信號(hào)與系統(tǒng)教案第5章

1、信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-1 1 1頁頁頁電子教案第五章第五章 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的s s域分析域分析5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換二、收斂域二、收斂域三、三、(單邊單邊)拉普拉斯變換拉普拉斯變換5.2 5.2 拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換的性質(zhì)5.3 5.3 拉普拉斯變換逆變換拉普拉斯變換逆變換5.4 5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析一、微分方程的變換解一、微分方程的變換解二、系統(tǒng)函數(shù)二、系統(tǒng)函數(shù)三、系統(tǒng)的三、系統(tǒng)的s域框圖域框圖四、電路的四、電路的s域模型域模型點(diǎn)擊目錄點(diǎn)擊目錄

2、 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-2 2 2頁頁頁電子教案第五章第五章 連續(xù)系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)的s s域分析域分析 頻域分析頻域分析以以虛指數(shù)信號(hào)虛指數(shù)信號(hào)ejt為基本信號(hào)，任意信號(hào)可為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應(yīng)的求解分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應(yīng)的求解得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：得到簡化。物理意義清楚。但也有不足：（1）有些重要信號(hào)不存在傅里葉變換，如）有些重要信號(hào)不存在傅里葉變換，如e2t(t);（2）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。）對于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利

3、用頻域分析。 在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域來解決這些問題。域來解決這些問題。 本章引入本章引入復(fù)頻率復(fù)頻率 s = +j,以復(fù)指數(shù)函數(shù)以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本信為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。號(hào)，任意信號(hào)可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是復(fù)頻率復(fù)頻率 s ，故稱為，故稱為s域分域分析析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-3 3 3頁頁頁電子教案5.1

4、5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換一、從傅里葉到拉普拉斯變換一、從傅里葉到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。有些函數(shù)不滿足絕對可積條件，求解傅里葉變換困難。為此，可用一衰減因子為此，可用一衰減因子e- t( 為實(shí)常數(shù)）乘信號(hào)為實(shí)常數(shù)）乘信號(hào)f(t) ，適當(dāng)選取適當(dāng)選取 的值，使乘積信號(hào)的值，使乘積信號(hào)f(t) e- t當(dāng)當(dāng)t時(shí)信號(hào)幅時(shí)信號(hào)幅度趨近于度趨近于0 ，從而使，從而使f(t) e- t的傅里葉變換存在。的傅里葉變換存在。 相應(yīng)的傅里葉逆變換相應(yīng)的傅里葉逆變換 為為f(t) e- t= de)(21tjbjFF Fb b( ( +j+j )=)= f(t) e-

5、t= ttfttftjtjtde)(dee)()(de)(21)()(tjbjFtf令令s = + j ,d =ds/j，有，有信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-4 4 4頁頁頁電子教案5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換tetfsFstbd)()(jjde)(j21)(ssFtfstb雙邊拉普拉斯變換對Fb(s)稱為稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），f(t)稱為稱為Fb(s) 的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。 二、收斂域二、收斂域 只有選擇適當(dāng)?shù)闹挥羞x擇適當(dāng)?shù)?值才能使積分收斂，信號(hào)值才能

6、使積分收斂，信號(hào)f(t)的雙的雙邊拉普拉斯變換存在。邊拉普拉斯變換存在。 使使 f(t)拉氏變換存在拉氏變換存在 的取值范圍稱為的取值范圍稱為Fb(s)的收斂域。的收斂域。 下面舉例說明下面舉例說明Fb(s)收斂域的問題。收斂域的問題。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-5 5 5頁頁頁電子教案5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換例例1 因果信號(hào)因果信號(hào)f1(t)= e t (t) ，求其拉普拉斯變換。，求其拉普拉斯變換。 解解 eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(01ttttssttbsstsF，無界，不定Re,1ss可見，對于因果信號(hào)，僅

7、當(dāng)可見，對于因果信號(hào)，僅當(dāng)Res= 時(shí)，其拉氏變換存時(shí)，其拉氏變換存在。在。 收斂域如圖所示。收斂域如圖所示。j0收斂域收斂域收斂邊界收斂邊界信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-6 6 6頁頁頁電子教案5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換例例2 反因果信號(hào)反因果信號(hào)f2(t)= e t (-t) ，求其拉普拉斯變換。，求其拉普拉斯變換。 解解 eelim1 )(1)(edee)(j)(0)(02ttttssttbsstsF，不定無界)(1.Re,ss可見，對于反因果信號(hào)，僅當(dāng)可見，對于反因果信號(hào)，僅當(dāng)Res= 時(shí)，其收斂域時(shí)，其收斂域?yàn)闉?Res 221

