4空間力系和重心3

1、第四章第四章 空間力系和重心空間力系和重心 課題課題41 41 空間力的投影空間力的投影 力對軸之矩力對軸之矩 課題課題42 42 空間力系平衡方程的應(yīng)用空間力系平衡方程的應(yīng)用 課題課題43 43 重心重心 平面圖形的形心平面圖形的形心 課題課題41 41 空間力的投影空間力的投影 力對軸之矩力對軸之矩1.1.一次投影法一次投影法 已知力F與三個坐標(biāo)軸的夾角分別為、, 2.2.二次投影法二次投影法 已知力F與z軸的夾角為，力與軸所確定平面與x軸的夾角為。 conFFx一一. .力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影 conFFyconFFz) 14( consin FFxsins

2、in FFyconFFz)24( yxzFxFFyFzyxzFFxyFxFzFy3.3.力沿坐標(biāo)軸方向分解力沿坐標(biāo)軸方向分解 FxFyFzFyFzFx4.4.已知投影求作用力已知投影求作用力 222zyxFFFFFFFFFFzyxcon;con;con)34( 二、二、力對軸之矩力對軸之矩 力對軸之矩是力使物體繞該軸轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量，是一個代數(shù)量。其正負(fù)號可按以下法確定：從z軸正端來看，若力矩逆時針，規(guī)定為正，反之為負(fù)。也可按右手螺旋法則來確定其正負(fù)號。 結(jié)論結(jié)論：三、合力矩定理三、合力矩定理 力對軸之矩等于力在力對軸之矩等于力在垂直于軸的平面上的投影垂直于軸的平面上的投影對該軸與平面交點(diǎn)之矩。

3、對該軸與平面交點(diǎn)之矩。 yxzFAFzdFxyyxOdFxydFFMFMxyxyOz)()( 力系合力對某軸之矩，等于各分力對同軸力矩的代數(shù)和。力系合力對某軸之矩，等于各分力對同軸力矩的代數(shù)和。)()()()(zzyzxzzFMFMFMFM四、應(yīng)用舉例四、應(yīng)用舉例例例4-1 4-1 圖示托架OC套在軸z上，在C點(diǎn)作用力F=1000N，圖中C點(diǎn)在Oxy面內(nèi)。試分別求力F對x、y、z軸之矩。 解：解：1.應(yīng)用二次投影法，求得各分力的大小為2.由合力矩定理求F對軸之矩FxyFxFyFz4660sin45conFFFx4260con45conFFFy2245sinFFFz)()()()(zxyxxxx

4、FMFMFMFMmN4 .4206. 021000200)()()()(zyyyxyyFMFMFMFMmN4 .3505. 021000200)()()()(zzyzxzzFMFMFMFM005. 041000206. 0410006mN1 .19C 五、平面解法五、平面解法 解：解：已知各分力1.在yz平面取平面投影FxyFxFyFz46FFx42FFy22FFz)()(0yzxFMFMmN4 .4206. 0210002)()(0 xzyFMFMmN4 .3505. 0210002)()(xyOzFMFM05. 041000206. 0410006mN1 .1940 20FyFzyzO2.

5、在xz平面取平面投影xzO50FxFz3.在xy平面取平面投影yxO40 2050CFyFx例例4-2 4-2 圖示半徑為r的圓盤，在與水平夾角為45半徑的切平面上作用力F，求力F對x、y、z軸之矩。 解：解：1.將F沿坐標(biāo)軸方向分解2.求F對x.y.z軸之矩4645sin30conFFFx4645con30conFFFy230sinFFFz22)(rFhFFMzyxhOyzx45F30FzFxFy4246FrFh22)(rFhFFMzxy4246FrFh2222)(rFrFFMyxz234343FrFrFr 平 面 解 法平 面 解 法：2.在坐標(biāo)平面分別取投影46FFx46FFy2FFz2

6、2)(rFhFFMzyxhOyzx45F30FzFxFy4246FrFh22)(rFhFFMzxy4246FrFh2222)(rFrFFMyxz234343FrFrFr 解：解：1.將F沿坐標(biāo)軸方向分解Oyz22rOxz22rFzFxFyxOy22r4522rFzFyyz平面平面xz平面平面xy平面平面Fz 課后作業(yè)：課后作業(yè)：工程力學(xué)練習(xí)冊練習(xí)十一練習(xí)十一本課節(jié)小結(jié)本課節(jié)小結(jié)2.2.二次投影法二次投影法一一. .力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影1.1.一次投影法一次投影法結(jié)論：結(jié)論：力對軸之矩等于力在垂直于軸的平面上的投影對該軸與力對軸之矩等于力在垂直于軸的平面上的投影對

