8）第44頁/共80頁第四十五頁，共80頁。46 不論是按（6.7）式由 求 ，jfkc由 求 ，kcjf, 1, 1 ,0,10NjwxcNkkjkj（6.9）其中 (正變換) )/2iexp(Nw或 (反變換)，)/2iexp(Nw ,kkba還是由（6.4）計算傅里葉逼近系數(shù)都可歸結(jié)為計算(j sun)1, 1 ,0(Nkxk是已知復(fù)數(shù)序列.或是(hu sh)按（6.8）mjjkmjkfma20122cos122（6.4）mjjkmjkfmb20122sin122第45頁/共80頁

29、第四十六頁，共80頁。47 當(dāng) 較大且處理數(shù)據(jù)很多時，就是用高速的電子計算機，很多實際問題仍然無法計算， N 如直接用（6.9）計算 ，需要 次復(fù)數(shù)乘法和 次jcNN復(fù)數(shù)加法，稱為 個操作，計算全部 共要 個操作. Njc2N 直到20世紀(jì)60年代中期產(chǎn)生了FFT算法，大大提高了運算速度(sd)，從而使傅氏變換得以廣泛應(yīng)用. FFT算法的基本思想就是盡量減少乘法(chngf)次數(shù)., 1, 1 ,0,10NjwxcNkkjkj（6.9）第46頁/共80頁第四十七頁，共80頁。48用（6.9）計算全部 ，jc表面看要做 個乘法，2N實際上所有 中，1, 1 , 0,),/2iexp(NkjNkj

30、只有 個不N,110Nwww同的值特別當(dāng) 時，只有 個不同的值.pN22/N 因此可把同一個 對應(yīng)的 相加后再乘 ，這就能大量減少乘法次數(shù).rwkxrw, 1, 1 ,0,10NjwxcNkkjkj（6.9）第47頁/共80頁第四十八頁，共80頁。49 設(shè)正整數(shù) 除以 后得商 及余數(shù) ，Nmqr則 ，rqNm稱為 的 同余數(shù)，以 表示. rmNrmN 由于, 1),/2iexp(2iewNwN 因此計算 時可用 的 同余數(shù) 代替 ，從而推出FFT算法. mwwNrm 以 為例. 說明FFT的計算方法. 32N 由于 則（6.9）的和是 , 121,03Njk.7, 1 ,0,70jwxckkj

31、kj（6.10）.)(rrqNmwwww故有第48頁/共80頁第四十九頁，共80頁。50將 用二進(jìn)制表示為 jk,),(222012001122kkkkkkk其中 只能取0或1. )2, 1 ,0(,rjkrr 例如).110(20226022根據(jù) 表示法，有jk,).(),(012012kkkxxjjjcckj公式(gngsh)（6.10）可表示為 );(222012001122jjjjjjj,70kkjkjwxc（6.10）第49頁/共80頁第五十頁，共80頁。51101010)222)(012012012001122012)()(kkkjjjkkkwkkkxjjjc（6.11）.)()0

32、0(10)0(1010)(012020011120120kjkkkjkkkkkjwwwkkkx 若引入記號(j ho) ),()(0120120kkkxkkkA,)()(10)00(01020123002kkjwjjkAjjjA（6.12）,)()(10)(0120001120120kkkkjwkkkAjkkA,)()(10)0(001101021011kkkjwjkkAjjkA第50頁/共80頁第五十一頁，共80頁。52則（6.11）變成 ).()(0123012jjjAjjjc 它說明利用 同余數(shù)可把計算 分為 步，用公式（6.12）計算. Njcp 每計算一個 只用2次復(fù)數(shù)乘法，計算一個

33、 用 qAjcp2次復(fù)數(shù)乘法，計算全部 共用 次復(fù)數(shù)乘法.jcpN2 若注意 公式（6.12）還可進(jìn)一步簡化為 ,) 1(2/2010jNjjwwp第51頁/共80頁第五十二頁，共80頁。5310)(0120001120120)()(kkkkjwkkkAjkkA),1()0()0(010010011kkAkkAkkA)0(2010)0(01001020010)1()0(kkjjkkjwwkkAwkkA,)1()1()0()0(0100100100kkjjwkkAkkA.)1()0()1()0(01001001101kkwkkAkkAkkA將這表達(dá)式中二進(jìn)制表示(biosh)還原為十進(jìn)制表示(b

