第一章測試信號處理的理論基礎(chǔ)

1、測試信號處理測試信號處理機械工業(yè)出版社機械工業(yè)出版社目目 錄錄v第章測試信號處理的理論基礎(chǔ)第章測試信號處理的理論基礎(chǔ)v第章離散傅里葉變換第章離散傅里葉變換v第章數(shù)字濾波器的設(shè)計第章數(shù)字濾波器的設(shè)計v第章離散隨機信號的特征描述及其估計第章離散隨機信號的特征描述及其估計v第章功率譜估計第章功率譜估計v第章維納濾波器和卡爾曼濾波器第章維納濾波器和卡爾曼濾波器v第章自適應(yīng)濾波器第章自適應(yīng)濾波器v第章小波變換第章小波變換v第章信號測試技術(shù)第章信號測試技術(shù)第章測試信號處理的理論基礎(chǔ)第章測試信號處理的理論基礎(chǔ)v1.1 引言引言v1.2 時域離散信號與時域離散系統(tǒng)時域離散信號與時域離散系統(tǒng)v1.3 序列傅里葉

2、變換序列傅里葉變換v1.4 序列的序列的z變換變換v1.5 時域離散系統(tǒng)的頻域分析時域離散系統(tǒng)的頻域分析1.1 引言引言v信號通常可以分為時域連續(xù)信號（模擬信號）、時域離散信號和數(shù)字信號，因為信號經(jīng)常是時間的函數(shù)，信號的幅度和時間可以取連續(xù)值也可以取離散值。當(dāng)信號幅度取連續(xù)值，時間也取連續(xù)值時，信號稱為模擬信號或時域連續(xù)信號；當(dāng)信號幅度取連續(xù)值而時間取離散值時，信號稱為時域離散信號或離散時間信號；當(dāng)信號幅度和時間均取離散值時，信號稱為數(shù)字信號。v常見的一些信號，例如語音信號、圖像信號等是模擬信號，如果按照規(guī)定的時間間隔對其采樣，得到的采樣信號是時域離散信號，如果再將采樣信號的幅度用二進制編碼表

3、示，這種用二進制編碼表示的信號稱為數(shù)字信號。把時域離散信號的幅度用二進制編碼表示稱為量化，數(shù)字信號就是幅度量化的時域離散信號。對模擬信號進行采樣、二進制編碼及量化是由A/D（Analog/Digital）變換器完成的。v根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出是哪一類信號，系統(tǒng)也有模擬系統(tǒng)、時域離散系統(tǒng)和數(shù)字系統(tǒng)之分。當(dāng)然也存在模擬網(wǎng)絡(luò)和數(shù)字網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的混合系統(tǒng)。本書主要討論時域離散信號和系統(tǒng)。v在模擬系統(tǒng)中，對信號和系統(tǒng)的描述與分析有微分方程、傅立葉變換和拉氏變換；在數(shù)字信號處理中則有差分方程、序列傅立葉變換及Z變換。作為數(shù)字信號與系統(tǒng)理論分析基礎(chǔ)，本章將重點討論這兩種數(shù)學(xué)變換，并利用它們對信號及系統(tǒng)進行頻域分析。

4、v本章作為全書的基礎(chǔ)，主要學(xué)習(xí)時域離散信號的表示方法和典型信號，線性時不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性、系統(tǒng)的輸入輸出描述法、序列傅立葉變換及Z變換，并利用它們對信號及系統(tǒng)進行頻域分析。 1.2 時域離散信號和時域離散系統(tǒng)時域離散信號和時域離散系統(tǒng)v1.2.1時域離散信號v 對模擬信號進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到信號：v = ， (1-1)v將 的取值代入 ，得到一串有序的數(shù)字序列： 、 、 、 、 這樣一個有序的數(shù)字序列就是時域離散信號。實際信號處理中，這些數(shù)字序列值要按順序存放在存貯器中，此時 不僅代表采樣時刻，更主要的是代表前后順序，所以為了簡化，可以將 去掉，記為 ，稱為序列。對于具體信

5、號， 表示第 個序列值。n)(nTxanTtatx)(n)(nTxa)2(Txa)( Txa)0(ax)(Txa)2( TxanTT)(nx)(nxnv這里需要說明的是， 只能取整數(shù)，對于非整數(shù)，序列無定義。如果序列 是由模擬信號 采樣得到的，在數(shù)值上 與模擬信號 的關(guān)系如下：v (1-2) v序列的變化規(guī)律可用公式表示，也可用圖形表示，圖1-1表示了一個具體的時域離散信號序列。n)(nxax)(t=)(nxax)(t)(nxax)(nTv圖1-1 時域離散信號的表示v1、常用的典型序列v(1) 單位脈沖序列v = (1-3)v單位脈沖序列只有在 時，取確定值1，其它均為0， 是數(shù)字信號處理中

6、重要序列之一。單位脈沖序列也稱為單位采樣序列，與模擬系統(tǒng)中單位沖激函數(shù) 類似，不同的是 在 時，取值為無窮大， 時取值為0，對時間 的積分為1。單位脈沖序列和單位沖激函數(shù)如圖1-2所示。)(n0,00,1nn0n)(n)(t)(t0t0ttv圖1-2 單位脈沖序列和單位沖激函數(shù) 1 01231n(n)(t)t0( a )( b )v(2)單位階躍序列v v = (1-4) v單位階躍序列如圖1-3所示。它類似于模擬系統(tǒng)中的單位階躍函數(shù) 。單位脈沖序列與單位階躍序列之間有如下關(guān)系：v = - (1-5)v = (1-6)(nu)(nu0,00,1nn)(tu)(n)(nu)(nu) 1( nu0

7、)(kknv圖1-3 單位階躍序列u(n)01231nv(3)矩形序列v = (1-7)v矩形序列在 取值為1，其它為0。 稱為矩形序列的長度，例如 表示長度為7。矩形序列可用單位階躍序列表示：v - (1-8)(nRN)(nRNnNn其它,010,110NnN)(7nR)(nRN)(nu)(Nnuv(4)實指數(shù)序列v如果 ， 的幅度隨 增大而逐漸減小，稱為收斂序列；如果 ，隨 增大而增大，稱為發(fā)散序列。其波形如圖1-4。為實數(shù)anuanxn),()(1a)(nxn1anv圖1-4 實指數(shù)序列v(5)正弦序列v =v其中 稱為正弦序列的數(shù)字域頻率，單位是弧度，它表示序列變化的速率，即兩個相鄰序

