三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1、一、三角函數(shù)圖像的作法一、三角函數(shù)圖像的作法幾何幾何法法五點(diǎn)五點(diǎn)法法圖像圖像變換變換法法二、三角函數(shù)圖像的性質(zhì)二、三角函數(shù)圖像的性質(zhì)三、解三角不等式（數(shù)形結(jié)合）三、解三角不等式（數(shù)形結(jié)合）四、四、f(x)= Asin( x+ ) 的性質(zhì)的性質(zhì)五五、課后練習(xí)課后練習(xí)2oxy-11-1-1oA作法: (1) 等分3232656734233561126(2) 作正弦線(3) 平移61P1M/1p(4) 連線一、三角函數(shù)圖像的作法一、三角函數(shù)圖像的作法1.幾何法幾何法 y=sinx 作圖步驟作圖步驟:oxy11PAM正弦線正弦線MP余弦線余弦線OM正切線正切線ATT0相位相位 相位相位2 相位相位 相

2、位相位23 相位相位2返回目錄返回目錄2o46246xy-1-1因?yàn)榻K邊相同的角的三角函數(shù)值相同，所以y=sinx的圖象在， 與y=sinx,x0,2的圖象相同2,4,0,2,2,0,4,2正弦函數(shù)Rxxy,sin的圖像正弦曲線余弦函數(shù)y=cosx2=sin(x+ ) 由由y=sinx左移左移2y=cosxy=sinxy=cosx余弦曲線正正, 余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為過(guò)最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于 x 軸的直線軸的直線, 對(duì)稱(chēng)中心為圖象與對(duì)稱(chēng)中心為圖象與 x 軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)返回目錄返回目錄正弦函數(shù)正弦函數(shù).余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)作函數(shù)作函數(shù)

3、的簡(jiǎn)圖的簡(jiǎn)圖解:列表描點(diǎn)作圖-2223211-xyo-022322.五點(diǎn)法作函數(shù)五點(diǎn)法作函數(shù) y=Asin( x+ ) 的圖像的步驟的圖像的步驟:(1)令相位令相位 x+ =0, , , , 2 , 解出相應(yīng)的解出相應(yīng)的 x 的值的值;23 2 (2)求求(1)中中 x 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的 y 的值的值, 并描出相應(yīng)五點(diǎn)并描出相應(yīng)五點(diǎn);1)321sin(xy321xx1)321sin(xy32-334373101 2 1 1 0 (3)用光滑的曲線連結(jié)用光滑的曲線連結(jié)(2)中五點(diǎn)中五點(diǎn).32-33437310返回目錄返回目錄由由y =sinxy =sinx 到到y(tǒng) = Asin(y = Asin(

4、x+ )x+ )的的圖圖象象變變換換步步驟驟步驟步驟1步驟步驟2步驟步驟3步驟步驟4步驟步驟5畫(huà)畫(huà)出出y =sinxy =sinx在在 0 0，2 2 上上的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)圖圖得得到到y(tǒng) =sin(x+ )y =sin(x+ )在在某某周周期期內(nèi)內(nèi)的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)圖圖得得到到y(tǒng) =sin(y =sin( x+ )x+ )在在某某周周期期內(nèi)內(nèi)的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)圖圖得得到到y(tǒng) = Asin(y = Asin( x+ )x+ )在在某某周周期期內(nèi)內(nèi)的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)圖圖得得到到y(tǒng) = Asin(y = Asin( x+ )x+ )在在R R上上的的圖圖象象沿沿x軸軸 平行移動(dòng)平行移動(dòng)橫坐標(biāo)橫坐標(biāo) 伸長(zhǎng)或縮短伸長(zhǎng)或縮短縱坐標(biāo)縱坐標(biāo) 伸長(zhǎng)

