導(dǎo)數(shù)與積分經(jīng)典例題以及答案

1、高三數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與積分經(jīng)典例題以及答案教學(xué)內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)與積分. 重點、難點：1 .導(dǎo)數(shù)公式：f (x) 0f (x) n xn 1f (x) cosxf (x) sin xf (x) ax In ar 1f (x) loga e xyf(x)cyf(x)xnyf(x)sin xyf(x)cosxyf (x)axyf (x)log a x2 .運算公式f (x) g(x) f (x) g (x)f (x) g(x) f (x)g(x) f (x) g (x)f(x) f (x)g(x) f(x)g(x) g(x)g2(x)3 .切線，過P(x0,y0)為切點的yf(x)的切線，y y0f (x0)(x

2、 x0)4 .單調(diào)區(qū)間不等式f (x) 0,解為y f(x)的增區(qū)間，f (x) 0解為yf(x)的減區(qū)間。5 . 極值(1) x (a,x0)時，f (x) 0, x (x0,b)時，f (x) 0*0)為丫f(x)極大值(2) x (a,x0)時 f (x) 0 , x (x0,b)時，f (x) 0f (xo)為yf (x)的極小值?！镜湫屠}】例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(1)13 3x3 x7x2 1; y ln|x|；(3) yx1 x x2，(4) y 32T2-2T2 (1 x x )(1 x x ) (4) y(3xex) (2x)(e) x、 x x , xx、 (3 )e 3

3、(e )(2 )0 x x x xxx .3 In 3 e 3 e 2 In 2 (3e) In 3e 2 In 2(In x) (x21) In x (x2 1)/ 2 八2(x 1)ex2x e；(5)In x(6) y xcosx sin x。分析：直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則1 .斛析：(1) y (-)(3x )(7x )(1)3x(x13)3(x3)7(x2)0一 2.9x 14x.1當 x 0時，y In x, y 一 ；x11當 x 0時，y ln( x) , y ()(1) xx1y 一x2 2、(3) yx (1 x x ) x(1 x x )二2T2(1 x x )2

4、2(5) yx2x(0 1 2x)1 x21 , 2(x 1) 2xln x 2 彳2 xx 1 2x In x/ 22(x 1)x(x1 2 1)2(6) y (xcosx) (sin x)cosx xsinx cosx xsinx1 、，一 ，一）并且l與圓 b2a例2如果函數(shù)f（x） ln（x 1）的圖象在x 1處的切線l過點（0, bC： xF (x) f (x) g (x) x (a,b) F (x) 0 x (a,b) F (x) y2 1相離，則點（a,b）與圓C的位置關(guān)系 解：f (x)1l 過(0,一b2a1x 11 bl 切2aln2b2aln2b(x 1)1 a In 4

5、 1l與圓相離ln 2 一 b b（a,b）時有（）任取 x (a,b) F(x) F(a)f(x) g(x) f(a) g(a)即 f (x) g(a) g(x) f(a)故選 C例4 f (x), g (x)分別為定義在 R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)。f (x)列表 (, 1)(1, 1) T(1, +)x 0時，f (x) g(x) f (x) g (x) 0, g( 3) 0 ,則不等式 f (x) g(x) 0 的解 為。2m 1 11 m 02m 1 mf (x)224(1 x2)4(x2 1) 2 4 2(x2 1)2(x21)2 (x2 1)2-1令t (0,1 x 121 2 1f

6、(x) 4 2t2 t 4 2(t -)2 -48、1f (x) 2，4一 1.1. o例 6 f (x) -x3 -(b 1)x2 cx(1) f (x)在x=1, x=3處取得極值，求b,c； f (x)在(，x1),(x2，) ,(x1，x2)，且 x2,2一一x1 1,求證：b22(b 2c)(3)在(2)的條件下，t x1比較t2 bt c與x1大小關(guān)系。解：(1) f (x) x2 (b 1)x cf (1)0bc 0 b 3f (3)063b c0 c31 32 人f (x) x 2x 3x 3(2) f (x) x2 (b 1)x cx1 x2 1 bx1x2 cx2x11/、