8、列值之間變化的弧度數(shù)。v如果正弦序列是由模擬序列 = 采樣得到，那么時域離散信號 可以表示為：v = =v又因為在數(shù)值上，序列值與采樣信號值相等，所以有：v = (1-9)(nx)sin(n)(txatsin)(nx)(nx)(nTxa)sin(nTTv即由模擬信號采樣得到的序列，其數(shù)字頻率 與模擬信號的模擬角頻率 成線性關(guān)系。因為采樣頻率 與采樣周期 互為倒數(shù)，所以又有：v = (1-10)v式(1-10)表示數(shù)字頻率是模擬角頻率對采樣頻率的歸一化頻率。下面我們均用 表示數(shù)字頻率， 或 表示模擬角頻率或模擬頻率。sfTsffv(6)復(fù)指數(shù)序列v =v其中 為數(shù)字域頻率。v復(fù)指數(shù)序列也可以用其

9、實部虛部或者極坐標(biāo)表示：v =v =v如果 ， = ，由于 取整數(shù)，下式成立：v = ，)(nxnje00)(nx)sin()cos(00njenenn)(nxnjnee00nje0)(nxnnMje20nje0, 2, 1, 0Mv這表示當(dāng)時，復(fù)指數(shù)序列的頻率具有以為周期的周期性，所以在以后的研究中只考慮一個周期就可以了。v2、序列的周期性v對于序列 ，如果對所有 存在一個最小的正整數(shù)，滿足：v = ， (1-11)v則稱序列 是周期性序列，周期為 ， 為整數(shù)。例如：v = =v表示 是周期為8的周期序列，如圖 1-5所示。)(nxn)(Nnx)(nx n)(nxNN)(nxn4sin )8

10、(4sinnn4sin 圖1-5 周期為8正弦序列n4sinv現(xiàn)在討論一般正弦序列的周期性：v設(shè) = ，則v = =v如果 = 成立，則要求 ，式中 與 均取整數(shù)，且 的取值要保證是最小的正整數(shù)，滿足這些條件，正弦序列才是以 為周期的周期序列，其周期 。)(nx)sin(0nA)(Nnx)(sin0NnA)sin(00NnA)(Nnx)(nxkN20kNkNNkN)2(0v下面可以分為幾種情況討論：v（1）當(dāng) 為整數(shù)時，只要 ， 就是最小正整數(shù)，所以正弦序列是以 為周期的周期序列。例如 ， ， =16，該正弦序列的周期為16。v（2） 不是整數(shù)，而是一個有理數(shù)時，可以表示成分數(shù)，設(shè) = ，式中

11、 、 為互質(zhì)的整數(shù),取 ，v那么 ，則 ，此時正弦序列是以 為周期的周期序列。例如 ， ，= ， ，該正弦序列是以5為周期的周期序列。v（3） 是無理數(shù)時，則任何整數(shù) 都不能使 為正整數(shù)，因此，此時的序列不是周期序列。例如， ， 不是周期序列。v同樣，指數(shù)為純虛數(shù)的復(fù)指數(shù)序列 的周期性與正弦序列的情況相同。nje0021k02N02n)8sin(80020202QPPQQk PN NkkNkQPk)2(0PN n)54sin()54(002252k02kN410)sin(0nv3、用單位脈沖序列表示任意序列v以上介紹了幾種常用的典型序列以及周期序列，對于任意序列常用下面公式表示：v = (1-

12、12)v其中v即任意序列都可以用單位脈沖序列的移位加權(quán)和來表示。這是一個有用的公式。)(nxmmnmx)()(mnmnmn, 0, 1)(v4、序列的運算v在數(shù)字信號處理中，需要對序列進行運算，其基本運算有：v(1)乘法和加法v序列之間的乘法和加法，是指它的同序號的序列值逐項對應(yīng)相乘和相加。v(2)移位、翻轉(zhuǎn)及尺度變換v設(shè)序列 如圖1-6 ，其移位序列 （當(dāng) 時）用圖1-6 表示；當(dāng) 時稱為 的延時序列；當(dāng) 時，稱為 的超前序列。 則是 的翻轉(zhuǎn)序列，如圖1-6 。 是序列每隔 點取一點形成的，相當(dāng)于時間軸 壓縮了 倍。此時，其波形如圖1-6 所示。)(nx a)(0nnx20n b00n)(n

13、x00n)(nx)( nx )(nx)(c)(mnxmnm)(dv圖1-6 序列的移位、翻轉(zhuǎn)和尺度變換v1.2.2時域離散系統(tǒng)時域離散系統(tǒng)v設(shè)時域離散系統(tǒng)的輸入為設(shè)時域離散系統(tǒng)的輸入為 ，經(jīng)過規(guī)定，經(jīng)過規(guī)定的運算，系統(tǒng)輸出序列用的運算，系統(tǒng)輸出序列用 表示。設(shè)運表示。設(shè)運算關(guān)系用算關(guān)系用 表示，輸出與輸入之間的關(guān)表示，輸出與輸入之間的關(guān)系可以表示成：系可以表示成：v =v如圖如圖1-7所示。所示。v圖圖1-7 時域離散系統(tǒng)時域離散系統(tǒng))(nx)(ny T)(nxT)(nyy(n)x(n)Tv在時域離散系統(tǒng)中，最常用的是線性時不在時域離散系統(tǒng)中，最常用的是線性時不變系統(tǒng)。很多物理過程都可用線性時

14、不變變系統(tǒng)。很多物理過程都可用線性時不變系統(tǒng)表征，且便于分析。本書所要研究的系統(tǒng)表征，且便于分析。本書所要研究的的是線性時不變的離散時間系統(tǒng)的是線性時不變的離散時間系統(tǒng)v1.線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)v設(shè)設(shè) 和和 分別作為系統(tǒng)的輸入序列，其對分別作為系統(tǒng)的輸入序列，其對應(yīng)的輸出分別用應(yīng)的輸出分別用 和和 表示，即表示，即v =v =)(1nx)(2nx)(1ny)(2ny)(1nxT)(2nxT)(1ny)(2nyv當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)v = + (1-13)v = (1-14)v時，該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。以上兩個式子可以合時，該系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。以上兩個式子可以合并為：并為：v = v = + v + (1

