一般項(xiàng)為冪函數(shù)ppt課件

1、1 冪 級(jí) 數(shù) 一般項(xiàng)為冪函數(shù) 的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù), 這是一類最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù). 冪級(jí)數(shù)在級(jí)數(shù)理論中有著特殊的地位, 在函數(shù)逼近和近似計(jì)算中有重要應(yīng)用, 特別是函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)為研究非初等函數(shù)提供了有力的工具. 0()nnaxx 三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算一、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì) 一、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間冪級(jí)數(shù)的一般形式為冪級(jí)數(shù)的一般形式為20010200()()()nnnaxxaa xxaxx為方便起見(jiàn)為方便起見(jiàn), , 下面將重點(diǎn)討論下面將重點(diǎn)討論00 x , , 即即20120(2)nnnnna xaa xa xa x換成換成x0,xx 的情形的情形. .因?yàn)橹灰岩驗(yàn)橹灰?2)(2

2、)中的中的就得到就得到(1).(1).0(),(1)nnaxx首先討論冪級(jí)數(shù)首先討論冪級(jí)數(shù)(2)(2)的收斂性問(wèn)題的收斂性問(wèn)題. . 顯然形如顯然形如(2)(2)的任的任 0 x 意一個(gè)冪級(jí)數(shù)在意一個(gè)冪級(jí)數(shù)在 處總是收斂的處總是收斂的. . 除此之外除此之外, , 它它 還在哪些點(diǎn)收斂還在哪些點(diǎn)收斂? ? 我們有下面重要的定理我們有下面重要的定理. . 定理定理14.1 (14.1 (阿貝耳定理阿貝耳定理) ) 若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù)(2)(2)在在 0 xx收斂,收斂,| |xxx 則對(duì)滿足不等式則對(duì)滿足不等式 的任何的任何, ,冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) (2)收斂而且絕對(duì)收斂收斂而且絕對(duì)收斂;若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)

3、數(shù)(2)在在 xx時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散, , 則對(duì)滿足不等則對(duì)滿足不等| |xxx式式 的任何的任何 , ,冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)(2)(2)發(fā)散發(fā)散. . 且有界且有界, , 即存在某正數(shù)即存在某正數(shù) M, M, 使得使得|(0,1,2,).nna xMn| |,xxx對(duì)對(duì)任任意意一一個(gè)個(gè)滿滿足足不不等等式式的的設(shè)設(shè)1,xrx則有則有|.nnnnnnnnnnxxa xa xa xMrxx由于級(jí)數(shù)由于級(jí)數(shù)0nnMr收斂收斂, , 故由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知冪級(jí)數(shù)故由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知冪級(jí)數(shù) 證證 0,nnnnna xa x設(shè)設(shè)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 從從而而數(shù)數(shù)列列收收斂斂于于零零(2)當(dāng)當(dāng)| |xx時(shí)絕對(duì)收斂時(shí)絕對(duì)收斂. .

4、下面證明定理的第二部分下面證明定理的第二部分. . 設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù)(2)(2)在在 xx 時(shí)時(shí) 0 x0| |xx發(fā)散發(fā)散, , 如果存在一個(gè)如果存在一個(gè) , 滿足不等式滿足不等式 , 且使且使 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)00nnna x收斂收斂, , 則由定理得第一部分知?jiǎng)t由定理得第一部分知, , 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) (2)應(yīng)該在應(yīng)該在xx 時(shí)絕對(duì)收斂時(shí)絕對(duì)收斂, , 與假設(shè)矛盾與假設(shè)矛盾. . 所以對(duì)一所以對(duì)一 切滿足不等式切滿足不等式| |,xxx的的冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)(2)(2)都發(fā)散都發(fā)散. . 注注 由定理由定理14.114.1知道知道: : 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)(2)(2)的收斂域是以原點(diǎn)的收斂域是以原點(diǎn) 為中心的

