一階微分方程的初等解法ppt課件

1、第二章 一階微分方程的初等解法 2.1 變量分離方程與變量變換變量分離方程與變量變換yxyedxdy122yxdxdy先看例子：xyeye定義1形如) 1 . 2()()(yxfdxdy方程,稱(chēng)為變量分離方程.,)(),(的連續(xù)函數(shù)分別是這里yxyxf),(yxFdxdy一、變量分離方程的求解一、變量分離方程的求解,10分離變量,)()(dxxfydy這樣變量就“分別開(kāi)了.( ).(2.2)( )dyf x dxcy的某一原函數(shù))(1y的某一原函數(shù))(xf(2.2)G( )( , )(2.1).yx c由所確定的函數(shù)就為的解) 1 . 2()()(yxfdxdy兩邊積分得02寫(xiě)成將時(shí)當(dāng)) 1

2、. 2(,0)(y例：122yxdxdydxxydy221Cdxxydy22131arctan.3yxC分離變量:兩邊積分:.,)2 . 2(,) 1 . 2(, 0)(,000必須予以補(bǔ)上的通解中它不包含在方程可能的解也是則使若存在yyyy注:例1求微分方程)101 (yydxdy的所有解.解:再積分方程兩邊同除以),101 (yy1)101 (cdxyydy積分得:110lncxyy得再將常數(shù)記為從上式中解出,cy,110 xcey. 0c,100, 0)101 (yyyy和求出方程的所有解為由故方程的所有解為:10,1xycce為任意常數(shù). 0y和110lncxyy解:分離變量后得dxx

3、dyy123兩邊積分得:121ln2cxy整理后得通解為:21)(ln4cxy,)(ln42cx,0,1231無(wú)意義在由于函數(shù)其中xxyecc.00之一中有意義或故此解只在xx., 0應(yīng)補(bǔ)上這個(gè)解未包含在通解中此外還有解 y例223ydxdyx求微分方程的通解.例3求微分方程yxpdxdy)(.)(,的連續(xù)函數(shù)是其中的通解xxp解:將變量分離后得dxxpydy)(兩邊積分得:1)(lncdxxpy由對(duì)數(shù)的定義有1)(cdxxpey即dxxpceey)(1.)(dxxpce,0, 0,0也包括在上式中即知若在上式中充許也是方程的解此外ycy( ),.p x dxycec為任意常數(shù)故方程的通解為1

4、)(cdxxpey例4.1)0(cos2的特解求初值問(wèn)題yxydxdy解:，xydxdy的通解先求方程cos2得將變量分離時(shí)當(dāng),0yxdxydycos2兩邊積分得:,sin1cxy因而通解為:,sin1cxy.為任意常數(shù)其中c.,0得到的且不能在通解中取適當(dāng)也是方程的解此外cy 再求初值問(wèn)題的通解,1,1)0(cy得代入通解以所以所求的特解為:.sin111sin1xxy分離變量積分(轉(zhuǎn)化為積分的形式)討論解的完整性如分母為零的解）寫(xiě)出通解變量分離方程的解題步驟變量分離方程的解題步驟分離變量( )得方程的通解為解：積分得0y 而經(jīng)檢驗(yàn)而經(jīng)檢驗(yàn)y=0也是原方程的解。也是原方程的解。,)()(dx

5、dxcdybya例5 求解方程 ， 并求滿(mǎn)足初始條件: 當(dāng) 時(shí)， 的特解. )()(byaxdxcydxdy0 xx0yy .0, 0yx,lnlnCdxxcbyyaCeyxbydxac)(解題步驟：分別、積分、寫(xiě)出通解和求特解。解題步驟：分別、積分、寫(xiě)出通解和求特解。假設(shè) ,則所求初值解為00y. 0y00y假設(shè) , 則所求初值問(wèn)題的解為00 ()()00() ()1.d x xb y ycaxyexy2.1.2、可化為變量分離方程的類(lèi)型、可化為變量分離方程的類(lèi)型 引言：有的微分方程從表面上看，不引言：有的微分方程從表面上看，不是可分離變量的微分方程，但是，通是可分離變量的微分方程，但是，通

