【課件】2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義

1、2.4.1 平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義目標(biāo)導(dǎo)學(xué)：1、能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，計(jì)算向量的長(zhǎng)度；2、會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。向量的夾角：向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量 和和 ，作，作 ， ，abOAa OBb 則則AOB= AOB= (0(0180)180)叫做向量叫做向量 與與 的夾角的夾角. .ababOabAB當(dāng)當(dāng)= 0時(shí)，時(shí)， 與與 同向；同向；ab當(dāng)當(dāng)= 180時(shí)，時(shí)， 與與 反向；反向；ab當(dāng)當(dāng)= 90時(shí)，時(shí)， 與與 垂直，記作垂直，記作 。ababababab問(wèn)題問(wèn)題sF 一個(gè)物體在力一個(gè)物體在力F 的作用下產(chǎn)生的位移的作用下產(chǎn)生的位移s，

2、那么力那么力F 所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算？所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算？其中力其中力F 和位移和位移s 是向量，是向量， 是是F 與與s 的夾角，而功是數(shù)量的夾角，而功是數(shù)量. | s|F|W cos平面向量的平面向量的數(shù)量積數(shù)量積： 已知非零向量已知非零向量 與與 ，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量 叫作叫作 與與 的的數(shù)量積數(shù)量積（或內(nèi)積），記作（或內(nèi)積），記作 ，即規(guī)定，即規(guī)定 |cosa bababa b |cosa ba b 其中其中是是 與與 的夾角，的夾角， 叫做向量叫做向量 在在 方向上（方向上（ 在在 方向上）的方向上）的投影投影. .并且規(guī)定，零向量與任一向量并且規(guī)定，零向量與任一向量的數(shù)量積為

3、零，即的數(shù)量積為零，即 。ab|cos (|cos )bababa00a BB1OAab1| |cosOBb 數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積數(shù)量積 等于等于 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度 與與 在在 的方向上的的方向上的投影投影 的乘積。的乘積。a b a|aba|cosbBB1OAab思考：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎伎迹合蛄康臄?shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?什么時(shí)候?yàn)樨?fù)呢？什么時(shí)候?yàn)樨?fù)呢？由向量數(shù)量積的定義，試完成下面問(wèn)題：由向量數(shù)量積的定義，試完成下面問(wèn)題：_._.(3)| _ |.()aba ba baba baba aa ba b ； 反； 若與 同向, 若與

4、 同向, 若與向, 若與向, 填或填或(1)(1)(2)(2)注：常記注：常記 為為 。a a 2a|aa a 0|a b|a b2|a22( )|aa 證明向量證明向量垂直的依據(jù)垂直的依據(jù)例例1.已知已知 ， 的夾角的夾角=120=120， 求求 。| 5,| 4abab 與與a b 解：解：|cos5 4 cos12015 4 ()210= a ba b ;()()();().a bb aaba bababca cb c (1)(1)(2)(2)(3)(3)數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：12 1A1BABOabCc2B1| |cos|cosOBOBab 11| |cosOAa1122

5、| | |cosABABb 如圖可知：如圖可知：111112| |cos|cos|cosOBOAABabab 12() |cos|cos|cos cabcabcac bc ac b ()abca cb c ()abca cb c ;()()();().a bb aaba bababca cb c (1)(1)(2)(2)(3)(3)思考：等式思考：等式 是否成立？是否成立？()()a b ca b c 數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律：不成立不成立1、兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cos的符號(hào)確定；2、兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫(xiě)成ab;與代數(shù)中的數(shù)ab不同，書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分；

6、3、在實(shí)數(shù)中，若a0，且ab=0,則b=0；但在數(shù)量積中，若a0，且ab=0,不能推出b=0。因?yàn)槠渲衏os有可能為04、已知實(shí)數(shù)a、b、c（b0)，則有ab=bc得a=c.但是有ab=bc不能得a=c5、在實(shí)數(shù)中（ab)c=a(bc), 但（ab)c a(bc),要注意的是：例例2.我們知道，對(duì)任意我們知道，對(duì)任意 ，恒有，恒有, a bR22222()2,()().abaabbab abab對(duì)任意向量對(duì)任意向量 是否也有下面類似的結(jié)論？是否也有下面類似的結(jié)論？, ,a b 22222()2;()().abaa bbab abab (1)(1)(2)(2)33223(3)()( )3( )3( )( )abaaba bb例例3.已知已知 ， 的夾角的夾角6060， 求求 。| 6,| 4abab 與與(2 ) (3 ),|ababab例例4.已知已知 ，且，且 與與 不共線，不共線，k為何值時(shí)，為何值時(shí)， 向量向量 與與 互相垂直互相垂直。| 3,| 4abaakbbakb小結(jié)小結(jié)向