34、iosh)：,22)0(001101kkkkk第52頁/共80頁第五十三頁，共80頁。54),2()()2(2001kAkAkA).3,2, 1 ,0()2()()12(2001kwkAkAkAk（6.13）同樣（6.12）中的 也可簡化為 2A,)1()1()0()()00(0010010102011kjjwjkAjkAjjkA即 ),1()0()0(001001002jkAjkAjkA即 得,3,2, 1 ,0k第53頁/共80頁第五十四頁，共80頁。55.)1()0()1()00(0000010020kwjkAjkAjkA把二進(jìn)制表示(biosh)還原為十進(jìn)制表示(biosh)，得 ),

35、22()2()2(21122jkAjkAjkA).1 ,0; 1 ,0()22()2()22(221122jkwjkAjkAjkAk（6.14）同理（6.12）中 可簡化為 3A),1()1()0()(01201201232jjAjjAjjjAj即 第54頁/共80頁第五十五頁，共80頁。56),1()0()0(012012013jjAjjAjjA表示(biosh)為十進(jìn)制，有 ).1()0()1(012012013jjAjjAjjA),2()()(2223jAjAjA（6.15）).3,2, 1 ,0()2()()2(22223jjAjAjA第55頁/共80頁第五十六頁，共80頁。57 根據(jù)

36、(gnj)公式(6.13)，(6.14)，(6.15)，由7, 1 ,0k,)()(0kxkxkA),7, 1 ,0()(3jcjAj逐次計算到見表3-2(略）. 上面推導(dǎo)的 的計算公式可類似地推廣到 的情形. 32NpN2 根據(jù)公式(gngsh)(6.13)，(6.14)，(6.15)，一般情況的FFT計算公式(gngsh)如下： 第56頁/共80頁第五十七頁，共80頁。58（6.16）,)22()2(1211111qkpqqqqwjkAjkA),22()2()2(11111pqqqqqqjkAjkAjkA其中 .12, 1 ,0; 12, 1 ,0;, 11qqpjkpq從 出發(fā)， 由 到

37、 算到 )1, 1 ,0)(0NmmAq1p 一組 占用 個復(fù)數(shù)單元，計算時需給出兩組單元，qAN)22(1qqqjkAqA括號內(nèi)的數(shù)代表它的位置，在計算機中代表存放數(shù)的地址.),1, 1 ,0()(NjcjAjp即為所求.第57頁/共80頁第五十八頁，共80頁。59 這個計算公式除了具有不倒地址的優(yōu)點外，計算只有(zhyu)兩重循環(huán)， 計算過程中只要按地址號存放 則最后得到的 ,qA)( jAp就是所求離散(lsn)頻譜的次序.外循環(huán) 由 計算到 ，內(nèi)循環(huán) 由 計算到q1pk0, 12qp由 計算到j(luò)0, 121q更重要(zhngyo)的是整個計算過程省計算量. 由公式看到算一個 共做 次復(fù)

38、數(shù)乘法，qA2/221/Nqqp而最后一步計算 時，由于pAkNkwwp)(2/21k)1(1)1(0第58頁/共80頁第五十九頁，共80頁。60 當(dāng) 時比值是 它比一般FFT的計算量（ 次乘法）也快一倍. 102N, 1:2305.4:1024pN（注意 時 故 ），因此，總共要算pq ,012qp0k次復(fù)數(shù)乘法，它比直接用（6.9）需 次乘法2/)1(Np 2N.2/)1(:pN快得多，計算量比值是 我們稱（6.16）的計算公式為改進(jìn)(gijn)的FFT算法 .第59頁/共80頁第六十頁，共80頁。61 有理逼近(bjn)與連分式 有理函數(shù)(yu l hn sh)逼近是指用形如 )()()

39、(xQxPxRmnnm的函數(shù)逼近 ).(xf 與前面討論一樣，如果 最小就可得到最佳有理一致逼近最佳有理一致逼近. . )()(xRxfnm（7.1）mkkknkkkxbxa00第60頁/共80頁第六十一頁，共80頁。62 如果 最小則可得到最佳有理平方逼近最佳有理平方逼近函數(shù)函數(shù). 2)()(xRxfnm 本節(jié)主要討論(toln)利用函數(shù)的泰勒展開獲得有理逼近函數(shù)的方法. 對函數(shù) 用泰勒展開得 )1ln(x.1 , 1,)1()1ln(11xkxxkkk（7.2）取部分(b fen)和 nkkknkxxS11)1()().1ln(x第61頁/共80頁第六十二頁，共80頁。63 另一方面,若對

