泰勒公式修正學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1泰勒公式泰勒公式(gngsh)修正修正第一頁(yè)，共61頁(yè)。不足(bz):1 精確度不高2 難以估計(jì)誤差(wch)第2頁(yè)/共61頁(yè)第二頁(yè)，共61頁(yè)。需要解決(jiju)的問(wèn)題:2 給出誤差(wch)：的具體(jt)估計(jì)式.1第3頁(yè)/共61頁(yè)第三頁(yè)，共61頁(yè)。觀察(gunch)：有相交(xingjio)相切猜pn(x) 與 f (x) 在x0 處相同(xin tn)的導(dǎo)數(shù)的階數(shù)越高，它們就有可能越接近？pn(x) 的確定:第4頁(yè)/共61頁(yè)第四頁(yè)，共61頁(yè)。要求(yoqi): )(xpn,)()()(020201nnxxaxxaxxa 求系數(shù)(xsh)第5頁(yè)/共61頁(yè)第五頁(yè)，共61頁(yè)。 )(x

2、pn1a)(202xxa 10)( nnxxan要求:, )()(00 xfxpn , )()(00 xfxpn ,. )()(0)(0)(xfxpnnn 第6頁(yè)/共61頁(yè)第六頁(yè)，共61頁(yè)。帶有皮亞諾型余項(xiàng)的n 階泰勒(ti l)公式階的導(dǎo)數(shù)(do sh), 有則對(duì)定理3.6Rn(x) 的確定：第7頁(yè)/共61頁(yè)第七頁(yè)，共61頁(yè)。只需證 )(xf)(0 xf)(00 xxxf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( 令(稱(chēng)為(chn wi)余項(xiàng)) ,只需證第8頁(yè)/共61頁(yè)第八頁(yè)，共61頁(yè)。令則有, )()(00 xfxpn , )()(00 xfxpn ,. )()(0)(

3、0)(xfxpnnn 洛必達(dá)法則(fz)第9頁(yè)/共61頁(yè)第九頁(yè)，共61頁(yè)。定理(dngl)3.6的條件可以減弱：定理(dngl)3.6 證明(zhngmng)同上，只需注意到：提示：第10頁(yè)/共61頁(yè)第十頁(yè)，共61頁(yè)。帶有拉格朗日型余項(xiàng)的n 階泰勒(ti l)公式),()(0baxxf的某開(kāi)區(qū)間的某開(kāi)區(qū)間在包含在包含若若直到(zhdo) n +1 階的導(dǎo)數(shù),),(bax 有 )(xf)(0 xf)(00 xxxf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( 則對(duì)定理(dngl)3.7其中第11頁(yè)/共61頁(yè)第十一頁(yè)，共61頁(yè)。只需證),()()(xpxfxRnn 令)(0 xR

4、n)(0 xRn 則有柯西中值定理(dngl)且第12頁(yè)/共61頁(yè)第十二頁(yè)，共61頁(yè)。0 0 即10)()( nnxxxR!)1()()1( nRnn .)(!)1()()(10)1( nnnxxnfxR 第13頁(yè)/共61頁(yè)第十三頁(yè)，共61頁(yè)。解因此(ync)第14頁(yè)/共61頁(yè)第十四頁(yè)，共61頁(yè)。第15頁(yè)/共61頁(yè)第十五頁(yè)，共61頁(yè)。(1) 當(dāng) n = 0 時(shí), 泰勒(ti l)公式變?yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ?)(xf(2) 當(dāng) n = 1 時(shí), 泰勒(ti l)公式變?yōu)?)(xf)(0 xf )(xf)(0 xf)(00 xxxf )0(之間之間與與在在xx (3) 若在泰勒公式中稱(chēng)為麥克勞林公式