7、2/、2/(x2 x1 )1 (x1 x2)4x1x2 11 2b b2 4c 1b22(b 2c)(3) x2 (b 1)x c(xx1)(xx2)22,八x1(tx1)(t x2) (tx)t bt c x1t (b 1)t c t(t )(t 1 x2)*，* 式 0 t2 bt c x1例7已知拋物線C1:y x2 2x和C2：y x2 a。如果直線l同時是C1和C2的切 線，稱l是Ci和C2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段。(1) a取什么彳1時，Ci和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；(2)若Ci和C2有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分。分析：

8、分別利用曲線 Ci,C2方程求切線l的方程再比較，從而求得 a滿足條件；對于 (2)兩條公切線段互相平分，也就是兩公切線段的中點坐標相同。22解析：(1)函數(shù)y x 2x的導(dǎo)數(shù)y 2x 2,曲線Ci在點P(xi,xi2xi)的切線方程是,2y (xi 2xi) (2xi 2)(x xi)即 y (2xi 2)x x2 函數(shù)y x2 a的導(dǎo)數(shù)y 2x曲線C2在點Q(x2, x2 a)的切線方程是 2y ( x2 a) 2x2(x x2) 2即 y2x2x x2 a 如果直線l是過P和Q的公切線，則式和式都是l的方程xi ix2所以 22xix2 a消去x2得方程2x； 2xi i a 0ii右判

9、別式4 4 2(i a) 0,即a 時解得xi,此時點P與Q重合22i即當a 一時，Ci和C2有且僅有一條公切線 2 ，八、i由得公切線方程為 y x 2 4 i .(2)由(i)可知，當a 一時Ci和C2有兩條公切線 2設(shè)一條公切線上切點為 P(xi，yi),Q(x2，x2),其中P在Ci上，Q在C2上，則有x1 x21yi y2Xi2 2xi ( x2 a)22xi2x1 (x1 1) a 1 a,11 a線段PQ的中點為(，)22,11 a同理，另一條公切線段 PQ的中點也是(，a)22所以公切線段PQ和P Q互相平分例8已知拋物線y ax2 bx c過點(1,1),且在點(2, 1)處

10、與直線y x 3相切，求a, b,c的值。解析：y f (x) ax2 bx cy f (x) 2ax b拋物線在點(2, 1)處與直線y x 3相切f(2)1 ,且 f (2) 1即4a 2b c (2)顯然Q (1, 0)不在曲線y4a b 1(2)又拋物線過點(1,1)a b c 1 (3)將(1) (2) (3)聯(lián)立解得 a 3,b11,c 9例9設(shè)函數(shù)y ax3bx2cx d的圖象與y軸的交點為P點，且曲線在P點處的切線方程為12x y 4 0,若函數(shù)在x 2處取得極值為0,試確定函數(shù)的解析式。解析：- y ax3bx2cx d的圖象與y軸交點為P.點P的坐標為(0,d)曲線在P點處

11、的切線方程為 y 12x 4,故P點坐標適合此方程，將 P(0,d)代入后得d 4又切線的斜率為k 12而 y3ax2 2bx c, y |x 0 cc 12又函數(shù)在x 2處取得極值0y lx 2 。且 f(2)0即 12a 4b 12 0(1) 8a 4b 20 0(2)由(1) (2)解得 a 2,b9y 2x3 9x2 12x 4 一1例10已知曲線y 。 x(1)求曲線在點P (1, 1)處的切線方程；(2)求曲線過點Q (1, 0)的切線方程；1(3)求滿足斜率為一的曲線的切線萬程。31 解析：(1) y =，又P (1, 1)是曲線上的點 xP為切點，所求切線的斜率為k f (1)