40、（7.2）式用輾轉(zhuǎn)相除可得到 的)1ln(x一種連分式展開 524231211)1ln(22xxxxxx（7.3）.52423121122xxxxx.1 , 1,)1()1ln(11xkxxkkk（7.2）第62頁/共80頁第六十三頁，共80頁。64.612054084042025260630420)(43243244xxxxxxxxxR（7.4）（7.3）右端為 的無窮連分式的前5項，最后式子)1ln(x 若?。?.3）的前2，4，6，8項，則可分別得到 的以下有理逼近: )1ln(x是它的緊湊(jncu)形式. ,22)(11xxxR,6636)(2222xxxxxR,3369060116

41、060)(323233xxxxxxxR第63頁/共80頁第六十四頁，共80頁。65 若用同樣多項的泰勒展開部分和 逼近 )(2xSn)1ln(x并計算 處的值 及 ，計算結(jié)果見表3-2.1x)1(2nS)1(nnR00000076.069314642.0058.0634.04000025.0693122.0076.0617.0300084.069231.011.058.02026.0667.019.050.01)1()2ln()1()1()2ln()1(222nnRnnnsnRRSSn表32ln,69314718.0的準(zhǔn)確值為從表3-1可以(ky)看出，,69314642. 0) 1 (44R

42、,634. 0) 1 (8S第64頁/共80頁第六十五頁，共80頁。66 但它們的計算量是相當(dāng)?shù)模@說明用有理(yul)逼近比多項式逼近好得多. 由此看出 的精度比 高出近10萬倍，)1(44R)1(8S 例例9 9,4091572115111353381452)(2323443xxxxxxxxR用輾轉(zhuǎn)相除法將它化為連分式(fnsh)并寫成緊湊形式. 解解給出有理函數(shù)(yu l hn sh)用輾轉(zhuǎn)相除可逐步得到第65頁/共80頁第六十六頁，共80頁。674091572128464432)(23243xxxxxxxR 本例中用連分式計算 的值只需3次除法，1次乘法和7次加法. )(43xR711

43、6)9(654322xxxxx98765432xxxx.98765432xxxx第66頁/共80頁第六十七頁，共80頁。68 若直接(zhji)用多項式計算的秦九韶算法則需6次乘法和1次除法及7次加法. 可見將 化成連分式可節(jié)省計算乘除法次數(shù). )(xRnm 對一般的有理函數(shù),（7.1）可轉(zhuǎn)化(zhunhu)為一個連分式.)()(121llnmdxcdxcxPxR它的乘除法運算只需 次.),max(nm而直接用有理函數(shù)（7.1）計算乘除法次數(shù)為 次. mn第67頁/共80頁第六十八頁，共80頁。69 利用函數(shù) 的泰勒展開可以得到它的有理逼近. )(xf 設(shè) 在 的泰勒展開為 )(xf0 x.)

44、!1()()0(!1)(1)1(0)(NNNkkkxNfxfkxf（7.5）它的部分(b fen)和記作 NkkkxfkxP0)()0(!1)(（7.6）.0Nkkkxc第68頁/共80頁第六十九頁，共80頁。70 定義(dngy)11設(shè),),()(1mnNaaCxfNmmnnnmxbxbxaxaaxR1101)(其中 無公因式，且滿足條件)(),(xQxPmn), 1 ,0()0()0()()(NkfRkknm（7.8）則稱 為函數(shù) 在 處的 階帕德逼近帕德逼近，)(xRnm)(xf0 x),(mn記作 ,簡稱 的帕德逼近.),(mnR),(mnR如果(rgu)有理函數(shù)（7.7）,)()(x

45、QxPmn第69頁/共80頁第七十頁，共80頁。71 根據(jù)(gnj)定義，若令 ),()()()(xPxQxPxhnm則滿足條件（7.8）等價(dngji)于 ., 1 ,0,0)0()(Nkhk即 ., 1 ,0,0)()()()0(0)()(NkxPxQxPhxknmk由于 應(yīng)用萊布尼茨求導(dǎo)公式得 ,!)0()(kknakPkkjjkjxknmakbckxPxQxP!)()()(00)(, 1 ,0Nk,0), 1 ,0()0()0()()(NkfRkknm（7.8）第70頁/共80頁第七十一頁，共80頁。72這里 是由（7.6）得到的，)0(!1)( jjfjc 上式兩端除 ，!k并由 可得 ),(0, 10時當(dāng)mjbbjnkcbcakkjjkjk, 1 ,0,10（7.9）及 mnnkcbckkjjkj, 1,10（7.10）注意當(dāng) 時mj ,0jb故（7.10）可寫成NkkkxfkxP0)()0(!1)(（