自考-線性代數(shù) 第一章行列式

1、教材教材：線性代數(shù)線性代數(shù)（經(jīng)管類）（經(jīng)管類）課程代碼：課程代碼：4184劉吉佑劉吉佑 徐誠浩徐誠浩 主編主編武漢大學(xué)出版社武漢大學(xué)出版社題型 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小小題，每小題題2分，共分，共20分）分） 二、填空題（本大題共二、填空題（本大題共10小題，每小題小題，每小題2分，分，共共20分）分） 三、計(jì)算題三、計(jì)算題 （本大題共（本大題共6小題，每小題小題，每小題9分，分，共共54分）分） 四、證明題四、證明題 （本大題共（本大題共1小題，小題，6分）分）第一章第一章 行列式行列式1.1 行列式的定義行列式的定義從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探從最

2、簡單的二元線性方程組出發(fā)，探求其求解公式，并設(shè)法化簡此公式求其求解公式，并設(shè)法化簡此公式. .【例【例1】二元線性方程組二元線性方程組 11112212112222a xa xba xa xb 由消元法，得由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa 212221121122211)(baabxaaaa 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，該方程組有唯一解時(shí)，該方程組有唯一解 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 求解公式為求解公式為11112212112222a xa xba xa xb 1221221112

3、21221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元線性方程組二元線性方程組 請觀察，此公式有何特點(diǎn)？請觀察，此公式有何特點(diǎn)？分母相同，由方程組的四個(gè)系數(shù)確定分母相同，由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.分子、分母都是四個(gè)數(shù)分成兩對相乘再分子、分母都是四個(gè)數(shù)分成兩對相乘再 相減而得相減而得.其求解公式為其求解公式為11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元線性方程組二元線性方程組 引進(jìn)新的符號(hào)來表示引進(jìn)新的符號(hào)來表示“四個(gè)數(shù)分四

4、個(gè)數(shù)分成兩對相乘再相減成兩對相乘再相減”. .1112112212212122aaDa aa aaa11122122aaaa記號(hào)記號(hào) 11122122aaaa數(shù)表數(shù)表 表達(dá)式表達(dá)式 稱為由該稱為由該數(shù)表所確定的數(shù)表所確定的二階行列式二階行列式，即，即11221221a aa a 其中，其中， 稱為稱為元素元素. .(1,2;1,2)ijaiji 為為行標(biāo)行標(biāo)，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 為為列標(biāo)列標(biāo)，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .原則：橫行豎列原則：橫行豎列1.1.1 二階行列式與三階行列式二階行列式與三階行列式二階行列式的計(jì)算二階行列式的計(jì)算 1112212

5、2aaaa11221221a aa a主對角線主對角線 副對角線副對角線 即：主對角線上兩元素之積副對角線上兩元素之積。即：主對角線上兩元素之積副對角線上兩元素之積。 對角線法則對角線法則 二元線性方程組二元線性方程組 11112212112222a xa xba xa xb 若令若令 11122122aaDaa 1211222bbaDa 1221121baDab ( (方程組的系數(shù)行列式方程組的系數(shù)行列式) )則上述二元線性方程組的解可表示為則上述二元線性方程組的解可表示為1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa

6、 aD 【例【例2】 求解二元線性方程組求解二元線性方程組 1212232121xxxx【解【解】 因?yàn)橐驗(yàn)?1223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232 D所以所以 11142,7DxD222137DxD 【練習(xí)【練習(xí)1】 若 ，則k= 0211k21012211kk21k【解【解】【練習(xí)【練習(xí)2】 行列式 的值為_.03282972【解【解】229280327032829272【練習(xí)【練習(xí)3】 行列式 的值為_.3522【解【解】1625)3(23522-16三階行列式三階行列式定義定義 設(shè)有設(shè)有9個(gè)數(shù)排成個(gè)數(shù)排成3行行3列的數(shù)表列的數(shù)表原則：橫行豎列原則