15、-15)v其中其中 、 為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。v滿足式滿足式(1-13) 稱為線性系統(tǒng)的可加性；滿足稱為線性系統(tǒng)的可加性；滿足(1-14)稱為線性系統(tǒng)的比例性或齊次性。稱為線性系統(tǒng)的比例性或齊次性。v又疊加原理包含可加性和齊次性兩個性質(zhì)。如果又疊加原理包含可加性和齊次性兩個性質(zhì)。如果系統(tǒng)是線性的，則一定滿足疊加原理，且滿足疊系統(tǒng)是線性的，則一定滿足疊加原理，且滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。)()(21nxnxT)(1ny)(2ny)(1naxTa)(1ny)(ny)()(21nbxnaxTba)(1nxT)(2nxTa)(1nyb)(2nyabv例例1-1 證明下

16、面的系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)：證明下面的系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)： = （ 和和 是常數(shù)）。是常數(shù)）。v證明證明 = =v = = v v = = + +v故不是線性系統(tǒng)。故不是線性系統(tǒng)。v可見系統(tǒng)的方程是一個線性方程，但它不一定是線性系統(tǒng)。實際上這可見系統(tǒng)的方程是一個線性方程，但它不一定是線性系統(tǒng)。實際上這個系統(tǒng)的輸出可以表示成一個線性系統(tǒng)個系統(tǒng)的輸出可以表示成一個線性系統(tǒng) 的輸出與反映該系統(tǒng)初始的輸出與反映該系統(tǒng)初始儲能的零輸入響應(yīng)信號之和。很多系統(tǒng)的總輸出可以由一個線性系統(tǒng)儲能的零輸入響應(yīng)信號之和。很多系統(tǒng)的總輸出可以由一個線性系統(tǒng)的響應(yīng)與一個零輸入響應(yīng)的疊加來構(gòu)成，這種系統(tǒng)可稱為增量線性系的響應(yīng)與一個

17、零輸入響應(yīng)的疊加來構(gòu)成，這種系統(tǒng)可稱為增量線性系統(tǒng)；這類系統(tǒng)的響應(yīng)對輸入中的變化部分是呈線性關(guān)系的，即對增量統(tǒng)；這類系統(tǒng)的響應(yīng)對輸入中的變化部分是呈線性關(guān)系的，即對增量線性系統(tǒng)，任意兩個輸入的響應(yīng)的差是兩個輸入差的線性函數(shù)（滿足線性系統(tǒng)，任意兩個輸入的響應(yīng)的差是兩個輸入差的線性函數(shù)（滿足可加性和齊次性）。例如可加性和齊次性）。例如v =v =v則則 。v因此該系統(tǒng)是增量線性系統(tǒng)，但不是線性系統(tǒng)。用同樣的方法可以證因此該系統(tǒng)是增量線性系統(tǒng)，但不是線性系統(tǒng)。用同樣的方法可以證明，明， 是線性系統(tǒng)。是線性系統(tǒng)。)(nybnax)(ab)(1ny)(1nxTbnax)(1)(2ny)(2nxTbnax

18、)(2=)(ny)()(21nxnxTa)(1nx)(2nxba)()()(21nynyny)(nax)(1ny3)(41nx=)(2ny3)(42nx=)()(21nyny3)(41nx3)(42nx)()(421nxnx 752sin)()(nnxnyv2.時不變系統(tǒng)時不變系統(tǒng)v如果系統(tǒng)響應(yīng)與激勵加于系統(tǒng)的時刻無關(guān)，這種系統(tǒng)稱如果系統(tǒng)響應(yīng)與激勵加于系統(tǒng)的時刻無關(guān)，這種系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)的輸出序列為時不變系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)的輸出序列 = ，對于，對于輸入移位輸入移位 的序列的序列 ，如果是時不變系統(tǒng)，滿足，如果是時不變系統(tǒng)，滿足下面關(guān)系式：下面關(guān)系式：v = ， 為任意整數(shù)為任意整數(shù)v即輸

19、入移動即輸入移動 位，其輸出也移動位，其輸出也移動 位，而幅值卻保持位，而幅值卻保持不變。不變。v若系統(tǒng)的輸出輸入關(guān)系為若系統(tǒng)的輸出輸入關(guān)系為v =v如果式中如果式中 為常數(shù)，將為常數(shù)，將 移位移位 ，如果是時不變系統(tǒng)，如果是時不變系統(tǒng)，輸出輸出 一定滿足下式：一定滿足下式：v = =v如果將如果將 換成換成 ，v =v = =v因為，此系統(tǒng)屬于時變系統(tǒng)。因為，此系統(tǒng)屬于時變系統(tǒng)。)(ny)(nxT 0n)(0nnx)(0nny)(0nnxT0n0n0n)(ny)(nkxk)(nx0n)(1ny)(1ny)(0nnxk)(0nnykn)(ny)(nnx)(1ny)(0nnxTn)(0nnx)(

20、0nnyv3.線性時不變系統(tǒng)輸入輸出的關(guān)系線性時不變系統(tǒng)輸入輸出的關(guān)系v設(shè)系統(tǒng)的輸入序列設(shè)系統(tǒng)的輸入序列 = ，系統(tǒng)輸出的初始狀態(tài)為，系統(tǒng)輸出的初始狀態(tài)為0，定義此時，定義此時系統(tǒng)輸出為系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)系統(tǒng)輸出為系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng) ，也就是說，單位取樣響應(yīng)，也就是說，單位取樣響應(yīng) 是系統(tǒng)對是系統(tǒng)對 的零狀態(tài)響應(yīng)。可表示為：的零狀態(tài)響應(yīng)?？杀硎緸椋簐 = (1-16)v 和模擬系統(tǒng)中的單位沖激響應(yīng)和模擬系統(tǒng)中的單位沖激響應(yīng) 一樣，都代表系統(tǒng)的時域特征。一樣，都代表系統(tǒng)的時域特征。v設(shè)系統(tǒng)輸入為一般序列設(shè)系統(tǒng)輸入為一般序列 ，依公式，依公式(1-12)有：有：vv則系統(tǒng)的輸出為則系統(tǒng)的輸出為v根

21、據(jù)線性系統(tǒng)的可加性和比例性根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性和比例性v =v又根據(jù)時不變性質(zhì)又根據(jù)時不變性質(zhì)v = = (1-17)v式中的式中的 代表卷積運算，式代表卷積運算，式(1-17)表示線性時不變系統(tǒng)的輸出等于表示線性時不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)的卷積。輸入序列和該系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)的卷積。)(nx)(n)(nh)(nh)(n)(nT)(nh)(nh)(th)(nxmmnmxnx)()()(mmnmxTnxTny)()()()(mmnTmx)()()(nymmnhmx)()()(ny)(nx)(nhv4.系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性v系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng) 時刻的輸出只取決于 時刻以及