5、第16頁(yè)/共61頁(yè)第十六頁(yè)，共61頁(yè)。 )(xf )0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()( 由此得近似(jn s)公式便可得到(d do)麥克勞林（ Maclaurin ）公式： 在泰勒公式中取第17頁(yè)/共61頁(yè)第十七頁(yè)，共61頁(yè)。其中(qzhng)xf)0( 2!2)0(xf 第18頁(yè)/共61頁(yè)第十八頁(yè)，共61頁(yè)。其中(qzhng)!)12(12 mxm1)1( m第19頁(yè)/共61頁(yè)第十九頁(yè)，共61頁(yè)。類(lèi)似(li s)可得1 其中(qzhng)cos()1(1xm )10( 第20頁(yè)/共61頁(yè)第二十頁(yè)，共61頁(yè)。 )()(xfk1 )(xRn 其中(qzhng)10( 第

6、21頁(yè)/共61頁(yè)第二十一頁(yè)，共61頁(yè)。已知x )(xRn 其中(qzhng) )(xRn)10( 類(lèi)似(li s)可得),2, 1( k第22頁(yè)/共61頁(yè)第二十二頁(yè)，共61頁(yè)。1. 在函數(shù)(hnsh)逼近中的應(yīng)用 第23頁(yè)/共61頁(yè)第二十三頁(yè)，共61頁(yè)。誤差(wch)其中(qzhng)M 為在包含 0 , x 的某區(qū)間(q jin)上的上界.常見(jiàn)類(lèi)型:1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項(xiàng)數(shù) n ; )(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()( 2) 已知項(xiàng)數(shù) n 和 x , 計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3) 已知項(xiàng)數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.第24頁(yè)

7、/共61頁(yè)第二十四頁(yè)，共61頁(yè)。在解中令 x = 1 , 得)10( 由于(yuy)欲使的麥克勞林公式(gngsh)!)1( nx e1 nxxe1 !33x !nxn !22x x 由計(jì)算可知當(dāng) n = 9 時(shí)上式成立 ,因此e第25頁(yè)/共61頁(yè)第二十五頁(yè)，共61頁(yè)。解例3第26頁(yè)/共61頁(yè)第二十六頁(yè)，共61頁(yè)。),(42121e44222xoxxx ！),(41211cos442xoxxx ！第27頁(yè)/共61頁(yè)第二十七頁(yè)，共61頁(yè)。(方法(fngf)1)用泰勒(ti l)公式)1ln(t t 22t 33t ntn ),(nto 1)1( n)0(Ut 解第28頁(yè)/共61頁(yè)第二十八頁(yè)，共6

8、1頁(yè)。(方法(fngf)2).21 )11ln(lim2xxxx 用洛必達(dá)法則(fz)，需換元:第29頁(yè)/共61頁(yè)第二十九頁(yè)，共61頁(yè)。11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1( )10( 例5證)10( 第30頁(yè)/共61頁(yè)第三十頁(yè)，共61頁(yè)。證由麥克勞林公式(gngsh)有證明(zhngmng)在開(kāi)導(dǎo)數(shù)(do sh)，從而第31頁(yè)/共61頁(yè)第三十一頁(yè)，共61頁(yè)。兩式相減得32)(61)0(21)0()(xfxffxf 1 , 1 x從而(cng r)由介值定理(dngl)，)()(2121 ff 第32頁(yè)/共61頁(yè)第三十二頁(yè)，

9、共61頁(yè)。1. 泰勒(ti l)公式其中(qzhng)余項(xiàng)當(dāng)時(shí)為麥克勞林公式(gngsh) . )(xf)(0 xf)(00 xxxf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( )(xRn 10)1()(!)1()()( nnnxxnfxR )0(之間之間與與在在xx 第33頁(yè)/共61頁(yè)第三十三頁(yè)，共61頁(yè)。2. 常用函數(shù)(hnsh)的麥克勞林公式3. 泰勒公式(gngsh)的應(yīng)用(2) 近似計(jì)算(3) 求極限(jxin) (4) 證明(1) 利用多項(xiàng)式逼近函數(shù)第34頁(yè)/共61頁(yè)第三十四頁(yè)，共61頁(yè)。1. 在第一(dy) 章6 中，重要極限為什么？解由第一(dy) 章6 的