7、：橫行豎列引進(jìn)記號(hào)引進(jìn)記號(hào)稱為稱為三階行列式三階行列式. .111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa主對角線主對角線 副對角線副對角線 二階行列式的對角線法則二階行列式的對角線法則并不適用！并不適用！三階行列式的計(jì)算三階行列式的計(jì)算 對角線法則對角線法則 111213212223313233aaaDaaaaaa 132132a a a 112233a a a 122331a a a 132231

8、a a a 122133a a a 112332a a a 注意：注意：對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式. . 實(shí)線上的三個(gè)元素的乘積冠正號(hào)，實(shí)線上的三個(gè)元素的乘積冠正號(hào)， 虛線上的三個(gè)元素的乘積冠負(fù)號(hào)虛線上的三個(gè)元素的乘積冠負(fù)號(hào). .三階行列式的規(guī)律三階行列式的規(guī)律111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a規(guī)律：規(guī)律：1.1.三階行列式共有三階行列式共有6項(xiàng)，即項(xiàng)，即3!項(xiàng)項(xiàng)2.2.每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的

9、三個(gè)元素的乘積每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積12-4-221-34-2D 【例【例3】 計(jì)算行列式計(jì)算行列式 【解【解】 按對角線法則，有按對角線法則，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 方程左端方程左端【解【解】由由 得得2111230.49xx 【例【例4】 求解方程求解方程 1229184322 xxxxD, 652 xx2560 xx3.2 xx或或【練習(xí)【練習(xí)4】 計(jì)算行列式D= 的值243121312【解【解】5241211323341311222243121312【練習(xí)【練習(xí)5】 3階行列式 _ 32

10、15306525【解【解】550322)5() 3(166021)5(53) 3(2321530652【練習(xí)【練習(xí)6】 3階行列式 = _ 16111246416361.1.2 n 階行列式階行列式1. n 階行列式共有階行列式共有 n! 項(xiàng)項(xiàng)2.2.每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的 n 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積1212121112121222()1212( 1)nnnnnt p ppppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa 思考題：思考題： 成立成立嗎？嗎？答：答：符號(hào)符號(hào) 可以有兩種理解：可以有兩種理解：若理解成絕對值，則若理解成絕對值，則 ；若理解成一階

11、行列式，則若理解成一階行列式，則 . .11 1 11 11 注意：注意：當(dāng)當(dāng)n = 1時(shí)，一階行列式時(shí)，一階行列式|a| = a，注意不要與，注意不要與絕對值的記號(hào)相混淆絕對值的記號(hào)相混淆. 例如：一階行列式例如：一階行列式 . 所以必須寫清楚，如一階行列式所以必須寫清楚，如一階行列式|2| = 2，或者，或者D=|2| = 2。11 余子式與代數(shù)余子式余子式與代數(shù)余子式122331111221221333332132132231112332a a aa a aaa a aaaaa aa aa 111213212223313233aaaaaaaaa 122331321311222322331

12、213332123aa aaaaaa aaaaaaa 222321232123111213323331333133aaaaaaaaaaaaaaa結(jié)論結(jié)論 三階行列式可以用二階行列式表示三階行列式可以用二階行列式表示. .思考題思考題 任意一個(gè)行列式是否都可以用較低階的行列式表示？任意一個(gè)行列式是否都可以用較低階的行列式表示？例如例如 11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 11121423313234414244aaaMaaaaaa 2 32323231AMM 把把 稱為元素稱為元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式 1ijijijAM ij

13、a在在n 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃后，列劃后，留下來的留下來的n1階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作 . ijijMijaija結(jié)論結(jié)論 因?yàn)樾袠?biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識(shí)行列式的元素，所以因?yàn)樾袠?biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識(shí)行列式的元素，所以行列行列式中每一個(gè)元素都分別對應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式式中每一個(gè)元素都分別對應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式. .【練習(xí)【練習(xí)7】 行列式 中 元素的 代數(shù)余子式 _1694432351) 3 , 2(32A111194511)(3232A【解【解】【練習(xí)【練習(xí)8】 3階行列式 中元素 的代數(shù)余