5、或縮短伸長(zhǎng)或縮短沿沿x軸軸 擴(kuò)展擴(kuò)展橫坐標(biāo)向左橫坐標(biāo)向左 ( 0) 或向右或向右( cosx.x| +2k x 0 0, , 0 0) )在在簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧諧運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)中中的的相相關(guān)關(guān)概概念念 : :( (1 1) )A A2 2( (2 2) )T T = =1 1( (3 3) )f f = = =T T2 2( (4 4) ) x x + +( (5 5) )振振 幅幅周周期期頻率率相相位位初初相相四四.返回目錄返回目錄23ysin(x) 1.周期性周期性: y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是的最小正周期都是 2 ; f(x)= Asin( x+ ) 和和 f(x)=Acos( x+ )

6、的最小正周期都是的最小正周期都是 T= . f(x)=Atan( x+ )的最小正周期都是的最小正周期都是 T= f(x)= |Asin( x+ )| ,f(x)=|Acos( x+ )|的最小正周期都是的最小正周期都是 T= （即取絕對(duì)值后周期減半），（即取絕對(duì)值后周期減半），f(x)=|Atan( x+ )|的最小正周期是的最小正周期是 T= （即取絕對(duì)值后周期不變）（即取絕對(duì)值后周期不變）。| | 2 f(x)= Asin( x+ ) , f(x)=Acos( x+ )和和f(x)=Atan( x+ )的性質(zhì)的性質(zhì)| | 五五 .| | | | 注：較復(fù)雜的三角函數(shù)要注：較復(fù)雜的三角函數(shù)

7、要先化簡(jiǎn)先化簡(jiǎn)，再利用公式求周期；有時(shí)，再利用公式求周期；有時(shí)可用可用數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合或或定義法定義法求周期求周期P93,1下列函數(shù)中周期為下列函數(shù)中周期為 的是（的是（ ）2 2 x 4 x A.y=sin , B.y=sin2x C.y=cos D.y=cos4xD2.f(x)=sin2x-的周期是（的周期是（ ）3.P95T9B2.研究研究 f(x)= Asin( x+ ) 性質(zhì)的方法：類(lèi)比研究性質(zhì)的方法：類(lèi)比研究y=sinx的性質(zhì)，的性質(zhì)，只需將只需將 x+看成看成 x，但在求，但在求 f(x)=Asin( x+ ) 的單調(diào)區(qū)間時(shí)，的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意要特別注意A和和的符號(hào)，通過(guò)誘

8、導(dǎo)公式先將的符號(hào)，通過(guò)誘導(dǎo)公式先將化正?；?。1234xylog cos()如如1 ： ； 的單調(diào)增區(qū)間。的單調(diào)增區(qū)間。返回目錄返回目錄 2.求函數(shù)求函數(shù) y=sin4x+2 3 sinxcosx- -cos4x 的最小正周期和最小值的最小正周期和最小值,并寫(xiě)出該函數(shù)在并寫(xiě)出該函數(shù)在 0, 上的單調(diào)增區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間.解解: y=sin4x+2 3 sinxcosx- -cos4x =(sin2x- -cos2x)(sin2x+cos2x)+ 3 sin2x = 3 sin2x- -cos2x 6 =2sin(2x- - ) 故該函數(shù)的最小正周期是故該函數(shù)的最小正周期是 , 最小值是最小值是

9、 - -2.3 在在 0, 上的單調(diào)增區(qū)間是上的單調(diào)增區(qū)間是 0, 和和 , . 65 由由 2k - - 2x- - 2k + (k Z) 得得: 2 2 6 k - - xk + (k Z). 3 6 令令 k=0, 1 即得函數(shù)即得函數(shù) y=sin4x+2 3 sinxcosx- -cos4x 返回目錄返回目錄3.奇偶性：奇偶性：再如再如f(x)= Asin( x+ ) 為奇函數(shù)為奇函數(shù) =k (k Z)解法一：解法一：解法二：解法二： zkkf0sin00f(x)= Asin( x+ ) 為偶函數(shù)為偶函數(shù) =k + (k Z)2 f(x)= Acos( x+ ) 為奇函數(shù)為奇函數(shù) =k