10、證明，知第35頁(yè)/共61頁(yè)第三十五頁(yè)，共61頁(yè)。舍掉對(duì)于(duy)固定的n, 令m 得n+1 項(xiàng)第36頁(yè)/共61頁(yè)第三十六頁(yè)，共61頁(yè)。nnnx)11( 由夾逼準(zhǔn)則(zhnz)，得!1! 2111nyn 一方面，另一方面，由于(yuy)第37頁(yè)/共61頁(yè)第三十七頁(yè)，共61頁(yè)。解第38頁(yè)/共61頁(yè)第三十八頁(yè)，共61頁(yè)。計(jì)算(j sun) cos x的近似值,使其精確(jngqu)到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.解近似公式的誤差為令解得即當(dāng)時(shí), 由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果能準(zhǔn)確到 0.005 .用近似公式第39頁(yè)/共61頁(yè)第三十九頁(yè)，共61頁(yè)。選擇(xunz)解的近似值 , 要求(yo

11、qi)精確到小數(shù)點(diǎn)后的第5位. )1(x 1 x 2x)(2xR !2 ) 1(第40頁(yè)/共61頁(yè)第四十頁(yè)，共61頁(yè)。因此(ync)符合精度(jn d)要求，第41頁(yè)/共61頁(yè)第四十一頁(yè)，共61頁(yè)。解用洛必塔法則(fz)不方便 !2x用泰勒公式將分子展到項(xiàng),由于(yuy)nx! n ) 1() 1(n )1(x 1x 2x !2 ) 1(第42頁(yè)/共61頁(yè)第四十二頁(yè)，共61頁(yè)。2 243 xx43 ),(1694122xox 第43頁(yè)/共61頁(yè)第四十三頁(yè)，共61頁(yè)。解原式第44頁(yè)/共61頁(yè)第四十四頁(yè)，共61頁(yè)。利用泰勒(ti l)公式求極限解第45頁(yè)/共61頁(yè)第四十五頁(yè)，共61頁(yè)。解因?yàn)?yn

12、 wi)第46頁(yè)/共61頁(yè)第四十六頁(yè)，共61頁(yè)。所以(suy)第47頁(yè)/共61頁(yè)第四十七頁(yè)，共61頁(yè)。證其中(qzhng)a, b是非負(fù)數(shù)，求證(qizhng)：對(duì)一切有二階導(dǎo)數(shù)(do sh)，第48頁(yè)/共61頁(yè)第四十八頁(yè)，共61頁(yè)。兩式相減得第49頁(yè)/共61頁(yè)第四十九頁(yè)，共61頁(yè)。于是(ysh),| )(|axf )1 , 0(,| )(| cbxf第50頁(yè)/共61頁(yè)第五十頁(yè)，共61頁(yè)。證使得(sh de)第51頁(yè)/共61頁(yè)第五十一頁(yè)，共61頁(yè)?？傻?)(xf第52頁(yè)/共61頁(yè)第五十二頁(yè)，共61頁(yè)。從而(cng r)得使得(sh de)即存在(cnzi)一點(diǎn)第53頁(yè)/共61頁(yè)第五十三頁(yè)，共61頁(yè)。證由泰勒(ti l)公式，得第54頁(yè)/共61頁(yè)第五十四頁(yè)，共61頁(yè)。第55頁(yè)/共61頁(yè)第五十五頁(yè)，共61頁(yè)。|)1)(|)(|21| )(|2221xfxfxf 第56頁(yè)/共61頁(yè)第五十六頁(yè)，共61頁(yè)。證所以(suy)在 第57頁(yè)/共61頁(yè)第五十七頁(yè)，共61頁(yè)。因?yàn)?yn wi)所以(suy)第58頁(yè)/共61頁(yè)第五十八頁(yè)，共61頁(yè)。英國(guó)(yn u)數(shù)學(xué)家,他早期(zoq)是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一 , 重要著作有: 正的和反的增量方法(1715) 線性透視論(