8、31)()(22sssFtfRes= 32131)()(33sssFtf 3 2可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。須標(biāo)出收斂域。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-9 9 9頁頁頁電子教案5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換通常遇到的信號(hào)都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為通常遇到的信號(hào)都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，t ，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。 三、單邊拉氏變換三、單邊拉氏變換 0defde)()(

9、ttfsFst)(de)(j21)(jjdeftssFtfst簡記為簡記為F(s)=f(t) f(t)= -1F(s) 或或 f(t) F(s)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-101010頁頁頁電子教案5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換四、常見函數(shù)的拉普拉斯變換 1、 (t) 1， -2、 (t)或或1 1/s ， 03、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)e-s0t 01ss -Res0cos 0t = (ej 0t+ e e-j-j 0t )/2 202sssin 0t = (ej 0t e e-j-j 0t )/2j 2020s信號(hào)與

10、系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-111111頁頁頁電子教案5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換4、周期信號(hào)、周期信號(hào)fT(t) 0)1(200de)(.de)(de)(de)()(nTnnTstTTTstTTstTstTTttfttfttfttfsFTstTsTTstTnnsTttfttfnTtt000de)(e11de)(e令特例特例： T(t) 1/(1 e-sT) 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-121212頁頁頁電子教案5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換五、單邊拉氏變換與傅里葉變換的關(guān)系五、單邊拉氏變換

11、與傅里葉變換的關(guān)系 0de)()(ttfsFstRes 0 ttfFtde)()(jj要討論其關(guān)系，要討論其關(guān)系，f(t)必須為因果信號(hào)。必須為因果信號(hào)。 根據(jù)收斂坐標(biāo)根據(jù)收斂坐標(biāo) 0的值可分為以下三種情況：的值可分為以下三種情況： （1） 0-2；則則 F(j )=1/( j +2)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-131313頁頁頁電子教案5.1 5.1 拉普拉斯變換拉普拉斯變換（2） 0 =0，即即F(s)的收斂邊界為的收斂邊界為j 軸，軸， )(lim)(j0sFF如如f(t)= (t)F(s)=1/s 2202200limlim1lim)(jjj

12、F= ( ) + 1/j （3） 0 0，F(xiàn)(j )不存在。不存在。 例例f(t)=e2t (t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里葉變；其傅里葉變換不存在。換不存在。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-141414頁頁頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)一、線性性質(zhì)一、線性性質(zhì)若若f1(t)F1(s) Res 1 , f2(t)F2(s) Res 2則則 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax( 1, 2) 例例f(t) = (t) + (t)

13、1 + 1/s， 0 二、尺度變換二、尺度變換若若f(t) F(s) , Res 0，且有實(shí)數(shù)，且有實(shí)數(shù)a0 ，則則f(at) )(1asFaResa 0 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-151515頁頁頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)例：如圖信號(hào)例：如圖信號(hào)f(t)的拉氏變換的拉氏變換F(s) =)ee1 (e2sssss求圖中信號(hào)求圖中信號(hào)y(t)的拉氏變換的拉氏變換Y(s)。0121f(t)t0424y(t)t解：解：y(t)= 4f(0.5t)Y(s) = 42 F(2s) )e2e1 (2e82222sssss)e2e

14、1 (e22222sssss信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-161616頁頁頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)三、時(shí)移（延時(shí)）特性三、時(shí)移（延時(shí)）特性 若若f(t) F(s) , Res 0, 且有實(shí)常數(shù)且有實(shí)常數(shù)t00 ,則則f(t-t0) (t-t0)e-st0F(s) , Res 0 與尺度變換相結(jié)合與尺度變換相結(jié)合f(at-t0) (at-t0)asFasat0e1例例1:求如圖信號(hào)的單邊拉氏變換。求如圖信號(hào)的單邊拉氏變換。011f1(t)t01-11tf2(t)解：解：f1(t) = (t) (t-1)，f2(t) =

15、(t+1) (t-1)F1(s)=)e1 (1ssF2(s)= F1(s)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-171717頁頁頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)例例2:已知已知f1(t) F1(s),求求f2(t) F2(s)解：解： f2(t) = f1(0.5t) f1 0.5(t-2)011f1(t)t0241tf2(t)-1f1(0.5t) 2F1(2s)f1 0.5(t-2) 2F1(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)例例3:求求f(t)= e-2(t-1)(t) F (s)=?信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安