6、過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，就可以很容易地過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，就可以很容易地化為化為“變量分離方程變量分離方程”，在這里，介，在這里，介紹兩類(lèi)這樣的方程。紹兩類(lèi)這樣的方程。 二、可化為變量分離方程類(lèi)型二、可化為變量分離方程類(lèi)型（I齊次方程齊次方程 111222111222(II),.a xb ycdyfdxa xb yca b c a b c形如的方程其中為任意常數(shù)(I) 形如)5 . 2()(xygdxdy.)(的連續(xù)函數(shù)是這里uug方程稱(chēng)為齊次方程,求解方法:方程化為引入新變量作變量代換,)(10 xyu ,)(xuugdxdu)(udxduxdxdy這里由于解以上的變量分離方程02.30變量還原例4

7、求解方程)0(2xyxydxdyx解:方程變形為)0(2xxyxydxdy這是齊次方程,代入得令xyu uu 2即udxdux2將變量分離后得xdxudu2udxdux兩邊積分得:cxu)ln(即為任意常數(shù)ccxcxu, 0)ln(,)(ln(2代入原來(lái)變量,得原方程的通解為2ln() ,ln()0,0.xxcxcyxdxudu2例6求下面初值問(wèn)題的解0) 1 (,)(22yxdydxyxy解:方程變形為2)(1xyxydxdy這是齊次方程,代入方程得令xyu 21 udxdux將變量分離后得xdxudu21兩邊積分得:cxuulnln1ln2整理后得cxuu21變量還原得cxxyxy2)(1

8、(1)0,1.yc最后由初始條件可得到故初值問(wèn)題的解為) 1(212xyxdxudu21(II) 形如,222111cybxacybxadxdy.,222111為常數(shù)這里cbacba的方程可經(jīng)過(guò)變量變換化為變量分離方程.分三種情況討論的情形0121 cc)(2211xygxybaxybaybxaybxadxdy2211為齊次方程,由(I)可化為變量分離方程.的情形022121bbaa則方程可改寫(xiě)成設(shè),2121kbbaa222111cybxacybxadxdy則方程化為令,22ybxaudxdu)(22ybxaf222122)(cybxacybxak)(22ufba dxdyba22這就是變量分

9、離方程不同時(shí)為零的情形與且21212103ccbbaa,00222111cybxacybxa則).0 , 0(),(,解以上方程組得交點(diǎn)平面兩條相交的直線代表xy作變量代換(坐標(biāo)變換),yYxX則方程化為YbXaYbXadXdY2211為 (1)的情形,可化為變量分離方程求解.解的步驟:,0012221110cybxacybxa解方程組,yx得解方程化為作變換,20yYxXYbXaYbXadXdY2211)(XYg離方程將以上方程化為變量分再經(jīng)變換,30XYu 求解04變量還原05例7求微分方程31yxyxdxdy的通解.解:解方程組0301yxyx, 2, 1yx得代入方程得令2, 1yYx

10、XYXYXdXdY得令,XYu uudXduX112XYXY11將變量分離后得XdXuduu21)1 (兩邊積分得:cXuuln)1ln(21arctan2變量還原并整理后得原方程的通解為.)2() 1(ln12arctan22cyxxy注:上述解題方法和步驟適用于更一般的方程類(lèi)型.)()(2211222111XYgYbXaYbXafdXdYcybxacybxafdxdy此外,諸如)(cbyaxfdxdy0)()(dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx)(2xyxfdxdycbyaxuxyu 2xyu xyu 以及0)(,()(,(ydxxdyyxNydyxdxyxM.,),(變量分離

11、方程均可適當(dāng)變量變換化為些類(lèi)型的方程等一次數(shù)可以不相同的齊次函數(shù)為其中yxNM例8求微分方程0)()(22dyyxxdxxyy的通解.解:,xyu 令ydxxdydu則代入方程并整理得0)(1 ()1 (udxxduudxuu即0)1 (22duuxdxu分離變量后得xdxduuu212兩邊積分得cxuu2lnln1變量還原得通解為.ln1cyxxy三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例例9、雪球的融化 設(shè)雪球在融化時(shí)體積的變化率與表面積成比例，且在融化過(guò)程中它始終為球體，該雪球在開(kāi)始時(shí)的半徑為6cm，經(jīng)過(guò)2小時(shí)后，其半徑縮小為3cm，求雪球的體積隨時(shí)間變化的關(guān)系。解:則表面積為雪球的體積為設(shè)在時(shí)刻),(),(tstvt)()(tksdttdv根據(jù)球