生活中的優(yōu)化問題舉例上課

1、生活中的優(yōu)化生活中的優(yōu)化問題舉例問題舉例高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修2-2 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一、如何判斷函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性？f(x)為為增函數(shù)增函數(shù)f(x)為為減函數(shù)減函數(shù) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x) 在在 某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，二、如何求函數(shù)的極值與最值？求函數(shù)極值的一般步驟求函數(shù)極值的一般步驟（1）確定定義域）確定定義域（2）求導(dǎo)數(shù)）求導(dǎo)數(shù)f(x)（3）求）求f(x)=0的根的根 （4）列表）列表 （5）判斷）判斷求求f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間a,b上的最值的步驟：上的最值的步驟：(1) 求求f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值；內(nèi)極值；(2) 將將y=f(x)的

2、各極值與的各極值與f(a)、f(b）比較比較,從而確定函數(shù)的最值。從而確定函數(shù)的最值。 生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題通常稱為優(yōu)化問題. .通過前面的學(xué)習(xí)，通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┪覀冎溃瑢?dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ?，本節(jié)我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，值的有力工具，本節(jié)我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的解決一些生活中的 優(yōu)化問題優(yōu)化問題. .例例1:1:海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)cmx128128)2128)(4()( xxxs 學(xué)校或班級(jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)學(xué)

3、?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳，現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張進(jìn)行宣傳，現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為貼的海報(bào)，要求版心面積為128cm2,上下邊各上下邊各空空2cm,左右各空左右各空1cm,如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空白面積最小？能使四周空白面積最小？解：設(shè)版心的高為解：設(shè)版心的高為xcmxcm, ,則寬為則寬為此時(shí)四周空白面積為此時(shí)四周空白面積為512512=2x+8,=2x+8,x xx 0 x 0類型一：求面積、容積的最大問題類型一：求面積、容積的最大問題分析：已知版心的面分析：已知版心的面積，你能否設(shè)計(jì)出積，你能否設(shè)計(jì)出版

4、心的高，求出版版心的高，求出版心的寬，從而列出心的寬，從而列出海報(bào)四周的面積來？海報(bào)四周的面積來？因此，因此，x=16是函數(shù)是函數(shù)s(x)的的極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)，也，也是最小值點(diǎn)。是最小值點(diǎn)。 所以，當(dāng)版心高為所以，當(dāng)版心高為16cm,寬寬為為8cm時(shí)，能使四周空白面積最小。時(shí)，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為答：當(dāng)版心高為16cm,寬為寬為8cm時(shí)，海報(bào)時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小。四周空白面積最小。求導(dǎo)數(shù)，有求導(dǎo)數(shù)，有2512( )2,S xx816128128 x于是寬為于是寬為, 05122)( 2 xxs令令; 0)( ,)16, 0( xsx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)解得，解得，x=16 (x=-16

5、舍去舍去); 0)( ,),16( xsx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)解法二解法二：由解法由解法( (一一) )得得512512( )282 28S xxxxx2 328725122,16(0)xxxx 當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)S S取取最最小小值值即即16 1 12 28 8此此y y = =8 8時(shí)時(shí)816dmdm答答：應(yīng)應(yīng)使使用用版版心心寬寬為為，長(zhǎng)長(zhǎng)為為，四四周周空空白白面面積積最最小小例例2、在邊長(zhǎng)為在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底邊長(zhǎng)為

6、多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？子容積最大？最大容積是多少？(P37 T2改編改編)60 xx60 xx解解:設(shè)箱底邊長(zhǎng)為設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x,則箱高則箱高h(yuǎn)=(60-x)/2.箱子容積箱子容積 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.2 23 3V V( (x x) )= =6 60 0 x x- - x x = =0 02 2由題意可知由題意可知,當(dāng)當(dāng)x過小過小(接近接近0)或過大或過大(接近接近60)時(shí)時(shí),箱子箱子的容積很小的容積很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:當(dāng)當(dāng)x=40cm時(shí)

7、時(shí),箱子容積最大箱子容積最大,最大容積是最大容積是16000cm3.練習(xí)練習(xí)P37 T1一條長(zhǎng)為一條長(zhǎng)為l的鐵絲截成兩段，分別彎成兩的鐵絲截成兩段，分別彎成兩個(gè)正方形，要使兩個(gè)正方形的面積和最小，個(gè)正方形，要使兩個(gè)正方形的面積和最小，兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別是多少？?jī)啥舞F絲的長(zhǎng)度分別是多少？則兩個(gè)正方形面積和為則兩個(gè)正方形面積和為l22221212x-xx-xS = s +s =( ) +()S = s +s =( ) +()4444ll22221 1=(2x -2 x+)=(2x -2 x+)1616解：設(shè)兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別為解：設(shè)兩段鐵絲的長(zhǎng)度分別為x x, ,l l- -x x, ,其中其中0

8、0 x x 0它表示它表示 f(r) 單調(diào)遞增，單調(diào)遞增， 即半徑越大，利潤(rùn)越高；即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑當(dāng)半徑r時(shí)，時(shí)，f (r)0 它表示它表示 f(r) 單調(diào)遞減單調(diào)遞減， 即半徑越大，利潤(rùn)越低即半徑越大，利潤(rùn)越低1.半徑為半徑為cm 時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)(2)0f表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值半徑為半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最大時(shí)，利潤(rùn)最大ryo)3(8 . 0)(23rrrfp231、當(dāng)半徑為2cm時(shí),利潤(rùn)最小,這時(shí)f(2)0,2、當(dāng)半徑為6cm時(shí)，利潤(rùn)最大。從圖中可以看出:從圖中，你還能看出什

