創(chuàng)新設計高中數(shù)學蘇教選修21習題：第3章空間向量與立體幾何章末檢測

1、章末檢測一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)1 .對于空間中的非零向量恭、BC. AC,有下列各式：部+正=/：晶一元=正：成1+1或1=應1；篇1-1歷=1詫I.其中一定不成立的是.答案解析 根據(jù)空間向量的加減法運算，對于：魂十於二宿亙成立；對于：當筋、BC.八方向相同時，有L通I + IBCI=L4CI ；對于：當詫、AB.最共線且反與施、最方向相反時，有油I - L4CI = IBCI.只有一定不成立.2 .若向量0=(1,1, X), 6=(1,2,1), °=(1,1,1)滿足條件90).(1)=-2,則-=.答案2解析 c-g = (0.0.1 -X),故

2、(c-c>(2力)=2(0.0-辦(1,2,1)= 2(1 -X),結(jié)合已知得 2(1 -X)=-3 ,解得工二2.4 .已知G是ABC的重心，O是平面ABC外的一點，若2灰；=蘇+m+無，則2=. 答案3解析 如圖，正方體中，醇十加十沅二歷二3濟，所以2 = 3.5 .空間四邊形A3CQ中，E、尸分別為A3、C。的中點，則向量際與就、AD(是、否洪面.答案是解析如圖所示，用二應十病十而，fEF = EB + BC + &./ 又£尸分別是從尻CO的中點，故有成二.麗，DF= - CF,：.2EF = AD + BC t ：.EF = 1AD + ；比歷與反不共線， 二

3、方與國）、慶洪面.6 .下列命題中，正確命題的個數(shù)為.若I，2分別是平面a, £的法向量，則20a刑若小，2分別是平面a，£的法向量，則a_LAor2=0：若n是平面a的法向量，G與a共面，則。=0：若兩個平而的法向量不垂直，則這兩個平而一定不垂直.答案3解析 中平面a , £可能平行，也可能重合，故不正確；結(jié)合平面法向量的概念，易知正確.7 .在四面體0ABe中，0A=a, 0B=b, 0C=c,。為3。的中點，E為AO的中點，則?？?表示為（用g，b, c表示）.答案%+%+；c解析 OE = OA+AD= 0A 十X/AB + AC）= d + 1x（dB

4、-51十沅-萬V）二:晶十:加十;歷二:4十;力十;c8 .在正方體ABCOA&G5中，點七為上底而A】G的中心，若然:=后1+,葡+）與），則元, V的值分別為.答案I1 解析 如圖 f AE = AA +AE = AA 十;AC =AA +（AB+AD），故 x , y 的值都*.9 .如圖，已知四邊形ABC。為矩形，出1.平而A8CD,連結(jié)AC, BD,PB, PC, PD,則下列各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是正與麗 反與麗 麗與林 麗與 答案 解析 建立如圖所示的空間直角坐標系.設矩形ABCD的長、競分別為“，以長為c ,則A(0,0,0) , B(b,O.O) , 0(0

5、,4。)，C(b , «0) , P(0,0 . c).則PC =(b r a , - c) r BD =(-，00) z DA =(0 , - t/,0) , PB = (h.O r - c) t PD二 (0,。，- c) , AB - (,0,0) , PA = (0,0 , - c) f CD =(-,0.0).：.PC-BD= - 3十/不一定為 0.DA PB = 0 , PD AB = 0 , M C£) = 0.10 對于空間任意一點。和不共線的三點A、B、C,有如下關系：6OP=OA+2OB+3dC9則下列說法正確的是.四點0、A、B、C必共而；四點尸、A

6、、B、C必共面：四點。、P、B、。必共而；五點。、P、A、B、C必共而.答案解析 由已知得OP = 2殖+,而*+ ；十;=1 , .四點尸、A、B、C共面.11 .如圖，A8=AC=8O=1, A8U面 M, AC_L而 M, BD1AB. 8。與而M成30。角，則C、。間的距離為.答案V2 解析 CD2 = CA+AB + BD2 = CA2 + LWI2 + BD2 + 2CAAB + 2ABBD + 2GBD = 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 2X1X1Xcos120° = 2./.ICDI = Q12 .已知三棱柱A8C4&G的側(cè)棱與底而垂直，體積為不底面