5、區(qū)間！這是非常好的性質(zhì)為中心的區(qū)間！這是非常好的性質(zhì). .若以若以2R2R表示區(qū)表示區(qū) 間的長(zhǎng)度間的長(zhǎng)度, , 則稱則稱R R為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. . 事實(shí)上事實(shí)上, , 收收 斂半徑就是使得冪級(jí)數(shù)斂半徑就是使得冪級(jí)數(shù)(2)(2)收斂的所有點(diǎn)的絕對(duì)值的收斂的所有點(diǎn)的絕對(duì)值的 上確界上確界. . 所以有所以有0R 0 x (i) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)(2)僅在僅在 處收斂處收斂;(ii) ,(2)(,);R當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在上上收收斂斂 (iii)0,(2)(,);RR R當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)收收斂斂 對(duì)對(duì) xRx一切滿足不等式一切滿足不等式 的的, 冪級(jí)

6、數(shù)冪級(jí)數(shù)(2)都發(fā)散都發(fā)散; 至至 xR (,)R R 于于, (2)可能收斂也可能發(fā)散可能收斂也可能發(fā)散. 因此稱因此稱 為冪級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù)(2)(2)的收斂區(qū)間的收斂區(qū)間. . 怎樣求得冪級(jí)數(shù)怎樣求得冪級(jí)數(shù)(2)(2)的收斂的收斂 半徑和收斂區(qū)間呢半徑和收斂區(qū)間呢? ? 定理定理14.2 14.2 對(duì)于冪級(jí)數(shù)對(duì)于冪級(jí)數(shù)(2), (2), 假設(shè)假設(shè)lim,(3)nnna 則當(dāng)則當(dāng)1(i) 0,(2);R 時(shí)時(shí) 冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑(ii)0,(2);R 時(shí)時(shí) 冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑(iii),(2)0.R 時(shí)時(shí) 冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑證證 0|,nnna x對(duì)對(duì)

7、于于冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)由由于于lim |lim | |,nnnnnnna xaxx 根據(jù)級(jí)數(shù)的根式判別法根據(jù)級(jí)數(shù)的根式判別法, 當(dāng)當(dāng)| 1x 時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 0|nnna x| 1x 收斂收斂. 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散. 于是于是0 | 1x (i) 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 由由得冪級(jí)數(shù)得冪級(jí)數(shù)(2)收斂半收斂半 徑徑1;R 0,x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 對(duì)對(duì)任任何何皆皆有有| 1,x (ii) 所以所以;R ,0 x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 則則對(duì)對(duì)除除外外的的任任 x何何皆皆有有(iii) | 1,0.xR 所所以以注注 由定理由定理14.214.2可知可知, , 一個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂域等于它的一個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂域等于它的 收斂區(qū)

8、間再加該區(qū)間端點(diǎn)中使冪級(jí)數(shù)收斂的點(diǎn)收斂區(qū)間再加該區(qū)間端點(diǎn)中使冪級(jí)數(shù)收斂的點(diǎn). .在第十二章在第十二章2第二段曾經(jīng)指出第二段曾經(jīng)指出: 假設(shè)假設(shè) 1|lim,|nnnaa 則有則有l(wèi)im |.nnna 因此也可用比式判別法來(lái)得出因此也可用比式判別法來(lái)得出冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)(2)的收斂半徑的收斂半徑. 究竟用比式法還是根式法究竟用比式法還是根式法,可以參考第十二章的相關(guān)說(shuō)明可以參考第十二章的相關(guān)說(shuō)明. 2,nxn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)由由于于2121(),(1)nnannan例例1 1R ( 1,1) 所以其收斂半徑所以其收斂半徑, 即收斂區(qū)間為即收斂區(qū)間為 ; 而當(dāng)而當(dāng)222( 1)111,nxnnn 時(shí) 有由于級(jí)