9、么嗎？ 練習(xí)：練習(xí)：某商品生產(chǎn)成本與產(chǎn)量某商品生產(chǎn)成本與產(chǎn)量q q的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為100 4Cq , , 價(jià)格價(jià)格p p與產(chǎn)量與產(chǎn)量q q的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為1258pq 求產(chǎn)量求產(chǎn)量 q q 為何值時(shí)，利潤(rùn)為何值時(shí)，利潤(rùn) L L 最大？最大？練習(xí)練習(xí)P37 T61(25)(1004 )8LpqCq qq解解：利利潤(rùn)潤(rùn)21211008qq 121,0,4LqL 令令84q 求求得得0L 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), q84, q84,0L 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), q84, q84,84qL當(dāng)當(dāng)產(chǎn)產(chǎn)量量 為為時(shí)時(shí)，利利潤(rùn)潤(rùn) 最最大大21211008qq 1(25)(1004 )8LpqCq qq另另解解：

10、利利潤(rùn)潤(rùn)2184124bqLa 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， 的的值值最最大大例例4 4：圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與：圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最省所用的材料最??？P37 T32 2V Vh h = = R RS=2Rh+2RS=2Rh+2R2 2由由V=RV=R2 2h h，得，得 ，則，則2 22 22 2V V2 2V VS S( (R R) )= = 2 2 R R+ +2 2 R R = =+ +2 2 R R R RR R2 22V2VS(R)=-+4S(R)=-+4 R =0R =0R R令令3 3V VR =R

11、 =2 2 解得，解得， ，解：設(shè)圓柱的高為解：設(shè)圓柱的高為h h，底半徑為，底半徑為R R，則表面積則表面積Rh類型三：用料最省、費(fèi)用最低問題類型三：用料最省、費(fèi)用最低問題答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省3 33 32 22 23 3V VV V4 4V VV Vh h = = = = = 2 2 R R 2 2 V V ( () )2 2 即即h=2Rh=2R因?yàn)橐驗(yàn)镾(R)S(R)只有一個(gè)極值，所以它是最小值只有一個(gè)極值，所以它是最小值3 3V VR =R =2 2 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 練習(xí)：練習(xí)：如圖如圖, ,鐵路線上鐵路線上ABAB段長(zhǎng)段長(zhǎng)

12、100km100km, 工廠工廠C C到鐵路的距離到鐵路的距離CA=20km.CA=20km. 現(xiàn)在要在現(xiàn)在要在ABAB上某一處上某一處D,D,向向C C修修一條公路一條公路. .已知鐵路每噸千米與已知鐵路每噸千米與公路每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為公路每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為3:5.3:5.為了使原料為了使原料從供應(yīng)站從供應(yīng)站B B運(yùn)到工廠運(yùn)到工廠C C的運(yùn)費(fèi)最省的運(yùn)費(fèi)最省,D,D應(yīng)修在何處應(yīng)修在何處? ?B D AC解解:設(shè)設(shè)DA=xkm,那么那么DB=(100-x)km,CD= km.2 22 22 20 0 + +x x = =2400 x 又設(shè)鐵路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為又設(shè)鐵路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為3 3

13、t t元元, ,則公路上每噸千則公路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為米的運(yùn)費(fèi)為5 5t t元元. .這樣這樣, ,每噸原料從供應(yīng)站每噸原料從供應(yīng)站B B運(yùn)到工廠運(yùn)到工廠C C的總運(yùn)費(fèi)為的總運(yùn)費(fèi)為25354003 (100)(0100).yt CDt BDtxtxx 25354003 (100)(0100).yt CDt BDtxtxx 令令 在在 的范圍內(nèi)有唯一解的范圍內(nèi)有唯一解x=15.25(3) 0400 xytx 0100 x 所以所以,當(dāng)當(dāng)x=15(km),(km),即即D D點(diǎn)選在距點(diǎn)選在距A A點(diǎn)點(diǎn)1515千米時(shí)千米時(shí), ,總運(yùn)費(fèi)最省總運(yùn)費(fèi)最省. .B D AC類型四類型四 磁盤的最大存儲(chǔ)量問題

14、磁盤的最大存儲(chǔ)量問題(1) 你知道計(jì)算機(jī)是如何存儲(chǔ)、檢索信息的嗎？(2) 你知道磁盤的結(jié)構(gòu)嗎？(3)如何使一個(gè)圓環(huán)狀的磁盤存儲(chǔ)盡可能多的信息？Rr例5：現(xiàn)有一張半徑為R的磁盤，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于r與R的環(huán)行區(qū)域。(1)是不是r越小，磁盤的存 儲(chǔ)量越大？(2) r為多少時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量（最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息）？解：存儲(chǔ)量解：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù)每磁道的比特?cái)?shù) 設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于r與R之間，由于磁道之間的寬度必須大于m，且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，所以磁道最多可達(dá) 又由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大的存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)到 所以，磁道總存儲(chǔ)量,mrR.2nrp .22rRrmnrnrmrRrfpp（1）它是一個(gè)關(guān)于r的二次函數(shù)，從函數(shù)的解析式上可以判斷，不是