22、 時刻以前的輸入序列，而和 時刻以后的輸入序列無關(guān)。如果 時刻的輸出還取決于 時刻以后的輸入序列，在時間上違背了因果性，系統(tǒng)無法實現(xiàn)，則稱為非因果系統(tǒng)，非因果系統(tǒng)是不實際的系統(tǒng)，因此系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。因果系統(tǒng)也稱物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，非因果系統(tǒng)也稱物理不可實現(xiàn)系統(tǒng)。v線性時不變系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件是v =0， (1-18)v這里值得一提的是，模擬非因果系統(tǒng)確實不能實現(xiàn)。對于數(shù)字系統(tǒng)，利用系統(tǒng)中數(shù)據(jù)的存貯性能，有些非因果系統(tǒng)可以實現(xiàn)，有些非因果系統(tǒng)可以近似實現(xiàn)，只是系統(tǒng)輸出有延遲。v系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指，如果系統(tǒng)的輸入有界，則系統(tǒng)輸出也是有界的。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的單位取樣

23、響應(yīng)絕對可和，即v (1-19)nnnnnn)(nh0nPnhn)(v證明：先證明充分性v如果系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)滿足 ，此時若輸入 有界，即對于所有 都有 ，則v =v因為輸入序列 有界，即v ， ， 為任意常數(shù)v所以v即如果系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng) 滿足式(1-19)，則輸出 一定是有界的， v再證明其必要性（反證法）：v已知系統(tǒng)穩(wěn)定，如果 不滿足式(1-19)，即 ，總可以找到一個或若干個有界的輸入使輸出無界。例如：v = 是有界的輸入， = ,令 ，則v v = =v說明 時刻輸出為無界，證明了式(1-19)是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。Pnhn)()(nxnBnx)(kknxkh)()()(ny)(

24、nykknxkh)()(kknxkh)()()(nxBnx)(nB，)(nyBBPnhk)()(nh)(ny)(ny)(nhnnh)(0)(, 10)(, 1nhnh)(nxkknxkh)()()(ny0n)0(ykkxkh)()(kkh)(=0n1.3 序列傅立葉變換序列傅立葉變換v在時域離散信號和系統(tǒng)中，信號用序列表示，在時域離散信號和系統(tǒng)中，信號用序列表示，其自變量只取整數(shù)，取非整數(shù)時無定義，系其自變量只取整數(shù)，取非整數(shù)時無定義，系統(tǒng)用差分方程描述，頻域分析采用傅立葉變統(tǒng)用差分方程描述，頻域分析采用傅立葉變換或換或Z變換作為數(shù)學(xué)分析工具。其中，傅立葉變換作為數(shù)學(xué)分析工具。其中，傅立葉變換

25、指的是序列的傅立葉變換，和模擬信號變換指的是序列的傅立葉變換，和模擬信號的傅立葉變換是不一樣的，但有很多類似的的傅立葉變換是不一樣的，但有很多類似的性質(zhì)。這一節(jié)介紹序列的傅立葉變換，下一性質(zhì)。這一節(jié)介紹序列的傅立葉變換，下一節(jié)介紹序列的節(jié)介紹序列的Z變換。變換。v1.3.1序列傅立葉變換的定義序列傅立葉變換的定義v定義定義v = （1-20）v為序列為序列 的傅立葉變換，用的傅立葉變換，用FT（Fourier Transform）表示。表示。FT成立的充分必要條件是序列成立的充分必要條件是序列 滿足絕對可和條滿足絕對可和條件，即滿足件，即滿足v （1-21） v用用 乘式乘式(1-20)兩邊，

26、并在區(qū)間兩邊，并在區(qū)間- 內(nèi)對內(nèi)對 積分，得積分，得v = =v其中其中v = （1-22） v所以有所以有v = （1-23） v式式(1-23)是是FT的逆變換。式的逆變換。式(1-20)和和(1-23)組成一對傅立組成一對傅立葉變換公式。葉變換公式。)(jeXnjnenx)()(nxnnx)()(nxmjedeeXmjj)(deenxmjnnj)(=nnx)(denmjdenmj)(2mn )(nxdeeXnjj)(21 v1.3.2序列傅立葉變換的性質(zhì)序列傅立葉變換的性質(zhì)v1傅立葉變換的周期性傅立葉變換的周期性v在序列在序列 的傅立葉變換中，的傅立葉變換中， 取整數(shù)，因取整數(shù)，因此下式

27、成立：此下式成立：v = ， 為整數(shù)為整數(shù) (1-24)v所以序列的傅立葉變換為所以序列的傅立葉變換為 的周期函數(shù)，的周期函數(shù)，周期是周期是 。這樣。這樣 可以展開成傅立葉級可以展開成傅立葉級數(shù)，實際上定義式數(shù)，實際上定義式 (1-20)已經(jīng)是傅立葉級已經(jīng)是傅立葉級數(shù)的形式，數(shù)的形式， 是傅立葉級數(shù)的系數(shù)。由于傅是傅立葉級數(shù)的系數(shù)。由于傅立葉變換的周期性，一般我們只研究立葉變換的周期性，一般我們只研究 之間或之間或0 之間的傅立葉變換。之間的傅立葉變換。)(nxn)(jeXnNjnenx2)( N2)(jeX2)(nxv2線性線性v設(shè)設(shè) =FT ； =FT ，則，則v FT = (1-25)v

28、其中其中 、 為常數(shù)。為常數(shù)。v3時移與頻移時移與頻移v設(shè)設(shè) =FT ，則，則v FT = (1-26) v FT = (1-27)(1jeX)(1nx)(2jeX)(2nx)()(21nbxnax)()(21jjebXeaXab)(jeX)(nx)(0nnx)(0nxenj)(0jnjeXe)(0jeXv4傅立葉變換的對稱性傅立葉變換的對稱性v設(shè)序列設(shè)序列 滿足下式：滿足下式：v = (1-28)v則定義序列則定義序列 為共軛對稱序列。為了研究共軛對為共軛對稱序列。為了研究共軛對稱序列的性質(zhì)，把稱序列的性質(zhì)，把 分成實部與虛部：分成實部與虛部：v = +v把上式中的把上式中的 用用 代替，并