9、數(shù)收斂時(shí) 有由于級(jí)數(shù)收斂 所21nxxn在時(shí)也收斂.在時(shí)也收斂. 2nxn以級(jí)數(shù)以級(jí)數(shù) 于是級(jí)數(shù)于是級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?1,1. 因此冪級(jí)數(shù)因此冪級(jí)數(shù)(4)的收斂區(qū)間是的收斂區(qū)間是( 1,1) . 但級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù) (4) 當(dāng)當(dāng) 1x 1x 時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散, 時(shí)收斂時(shí)收斂, 從而得到級(jí)數(shù)從而得到級(jí)數(shù)(4)的收的收 斂域是半開(kāi)區(qū)間斂域是半開(kāi)區(qū)間 1,1) . 照此方法照此方法, 容易驗(yàn)證級(jí)數(shù)容易驗(yàn)證級(jí)數(shù)!nnxn xn與與R 0R 的收斂半徑分別為的收斂半徑分別為與與.例例2 2 設(shè)有級(jí)數(shù)設(shè)有級(jí)數(shù)2,(4)2nxxxn11limlim1,nnnnanRan由于由于例例3 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)2213

10、nnnxn 的收斂半徑和收斂域的收斂半徑和收斂域.解解 (i)(i)先求收斂半徑先求收斂半徑. .2zx 213nnnzn 方法方法1 設(shè)設(shè), 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為的收斂半徑為221lim |3|9lim 19,3nnnnnnnRn 29xz 29xz從而從而時(shí)原級(jí)數(shù)收斂時(shí)原級(jí)數(shù)收斂, 原級(jí)數(shù)發(fā)原級(jí)數(shù)發(fā) 2213nnnxn 3.R 散散, 所以所以的收斂半徑為的收斂半徑為下面討論冪級(jí)數(shù)下面討論冪級(jí)數(shù)(2)(2)的一致收斂性問(wèn)題的一致收斂性問(wèn)題. .定理定理14. 3 若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù)(2)的收斂半徑為的收斂半徑為0R , 則在它則在它 (,)R R , (,)a bR R 的收斂區(qū)間的收斂

11、區(qū)間內(nèi)任一閉區(qū)間內(nèi)任一閉區(qū)間上上, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(2)都一致收斂都一致收斂.證證 max|,|(,), , xabR Ra b設(shè)設(shè)那那么么對(duì)對(duì)于于上上 任一點(diǎn)任一點(diǎn)x, x, 都有都有|.nnnna xa x由于級(jí)數(shù)由于級(jí)數(shù)(2)在點(diǎn)在點(diǎn)x絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂, 由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法得級(jí)由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法得級(jí) 數(shù)數(shù)(2)在在 , a b上一致收斂上一致收斂. 定理定理14. 4 若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù) (2) 的收斂半徑為的收斂半徑為0R , 且在且在 xR xR 0,R(或或)時(shí)收斂時(shí)收斂, 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)(2)在在(或或 , 0R )上一致收斂上一致收斂.xR 0,xR 證證 設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)(2)在在時(shí)收斂時(shí)收斂,

12、對(duì)于對(duì)于有有00.nnnnnnnxa xa RR00,nnnnxa RRR已知級(jí)數(shù)收斂,函數(shù)列在上已知級(jí)數(shù)收斂,函數(shù)列在上遞減且一致有界遞減且一致有界, , 即即210.nxxxRRR故由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的阿貝耳判別法故由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的阿貝耳判別法, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(2)在在0,R上一致收斂上一致收斂. .對(duì)于一般冪級(jí)數(shù)對(duì)于一般冪級(jí)數(shù)(1)(1)的收斂性問(wèn)題的收斂性問(wèn)題, , 可仿照上述的辦可仿照上述的辦 法來(lái)確定它的收斂區(qū)間和收斂半徑法來(lái)確定它的收斂區(qū)間和收斂半徑. . 請(qǐng)看例子請(qǐng)看例子. . 例例4 4 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)22(1)1(1)(1),(6)22222nnnnxxxxnn由于由于 1112(1)(),

13、12(1)22nnnnnnn 所以級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù)(6)的收斂半徑的收斂半徑2R , 從而級(jí)數(shù)從而級(jí)數(shù)(6)的收斂的收斂 |1| 2x ( 1, 3). 區(qū)間為區(qū)間為即即( 2)1111( 1).223nnnnn 當(dāng)當(dāng) x = 3 x = 3 時(shí)時(shí), , 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(6)(6)為發(fā)散級(jí)數(shù)為發(fā)散級(jí)數(shù)211111.223nnnnn 于是級(jí)數(shù)于是級(jí)數(shù)(6)的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?1, 3). 1x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(6)為為 收斂級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù) 二、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)根據(jù)一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)即可以得到冪級(jí)數(shù)根據(jù)一致收斂函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)即可以得到冪級(jí)數(shù) 的一系列性質(zhì)的一系列性質(zhì). . 由定理由定理14.414

