數(shù)學(xué)建模過程

1、表述（歸納）求解（演繹）解釋驗(yàn)證現(xiàn)實(shí)對象與數(shù)學(xué)模型的關(guān)系 建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟 1 1 方法方法 機(jī)理分析法：以經(jīng)典數(shù)學(xué)為工具，分析其內(nèi)部的機(jī)理規(guī)律。maF 統(tǒng)計(jì)分析法：以隨機(jī)數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，經(jīng)過對統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分 析，得到其內(nèi)在的規(guī)律。如：多元統(tǒng)計(jì)分析。系統(tǒng)分析法：對復(fù)雜性問題或主觀性問題的研究方法。把 定性的思維和結(jié)論用定量的手段表示出來。如：層次分析法。2 2 建模步驟建模步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用1）模型準(zhǔn)備： 了解問題的實(shí)際背景實(shí)際背景，明確建模目目的的，掌握對象的各種信息各種信息如統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等，弄清實(shí)際對象的特征特征。 有時(shí)需查

2、資料或到有關(guān)單位了解情況等。2）模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對象的特征特征和建模目的目的，對問題進(jìn)行必要地合理地簡化必要地合理地簡化。不同的假設(shè)會得到不同的模型。如果假設(shè)過于簡單可能會導(dǎo)致模型的失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改或補(bǔ)充假設(shè)，如“四足動物的體重問題”；如果假設(shè)過于詳細(xì)，試圖把復(fù)雜的實(shí)際現(xiàn)象的各個因素都考慮進(jìn)去，可能會陷入困境，無法進(jìn)行下一步工作。分清問題的主要方面和次要方面，抓主要因素，盡量將問題均勻化、線性化。3）模型建立：分清變量類型，恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)工具；抓住問題的本質(zhì)，簡化變量之間的關(guān)系；要有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理，模型本身要正確；要有足夠的精確度。4）模型求解：可以包括解方程、畫圖形、證明定理以及

3、邏輯運(yùn)算等。會用到傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，計(jì)算機(jī)技 術(shù)（編程或軟件包）。特別地近似計(jì)算方法（泰勒級數(shù)，三角級數(shù)，二項(xiàng)式展開、代數(shù)近似、有效數(shù)字等）。6）模型檢驗(yàn)： 把模型分析的結(jié)果“翻譯”回到實(shí)際對象中，用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m應(yīng)性檢驗(yàn)結(jié)果有三種情況：符合好，不好，階段性和部分性符合好。7）模型應(yīng)用：應(yīng)用中可能發(fā)現(xiàn)新問題，需繼續(xù)完善。5）模型分析：結(jié)果分析、數(shù)據(jù)分析。變量之間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；數(shù)學(xué)預(yù)測；最優(yōu)決策控制。 模型的分類模型的分類1）按變量的性質(zhì)分：）按變量的性質(zhì)分：離散模型確定性模型線性模型單變量模型連續(xù)模型隨機(jī)性模型非線性模型多變量模型2）按時(shí)間變化對模型的影響分

4、）按時(shí)間變化對模型的影響分靜態(tài)模型參數(shù)定常模型動態(tài)模型參數(shù)時(shí)變模型3 3）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分）按模型的應(yīng)用領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、生物數(shù)學(xué)模型、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型、地質(zhì)數(shù)學(xué)模型、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型、數(shù)學(xué)社會學(xué)模型等。4 4）按建立模型的數(shù)學(xué)方法（或所屬數(shù)學(xué)分支）分）按建立模型的數(shù)學(xué)方法（或所屬數(shù)學(xué)分支）分初等模型、幾何模型、線性代數(shù)模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、運(yùn)籌學(xué)模型等。5 5）按建模目的分）按建模目的分描述性模型、分析模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。6 6）按對模型結(jié)構(gòu)的了解程

5、度分）按對模型結(jié)構(gòu)的了解程度分白箱模型：白箱模型：其內(nèi)在機(jī)理相當(dāng)清楚的學(xué)科問題，包括力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等。灰箱模型灰箱模型：其內(nèi)在機(jī)理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問題，包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟(jì)、交通等。黑箱模型：黑箱模型：其內(nèi)在機(jī)理（數(shù)量關(guān)系）很不清楚的現(xiàn)象，如生命科學(xué)、社會科學(xué)等。 初等模型是指可以用初等數(shù)學(xué)的方法來構(gòu)造和求解的模型。我們來建立以下四個問題的數(shù)學(xué)模型。我們來解決以下幾個問題：一一 席位分配問題席位分配問題一 席位分配問題 某校有200名學(xué)生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若學(xué)生代表會議設(shè)20個席位，問三系各有多少個席位？按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則Npqm 表示某單位的

6、席位數(shù)m 表示某單位的人數(shù)p 表示總?cè)藬?shù)N 表示總席位數(shù)q1 問題的提出問題的提出2020個席位的分配結(jié)果個席位的分配結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲100100/200(50/100)20=10乙6060/200(30/100)20=6丙40 40/200(20/100)20=4現(xiàn)丙系有6名學(xué)生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5% 51.5 %20 =10.3乙6363/200=31.5%31.5%20=6.3丙34 34/200=17.0%17.0%20=3.410641064現(xiàn)象現(xiàn)象1 1 丙系雖少了丙系雖少了6 6人，但席位仍為人