16、電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-181818頁頁頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)四、復(fù)頻移（四、復(fù)頻移（s s域平移）特性域平移）特性 若若f(t) F(s) , Res 0 , 且有復(fù)常數(shù)且有復(fù)常數(shù)sa= a+j a,則則f(t)esat F(s-sa) , Res 0+ a 例例1:已知因果信號(hào)已知因果信號(hào)f(t)的象函數(shù)的象函數(shù)F(s)= 12ss求求e-tf(3t-2)的象函數(shù)。的象函數(shù)。 解：解：e-tf(3t-2) )1(322e9) 1(1sss例例2:f(t)=cos(2t/4) F(s)= ?解解cos(2t/4) =cos(2t)c

17、os(/4) + sin(2t)sin (/4) 42222242224)(222ssssssF信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-191919頁頁頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)五、時(shí)域的微分特性（微分定理）五、時(shí)域的微分特性（微分定理） 若若f(t) F(s) , Res 0, 則則f(t) sF(s) f(0-) f(t) s2F(s) sf(0-) f(0-) f(n)(t) snF(s) 10)(1)0(nmmmnfs若若f(t)為因果信號(hào)，則為因果信號(hào)，則f(n)(t) snF(s) 例例1: (n)(t) ? 例例2:

18、?2cosddtt例例3:?)(2cosddttt信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-202020頁頁頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)六、時(shí)域積分特性（積分定理）六、時(shí)域積分特性（積分定理） 若若f(t) F(s) , Res 0, 則則 )(1d)(0sFsxxfnnt)0()(d)()()1(11)1(fssFsxxftft例例1: t2 (t)? )(d)(0ttxxtttttxxxxx0220)(2d)(d)(322)(stt信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-212121頁頁頁電子教案5

19、.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)例例2:已知因果信號(hào)已知因果信號(hào)f(t)如圖如圖 ,求求F(s)f(t)t022解解：對：對f(t)求導(dǎo)得求導(dǎo)得f(t)，如圖，如圖f(t)t(-2)120)0()(d)( 0ftfxxft由于由于f(t)為因果信號(hào)，故為因果信號(hào)，故f(0-)=0txxftf0d)( )(f(t)=(t)(t 2) (t 2) F1(s)sss22e)e1 (1ssFsF)()(1結(jié)論：若結(jié)論：若f(t)為因果信號(hào)，已知為因果信號(hào)，已知f(n)(t) Fn(s) 則則 f(t) Fn(s)/sn信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5

20、-222222頁頁頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)七、卷積定理七、卷積定理 時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理 若因果函數(shù)若因果函數(shù) f1(t) F1(s) , Res 1 , f2(t) F2(s) , Res 2則則 f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s) 復(fù)頻域（復(fù)頻域（s域）卷積定理域）卷積定理 jcjcsFFtftfd)()(j21)()(2121例例1：t (t) ?例例2：已知：已知F(s)= ?)e1 (12 ss00)2()2(*)(nnntnttTssTsT2e1e1e11例例3：信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-

21、232323頁頁頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)八、八、s s域微分和積分域微分和積分 若若f(t) F(s) , Res 0, 則則 ssFtftd)(d)()(nnnssFtftd)(d)()(例例1：t2e-2t (t) ? e-2t (t) 1/(s+2) t2e-2t (t) 322)2(2)21(ddssssdFttf)()(信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-242424頁頁頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)例例2：?)(sinttt11)(sin2sttsstttss1arctanarctan

22、2arctand11)(sin2例例3：?e12tt211e12sstssssssstesst2ln211ln1d)21111(12信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-252525頁頁頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)九、初值定理和終值定理九、初值定理和終值定理 初值定理和終值定理常用于由初值定理和終值定理常用于由F(s)直接求直接求f(0+)和和f(），），而不必求出原函數(shù)而不必求出原函數(shù)f(t)初值定理初值定理設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(t)不含不含 (t)及其各階導(dǎo)數(shù)（即及其各階導(dǎo)數(shù)（即F(s)為真分式，為真分式，若若F(s)為假分式化為真

23、分式），為假分式化為真分式），則則 )(lim)(lim)0(0ssFtffst終值定理終值定理 若若f(t)當(dāng)當(dāng)t 時(shí)存在，并且時(shí)存在，并且 f(t) F(s) , Res 0, 00，則，則 )(lim)(0ssFfs信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-262626頁頁頁電子教案5.2 5.2 拉普拉斯變換性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)例例1：222)(2ssssF2222lim)(lim)0(22sssssFfss0222lim)(lim)(2200sssssFfss例例2：22)(22ssssF22222lim)(lim)0(22ssssssFfss22221