29、取其共軛，得：代替，并取其共軛，得：v = - v所以有：所以有：v = (1-29)v =- (1-30)v即共軛對稱序列的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。即共軛對稱序列的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。)(nxe)( nxe)(nxe)(nxe)(nxe)(nxe)(nxer)(nxei+nn)(nxe)( nxer)( njxei=)(nxer)( nxer )(nxei)( nxei v類似地可以定義滿足下式的共軛反對稱序列：類似地可以定義滿足下式的共軛反對稱序列：v =- (1-31)v把把 分成實部與虛部：分成實部與虛部：v = +v有：有： v = - (1-32)v = (1-33)v

30、即共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。即共軛反對稱序列的實部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。v可以證明一般序列可以證明一般序列 可以由共軛對稱分量和共軛反對稱可以由共軛對稱分量和共軛反對稱分量組成，即分量組成，即v = + (1-34)v式中式中 為共軛對稱分量，為共軛對稱分量， 為共軛反對稱分量，為共軛反對稱分量，v = (1-35)v v = (1-36)(nxo)( nxo)(nxo)(nxo)(nxor)(njxoi+)(nxor)( nxor )(nxoi)( nxoi)(nx)(nx)(nxe)(nxo)(nxe)(nxo)()(21nxnx)()(21nxnx)(nxe)(nxo

31、v對于序列對于序列 的頻域函數(shù)的頻域函數(shù) 也有以上概也有以上概念和結(jié)論：念和結(jié)論：v = + (1-37)v其中，其中， 和和 分別為共軛對稱部分和分別為共軛對稱部分和共軛反對稱部分，且滿足：共軛反對稱部分，且滿足：v = (1-38)v = - (1-39)v同樣滿足下面公式：同樣滿足下面公式： v =v =)(nx)(jeX)(jeX)(jeeX)(joeX )(jeeX)(joeX)(jeeX)(jeeX )(joeX)(joeX)()(21jjeXeX)()(21jjeXeX)(jeeX)(joeXv下面我們分兩部分討論傅立葉變換的對稱性。下面我們分兩部分討論傅立葉變換的對稱性。v =

32、 + ，即將序列，即將序列 分成實部和虛部，分成實部和虛部，對對 進行傅立葉變換得到：進行傅立葉變換得到：v = + v其中，其中，v =FT = v =FT =v在上面的式子中，在上面的式子中， 和和 都是實數(shù)序列?？啥际菍崝?shù)序列。可以證明：以證明： 滿足式滿足式(1-38)，具有共軛對稱性，具有共軛對稱性，它的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)；它的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)； 滿足式滿足式(1-39)，具有共軛反對稱性，它的實部是奇函數(shù)，具有共軛反對稱性，它的實部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。虛部是偶函數(shù)。v綜上可得：一般序列中，其實部對應(yīng)的傅立葉變綜上可得：一般序列中，其實部對應(yīng)的傅立葉變換具有共軛

33、對稱性，其虛部（包括換具有共軛對稱性，其虛部（包括 ）對應(yīng)的傅）對應(yīng)的傅立葉變換具有共軛反對稱性。立葉變換具有共軛反對稱性。 aj)(nx)(nxr)(njxi )(nx)(nx)(jeX)(jeeX)(joeX)(jeeX)(joeX)(nxrnnjrenx)( )(njxinnjienxj)()(nxr)(nxi)(jeeX)(joeXv + (1-40) v即將序列即將序列 分成共軛對稱部分和共軛反對稱部分，分成共軛對稱部分和共軛反對稱部分，因為因為 v v對以上兩式分別進行傅立葉變換，得到：對以上兩式分別進行傅立葉變換，得到：v FT = = =v FT = = =v對式對式(1-40

34、)進行傅立葉變換得：進行傅立葉變換得：v = +v上式表示：序列的共軛對稱部分上式表示：序列的共軛對稱部分 對應(yīng)著傅立葉變對應(yīng)著傅立葉變換的實部換的實部 ，而序列的共軛反對稱部分，而序列的共軛反對稱部分 對對應(yīng)著傅立葉變換的虛部應(yīng)著傅立葉變換的虛部 。 b)(nx)(nxe)(nxo)()(21nxnx)()(21nxnx)(nx)(nxe)(nxo)(jeX)(jReXj)(jIeX+)(nxe)()(21jjeXeX)(RejeX)(jReX)(nxo)()(21jjeXeX)(ImjeXjj)(jIeX )(nxe)(jReX)(nxoj)(jIeXv下面利用傅立葉變換的對稱性，分析實因

35、果序列下面利用傅立葉變換的對稱性，分析實因果序列v 的對稱性，并推導(dǎo)其偶函數(shù)的對稱性，并推導(dǎo)其偶函數(shù) 和奇函數(shù)和奇函數(shù) 與與 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。v因為因為 是實序列，其傅立葉變換只有共軛對稱部是實序列，其傅立葉變換只有共軛對稱部分分 ，共軛反對稱部分為零。，共軛反對稱部分為零。v =v =v因此實序列的傅立葉變換的實部是偶函數(shù)，虛部因此實序列的傅立葉變換的實部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)，用公式表示為：是奇函數(shù)，用公式表示為：v =v =-v其模的平方其模的平方 = + 是偶函數(shù)，相是偶函數(shù)，相位函數(shù)位函數(shù)arg =arg tan 是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，這和實模擬信號的傅立葉變換有同樣的結(jié)論。這

36、和實模擬信號的傅立葉變換有同樣的結(jié)論。)(nh)(nhe)(nho)(nh)(jeeH)(nh)(jeH)(jeeH)(jeH)(jeH)(jReH)(jReH)(jIeH)(jIeH2)(jeH)(2jReH)(2jIeH)(jeH)()(jRjIeHeHv由式由式(1-35) 和和(1-36)得到：得到：v = +v =v =v因為因為 是實因果序列，是實因果序列， 和和 可以用下式表示：可以用下式表示：v = (1-41)v = (1-42)(nh)(nhe)(nho)()(21nhnh)()(21nhnh)(nhe)(nho)(nh)(nhe)(nho)(nhe0),(210),(21

37、0),(nnhnnhnnh)(nho0),(210),(210),(nnhnnhnnhv因此實因果序列因此實因果序列 可以分別用可以分別用 和和 表表示為：示為：v = (1-43)v = + (1-44)v其中其中 v = (1-45)(nh)(nhe)(nho)(nh)(nhe)(nu )(nh)(nho)(nu)0(h)(n )(nu0, 00, 10, 2nnn v5時域卷積定理時域卷積定理 v設(shè)設(shè) ，v則則 = (1-46)v證明：證明： =v =FT =v令令 ，則，則v v = = v =v該定理說明，兩個序列卷積的傅立葉變換滿足相乘的關(guān)系。該定理說明，兩個序列卷積的傅立葉變換滿