7、，但席位仍為4 4個個。（。（不公平！不公平！）為了在表決提案時(shí)避免可能出現(xiàn)10：10的平局，再設(shè)一個席位。2121個席位的分配結(jié)果個席位的分配結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5% 51.5 %21 =10.815乙6363/200=31.5%31.5%21=6.615丙34 34/200=17.0%17.0%21=3.5701173現(xiàn)象現(xiàn)象2 2 總席位增加一席，丙系反而減少一席總席位增加一席，丙系反而減少一席。（。（不公平不公平?。。T例分配方法慣例分配方法：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大

8、者。按慣例分給小數(shù)部分較大者。存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？2 建模分析建模分析目標(biāo)：建立公平的分配方案建立公平的分配方案。反映公平分配的數(shù)量指標(biāo)可用每席位代表的人數(shù)每席位代表的人數(shù)來衡量。系別 人數(shù) 席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲1031031010103/10=10.3103/10=10.3中中乙63636 663/6=10.563/6=10.5差差丙34 34 4 434/4=8.534/4=8.5好好系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)甲1001001010100/10=10100/10=10乙60606 660/6=106

9、0/6=10丙40 40 4 440/4=1040/4=10系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲1031031111103/11=9.36103/11=9.36中中乙63637 763/7=963/7=9好好丙34 34 3 334/3=11.3334/3=11.33差差一般地，單位人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)A AB B1p2p1n2n11np22np當(dāng)2211npnp席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標(biāo)準(zhǔn)來判斷。準(zhǔn)。稱為“絕對不公平”標(biāo) ) 12211npnp此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個好的衡量標(biāo)準(zhǔn)。單位人數(shù)p席位數(shù)n每席位代表的人數(shù)絕對不公平標(biāo)準(zhǔn)A120

10、101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,DC,D的不公平程度大為改善！2） 相對不公平np表示每個席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時(shí)，此值越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。2211npnp則A吃虧,或?qū) 是不公平的。定義“相對不公平”則稱，若 2211npnp1),(122122221121npnpnpnpnpnnrA對A 的相對不公平值同理，可定義對B 的相對不公平值為：則稱，若 2211npnp1),(211211112221npnpnpnpnpnnrB對B 的相對不公平值建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標(biāo)BArr ,制定席位

11、分配方案的原則是使它們的盡可能的小。3 3 建模建模若A、B兩方已占有席位數(shù)為,21nn用相對不公平值討論當(dāng)席位增加1 個時(shí)，應(yīng)該給A 還是B 方。不失一般性， 2211，若npnp有下面三種情形。情形情形1 1 1 2211，npnp說明即使給A 單位增加1席，仍對A 不公平，所增這一席必須給A單位。情形情形2 2 1 2211，npnp說明當(dāng)對A 不公平時(shí)，給A 單位增加1席，對B 又不公平。計(jì)算對B 的相對不公平值1) 1() 1() 1(), 1(211211112221npnpnpnpnpnnrB情形情形3 3 1 2211，npnp說明當(dāng)對A 不公平時(shí)，給B 單位增加1席，對A 不

12、公平。計(jì)算對A 的相對不公平值1) 1() 1() 1() 1,(122122221121npnpnpnpnpnnrA),1,(), 1(2121nnrnnrAB若則這一席位給A 單位，否則給B 單位。1) 1(), 1(211221npnpnnrB1) 1() 1,(122121npnpnnrA12212112) 1() 1(npnpnpnp(*) ) 1() 1(11222212nnpnnp結(jié)論結(jié)論：當(dāng)（當(dāng)（* *）成立時(shí)，增加的一個席位應(yīng)分配給）成立時(shí)，增加的一個席位應(yīng)分配給A A 單位，單位，反之，應(yīng)分配給反之，應(yīng)分配給 B B 單位。單位。記記21 )1(2, innpQiiii則增

13、加的一個席位應(yīng)分配給則增加的一個席位應(yīng)分配給QQ值值 較大的一方。較大的一方。這樣的分配席位的方法稱為。若A、B兩方已占有席位數(shù)為,21nn4 4 推廣推廣 有m 方分配席位的情況設(shè)iA方人數(shù)為ip，已占有in個席位，mi,2, 1當(dāng)總席位增加1 席時(shí)，計(jì)算m, innpQiiii, 21 ) 1(2則1 席應(yīng)分給Q值最大的一方。從1in開始，即每方至少應(yīng)得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，則把它排除在外。）5 舉例舉例甲、乙、丙三系各有人數(shù)103，63，34，有21個席位，如何分配？按按Q值方法：值方法：3 , 21 ) 1(2, innpQiiii1, 1, 1321nnn785)