24、)(2ssssF信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-272727頁頁頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換直接利用定義式求反變換直接利用定義式求反變換-復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。復(fù)變函數(shù)積分，比較困難。通常的方法通常的方法 （1）查表）查表 （2）利用性質(zhì)）利用性質(zhì) （3） 部分分式展開部分分式展開 -結(jié)合結(jié)合 若象函數(shù)若象函數(shù)F(s)是是s的有理分式，可寫為的有理分式，可寫為 01110111.)(asasasbsbsbsbsFnnnmmmm若若mn （假分式）（假分式）,可用多項(xiàng)式除法將象函數(shù)可用

25、多項(xiàng)式除法將象函數(shù)F(s)分分解為有理多項(xiàng)式解為有理多項(xiàng)式P(s)與有理真分式之和。與有理真分式之和。 )()()()(0sAsBsPsF信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-282828頁頁頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換6116332261161531258)(23223234ssssssssssssssF由于由于L-11= (t)， L -1sn= (n)(t)，故多項(xiàng)式，故多項(xiàng)式P(s)的拉的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。 下面主要討論有理真分式的情形。下面主要討論有理真分式的情形。 部分分式展開法部分

26、分式展開法若若F(s)是是s的實(shí)系數(shù)有理真分式（的實(shí)系數(shù)有理真分式（mn)，則可寫為，則可寫為 01110111.)()()(bsbsbsasasasasAsBsFnnnmmmm式中式中A(s)稱為稱為F(s)的的特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式，方程，方程A(s)=0稱為稱為特特征方程征方程，它的根稱為，它的根稱為特征根特征根，也稱為，也稱為F(s)的的固有頻率固有頻率（或自然頻率）。（或自然頻率）。n個(gè)特征根個(gè)特征根pi稱為稱為F(s)的的極點(diǎn)極點(diǎn)。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-292929頁頁頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換（1）F(

27、s)為單極點(diǎn)（單根）為單極點(diǎn)（單根）nniipsKpsKpsKpsKsAsBsF.)()()(2211ipsiisFpsK)()()(e11tpsLtpii例例1:1:10(2)(5)( ),(1)(3)ssF ss ss已知求其逆變換312( )13kkkF smnsss解：部分分解法（）100( )10(2)(5)100(1)(3)3ssksFsssss其 中信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-303030頁頁頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換211(1)( )10(2)(5)20(3)ssksFssss s 解 ：333(3)( )

28、10(2)(5)10(1)3ssksF ssss s 1002010( )313(3)Fssss解 ：)(e310e203100)(3ttftt信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-313131頁頁頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換例例2:2:32597( ),(1)(2)sssF sss已 知求 其 逆 變 換( )F s解：長除法23277223795232223232ssssssssssssss信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-323232頁頁頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換

29、12( )212kkF ssss解 ： 分 式 分 解 法 11223(1)2(1)(2)311ssskssssks 其 中 21( )212F ssss)()ee2()(2)( )(2ttttftt信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-333333頁頁頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換特例特例：若：若F(s)包含共軛復(fù)根時(shí)包含共軛復(fù)根時(shí)(p1,2 = j )j)(j)()()()()(22sssDsBssDsBsF)(jj221sFsKsKBAKsFsKsje|)()j(j1j1K2 = K1*je|je|jj)(j1j1211sKsKs

30、KsKsF f1(t)=2|K1|e- tcos( t+ ) (t) 若寫為若寫為K1,2 = A jBf1(t)= 2e- tAcos( t) Bsin( t) (t) 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-343434頁頁頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換例例3 3223( ),(25)(2)sF ssss已知求其逆變換23( )(12)(12)(2)sF ssjsjs 解：01212122kkksjsjs 1,2, (1,2 )pj 2112312:(12)(2)5sjsjksjs 解 其中信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系

31、統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-353535頁頁頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換12, (,)55AjBAB 1 , 2即 k2237(12)(12)5ssksjsj121275555( )12125(2)jjF ssjsjs 解：1,212,55AB )(e57)2sin(52)2cos(51e2)(2ttttftt信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-363636頁頁頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換例例4： 求象函數(shù)求象函數(shù)F(s)的原函數(shù)的原函數(shù)f(t)。 )22)(1)(1(42)(2223sssssssssF解

32、：解：A(s)=0有有6個(gè)單根，它們分別是個(gè)單根，它們分別是s1=0，s2= 1，s3,4= j1 ，s5,6= 1 j1，故，故 jsKjsKjsKjsKsKsKsF111)(654321 K1= sF(s)|s=0 = 2， K2= (s+1)F(s)|s=-1= 1 K3= (s j)F(s)|s=j=j/2 =(1/2)ej( /2) ,K4=K3*=(1/2)e-j( /2) K5= (s+1 j)F(s)|s=-1+j= 43e21jK6=K5*)()43cos(e2)2cos(e2)(ttttftt信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-37373