14、子式 （ ） A2B1 C1D2211101110|ija12a12AB12111) 1(2112A【解【解】【練習(xí)【練習(xí)9】 設(shè)3階行列式 的第2行元素分別為 對應(yīng)的代數(shù)余子式分別為 ，則 _ 3D3, 2 , 11 , 2, 3 3D101)3()2(23) 1(2323222221213AaAaAaD10【練習(xí)【練習(xí)10】 已知3階行列式 中元素 的代數(shù)余子式 ，求元素 的代 數(shù)余子式 的值4150231xx12a812A21a21A 由 ， 得 ， 所以【解【解】84450) 1(2112xxA2x5)38(4132) 1(1221A1.2 行列式按行(列)展開對角線法則只適用于二階與

15、三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式. .本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式階行列式. .引理引理 一個(gè)一個(gè)n 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都為零，那么這行列式等于外都為零，那么這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘與它的代數(shù)余子式的乘積，即積，即 ijijDa A 11121314212223243341424344000aaaaaaaaDaaaaa 1112143 3332122244142441aaaaaaaaaa 例如例如 3 3333333331a Aa M 11121433212224414

16、244aaaaaaaaaa iijaija11212221200nnnnnaaaaDaaa 即有即有1111.Da M 又又 1 11111111,AMM 從而從而1111.Da A 下面再討論一般情形下面再討論一般情形.分析分析 當(dāng)當(dāng) 位于第位于第1 1行第行第1 1列時(shí)列時(shí), ,ija行列式按行（列）展開法則定理定理1.2.1（行列式展開定理）（行列式展開定理） 行列式等于它的任一行行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 11221,2,iiiiininDa Aa Aa Ain 1112131112132122232

17、12223313233313233000000aaaaaaaaaaaaaaaaaa 111213212223212223212223313233313233313233000000aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1111a A 1212a A 1313a A 212122222323a Aa Aa A313132323333a Aa Aa A同理可得同理可得111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 【例【例5 5】 計(jì)算行列式計(jì)算行列式142323241000000000000aaDaa 112213344000000000000aaDaa 112

18、122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 【解【解】112213344000000000000aaDaa 142323241000000000000aaDaa 11223344a a a a (4321)14233341( 1)ta a a a 14233341a a a a (4321)0123t 3 46.2 其中其中 111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 11223344a a a a 14233341a a a a 12,11nnnaaDa

19、 1122nnaaDa 四個(gè)結(jié)論：四個(gè)結(jié)論：(1) (1) 對角行列式對角行列式 nnaaa2211 (2) (2) (1)212,11( 1)n nnnna aa nnnnaaaaaaD21222111000 nnnnaaaaaaD00022211211 (3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主對角線下側(cè)元素都為（主對角線下側(cè)元素都為0 0）nnaaa2211 (4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主對角線上側(cè)元素都為（主對角線上側(cè)元素都為0 0）nnaaa2211 計(jì)算3階行列式112403211D【例【例6 6】【解【解】用對角線法】用對角線法3438614113)

20、1(20224) 1(13210111240321132543211122101243) 1(D3894402121121311401D用按行或按列展開法用按行或按列展開法按第一列展開得到按第一列展開得到按第二列展開得到按第二列展開得到33126031111211412032D按第三列展開得到按第三列展開得到3129121141221011213D3654120321243) 1(11401D用按行或按列展開法用按行或按列展開法按第一行展開得到按第一行展開得到按第二行展開得到按第二行展開得到3328031114321140212D按第三行展開得到按第三行展開得到 計(jì)算4階行列式12013001

21、01121201D【例【例7 7】12)6226(121301121121301121) 1() 1(22【解【解】行列式的第二列只含有一個(gè)】行列式的第二列只含有一個(gè)非零元素非零元素a22=1，其他元素均為，其他元素均為0，按第二列展開計(jì)算量最小，得按第二列展開計(jì)算量最小，得1201300101121201D1.3 1.3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)與計(jì)算與計(jì)算1.3.1 1.3.1 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)111212212212, nnnnnnaaaaaaaaDa 行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式. . TDD若記若記 ，則，則 .det(), det()Tiji