12、1曲線在P點處的切線方程為 y 1(x 1),即 y x 21 A(a-), a則該1 ,， 一上，則可設(shè)過該點的切線的切點為 x11a231，、一一。故所求切線方程為2-31一一(x4 3)或33切線斜率為k1f (a)2a一11則切線萬程為y 2-(x a) (*)aa公、m 11 ”、將Q (1, 0)代入萬程(*)得0 (1 a)得aa ay 4x 41(3)設(shè)切點坐標為A(a,),則切線的斜率為 k2a解得a 3人(3,)或人(也)，代入點斜式方程得 33.31y T3(x3)即切線方程為x 3y 2.30或 x 3y 273 0例11已知a 0,函數(shù)f (x)a, x 0,)，設(shè)x

13、i0 ,記曲線y f (x)在點M (Xi, f (xi)處的切線為l。(1)求l的方程;設(shè)l與x軸交點為(x2,0),證明:1x2x o解析：(1)求f(x)的導(dǎo)數(shù)：f(x) 3x1 2 ,由此得切線l的方程:y (x1。入1 a) 3x2 (x x1)(2)依題意，切線方程中令 yx2xix13 a 2x3 a3x123x2ia337 (x1 ox11a3右xi1a3)2(2xiia3)當且僅當xi3xi1a3時等號成立3x1a,x2 xi3xi20 ,且由x21a3 ,所以1_a3 xx2xi例 i2設(shè)函數(shù)f (x)ax(a i)ln(x i),其中 ai,求f (x)的單調(diào)區(qū)間。解析：

14、由已知得函數(shù)f(x)的定義域為(i,)，且(1)當1 a 0時，由f (x) 0知，函數(shù)f (x)在(1,)上單調(diào)遞減， 一，一、一 1當a 0時，由f (x) 0 ,解得x af (x), f (x)隨x的變化情況如下表：x(1,-) a- a(1,) af (x)一0+f(x)J極小值從上表可知1、.1 當x ( 1,)時，f (x) 0,函數(shù)f(x)在(1, )上單調(diào)遞減 aa.11當x (-,)時，f (x) 0,函數(shù)f(x)在(-,)上單倜遞增 aa綜上所述：當1 a 0時，函數(shù)f(x)在(1,)上單調(diào)遞減1、 1當a 0時，函數(shù)f(x)在(1,-)上單調(diào)遞減，f(x)在(-,)上單

15、倜遞增 aa例13已知函數(shù)f(x) ax3 3x2 x 1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍。分析：因為f(x)在R上為減函數(shù)，即f (x) 0在R上恒成立，再解不等式即可得解。解析：求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)：f (x) 3ax2 6x 1(1)當f (x) 0(x R)時，f(x)是減函數(shù)3ax2 6x1 0(x R)a 0,且 3612a 0a 3所以，當a 3時，由f (x) 0知f (x)(x R)是減函數(shù)；當 a3 時，f(x)3x3 3x2x 13(x 1)3 -39由函數(shù)y x3在R上的單調(diào)性，可知當a 3時，f (x)(x R)是減函數(shù)；(3)當a 3時，在R上存在一個區(qū)間，其上有 f

16、 (x) 0所以，當a 3時，函數(shù)f (x)(x R)不是減函數(shù)綜上，所求a的取值范圍是(，3例14設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)ax2 (a2 1)x 在(,0)和(1,)上都是增函數(shù),求a的取值范圍。解析：f(x) 3x2 2ax(a21)其判別式2_ 24a 12a12128a2(1)若12 8a2 0a、 a,3)或x(3,)時,(x) 0, f(x)在()上為增函數(shù)128a20，恒有f(x) 0, f(x)在()上為增函數(shù)(3)若128a26. 65 a 萬，令 f(x)解得x1.3 2a2x2a : 3 2a23,x1)或 x(x2,)時，f (x) 0, f(x)為增函數(shù)當 x (x1