14、.4、14.514.5和和13.1213.12立刻可得立刻可得 定理定理14.5 (i) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)(2)的和函數(shù)是的和函數(shù)是(,)R R 內(nèi)的連續(xù)內(nèi)的連續(xù) 函數(shù)函數(shù); (ii); (ii)若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù)(2)(2)在收斂區(qū)間的左在收斂區(qū)間的左( (右右) )端點(diǎn)上收端點(diǎn)上收 斂斂, , 則其和函數(shù)也在這一端點(diǎn)上右則其和函數(shù)也在這一端點(diǎn)上右( (左左) )連續(xù)連續(xù). .在討論冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積之前在討論冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積之前, , 先來(lái)確先來(lái)確 定冪級(jí)數(shù)定冪級(jí)數(shù)(2)在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間(,)R R 內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng) 求積后得到的冪級(jí)數(shù)求積后得到的冪級(jí)數(shù)21

15、12323(7)nnaa xa xna x與與231120(8)231nnaaaa xxxxn的收斂區(qū)間的收斂區(qū)間. .定理定理14.6 14.6 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)(2)(2)與冪級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)(7)(7)、(8)(8)具有相同的收具有相同的收 斂區(qū)間斂區(qū)間. .證證 這里只要證明這里只要證明(2)(2)與與(7)(7)具有相同的收斂區(qū)間就可具有相同的收斂區(qū)間就可以了以了, , 因?yàn)閷?duì)因?yàn)閷?duì)(8)(8)逐項(xiàng)求導(dǎo)就得到逐項(xiàng)求導(dǎo)就得到(2).(2).首先證明冪級(jí)數(shù)首先證明冪級(jí)數(shù)(7)在冪級(jí)數(shù)在冪級(jí)數(shù)(2)收斂區(qū)間收斂區(qū)間(,)R R 中中 每一點(diǎn)都收斂每一點(diǎn)都收斂. . 設(shè)設(shè)00(,),0 xR Rx

16、, 由阿貝耳定理由阿貝耳定理(定理定理14.1)的的 證明知道證明知道, , 存在正數(shù)存在正數(shù)M M與與 r(r 1), r(r 1), 對(duì)一切正整數(shù)對(duì)一切正整數(shù) n, n, 都有都有 0|.nnna xMr于是于是10000|,|nnnnnnMna xa xnrxx0.nnnr根據(jù)比式判別法可知級(jí)數(shù)收斂根據(jù)比式判別法可知級(jí)數(shù)收斂 由級(jí)數(shù)的比由級(jí)數(shù)的比 較原則及上述不等式較原則及上述不等式, 就推出冪級(jí)數(shù)就推出冪級(jí)數(shù)(7)在點(diǎn)在點(diǎn)0 x絕對(duì)絕對(duì) 0 x(,)R R 收斂收斂(當(dāng)然也是收斂的當(dāng)然也是收斂的!). 由于由于為為中任一點(diǎn)中任一點(diǎn), 這就證明了冪級(jí)數(shù)這就證明了冪級(jí)數(shù)(7)在在(,)R

17、R 上收斂上收斂.其次證明冪級(jí)數(shù)其次證明冪級(jí)數(shù)(7)對(duì)一切滿足不等式對(duì)一切滿足不等式|xR 的的x都都 不收斂不收斂. . 如若不然如若不然, 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)(7)在點(diǎn)在點(diǎn)00(|)xxR 收斂收斂, 則存在則存在0,| |.,xxxR使使得得由由阿阿貝貝耳耳定定理理 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)(7)在在 |,xxnx時(shí)時(shí)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂. .但但是是, ,取取時(shí)時(shí) 就就有有1| |,|nnnnnnnna xa xa xx根據(jù)比較原則得冪級(jí)數(shù)根據(jù)比較原則得冪級(jí)數(shù)(2)在在xx處絕對(duì)收斂處絕對(duì)收斂. 這這與所設(shè)冪級(jí)數(shù)與所設(shè)冪級(jí)數(shù)(2)的收斂區(qū)間為的收斂區(qū)間為(,)R R 相矛盾相矛盾. 于是于是冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)(7

