菱形的判定定理

1、菱菱形的判定形的判定定理定理平行四邊形平行四邊形 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1掌握菱形的三種判定方法，能根據(jù)不同的已知條 件，選擇適當(dāng)?shù)呐卸ǘɡ磉M(jìn)行推理和計(jì)算；2經(jīng)歷菱形判定定理的探究過程，滲透類比思想， 體會(huì)研究圖形判定的一般思路 學(xué)習(xí)重難點(diǎn)： 1、重點(diǎn)：菱形判定條件的探索及證明 2、難點(diǎn)：菱形的判定定理的應(yīng)用回顧反思 類比猜想 我們學(xué)習(xí)了矩形的定義、性質(zhì)和判定，如下表 你能發(fā)現(xiàn)矩形的三條判定定理分別是從哪個(gè)角度得到的嗎？矩形的 定義有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形 矩形的 性質(zhì)具有平行四邊形的所有性質(zhì)對(duì)角線相等四個(gè)角都是直角有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形有三個(gè)角是直角的四邊

2、形是矩形CDABO矩形的 判定 回顧反思 類比猜想 菱形的定義與性質(zhì)如下表你認(rèn)為可以從哪些角度思考菱形的判定條件？ 菱形的 定義一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形菱形的 性質(zhì)具有平行四邊形的所有性質(zhì)對(duì)角線互相垂直且平分每一組對(duì)角菱形的四條邊都相等菱形的 判定 CDABO？ 你的想法正確嗎？如何證明你的猜想？ 小明同學(xué)提出小明同學(xué)提出：用一長一短的兩根細(xì)木用一長一短的兩根細(xì)木條，在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘；做成一條，在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘；做成一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的十字，四周圍上一根橡皮筋（如個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的十字，四周圍上一根橡皮筋（如下圖），做成一個(gè)四邊形，轉(zhuǎn)動(dòng)木條，這個(gè)下圖），做成一個(gè)四邊形，轉(zhuǎn)動(dòng)木條，這

3、個(gè)四邊形什么時(shí)候變成菱形？四邊形什么時(shí)候變成菱形？猜想猜想：對(duì)角線對(duì)角線互相垂直互相垂直的平行四邊形是菱形的平行四邊形是菱形情境情境1：求證：求證：已知：已知：證明：證明：命題命題1:1:對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形OB=OD, AOD= AOB ABCD是菱形AD=ABABO ADO定義定義請(qǐng)你把這個(gè)命題的請(qǐng)你把這個(gè)命題的已知已知，求證求證以及以及證明過程證明過程寫下來。寫下來。 ABCD,對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且ACBD求證：ABCD是菱形BC AD O ABCD ACBD 已知：已知： ABCD,對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且ACBD求證：平行四

4、邊形求證：平行四邊形ABCDABCD是菱形是菱形 四邊形四邊形ABCDABCD是平行四邊形是平行四邊形 ， ACBD （已知）（已知） OB=OD, AOD= AOB又又 AO=AO（公共邊）（公共邊） ABO ADO （SAS）證明：證明： AB=AD （ 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等 ）四邊形四邊形ABCD是是 是菱形（是菱形（一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形）BC AD O 菱形判定菱形判定 菱形菱形的判定定理的判定定理1： 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形符號(hào)語言符號(hào)語言: ABCD， ACBD （已知已知） ABCD是菱形（對(duì)角線互相垂

5、直的平行四邊形是菱形對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形） BC AD O 判斷題，對(duì)的畫判斷題，對(duì)的畫“”錯(cuò)的畫錯(cuò)的畫“”(1).對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形（對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形（ ）(2).一條對(duì)角線垂直另一條對(duì)角線的四邊形是菱一條對(duì)角線垂直另一條對(duì)角線的四邊形是菱形（形（ ）(3) .對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形（對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形（ ）(4).對(duì)角線相等的四邊形是菱形（對(duì)角線相等的四邊形是菱形（ ）(5).有一組鄰邊相等的四邊形是菱形有一組鄰邊相等的四邊形是菱形 （ ） 李亞同學(xué)先畫兩條等長的線段李亞同學(xué)先畫兩條等長的線段AB、AD，然后分別以然后分別以B、