14、11 ( 134, 5 .9841) 11 ( 163 5304.5,) 11 ( 1103232221QQQ785) 11 ( 134, 5 .9841) 11 ( 1632 .7681) 12(2103232221QQQ甲1乙1丙1785)11 (1345 .661)12(2632 .7681)12(2103232221QQQ785)11 (1345 .661)12(2634 .888)13(3103232221QQQ45678910111213141516 1718192021甲：11，乙：6，丙：4練習(xí)練習(xí)學(xué)校共1000學(xué)生，235人住在A樓，333人住在B樓，432住在C樓。學(xué)生要組

15、織一個10人委員會，試用慣例分配方法， dHondt方法和Q值方法分配各樓的委員數(shù)，并比較結(jié)果。dHondt方法有k個單位，每單位的人數(shù)為 pi ，總席位數(shù)為n。做法：用自然數(shù)1,2,3,分別除以每單位的人數(shù)，從所得的數(shù)中由大到小取前 n 個，（這n 個數(shù)來自各個單位人數(shù)用自然數(shù)相除的結(jié)果），這n 個數(shù)中哪個單位有幾個所分席位就為幾個。二 核軍備競賽 冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實(shí)行冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實(shí)行“核威核威懾戰(zhàn)略懾戰(zhàn)略”，核軍備競賽不斷升級。，核軍備競賽不斷升級。 隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過了一系列隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過了一系列的核

16、裁軍協(xié)議。的核裁軍協(xié)議。 在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴(kuò)張，而存在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴(kuò)張，而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài)。在暫時(shí)的平衡狀態(tài)。 當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí)，平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化。彈等措施時(shí)，平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化。 估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個數(shù)量受哪些因素影響。數(shù)量受哪些因素影響。背背景景以雙方以雙方(戰(zhàn)略戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。假定雙方采取如下同樣的假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略核威

17、懾戰(zhàn)略： 認(rèn)為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部認(rèn)為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地； 乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。給對方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對方的一個核導(dǎo)彈基地。攻擊對方的一個核導(dǎo)彈基地。摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。度和另一方的防御能力決定。模模型型

18、假假設(shè)設(shè)圖圖的的模模型型y=f(x)甲方有甲方有x枚導(dǎo)彈，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)枚導(dǎo)彈，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)x=g(y)乙方有乙方有y枚導(dǎo)彈，甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)枚導(dǎo)彈，甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù)當(dāng)當(dāng) x=0時(shí)時(shí) y=y0，y0乙方的乙方的威懾值威懾值xyy0 xyy00 xyxfyy00)(y0甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù)x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全區(qū)乙安全區(qū)甲甲安安全全區(qū)區(qū)雙方雙方安全區(qū)安全區(qū)P平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈

19、數(shù)雙方最少導(dǎo)彈數(shù))乙安全線乙安全線 甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo)甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo)乙方威懾值乙方威懾值 y0變大變大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)mmmmyyxx,甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級。甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級。),(mmyxP（其它因素不變）（其它因素不變）乙安全線乙安全線 y=f(x)上移上移模型解釋模型解釋 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)PP 甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動發(fā)射架甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動發(fā)射架乙安全線乙安全線y=f(x)不變不變甲方殘存率變大甲方殘存率變大威懾值威懾值x 0和交換比不變和交

20、換比不變x減小，甲安全線減小，甲安全線x=g(y)向向y軸靠近軸靠近mmmmyyxx,xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x),(mmyxP模型解釋模型解釋 甲方這種單獨(dú)行為，會使雙方的核導(dǎo)彈減少甲方這種單獨(dú)行為，會使雙方的核導(dǎo)彈減少PP 三 產(chǎn)品的抽樣檢驗(yàn) 產(chǎn)品質(zhì)量是每個企業(yè)都十分關(guān)心的一個問題，質(zhì)量監(jiān)控的一個經(jīng)常采用的方法是抽樣檢驗(yàn)。人們設(shè)計(jì)出了各種各樣的給出整批產(chǎn)品可接受準(zhǔn)則的抽樣方案。 問題問題：一個陶器公司生產(chǎn)咖啡杯，杯上飾以某著名運(yùn)動員的頭像，人們設(shè)計(jì)了以下兩種抽樣方案： 方案A（單抽樣方案）隨機(jī)地從批量中選20個杯子，如果有兩個或少于兩個不合格，就接受批量，否則拒

21、絕該批量。 方案B(雙抽樣方案)隨機(jī)地從批量中選10個杯子，如果沒有不合格就接受該批量，如果有兩個或多于兩個不合格就拒絕該批量。而若有一個不合格，再做檢驗(yàn)，隨機(jī)地選另外10個杯子，當(dāng)提取第二批抽樣時(shí)，計(jì)算20個組合抽樣中不合格杯子的個數(shù)，如不合格數(shù)不多于1個就接受該批量，否則就拒絕該批量。討論這兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。分析與建模分析與建模 兩種方法中的有效性可通過首先假設(shè)不合格數(shù)所占的比例為p來進(jìn)行分析。然后我們對每種方法求出接受該批量的概率，并對p值的一些取值范圍計(jì)算其概率。 對方法A而言，若得到一個不合杯子的概率為p,抽樣量是20，則不合格數(shù)為2、1、0的概率分別為：2020002019120182220)1 ()1 (C0()1 (C1 ()1 (2(pppppppppCp個不合格）個不合格）個不合格）把這些概率加起來，