10、 + (k Z)2 =k (k Z)f(x)= Acos( x+ ) 為偶函數(shù)為偶函數(shù) zkkxAxAxAxAxAxAxAxAxfxf20cos0sin, 0cossin2,sincoscossinsincoscossin,sinsin? zkkAf21sin0 zkkxAxosAxAxAxAxAxAxAxfxf0sin0cos, 0sinc2,sincoscossinsincoscossin,sinsin? P94例例4.已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)=sin( x+ )( 0, 0 ) 是是 R 上的偶上的偶函數(shù)函數(shù), 其圖象關(guān)于點(diǎn)其圖象關(guān)于點(diǎn) M( , 0) 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng), 且在區(qū)間且在區(qū)間 0

11、, 上是單調(diào)上是單調(diào)函數(shù)函數(shù), 求求 和和 的值的值.43 2 答案答案返回目錄返回目錄觀察得到：可類(lèi)比正弦曲線觀察得到：可類(lèi)比正弦曲線和余弦曲線的奇偶性，和余弦曲線的奇偶性，奇變偶不變奇變偶不變解解: f(x)=sin( x+ )( 0, 0 ) 是是 R 上的偶函數(shù)上的偶函數(shù), f(0)=1cos =0. 又又0 , = .2 f(x) 的的圖象關(guān)于點(diǎn)圖象關(guān)于點(diǎn) M 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng), f(x)=cos x. =k + (k Z). 43 2 = (k Z). 4k+2 3f(x)=cos x 在區(qū)間在區(qū)間 0, 上是減函數(shù)上是減函數(shù). 0, f( ) =0. 43 2 必有必有 , 即即 00,

12、 即即 2sin(x- - )0 得得: 4 2k + x2k + , k Z4 45 x | 2k + x0, 0, x R) 在一個(gè)周期內(nèi)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示的圖象如圖所示:23 2 -25 27 2 oxy2 求直線求直線 y= 3 與函數(shù)與函數(shù) f(x) 圖象的所有交點(diǎn)的坐標(biāo)圖象的所有交點(diǎn)的坐標(biāo). 27 解解: 根據(jù)圖象得根據(jù)圖象得 A=2, T= - -(- - )=4 , 2 = .12y=2sin( x+ ). 1212由由 (- - )+ = 2k 得得 = . 2 4 y=2sin( x+ ). 124 由由 3=2sin( x+ ) 得得 124 32sin( x+

13、)= . 124 x+ =2k + 或或 2k + (k Z). 124 32 3 x=4k + 或或 4k + (k Z).65 6 6 65 故所有交點(diǎn)坐標(biāo)為故所有交點(diǎn)坐標(biāo)為 (4k + , 3 ) 或或 (4k + , 3 ) (k Z).返回目錄返回目錄 3.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)=a b, 其中向量其中向量 a=(2cosx, 1), b=(cosx, 3 sin2x), x R. (1)若若 f(x)=1- - 3 且且 x - - , , 求求 x ; (2)若函數(shù)若函數(shù) y=2sin2x 的圖象按向量的圖象按向量 c=(m, n)(|m| ) 平移后得到函數(shù)平移后得到函數(shù) y=f(x) 的圖象的圖象, 求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù) m, n 的值的值.3 3 2 解解: (1)依題意依題意 f(x)=2cos2x+ 3 sin2x=1+2sin(2x+ ). 6 由由 1+2sin(2x+ )=1- - 3 得得: 6 sin(2x+ )=- - . 6 32x - - , , 2x+ - - , . 3 3 2 6 65 2x+ =- - . 6 3 x=- - . 4 由由(1)知知 f(x)=2sin2(x+ )+1. 12 12 m=- - , n=1. |m|0, 0, 0 0 時(shí)時(shí), 有有 - - 3