6、D為圓心，為圓心，AB為半徑畫弧，為半徑畫弧，得到兩弧的交點(diǎn)得到兩弧的交點(diǎn)C，連接，連接BC、CD，就得到，就得到了一個(gè)四邊形，猜一猜，這是什么四邊形？了一個(gè)四邊形，猜一猜，這是什么四邊形？猜想猜想： 四條邊四條邊相等相等的四邊形是菱形的四邊形是菱形情境情境2：求證：求證：已知：已知：證明：證明：命題命題2:2:四條邊四條邊相等相等的四邊形是菱形的四邊形是菱形四邊形四邊形ABCD, AB= BC=CD =DA四邊形四邊形ABCD是是菱形菱形AB= BC=CD =DA 四邊形四邊形 ABCD是菱形是菱形AB= CD，BC =DA定義定義請(qǐng)你把這個(gè)命題的請(qǐng)你把這個(gè)命題的已知已知，求證求證以及以及證

7、明過程證明過程寫下來。寫下來。 ABCD ，AB=AD ABCD 已知：已知：四邊形四邊形ABCD, AB= BC=CD =DA求證：求證：四邊形四邊形ABCD是是菱形菱形 AB= BC=CD =DA ， AB=CD ， BC =DA ，四邊形ABCD是平行四邊形，又又 AB=AD ，四邊形ABCD是是菱形 證明：證明：判斷題，對(duì)的畫判斷題，對(duì)的畫“”錯(cuò)的畫錯(cuò)的畫“”(1).對(duì)角線互相垂直且鄰邊相等的四邊形對(duì)角線互相垂直且鄰邊相等的四邊形是菱形是菱形（ ）(2).鄰邊相等的鄰邊相等的四邊形是菱形（四邊形是菱形（ ）(3).鄰角相等的四邊形是菱形鄰角相等的四邊形是菱形 （ ）(4).對(duì)角線互相平

8、分且鄰邊相等的四邊形對(duì)角線互相平分且鄰邊相等的四邊形是菱形是菱形（ ）(5).兩組對(duì)邊分別平行且一組鄰邊相等的兩組對(duì)邊分別平行且一組鄰邊相等的四邊形是菱形四邊形是菱形 （ ）菱形判定菱形判定 菱菱形的判定定理形的判定定理2： 四條邊四條邊相等相等的四邊形是菱形的四邊形是菱形。 AB=BC=CD=DA AB=BC=CD=DA （已知已知） 四邊形四邊形ABCDABCD是菱是菱形（形（四條邊相等的四邊形是菱形四條邊相等的四邊形是菱形。） 符號(hào)語言符號(hào)語言:判定一個(gè)四邊形是菱形應(yīng)具備判定一個(gè)四邊形是菱形應(yīng)具備幾個(gè)幾個(gè)條件？條件？既可以從既可以從菱形定義菱形定義證明，也可以從證明，也可以從判定定理判定

9、定理證明。證明。判定一個(gè)四邊形是判定一個(gè)四邊形是菱菱形，形， 應(yīng)具備應(yīng)具備兩個(gè)條件兩個(gè)條件。一組鄰一組鄰邊邊相等的平行四邊行相等的平行四邊行 四條邊相等的四邊形四條邊相等的四邊形對(duì)角線互相垂直的平行四邊形對(duì)角線互相垂直的平行四邊形(1)(1)定義：定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。 (2)(2)判定定理判定定理1 1：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。菱形。(3)(3)判定定理判定定理2 2：四條邊相等的四邊形是菱形。：四條邊相等的四邊形是菱形。應(yīng)用拓展應(yīng)用拓展例例4 4： ABCDABCD的對(duì)角線的對(duì)角線ACAC，BDBD相