18、)的收斂區(qū)間也是的收斂區(qū)間也是(,).R R 定理定理14. 7 設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù)(2)在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間(,)R R 上的和函上的和函 數(shù)為數(shù)為 f, 假設(shè)假設(shè) x 為為(,)R R 內(nèi)任意一點(diǎn)內(nèi)任意一點(diǎn), 那么那么(i) f 在在 x 可導(dǎo)可導(dǎo), 且且11( );nnnfxna x(ii) f在區(qū)間在區(qū)間0,x上可積上可積, 且且100( )d.1xnnnaf ttxn證證 由定理由定理14.7, 14.7, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(2), (7), (8)(2), (7), (8)具有相同的收斂半具有相同的收斂半 使得使得|x| r R, |x| r R, 根據(jù)定理根據(jù)定理14.4, 14.4, 級(jí)

19、數(shù)級(jí)數(shù)(2), (7)(2), (7)在在-r, r-r, r上上 一致收斂一致收斂. .再由第十三章再由第十三章2 2的逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積的逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積 定理定理, , 就得到所要證明的結(jié)論就得到所要證明的結(jié)論(i)(i)與與(ii).(ii).注注 由本定理立即可以得到冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上由本定理立即可以得到冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上 可以逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)求積可以逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)求積. (. (并沒(méi)有要求在其收斂區(qū)并沒(méi)有要求在其收斂區(qū) 間上一致收斂間上一致收斂!)!)徑徑R. R. 因而因而, ,對(duì)任意一個(gè)對(duì)任意一個(gè) , , 總存在正數(shù)總存在正數(shù) r, r, (,)xR R 00nnna x(

20、,)R R 推論推論1 設(shè)設(shè) f 為冪級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù)(2) 在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間上的和函數(shù)上的和函數(shù), 則在則在(,)R R 上上 f 具有任意階導(dǎo)數(shù)具有任意階導(dǎo)數(shù), 且且 可任意次逐項(xiàng)求導(dǎo)可任意次逐項(xiàng)求導(dǎo), 即即21123( )23,nnfxaa xa xna x223( )23 2(1),nnfxaa xn na x( )1( )!(1) (1)2,nnnfxn ann nax.推論推論2 設(shè)設(shè) f 為冪級(jí)數(shù)為冪級(jí)數(shù)(2)在在0 x 某鄰域內(nèi)的和函數(shù)某鄰域內(nèi)的和函數(shù), (0,1,2,)nan 0 x 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)(2)的系數(shù)的系數(shù)與與f在在處的各處的各 階導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系階導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系:(

21、)0(0)(0),(1,2,).!nnfafann注注 推論推論2還表明還表明, 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)(2)在在(,)R R 上有和函數(shù)上有和函數(shù) f ,則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)(2)由由 f 在在0 x 處的各階導(dǎo)數(shù)所惟一確定處的各階導(dǎo)數(shù)所惟一確定. 這是一個(gè)非常重要的結(jié)論這是一個(gè)非常重要的結(jié)論, 在后面討論冪級(jí)數(shù)展開(kāi)在后面討論冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 時(shí)要用到時(shí)要用到. 例例5 幾何級(jí)數(shù)在收斂域幾何級(jí)數(shù)在收斂域( 1,1)內(nèi)有內(nèi)有21( )1.(10)1nf xxxxx對(duì)級(jí)數(shù)對(duì)級(jí)數(shù)(10)在在( 1,1)內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)得內(nèi)逐項(xiàng)求導(dǎo)得2121( )123,(11)(1)nfxxxnxx232!( )23 2(1), (12)(1)nfxxn nxx將級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù)(10