17、，x2)時，f (x) 0, f(x)為減函數(shù)依題意x10得*2 126由x1 0得a v3 2a ,解得1 a 2由x2 1得4；3 2a23 a解得上“ a 22從而a1, 2綜上,a的取值范圍為(. 6,1、616.6)昨)即2 (，1,)2【模擬試題】(答題時間：60分鐘) x211 .已知曲線y 31nx的一條切線的斜率為 一，則切點的橫坐標為()42八1A. 3B. 2C. 1D.22 .設(shè) a 0, f (x) ax2 bx c, 曲線y f (x)在點P(xo, f(x。)處切線的傾斜角的取值范圍為0,則P到曲線yf(x)對稱軸距離的取值范圍是()11b|b 1|A. 0,-B

18、. 0,丁 C. 0,| D. 0,|a2a2a2a3 .在函數(shù)y x3 8x的圖象上，其切線的傾斜角小于一的點中，坐標為整數(shù)的點的個4數(shù)是()A. 3B. 2C. 1D. 04 . y 1n1n(1n x)的導(dǎo)數(shù)為()A.1x1n(1n x)B.1In x1n(1n x)C.D.xln x1n(1n x)11n(1n x)5.已知函數(shù)f (x)在x1處的導(dǎo)數(shù)為3,則f(x)的解析式可能為(A. f(x) (x 1)3 3(x 1)B. f (x) 2(x 1)C. f(x) 2(x 1)2D. f (x) x 16.設(shè)f (x), g (x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當xf (x)g

19、(x) f (x)g (x) 0,且 g( 3)0,則不等式f (x)g(x) 0的解集是A. ( 3,0)(3,)B. ( 3,0)(0,3)C. (, 3)(3,)D. (, 3)(0,3)7 .函數(shù)y (x 2a)(x a)2的導(dǎo)數(shù)為(A.2(x2a2)B.3(x2a2)C.3(x2a2)D.2(x2a2)8.設(shè)f (x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y f (x)的圖象如下圖所示，則y f(x)的圖象最 有可能的是()9.函數(shù)y (x 1)2(x 1)在x 1處的導(dǎo)數(shù)等于()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知f(x)與g(x)是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，如果f(x)與g(x)僅當x 0時

20、的函數(shù)值為0,且f(x) g(x),那么下列情形不可能出現(xiàn)的是()A. 0是f(x)的極大值，也是 g(x)的極大值B. 0是f(x)的極小值，也是 g(x)的極小值C. 0是f(x)的極大值，但不是 g(x)的極值D. 0是f (x)的極小值，但不是 g(x)的極值11.已知二次函數(shù) f (x) ax2 bx c的導(dǎo)數(shù)為f (x), f (0)0,對于任意實數(shù)，都有f (x) 0 ,則f1-的最小值為()f (0)A. 3B. 5 C. 2D.-2212.設(shè)函數(shù)f(x)是R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線f (x)在x 5處的切線的斜率為()A. 1B. 0C. 15513.已知對任意實數(shù)

21、x,有f( x) f(x),D. 5g( x)g(x),且 x 0時，f (x) 0 ,g (x) 0,則 x 0時()A. f (x) 0, g (x) 0B. f (x) 0,g (x) 0c. f (x) 0,g (x) 0D. f (x) 0,g (x) 014.若曲線y x4的一條切線l與直線x 4y 8 0垂直，則l的方程為(A. 4x y 3 0C. 4x y 3 0B. x 4y 5 0D. x 4y 3 015.設(shè)f (x)是函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)，將yf (x)和y f (x)的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是()16.若對任意x R, f (x)A. f (x)

22、 x4C. f(x) 4x3 5一 34x , f (1)1 ,則 f (x)是()8. f(x) x4 2-4_D. f(x) x 217. f(x)是定義在(0,)上的非負可導(dǎo)函數(shù)，且滿足 xf (x) f (x) 0任意正數(shù)a,b,若a b,則必有()A.af(a)f(b)B.f(b)f(a)C.af(b)bf(a)D.bf(a)af(b)1 3718.曲線y -x3 2在點(1,一)處切線的傾斜角為()33A. 30 B. 45 C. 135 D. -4519 .設(shè) f(x) sinx,f1(x) f0(x),f2(x) f1 (x),fn1(x) fn(x),n N 則 f2005