22、jDaDb ijjiba 記記性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等, ,即即 .TDD 212211121212nnnnTnnaaaaaaDaaa 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位, ,行列式的性質(zhì)凡是對行行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立成立的對列也同樣成立. .性質(zhì)性質(zhì)2 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個(gè)行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個(gè)倍數(shù)倍數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘以此行列式乘以此行列式. .驗(yàn)證驗(yàn)證kk111213212223313233,aaaDaaaaaa 我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例.

23、 . 記記 根據(jù)三階行列式的對角線法則，有根據(jù)三階行列式的對角線法則，有1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 備注：第備注：第 行（列）乘以行（列）乘以 ，記作，記作 . .ki()iirk ck1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 112233122331132132132231122133112332()()()()()()aaaaaaaaaaaaaaakkkkkkaaa112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aaaka Dk 推論推論 行列式的某一行（列

24、）中所有元素的公因子可以提行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面到行列式符號(hào)的外面?zhèn)渥ⅲ旱趥渥ⅲ旱?行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，記作，記作 . .ki()iirk ck 計(jì)算3階行列【例【例8 8】180)6(30)1542564(301211231525325215235523215631046552D【解【解】 計(jì)算3階行列式00b0cbcaaD【例【例9 9】【解【解】在行列式】在行列式D中的每一行都提中的每一行都提出公因數(shù)（出公因數(shù)（1），并用行列式性），并用行列式性質(zhì)質(zhì)1，可以得到，可以得到DDcbcabacbcabaDT

25、000) 1(0003因?yàn)樾辛惺揭驗(yàn)樾辛惺紻是一個(gè)數(shù)，所以由是一個(gè)數(shù)，所以由D=D,可得可得D=0。性質(zhì)性質(zhì)3 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號(hào)行列式變號(hào). .驗(yàn)證驗(yàn)證于是于是175662358175358662196 196 175175662358358662 推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 ，所以，所以 . DD 0D 備注：交換第備注：交換第 行（列）和第行（列）和第 行（列），記作行（列），記作 . .ji()ijijrr cc2122

26、23242122232431323334111213141112311121314111213213333431141400aaaaakkkakaaaaaaaaaaaaaaaakakaaaaaaaaa驗(yàn)證驗(yàn)證我們以我們以4階行列式為例階行列式為例. . 性質(zhì)性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零式為零 計(jì)算3階行列式1042652521D【例【例1010】【解【解】因?yàn)樾辛惺街械谝恍信c第三】因?yàn)樾辛惺街械谝恍信c第三行成比例，所以行成比例，所以05)2(2)2(1)2(6525211042652521D性質(zhì)性質(zhì)5 若行列式的某一列（

27、行）的元素都是兩數(shù)之和若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和, ,例如例如：121222221113212331332323aaDaaabababaa 則則111311132123212331331212222232331323aaaaDaaaabababaaaaa121222221113212331332323aaDaaabababaa 221231312322()13( 1)()ppt p p pppp p pabaa 123123131312322123()()132213( 1)( 1)t p p pt p p pppppp p pp p pppaaaaba1113111321232

28、12331333131212222223332aaabaabaaaaaaabaaa驗(yàn)證驗(yàn)證我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 性質(zhì)性質(zhì)6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個(gè)倍數(shù)把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個(gè)倍數(shù)然后加到另一列然后加到另一列( (行行) )對應(yīng)的元素上去，行列式不變對應(yīng)的元素上去，行列式不變則則1.DD 驗(yàn)證驗(yàn)證122211132123313323,aaDaaaaaaa 我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 記記 1112131212213233323313233aaaDaaakakakaaaa 備注：以數(shù)備注：以數(shù) 乘第乘第 行（列）加到第