38、足相乘的關(guān)系。對于線性時不變系統(tǒng)，輸出的傅立葉變換等于輸入信號的對于線性時不變系統(tǒng)，輸出的傅立葉變換等于輸入信號的傅立葉變換乘以單位脈沖響應(yīng)的傅立葉變換。因此，在求傅立葉變換乘以單位脈沖響應(yīng)的傅立葉變換。因此，在求系統(tǒng)的輸出信號時，可以在時域用卷積公式計算，也可以系統(tǒng)的輸出信號時，可以在時域用卷積公式計算，也可以在頻域相乘，求出輸出的傅立葉變換，再求傅立葉逆變換，在頻域相乘，求出輸出的傅立葉變換，再求傅立葉逆變換，得到輸出信號。得到輸出信號。)()()(nhnxny)(jeY)(jeX)(jeH )(nymmnhmx)()( )(jeY)(ny nnjmemnhmx)()(mnk)(jeY k

39、njkjmeemxkh)()(mmjkkjemxekh)()()(jeH)(jeXv6頻域卷積定理頻域卷積定理v設(shè)設(shè) ，v則則 =v = (1-47)v證明：證明： = v =v交換積分與求和的次序，得到：交換積分與求和的次序，得到：v = v =v =v該定理說明，在時域兩序列相乘，轉(zhuǎn)換到頻域服該定理說明，在時域兩序列相乘，轉(zhuǎn)換到頻域服從卷積關(guān)系。從卷積關(guān)系。)()()(nhnxny)(jeY21)(jeX)(jeH deHeXjj)(21)(jeYnnjenhnx)()( nnjnjjedeeHnx)(21)(denxeHnnjj)()(21)(jeYdeXeHjj)()(21)()(21

40、jjeHeXv7帕斯維爾（帕斯維爾（Parseval）定理）定理v 設(shè)設(shè) =FT ，則，則v = (1-48)v證明：證明： = =v =v =v = v該定理說明，信號時域的總能量與頻域的該定理說明，信號時域的總能量與頻域的總能量相等。需要說明的是，這里頻域的總能量相等。需要說明的是，這里頻域的總能量是指總能量是指 在一個周期中的積分再乘在一個周期中的積分再乘以以 。)(jeX)(nxnnx2)(deXj2)(21nnx2)()()(nxnxnnnjjdeeXnx)(21)( denxeXnnjj)()(21deXeXjj)()(21deXj2)(212)(jeX)2(1v1.3.3周期序列

41、的離散傅立葉級數(shù)表示周期序列的離散傅立葉級數(shù)表示v由序列傅立葉變換的定義可知，序列傅立葉變換存在的充由序列傅立葉變換的定義可知，序列傅立葉變換存在的充分必要條件是序列滿足式分必要條件是序列滿足式(1-21)即絕對可和的條件，如果即絕對可和的條件，如果引入沖激函數(shù)，一些絕對不可和的序列，例如周期序列，引入沖激函數(shù)，一些絕對不可和的序列，例如周期序列，其傅立葉變換就可以用沖激函數(shù)的形式表示出來。其傅立葉變換就可以用沖激函數(shù)的形式表示出來。v設(shè)設(shè) 是以是以N為周期的周期序列，由于是周期序列，就可以為周期的周期序列，由于是周期序列，就可以像連續(xù)時間周期函數(shù)一樣展開成傅立葉級數(shù)像連續(xù)時間周期函數(shù)一樣展開

42、成傅立葉級數(shù)v = (1-49)v其中其中 是傅立葉級數(shù)的系數(shù)。為求系數(shù)是傅立葉級數(shù)的系數(shù)。為求系數(shù) ，將上式兩邊，將上式兩邊乘以乘以 ，并對，并對 在一個周期在一個周期 內(nèi)求和內(nèi)求和v = =v其中其中v = (1-50)v所以所以)(nxknNjkkea2)(nxkamnNje2kanNmnNjNnenx210)(mnNjNnknNjkkeea2102 102NnnmkNjkkea=102NnnmkNjemkmkN,0,v = (1-51)v其中，其中， 和和 均取整數(shù)，當(dāng)均取整數(shù)，當(dāng) 或者或者 變化時，變化時， 是是周期為周期為 的周期函數(shù)，即的周期函數(shù)，即 = ， 取整數(shù)取整數(shù) v因此

43、，系數(shù)因此，系數(shù) 也是周期序列，滿足下式：也是周期序列，滿足下式：v =v令令 ，并將式，并將式(1-51)代入，得：代入，得：v ， (1-52)v上式中上式中 也是一個以也是一個以 為周期的周期序列，稱為為周期的周期序列，稱為 的的離散傅立葉級數(shù)，用離散傅立葉級數(shù)，用DFS（Discrete Fourier Series）表示。表示。v若對式若對式(1-52)兩端乘以兩端乘以 ，并對，并對 在一個周期中求在一個周期中求和，得：和，得：v = =v同樣可得：同樣可得： = (1-53)v kaknNjNnenxN210)(1 knnkknNje2NnlNkNje2knNje2 lkakalN

44、kaNkX)(ka)(kXknNjNnenx210)( k )(kXNklNje2kklNjNkekX210)(klNjNkNnknNjeenx210102)( 10)(210)(NknlkNjNnenx)(nxknNjNkekXN210)(1 )(nxv式式(1-52) 和式和式(1-53)稱為一對稱為一對DFS，式，式(1-53)表明將周期序列分解成表明將周期序列分解成 次諧波，第次諧波，第 次諧波頻率為次諧波頻率為 = ， 0，1，2，幅度為，幅度為 ?；ǚ至康念l率?；ǚ至康念l率是是 ，幅度是，幅度是 。一個周期序列可以。一個周期序列可以用其用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律。表示它的頻

45、譜分布規(guī)律。v1.3.4周期序列的傅立葉變換表示式周期序列的傅立葉變換表示式v序列的傅立葉變換的條件是序列必須絕對序列的傅立葉變換的條件是序列必須絕對可和，周期序列不滿足絕對可和的條件，可和，周期序列不滿足絕對可和的條件，所以嚴格地講，周期序列的傅立葉變換不所以嚴格地講，周期序列的傅立葉變換不存在。但如果引入沖激函數(shù)，可以用沖激存在。但如果引入沖激函數(shù)，可以用沖激函數(shù)表示其傅立葉變換。函數(shù)表示其傅立葉變換。NkkkN)2(k)()1 (kXNN2)()1 (kXNv在模擬系統(tǒng)中，在模擬系統(tǒng)中， = ，其傅立葉變換，其傅立葉變換是在是在 處的單位沖激函數(shù)，強度為處的單位沖激函數(shù)，強度為 ，即，即