23、( x)等于()A. sinxB. sinx C. cosxd. cosx20 .拋物線y x2到直線x y 2 0的最短距離為()A. J2B. 7上2C. 22D.以上答案都不對821 . 已知函數(shù)y f (x)x3 px2 qx的圖象與x軸切于非原點的一點，且y最小值4。(1)求p,q的值；(2)函數(shù) y g(x) x2 x,若函數(shù) F(x) f(x) mg(x)(x R)在區(qū)間2,)上單調(diào)，求m的取值范圍。22 .已知函數(shù)f(x) ax 3 cx d(a 0)是R上的奇函數(shù)，且f 0, f (1)2。(1)求a,c,d的值；(2)在y f(x)的圖象C上任取一點P,在點P處的切線l與圖

24、象C的另一個交點為Q,設(shè)點P的橫坐標為t,線段PQ中點R的縱坐標為u。用t表示u;當t 0時，求u的最大值。_ ， 、, 、1 2.一 一23 .已知函數(shù) f (x) ln x , g(x) - x a( a為常數(shù))，若直線l與y f (x),y g(x)的圖象都相切，且l與yf(x)的圖象相切的切點橫坐標為1。(1)求直線l的方程及a的值；_1一1 .當 2 m 時，求h(x) f(x) f (x)2g(x) m 1在萬,2上的最大值。24 .已知函數(shù) f(x) x3 ax2 3x。(1)若f (x)在x 1,)上是增函數(shù)，求實數(shù) a的取值范圍；(2)若方程f (x)(a2 3)x 1(a

25、0)至多有兩個解，求實數(shù) a的取值范圍。1. A2. B3. D4. C5. A6. D8. C9. D10. C11. C12. B13. B14. A15. D16. B17. C18. B19. C20. B【試題答案】21.解：(1)設(shè)函數(shù)yf (x)的圖象與x軸切于點(x0,0) (x00)21y f (x) x3 px2 qxf (x) 3x2 2 px qf(x0) 0 3x2 2 Px0 q 0 2又 f(x) 0x(x0px0 q) 0 2由一2x0px0 0x0p I 2 Ap，代入式得P 4q2把P 4q代入f (x)中，則f (x)23x 2 px2令 f (x) 03

26、x2 2px 0 x14當p 0時，y最小值2f(爭(m3p( % ?(由66646 p 6,q 92當p 0時，y最小值f( f)(5)3 p(52年(爭222423332 P P8484 ,不符合題意綜上所述，p 6,q 9(2)由(1)知 f (x) x3 6x2 9xF (x) x3 (6 m)x2 (9 m)x一一 2 一-一F (x)3x(122m) x9mF(x)在2,)上單調(diào)，即F (x)在2,)上恒大于零或恒小于零又由二次函數(shù)性質(zhì)，有 F (x)恒大于零2時,3 22 (12 2m) 2 9 m 02時,c / 6 m、26 m、3 ()(12 2m)()331- m無解綜上

27、所述m 922.解：(1)由f(x)為奇函數(shù)可知d 0f(x) ax3 cx , f (x) 3ax2,2121 cf(1) 0f (1) 23a c1,.c(2)由(1)知 f (x)x3x,P(t,t3 t), y f (x) 3x2 1f (t) 3t2 1f (x)在P點處切線方程為32y (t t) (3t1)(x t)與y x3 x聯(lián)立得x3 x (t3 t) (3t2 1)( xQ( 2t,8t3 2t)u人21 21令ut2 0得t22.21當t 時，u 0 21、“21當0 t 時，u 0, 21t)(xt)2(x2t)0(t3t)( 8t32t)7t3tt (0,)u最大值121、3. 21,21 7 () 221216323.一.一 、1一斛：(1)f (x)f(1) 1 k11x又切點為(1,0) l的方程為y x 1y x 1又l與g(x)相切，由1 ，1 2 得 一 x x a 1 0y x a 2211 4 -(a 1) 0(2) h(x)f(x) f (x)2g(x) m 1x21. 1 4m2顯然Xi2, m xIn x x1