7、是邊長為短的正三角形.若P 為底面ASG的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為.答案 解析 取正三角形ABC的中心。，連結(jié)0P ,則/以0是PA與平面ABC所成的角.因為底面邊長為，5 ,所以AO二小X田二|, AO = |aD = |x|= 1.三棱柱的鬧只為：X（小X坐4A1OQP兀=4 ,解得A41二小,即0P = AA=j3 ,所以tan/E40 =而二小，即/陰。二,.13 .如圖所示，在三棱柱A3C4i&G中，AAJ_底面/WC, AB=BC=AA, Z一7GA8C=90。，點七、尸分別是棱A3、88的中點，則直線EF和BG的夾角是'場/ 答案60。解析不妨設A8

8、=8c=A4i=1 ,貝(J前二際-崩麗-我，箱二比十麗,/.IEF1 =事麗-麗I二警，院11二小，> 1 -> >EFBG =- 8A)(BC + BS)二 5，1/# 二、 EFBCi 21/.cos EF t BC) = = -7t二不，明山Gl華x.V EF f BC) e0° r 180°,(EF t BCi) = 60。，即異面直線EF與BG的夾角是60°.13 .如圖所示，已知二面角a/£的平而角為08£。，斗)，ABLBC. BC1. CD, A3在平面£內(nèi)，BC在/上，CO在平面"內(nèi)，若

9、A3=8C=CQ=1, 則AD的長為.答案小二2com 解析 AD=AB + BC+CD t 所以/訪2 = AB2 + BC2 + cb2 + 2AB-CD + 24B-BC + 2BC-CD=1 + 1 + 1+ 2cosm - 6)=3 - 2cos夕所以L4£)l =- 2cos6 ,即AD的長為、/32cos6.14 .在直三棱柱4&GA8C中，ZBAC=y, AB=AC=AA = ,已知G與E分別為A山和 乙CG的中點，。與尸分別為線段AC和A8上的動點(不包括端點)，若GDLEF,則線段OF的長度的取值范圍為.答案1) 解析 以A為坐標原點，/W為x軸，AC為y

10、軸，AAi為z軸建立空間直角坐標系，則 F(n,O,O)(O <h< 1) , E(OJ z 3，G(g , OJ) f 0(0 , f20)(O </2< 1).所以EF 二(h , - 1 ,-2)，G。二(-z ,冷，-1).因為GOJ»EF,所以h+2令二1 ,由此推出0<f2<:又近二(力，/2O)2115(b - 5)2 + 5 / 從而有不忘。/7 < 1.二、解答題(本大題共6小題，共90分)6 (14 分)已知空間三點兒(一2,0,2), 8( 1,1,2), C( 3,0.4).設。=篇，b=AC, (1)求。和力的夾角6

11、的余弦值；(2)若向量幻+力與加一處互相垂直，求k的值.解 因為 A(2,0,2),解一 1,1,2), C(-3,0,4), a=AB9 b=AC.所以。=(11,0), 6=(1,0,2).ab -1+0+0。但麗=建X小=yio 10，即。和b的夾角的余弦值為一耍(2)因為加+力=©1,1,0)+(1.0,2)=伏一 1,左2),ka2b=(k+2, k, 4),且伏a+")_L(n2力).所以伏一 1, k,2)(k+2, k, -4)=收- 1)伙+2)+公一8=2公+%- 10=0, 則 k=|或 k=2.16. (14分)已知晶= (1.0,2),勵=(2,2

12、.0),歷=(0,1,2),點M在直線OC上運動，當血.麻取 最小時，求點M的坐標.解 設南=%歷=(0, X, 22),則法1 = (1, -2, 222),訕=(2,2-3 -22),，宓施=2，22)一船(22A)31=522-6x+2=5a-T)24-T, J J，當力=弓時，而而最小，此時點時的坐標為M(0,不，17.(14分)如圖,在四棱錐以8。中，底而月8。是矩形,以，平而從8。， APA=AD, AB-=y2AD, E是線段尸。上的點，F(xiàn)是線段AB上的點，且薪=膏="2>。)(1)判斷EF與平而P5C的關系，并證明；(2)當2為何值時，DFL平面出C?并證明你的

13、結(jié)論.解 £7訓平面PBC ,證明如下,如圖，以點A為原點建立如圖所示卜的空間直角坐標系，設 AO 長為 1 ,則 A(O.O.O) , B(巾,0,0) ,C(V2,1,0) , 0(010) , P(O.O.l),分少一一一：>0）得E（0 ,六，士），F(xiàn)（走,0,0） f1 + A 1+ 21+2所3書，-）,BC = （0,1.0）,而二(建，0, - 1),設面PBC的法向量=（x , y , z）,所以取二(1.0 ,也)； 由于EE=0,所以 因為EFG平面PBC ,所以EFII平面PBC.當2二1時，。?平面B4C證明如下：設平面PAC的法向量為m = (x t