46、v =FT = v = (1-54) v在時域離散系統(tǒng)中，在時域離散系統(tǒng)中， = ， 為有為有理數(shù)，假定其傅立葉變換的形式與上式一理數(shù)，假定其傅立葉變換的形式與上式一樣，但樣，但 取正整數(shù)，所以下式成立：取正整數(shù)，所以下式成立：v = ， 取整數(shù)取整數(shù)v因此因此 的傅立葉變換的傅立葉變換 為為v =FT = (1-55)(txatje002)( jXa)(txadteetjtj0)(20 )(nxnje002 nnje0nrje20rnje0)(jeX)(jeXnje0rr)2(20v圖1-8 的 FTnje0v上式表示復(fù)指數(shù)序列的傅立葉變換為在上式表示復(fù)指數(shù)序列的傅立葉變換為在 處的單位沖處

47、的單位沖激函數(shù)，強度為激函數(shù)，強度為 ，如圖，如圖1-8所示。所示。r202v但如果前面的假定成立，則要求按照式但如果前面的假定成立，則要求按照式(1-23)，其傅立葉反變換必須唯一存在，且等，其傅立葉反變換必須唯一存在，且等于于 ，下面按照式，下面按照式(1-23)對上式表示的對上式表示的v 求反變換：求反變換：v =v因為在圖因為在圖1-8中，在中，在 的積分區(qū)間中，只的積分區(qū)間中，只包括一個單位沖激函數(shù)，所以上式等于包括一個單位沖激函數(shù)，所以上式等于 ，所以有：所以有：v = =IFTv證明了式證明了式(1-55)確實是確實是 的傅立葉變換。的傅立葉變換。nje0)(jeXdeeXnjj

48、)(21dernjr )2(2210nje0nje0deeXnjj)(21)(jeX=IFTnje0v對于一般的周期序列對于一般的周期序列 ，按照式，按照式(1-52)展開成離展開成離散傅立葉級數(shù)（散傅立葉級數(shù)（DFS），第），第 次諧波為次諧波為 ，類似于復(fù)指數(shù)序列的傅立葉變換，第類似于復(fù)指數(shù)序列的傅立葉變換，第 次諧波的傅次諧波的傅立葉變換為立葉變換為 ，因此周期序，因此周期序列列 傅立葉變換為：傅立葉變換為：v =FT v =v式中式中 0，1，2， ，如果，如果 在在 之間變之間變化，上式可簡化為：化，上式可簡化為：v = (1-56)v其中其中 =v上式就是周期性序列的傅立葉變換表示

49、式。上式就是周期性序列的傅立葉變換表示式。)(nxkkknNjeNkX2)(rrkNNkX)22()(2)(nx)(jeX)(nx10)22()(2NkrrkNNkXk1Nk)(jeX)2()(2kNkXNk )(kXknNjNnenx210)( 1.4 序列的序列的z變換變換v在模擬信號和系統(tǒng)中，用傅立葉變換進行頻域分析，拉普拉氏變換作為在模擬信號和系統(tǒng)中，用傅立葉變換進行頻域分析，拉普拉氏變換作為傅立葉變換的推廣，對信號進行復(fù)頻域分析。與此相類似，在時域離散傅立葉變換的推廣，對信號進行復(fù)頻域分析。與此相類似，在時域離散信號和系統(tǒng)中，用序列的傅立葉變換進行頻域分析，信號和系統(tǒng)中，用序列的傅立

50、葉變換進行頻域分析，Z變換則是其推廣，變換則是其推廣，用來對序列進行復(fù)頻域分析。用來對序列進行復(fù)頻域分析。v1.4.1 Z變換的定義變換的定義v若序列為若序列為 ，則冪級數(shù)，則冪級數(shù)v (1-57)v定義為序列的定義為序列的Z變換，式中變換，式中 是一個復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱為是一個復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱為 平平面。也可以將面。也可以將 的的Z變換表示為變換表示為v在定義中，對在定義中，對 求和是在求和是在 之間，所以稱為雙邊之間，所以稱為雙邊Z變換。還有一種稱變換。還有一種稱為單邊為單邊Z變換的定義變換的定義v (1-58)v這種單邊這種單邊Z變換的求和限是從零到無窮大。對于因果序列，用

51、兩種變換的求和限是從零到無窮大。對于因果序列，用兩種Z變換變換的定義計算出的結(jié)果是一樣的。本書中如不作說明，則使用雙邊的定義計算出的結(jié)果是一樣的。本書中如不作說明，則使用雙邊Z變換變換的定義。的定義。)(nxnnznxzX)()(zz)(nx)()(zXnxZTnnnznxzX0)()(v對任意給定序列對任意給定序列 ，使其，使其Z變換收斂的所有變換收斂的所有 值的值的集合稱為集合稱為 的收斂域。由級數(shù)理論可知，序列的收斂域。由級數(shù)理論可知，序列 的的Z變換存在的條件是：式變換存在的條件是：式(1-57)中等號右邊級數(shù)收中等號右邊級數(shù)收斂，并且絕對可和，即斂，并且絕對可和，即v (1-59)v

52、要滿足式要滿足式(1-59)， 必須在一定范圍之內(nèi)，這個范必須在一定范圍之內(nèi)，這個范圍就是收斂域，不同形式的序列其收斂域形式不同。圍就是收斂域，不同形式的序列其收斂域形式不同。一般收斂域用環(huán)狀域表示，即一般收斂域用環(huán)狀域表示，即v如圖如圖1-9所示。將變量寫為極坐標(biāo)形式，即所示。將變量寫為極坐標(biāo)形式，即 ，代，代入上式得到入上式得到 ，收斂域是以，收斂域是以 和和 為半為半徑的兩個圓形成的環(huán)狀域（陰影部分），徑的兩個圓形成的環(huán)狀域（陰影部分）， 和和 稱為收斂半徑。特殊的，稱為收斂半徑。特殊的， 可以小到零，可以小到零， 可以可以大到無窮大。大到無窮大。)(nxz)(zX)(nxnnznx)(