10、交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O，ABAB5 5，AOAO4 4，BOBO3 3。求證：求證： ABCDABCD是菱是菱形。形。方法方法3 3：四條邊相等的四邊形四條邊相等的四邊形 是菱形。（是菱形。（判定定理判定定理2 2） 方法方法1 1：一組鄰邊相等的平行四邊形一組鄰邊相等的平行四邊形 是菱形是菱形（定義定義） 方法方法2 2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形對(duì)角線互相垂直的平行四邊形 是菱形是菱形 ( (判定定理判定定理1 1）交流：你用的是哪交流：你用的是哪一種方法？你認(rèn)為一種方法？你認(rèn)為哪一種方法最好？哪一種方法最好？獨(dú)立思考：你用哪一種方法？獨(dú)立思考：你用哪一種方法？例例4 4： ABCDABCD

11、的對(duì)角線的對(duì)角線ACAC，BDBD相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)O O，ABAB5 5，AOAO4 4，BOBO3 3。求證：求證： ABCDABCD是菱是菱形。形。證明：證明：AB=5，AO4，BO3 AOB是直角三角形是直角三角形 ACBD ABCD是菱形是菱形 (對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）222ABAOBO1 1、填空。、填空。(1)(1)如圖，若如圖，若AD=8cm, AD=8cm, 那么當(dāng)那么當(dāng) AB= AB=_ cmcm，BC=BC= _cm,cm, CD=CD= _ cmcm時(shí)，四邊形時(shí)，四邊形ABCDABCD是菱形是菱形. .(2)(2)如圖，若如圖，

12、若AO=8cm, OD=6cmAO=8cm, OD=6cm，則當(dāng)則當(dāng)AD=_AD=_ cm,cm,則則ABCDABCD是菱形是菱形. . 881082 2、下列哪些平行四邊形是菱形、下列哪些平行四邊形是菱形? ?為什么為什么? ?答案（答案（1 1）答案（答案（2 2）是，因?yàn)槭?，因?yàn)锳CBD是，因?yàn)槭?，因?yàn)?A B = A DA B = A D判定判定1：對(duì)角線互相垂直對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是的平行四邊形是菱形菱形。定義定義 ：一組鄰邊相等一組鄰邊相等的平行四邊形叫做的平行四邊形叫做菱形菱形（2）（1）5cm13cm12cm5cm5cm3. 在菱形在菱形ABCD中，不一定成立的（）中，不

13、一定成立的（）A 、 四邊形四邊形ABCD是平行四邊形是平行四邊形 B 、 ACBDC、 ABD是等邊三角形是等邊三角形 D 、 CABCAD4.菱形的對(duì)角線長分別是菱形的對(duì)角線長分別是16cm、12cm，周長，周長是是 .5.如圖，下列條件之一能使平行四邊形如圖，下列條件之一能使平行四邊形ABCD是菱是菱形的為（形的為（ ）ACBD； BAD90； ABBC； ACBD. A B C DC40cmA課后思考：課后思考：1.如圖，四邊形如圖，四邊形ABCD中，中，E、F、G、H分別是分別是邊邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)請(qǐng)你添加一個(gè)條的中點(diǎn)請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使四邊形件，使四邊形EFGH為菱形，應(yīng)添加的條件為菱形，應(yīng)添加的條件是是 . 2.已知：如圖，順次連接已知：如圖，順次連接矩形矩形ABCD各邊中點(diǎn)，得各邊中點(diǎn)，得到四邊形到四邊形EFGH，求證：四邊形求證：四邊形EFGH是菱形。是菱形。 EF=EH A B C D E F G H如圖，等邊ABC的邊長為2，E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，EFAC交邊AB于點(diǎn)F，在邊AC上取一點(diǎn)P，使PE=EB，連接FP（1）請(qǐng)直接寫出圖中與線段EF相等的兩條線段；（不再另外添加輔助線）（2）探究：當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形EFPC是平行四邊形？并判斷四邊形EFPC是什么特殊的平行四邊形，請(qǐng)說明理由；（1）易得BFE是等邊三角形，PE=EB，EF=