14、y tz) t由于公二(6，1.0),舒二(0.0,1),則2x + y = 0 ,z = 0.不妨取 m = （l ,-血，0）,又稱二謾,-1,0）, m= y12DF , 所以。尺L平面PAC.18 . (16分)如圖，在棱長為1的正方體A5CDA/CiP中，P是側(cè)棱CG上一點，CP=/.試 確定機的值使得直線AP與平而BDDB所成角為60°.解 建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(l.O,O) , B(1 , 1.0) , P(0.1,m) , C(0,l,0),0(0.00), 當(1,1,1), 5(0,0,1).貝!J麗二(一1 , - 10) ,= (0.0.1)，酢

15、二(-U , "，)，AC = (- LLO).又由，正.麗二0 , AC BBi=0知，AC±BD , AC±BB ,貝盛為平面BBtDtD的一個法向量.設AP與平面BBDD所成的角為0 ,貝！J sin8 = Icos (AP , AC) I = 丁 二呼 二 / - .IAPIL4CI 42 十 M娘=sin600 =乎,解得m -噂*故當，二當時,直線AP與平面BDDB所成角為60°.19.(16分汝口圖所示，在正方體A8CZM山GS中，E是棱。5的中點.(1)求直線3E和平而45bAi所成角的正弦值：(2)在棱G"上是否存在一點F,使

16、叢E平面ABE?證明你的結(jié)論.解 設正方體的棱長為1 .如圖所示，以藤，歷，為單位正交基底建立 空間直角坐標系A - »z.(1)依題意，得 8( 1,0.0) , E(0 , 1 , § , 40,0,0) , D(O.l.O), 所以詼二(-1 , 1屈)=(010).在正方體A8CD4】BiG£)i中，因為AOJL平面ABBiAi ,所以能是平面ABBA的一個法向量.設直線BE和平面ABB A所成的角為0 ,nil .八 IBE ADI 12貝!J SH16 = = 7二IBE1L4DI ；X1 .故直線BE和平面ABBA所成角的恒玄值為生在棱C0上存在點F

17、 ,使8尸II平面A出£ 證明如下： 依題意，得4(00,1)，血尸(-1,0,1),星二(-1,1設 =(X , y , z)是平面A8E的一個法向量,屈三0,7 + z = 0,則由j得j1n-BE = 0f_工十丫十呼二0所以X二z , y 二;z,取？二2 ,得二(2,1,2).設F是棱CiDi上的點,則 又以(1.0.1),所以瓦1,1,0).而當尸Q平面48E ,于是BiFH平面A山上臺瓦力 = 0o(f - 1,1,0),(2/,2)=0。2“ - 1)+1 =0加二；-尸為棱GDi的中點.這說明在棱CiDi上存在點F(C。的中點),使51FII平面A18£2

18、0.(16分)如圖所示，在三棱錐P-A8Q中，平而從8。，BA=BP =BQ, O, C, E,尸分別是 A。BQ, AP, 5P 的中點，AQ=2BD, PD 與E0交于點G, PC與FQ交于點H,連結(jié)GH.求證：AB/GH； 求二面角DGHE的余弦值.證明 因為。，C , E , E分另U是AQ , BQ , AP , BP的中點， 所以 MHAB , DCWAB ,所以 Mil AC,又EFQ平面PCD , OCU平面PCD ,所以EFII平面PCD ,又E/u平面EFQ ,平面EFQn平面PCD = GH ,所以EFWGH , 5LEFWAB ,(2)解 方法一 在 MBQ 中，A。= 28。，4。二。，所以NABQ = 90。，即 A8L8。，因為PB«L平面A3。，所以ABLPB ,又 BPCBQ = B ,所以 /W_L 平面 PBQ ,由知A8IIGA,所以GJ_平面PBQ ,又H/u平面PBQ ,所以GH±FH ,同理可得GH±HC ,所以NFC為二面角DGHE的平面角，設 BA = BQ = BP 二 2 t 連結(jié) FC,在R3F8C中，由勾股定理得，尸C二啦，在R3P8C中,由勾股定理得，P