注冊工程師考試積分學(xué)

1、1 1.3.1 1.3.1 不定積分不定積分 1.3.5 1.3.5 平面曲線積分平面曲線積分 1.3.4 1.3.4 重積分重積分1.3 積分學(xué) 1.3.2 1.3.2 定積分定積分 1.3.3 1.3.3 廣義積分廣義積分 1.3.6 1.3.6 積分應(yīng)用積分應(yīng)用21. 直接積分法通過簡單變形, 利用基本積分公式和運算法則求不定積分的方法 (要求記住基本積分公式P16）.2. 換元積分法3第一類換元的基本思路第一類換元的關(guān)鍵是湊微分，常用的湊微分結(jié)果有dxxg)()()(xdxfCxF)()()()(xfxFxf的原函數(shù)易求，且注：這里要求)(1baxdadx)() 1(11baxdakd

2、xxkk)(xxeddxe)0()(ln1xxddxx4.d4932xxxxx解解: 原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln2ln)arctan(325第二類換元的解題思路為dxxf)(dtttftx)()()(Ct )()()()(ttftCx)(1使用該公式的關(guān)鍵為在。單調(diào)可導(dǎo)，有反函數(shù)存)(. 1tx易求。積分dtttf)()(. 2第二類換元常見類型有 三角代換 倒代換 根式代換等6vuxvud使用原則:1) 由v易求出 v ;2) xvud比xvud好求 .一般經(jīng)驗: 按“反, 對, 冪, 指 , 三

3、” 的順序,排前者取為 u , 排后者取為.vxvu d7例例3 3 求積分求積分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部積分法）（再次使用分部積分法）,xu dvdxex xdex2 22dxeexxx dxexx2 xxxdeex22 )(dxexeexxxx22Cxxex )(2228解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 兩邊同時對兩邊同時對 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222x

4、ex .2Cex 92、定積分的性質(zhì) badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性質(zhì)性質(zhì)1 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù))性質(zhì)性質(zhì)2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(性質(zhì)性質(zhì)31、定積分定義：1.3.2 定積分定積分10 則則0)( dxxfba )(ba 性質(zhì)性質(zhì)5如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，推論：推論：則則dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性質(zhì)性質(zhì)411如果函數(shù)如

5、果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)，上連續(xù)，則在積分區(qū)間則在積分區(qū)間,ba上至少存在一個點上至少存在一個點 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性質(zhì)性質(zhì)7 (定積分中值定理定積分中值定理)設(shè)設(shè)M及及m分別是函數(shù)分別是函數(shù) 則則 )()()(abMdxxfabmba .性質(zhì)性質(zhì)6上的最大值及最小值，上的最大值及最小值，積分中值公式積分中值公式123、積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 如

6、如果果)(tf連連續(xù)續(xù)，)(xa、)(xb可可導(dǎo)導(dǎo)，則則dttfxFxbxa )()()()(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(xF 為為 )()()()(xbxadttfdxdxF )()()()(xaxafxbxbf 13.)()(babaxFdxxf 也可寫成也可寫成牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式.,:上上的的增增量量它它的的任任一一原原函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上的的定定積積分分等等于于一一個個連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間表表明明baba4、牛頓萊布尼茨公式145、定積分的計算法 dtttfdxxfba )()()(換元公式換元公式（2）第二類換元法）第二類換元法（3）分部積分法）分部積分法分部積分公式分

7、部積分公式 bababavduuvudv注：應(yīng)盡可能先用簡便算法： 1、幾何意義；2、對稱性；3、奇偶性；4、重要結(jié)論（1）湊微分法）湊微分法156、重要結(jié)論2200cossin)2(xdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù)161.3.3 廣義積分廣義積分(1)無窮限的廣義積分無窮限的廣義積分 adxxf)( babdxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. bdxxf)( baadxxf)(lim17(2)無界函數(shù)的廣

8、義積分無界函數(shù)的廣義積分 badxxf)( badxxf )(lim0當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時時，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim018bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd若D為 X 型區(qū)域 則)(1xy)(2xyxboyDax若D為Y 型區(qū)域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dc

9、ydDyxyxfdd),(則1.3.4 重積分（化為累次積分）19D解解圍成由其中計算例2,1,. 822xxyxyDdyxD xxDdyyxdxdyx1222122 2112)(dxyxxx 213)(dxxx.49 .,:211xxyxD20Dyxfd),(ddrrDrrf)sin,cos(2. 在極坐標(biāo)系下計算二重積分222ryx注：在極坐標(biāo)系下有注：在極坐標(biāo)系下有。，后對先對化為二次積分的順序是r21,d222DyxR其中D 為圓周xRyx22所圍成的閉區(qū)域.提示提示: 利用極坐標(biāo)cosRr 原式cos022dRrrRr2033d)sin1(32R)34(313RyDR xo:Dcos

10、0Rr 2222d2222802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD將:D視為Y型區(qū)域 , 則282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy23tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22) 1 (22)(d)(ddyxs計算定積分轉(zhuǎn) 化),(yxf設(shè)且)()(tty上的連續(xù)函數(shù),是定義在光滑曲線弧則曲線積分),(:txL,d),(存在Lsyxf說明說明:!(1)積分限必須滿足(2) 注意到 tt

11、td)()(2224),()(bxaxy則有Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: rrL則syxfLd),()sin)(,cos)(rrf)()(, )(),(:ttztytxxx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,(25,dLsx其中 L 是拋物線2xy 與點 B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsxd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上點 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B26),(, ),(yxQyxP設(shè)在有向光滑弧 L 上有定義且L 的參數(shù)方程為)()(tytx

12、,:t則曲線積分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ連續(xù),存在, 且有27其中 L 為,:, 0aaxyyBAoaax(1) 半徑為 a 圓心在原點的 上半圓周, 方向為逆時針方向;(2) 從點 A ( a , 0 )沿 x 軸到點 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的參數(shù)方程為,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程為xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00則則28LD區(qū)域 D 分類單連通區(qū)域 ( 無“洞”區(qū)域 )多連通區(qū)域 ( 有“洞

13、”區(qū)域 )域 D 邊界L 的正向正向: 域的內(nèi)部靠左域的內(nèi)部靠左設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd格林公式格林公式函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),29yA xoL,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,AOD它與L 所圍原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周區(qū)域為D , 則3648 30設(shè)曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xb

14、aoy)(xfy xxxdxxfAbad)(邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd1.3.6 積分應(yīng)用積分應(yīng)用3122,xyxy在第一象限所圍所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由xy 22xy 得交點) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A32abxoyx12222byax解解: 利用對稱性 , xyAdd所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時得圓面積公式xxd33sdyxabo)()(bxaxfy)(xfy xxxd所求弧長xysbad12xxfbad)(122.平面曲線的弧長34)()()(ttytx所求弧長tttsd)()(2235xyoabxyoab)(xfy 2)(xf