7、該軸與平面交點(diǎn)之矩。平面交點(diǎn)之矩。 二、二、力對軸之矩力對軸之矩 力系合力對某軸之矩，等于各分力對同軸力矩的代數(shù)和。力系合力對某軸之矩，等于各分力對同軸力矩的代數(shù)和。conFFxconFFyconFFzconsin FFxsinsin FFyconFFzdFFMFMxyxyOz)()(三、合力矩定理三、合力矩定理)()()()(zzyzxzzFMFMFMFM一、空間力系的簡化一、空間力系的簡化 課題課題42 42 空間力系平衡方程的應(yīng)用空間力系平衡方程的應(yīng)用二、空間力系平衡方程二、空間力系平衡方程1.1.空間力系平衡條件：空間力系平衡條件：:0)(FMx:0 xF:0yF 1. 1.主矢主矢F

8、 F RCBAM1M2M3= =F RM0222222)()()()()()(zyxzyxRFFFFFFF 2. 2.主矩主矩M02220)()()(FMFMFMMzyx簡化中心 OF2F1F3OF1F2F3OABC= =主矢主矢F F R=0, 主矩主矩M0=0。2.2.平衡方程平衡方程:0zF:0)(FMy:0)(FMz三、空間約束三、空間約束 1.1.軸承軸承 向心軸承：向心軸承：限制了軸端的上下移動和前后移動，不限制軸向移動。 2.2.空間固定端空間固定端 既限制了軸端的上下、前后、軸向的移動，又限制了繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動。 約束力約束力用上下和前后兩正交分力表示。FXFZFXFZ 推

9、力軸承：推力軸承：限制了軸端的上下、前后、軸向的移動。 約束力約束力用上下、前后、和軸向三個正交分力表示。FYxzyFXFZFY 約束端有三個約束力三個約束力和三個約束三個約束力偶矩。力偶矩。MXMYMZ應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例 例例4-3 4-3 某傳動軸圖所示。已知軸B端聯(lián)軸器輸入外力偶矩為M0， 齒輪C分度圓直徑為D, 壓力角為,輪間距為a、b。求齒輪圓周力,徑向力和軸承的約束力。 解：解：ABCM0abFnxzy 1.建立坐標(biāo)系，將嚙合力沿坐標(biāo)軸方向分解為圓周力F和徑向力Fr。FFr 2.畫傳動軸的約束力FAxFAZFBxFBZ 3.列平衡方程求解:0)(FMy020MDFDMF02tan2t

10、an0DMFFr:0)(FMx0)(aFbaFrBzbaaFFrBz:0zF0rBzAzFFFbabFFFFrrAzAz:0)(FMz0)(aFbaFBx:0 xF0FFFBxAxbaaFFBxbabFFFFBxAx平面解法：平面解法： 解：解：取平面投影列平衡方程xz平面：ABCM0abFnxzyFFrFAxFAZFBxFBZ:0)(FMy020MDFDMF02tan2tan0DMFFrOxzFAZ+FBZFAx+FBxFFrM0yz平面：OyzFAZFBZ:0)(FMx0)(aFbaFrBzbaaFFrBz:0zF0rBzAzFFFbabFFFFrrAzAzOyxxy平面：FFAxFBx:

11、0)(FMz0)(aFbaFBx:0 xF0FFFBxAxbaaFFBxbabFFFFBxAxFr解：解：畫受力圖列平衡方程求解 例例4-4 4-4 傳動軸如圖，已知帶輪半徑0.6m；自重2kN;齒輪半徑r=0.2m，輪重G1=1kN.其中AC=CB=l=0.4m,BD=0.2m，圓周力Fz=12kN，徑向力Fx=1.5kN,軸向力Fa0.5kN, 緊邊拉力FT,的松邊拉力Ft，F(xiàn)T=2Ft 。試求軸承、兩處的約束反力。 :0)(FMy0)(RFFrFtTkN46 . 02 . 012RrFFtkN82tTFF:0)(FMx05 . 2)30sin45sin()(221lGFFlGFlFtTB

12、z:0zFkN57. 121125 . 2)25 . 04707. 08(BzF0)30sin45sin(21GFFGFFFtTBzAzkN09. 6)2266. 5(11257. 1AzF:0)(FMz05 . 2)30con45con(2lFFrFlFlFtTaBxkN03.124 . 021)46. 366. 5(1 . 06 . 0BxF:0 xF030con45contTrBxAxFFFFFkN41. 146. 366. 55 . 103.12AxF:0 xF0aAyFFkN5 . 0aAyFF 課后作業(yè)：課后作業(yè)：工程力學(xué)練習(xí)冊練習(xí)十二練習(xí)十二本課節(jié)小結(jié)本課節(jié)小結(jié)一、空間力系的簡化