33、7頁頁頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換（2）F(s)有重極點(diǎn)（重根）有重極點(diǎn)（重根） 若若A(s) = 0在在s = p1處有處有r重根，重根， )(.)()()()()(111112111psKpsKpsKsAsBsFrrr K11=(s p1)rF(s)|s=p1， K12=(d/ds)(s p1)rF(s)|s=p1 1)()(dd)!1(11111psrrrrsFpssrK1!)(nnsnttL)(e!1)(11111ttnpsLtpnn信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-383838頁頁頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換

34、拉普拉斯逆變換舉例舉例: :32(),(1)sFss s已 知求 其 逆 變 換131112232( )(1)(1)(1)kkkkF sssss解：312( )(1)( )sF ssF ss令11 111()23spskFsss 解 ： 其 中11 2121()(2 ) 12spsdkFsd ssss 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-393939頁頁頁電子教案5.3 5.3 拉普拉斯逆變換拉普拉斯逆變換121 312411()21422spsdkFsd sss 解 ：2030()22(1)ssksFsss 32( )(1)(1)()Fsssss)()2e

35、2e2e23()(2ttttfttt信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-404040頁頁頁電子教案5.4 5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析 5.4 5.4 復(fù)頻域復(fù)頻域系統(tǒng)系統(tǒng)分析分析 一、微分方程的變換解一、微分方程的變換解 描述描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為 nimjjjiitfbtya00)()()()(系統(tǒng)的初始狀態(tài)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-) ,y(1)(0-),，y(n-1) (0-)。思路思路：用：用拉普拉斯變換微分特性拉普拉斯變換微分特性)0()()()(101)(pippiiiyssYsty若若f (t)在在t

36、= 0時(shí)接入系統(tǒng)，則時(shí)接入系統(tǒng)，則 f (j )(t) s j F(s)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-414141頁頁頁電子教案5.4 5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析niniipmjjjppiiiisFsbysasYsa00100)(1)()0()(例例1 描述某描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)的微分方程為 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = 2f (t)+ 6 f (t)已知初始狀態(tài)已知初始狀態(tài)y(0-) = 1，y(0-)= -1，激勵(lì)，激勵(lì)f (t) = 5cost (t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)解解： 方程取拉氏變換，并整

37、理得方程取拉氏變換，并整理得y(t)， yx(t)， yf(t)s域的代數(shù)方程)()()()()()()0()(0000)(101sFsAsBsAsMsFsasbsaysasYniiimjjjniiinipippiiYx(s)Yf(s)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-424242頁頁頁電子教案5.4 5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析1522)3)(2(42ssssssjsjssssjj6 .266 .26e5e5243122y(t)= 2e2t (t) e3t (t) - - 4e2t (t) + )()6 .26cos(52ttyx(t)yf (t)暫態(tài)分

38、量暫態(tài)分量yt (t)穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量ys (t)若已知若已知y(0+)=1，y(0+)= 9)(65) 3(265)0(5)0( )0()(22sFsssssyysysY15)(2sssFYx(s)Yf(s)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-434343頁頁頁電子教案5.4 5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析二、系統(tǒng)函數(shù)二、系統(tǒng)函數(shù) 系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)定義為定義為 )()()()()(fdefsAsBsFsYsH它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)、初始它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵(lì)、初始狀態(tài)無關(guān)。狀態(tài)無關(guān)。)()()()(fsFsAsBs

39、Yyf(t)= h(t)*f (t)H(s)= L h(t)Yf(s)= L h(t)F(s)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-444444頁頁頁電子教案5.4 5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析例例2 已知當(dāng)輸入已知當(dāng)輸入f (t)= e-t (t)時(shí)，某時(shí)，某LTI因果系統(tǒng)的零狀因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)態(tài)響應(yīng) yf(t) = (3e-t - -4e-2t + e-3t) (t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。 解解65823224) 3)(2()4(2)()()(2fsssssssssFsYsHh(t)= (4e-2t - -2e-3t) (t)微分方程為微分方程為 y(t)+5y(t)+6y(t) = 2f (t)+ 8f (t) s2Yf(s) + 5sYf(s) + 6Yf(s) = 2sF(s)+ 8F(s) 取逆變換取逆變換 yf(t)+5yf(t)+6yf(t) = 2f (t)+ 8f (t) 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)西安電子科技大學(xué)電路與系統(tǒng)教研中心第第第5-5-5-454545頁頁頁電子教案5.4 5.4 復(fù)頻域分析復(fù)頻域分析三、系統(tǒng)的三、系統(tǒng)的s域框圖域框圖 時(shí)域框圖基本單