53、zxxRzRjrez xxRrRxRxRxRxRxRxRv圖1-9 Z變換的收斂域v常用的常用的Z變換是一個有理函數(shù)，用兩個多項式之比表示：變換是一個有理函數(shù)，用兩個多項式之比表示：v分子多項式分子多項式 的根是的根是 的零點，分母多項式的零點，分母多項式 的根是的根是 的極點。在的極點。在極點處極點處Z變換不存在，因此收斂域中沒有極點，收斂域也總是用極點限定其變換不存在，因此收斂域中沒有極點，收斂域也總是用極點限定其邊界。邊界。v對比序列的傅立葉變換的定義，可以得到傅立葉變換和對比序列的傅立葉變換的定義，可以得到傅立葉變換和Z變換之間的關(guān)系為變換之間的關(guān)系為v = (1-60)v式中式中 =

54、 表示在表示在 平面上平面上 的圓，該圓稱為單位圓。式的圓，該圓稱為單位圓。式(1-60)表明表明單位圓上的單位圓上的Z變換就是序列的傅立葉變換。如果已知序列的變換就是序列的傅立葉變換。如果已知序列的Z變換，就可以用變換，就可以用式式(1-60)很方便的求出序列的傅立葉變換，條件是收斂域中包含單位圓。很方便的求出序列的傅立葉變換，條件是收斂域中包含單位圓。v例例1-2 = ，求其，求其Z變換。變換。v解：解：v =v 存在的條件是存在的條件是 ，因此收斂域為，因此收斂域為 ，v = ， v由由 知，極點是知，極點是 =1，因此收斂域不包含單位圓，所以單位圓上的，因此收斂域不包含單位圓，所以單位

55、圓上的Z變變換不存在，即其傅立葉變換不存在，更不能用式換不存在，即其傅立葉變換不存在，更不能用式(1-60)求傅立葉變換（但如求傅立葉變換（但如果引入沖激函數(shù)，其傅立葉變換就可以用沖激函數(shù)的形式表示出來）。該例果引入沖激函數(shù)，其傅立葉變換就可以用沖激函數(shù)的形式表示出來）。該例說明一個序列的傅立葉變換不存在，但在一定收斂域內(nèi)說明一個序列的傅立葉變換不存在，但在一定收斂域內(nèi)Z變換是存在的。變換是存在的。)()()(zQzPzX)(zP)(zX)(zX)(zQ)(jeXjezzX)( zje z1r)(nx)(nunnznuzX)()(0nnz )(zX11z1z)(zX111 z1z )(zXzv

56、1.4.2 不同形式序列不同形式序列Z變換的收斂域變換的收斂域vZ變換中收斂域的概念很重要，不同的序列可能有相同的變換中收斂域的概念很重要，不同的序列可能有相同的Z變換表達式，變換表達式，但是收斂域卻不同，所以只有當(dāng)?shù)鞘諗坑騾s不同，所以只有當(dāng)Z變換的表達式與收斂域都相同時，才變換的表達式與收斂域都相同時，才能判定兩個序列相等。不同形式的序列其收斂域形式不同，下面討論幾能判定兩個序列相等。不同形式的序列其收斂域形式不同，下面討論幾種序列的收斂域。種序列的收斂域。v1.有限長序列有限長序列v 如果序列如果序列 滿足下式：滿足下式：v =v即序列即序列 從從 到到 的序列值不全為零，此范圍之外序列

57、值為零，這樣的序列值不全為零，此范圍之外序列值為零，這樣的序列稱為有限長序列。其的序列稱為有限長序列。其Z變換為變換為v設(shè)設(shè) 為有界序列，由于是有限項求和，除為有界序列，由于是有限項求和，除0與與 兩點是否收斂與兩點是否收斂與 、 取值情況有關(guān)外，整個取值情況有關(guān)外，整個 平面均收斂。如果平面均收斂。如果 ，則收斂域不包括，則收斂域不包括 v點；如果點；如果 ，則收斂域不包括，則收斂域不包括 = 點；如果是因果序列，收斂域包點；如果是因果序列，收斂域包括括 = 點。具體有限長序列的收斂域表示如下：點。具體有限長序列的收斂域表示如下：v ， ，時，時v ， ，時，時v ， ，時，時1n02n0

58、z0)(nx)(nx其它, 0),(21nnnnx)(nx1n)(nx2nnnnnznxzX21)()(z1n2n1n02n0z0 z1n02n0 z0z01n02n0v2.右序列右序列v右序列是指在右序列是指在 時，序列值不全為零，而在其它時，序列值不全為零，而在其它 時，序列值全為零的序列。時，序列值全為零的序列。v = +v第一項為有限長的序列，設(shè)第一項為有限長的序列，設(shè) ，其收斂域為，其收斂域為 。第二項為因果序列，其。第二項為因果序列，其收斂域為收斂域為 ， 是第二項最小的收斂半徑。將兩收斂域相與，其收斂域是第二項最小的收斂半徑。將兩收斂域相與，其收斂域為為 。如果是因果序列，收斂域

59、為。如果是因果序列，收斂域為 。v例例1-4 求求 = 的的Z變換及其收斂域。變換及其收斂域。v解：解： = =v在收斂域中必須滿足在收斂域中必須滿足 ，因此收斂域為，因此收斂域為 。v3.左序列左序列v左序列是指在左序列是指在 時，序列值不全為零，而在時，序列值不全為零，而在 時，序列值全為零的序列。時，序列值全為零的序列。v如果如果 ， 點收斂，點收斂， 點不收斂，其收斂域是在半徑為點不收斂，其收斂域是在半徑為 的圓內(nèi)部，即收的圓內(nèi)部，即收斂域為斂域為 。如果。如果 ，則收斂域為，則收斂域為 。v例例1-5 求求 = 的的Z變換及其收斂域。變換及其收斂域。v解：解： 是一個左序列，當(dāng)是一個

60、左序列，當(dāng) 時，時， =0v = = v 存在要求存在要求 ，即收斂域為，即收斂域為 ，v = = ， 。1nn 1nn nnnznxzX1)()(nnnznx11)(nnznx0)(11nz0zRxxR zRxzRx)(nx)(nuan nnnznuazX)()(0nnnza111 az 11azaz 2nn 2nn nnnznxzX2)()(02n0zzxRxRz 002nxRz 0)(nx) 1(nuan)(nx1n)(nxnnnznuazX) 1()(1nnnza1nnnza )(zX11zaaz )(zXzaza111111 azaz v4.雙邊序列雙邊序列v一個雙邊序列可以分解為一