13、一、空間力系的簡化二、空間力系平衡方程二、空間力系平衡方程 1.1.軸承軸承 約束力約束力用上下和前后兩正交分力表示三、空間約束三、空間約束 2.2.空間固定端空間固定端 約束端有三個約束力三個約束力和三個約束力偶矩。三個約束力偶矩。 1. 1.主矢主矢F F R222222)()()()()()(zyxzyxRFFFFFFF 2. 2.主矩主矩M02220)()()(FMFMFMMzyx平衡方程平衡方程:0)(FMx:0 xF:0yF:0zF:0)(FMy:0)(FMz一、物體重心的概念一、物體重心的概念 課題課題43 43 重心重心 平面圖形的形心平面圖形的形心 將物體分割為每個微重力將物

14、體分割為每個微重力G Gi i，構(gòu)成一個平，構(gòu)成一個平行力系。此平行力系的中心即是物體的重心。行力系。此平行力系的中心即是物體的重心。 xzyx1y1 G1xiyi GixcycCG二、二、重心的坐標(biāo)公式重心的坐標(biāo)公式 1. 1.重心坐標(biāo)重心坐標(biāo) 由合力矩定理知： iiCxGxGiiCyGyGiiCzGzGGxGxiiCGyGyiiCGzGziiC 2. 2.質(zhì)心坐標(biāo)和形心坐標(biāo)質(zhì)心坐標(biāo)和形心坐標(biāo) 對于均質(zhì)物體，若用表示其密度，則gVgmGiiigVmgGGxGxiiCGyGyiiCGzGziiCmxmiiVxViimymiiVyViimzmiiVzVii重心坐標(biāo)重心坐標(biāo) 質(zhì)心坐標(biāo)質(zhì)心坐標(biāo) 形心

15、坐標(biāo)形心坐標(biāo)三、平面圖形的形心坐標(biāo)三、平面圖形的形心坐標(biāo) 對于均質(zhì)薄平板，若表示其厚度， A表示微體面積，厚度取在軸方向，其V =A代入可得其形心的坐標(biāo)公式為xzyyixiAiAxAxiiCAyAyiiC記Sy=Aixi ，稱為圖形對y軸的靜矩靜矩；Sx=Aiyi ，稱為圖形對x軸的靜矩。靜矩。此即表明，平面圖形對某坐標(biāo)軸的平面圖形對某坐標(biāo)軸的靜矩等于該圖形各微面積對靜矩等于該圖形各微面積對于同一軸靜矩的代數(shù)和。于同一軸靜矩的代數(shù)和。四、求重心的方法四、求重心的方法 1. 1.對稱法對稱法 對于均質(zhì)物體，若在幾何體上具有對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ點(diǎn)，則物體的重心或形心也必在此對稱面、對稱軸或?qū)ΨQ點(diǎn)上

16、。 2. 2.實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法 懸掛法 稱重法 3.3.分割法分割法 無限分割法（積分法）無限分割法（積分法） 有限分割法（組合法）有限分割法（組合法）AniiixxAAd1nlinAniiiyyAdA1nlinAxAxAxAiiCdAAyAyAyAiiCdA 對于由簡單形體構(gòu)成的組合體，可將其分割成若干個簡單形狀的物體，當(dāng)各簡單形體重心位置可知時，可利用公式求出物體的重心位置。 圓 矩形 幾種簡單形體的重心（形心）坐標(biāo)見表4-1 CC例例4-5 4-5 有一T字型截面如圖所示，試求此截面的形心坐標(biāo)。 解：解：1.將T型截面分割成兩塊矩形A1、A2 。2010010020 2.建立圖示的坐標(biāo)系，兩

17、矩形截面的形心坐標(biāo)分別為C1(50,110)，C2(50,50）。OxyC1C2212211AAxAxAAxAxCCiiCmm50100202010050100205020100212211AAyAyAAyAyCCiiCmm801002020100501002011020100 3. 3.將坐標(biāo)系軸建立在圖形的對稱軸上。xy0002121AAAAxC2121060AAAAyCmm3010020201006020100結(jié)論：結(jié)論： 對稱圖形，若將坐標(biāo)軸選在對對稱圖形，若將坐標(biāo)軸選在對稱軸上，可以使計算簡便。稱軸上，可以使計算簡便。CA1A2例例4-6 4-6 平面圖形如圖所示，在矩形上挖去一圓形，試求此組合圖形的形心坐標(biāo)。 400600150200解：解：1.將圖形分成矩形A1和圓形A2 。A1A2xy 2.建立坐標(biāo)系，兩矩形截面的形心坐標(biāo)分別為C1(0,-150)，C2(0,0）。C1C20002121AAAAxC21210(-150)AAAAyCmm6 .172100600400(-150)6004002CyC結(jié)論：結(jié)論： 若有一形體從其基本形體中挖去部分，可把若有一形體從