29、行（列）加到第 行（列）上，記作行（列）上，記作 . .ki().ijijrkr ckc j定理定理1.3.1 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 11221,2,iiiiinina Aa Aa AD in 推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即11220,.ijijinjna Aa Aa Aij 1122,0,niinijjjDija Aa Aa Aij 1122,0,

30、ijijinjnDija Aa Aa Aij 綜上所述，有綜上所述，有同理可得同理可得推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即11220,.ijijinjna Aa Aa Aij 111213212223AAaaa A212223313232122233aaaaaaaaa 分析分析 我們以我們以3階行列式為例階行列式為例. . 111213111112121313212223313233aaaa Aa Aa Aaaaaaa把第把第1行的元素?fù)Q成第行的元素?fù)Q成第2行的對應(yīng)

31、元素，則行的對應(yīng)元素，則 0. 1.3.2 行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算計(jì)算行列式常用方法計(jì)算行列式常用方法： （1）利用運(yùn)算把行列式化為上三角形（或下三角利用運(yùn)算把行列式化為上三角形（或下三角形）行列式，從而算得行列式的值形）行列式，從而算得行列式的值（2）把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列）把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值。通常是利用運(yùn)算式的階數(shù)降低，再求出它的值。通常是利用運(yùn)算 在某一行或某一列產(chǎn)生很多個(gè)在某一行或某一列產(chǎn)生很多個(gè)0元素，再按包含元素，再按包含0最多的最多的行或列展開，以減少計(jì)算量。行或列展開，以減少計(jì)算量。ijrkr ijrk

32、r 【例【例11】2101044614753124025973313211 D1.3.2 行列式的計(jì)算行列式的計(jì)算計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值上三角形行列式，從而算得行列式的值ijrkr 3 2101044614753124025973313211 D3 【解【解】2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 42rr 222002010

33、0140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 例例12 計(jì)算計(jì)算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 【解【解】 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2 11(1

34、)11bbbabbanbbabbba 1(1)bbbabanbabab 00 1(1) ().nanb a b 【例【例13】 設(shè)設(shè) 1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb ,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明 【證明【證明】1111110;kkkkkpDpppp對對 作運(yùn)算作運(yùn)算 ，把，把 化為下三角形行列式化為下三角形行列式 1Dijrkr 1D設(shè)為設(shè)為對對 作運(yùn)算作運(yùn)算 ，把，把 化為下三角形行列式化為下三角形行列式 2Dijckc 2D1121110.nnnnkqDq

35、qqp設(shè)為設(shè)為對對 D 的前的前 k 行作運(yùn)算行作運(yùn)算 ，再對后，再對后 n 列作運(yùn)算列作運(yùn)算 ，把把 D 化為下三角形行列式化為下三角形行列式,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 1111kknnDppqq12.D D ijrkr ijckc 故故計(jì)算計(jì)算4 4階行列式階行列式 11111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1abcd 已已知知【例【例14】111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa 【解【解】dddcccbbbaaaabcd1111111111112

36、222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 【例【例15】3112513420111533D 51111113100105530 312 cc 34cc 3 3511( 1)1111550 511620550 21rr 1 362( 1)55 8205 40. 5312017252023100414002350D 【例【例1616】計(jì)算行列式計(jì)算行列式【解【解】5312017252023100414002350D 2 5531202311204140235 23110 072066 7210 ( 2)66 20 ( 4212)1080. 2312 541423

37、5 53204140132021352152 31rr 21( 2)rr 例例1717 設(shè)設(shè) , , 的的 元的余子式和元的余子式和代數(shù)余子式依次記作代數(shù)余子式依次記作 和和 ，求，求分析分析 利用利用3521110513132413D D( , )i jijMijA11121314AAAA及及11213141.MMMM111213142122232411111212131314143132333441424344aaaaaaaaa Aa Aa Aa Aaaaaaaaa125202100 【解【解】111213141111105134311321AAAA 43rr 31rr 111111052

38、2021100 115222110 21cc 2502 4. 1521110513131413 105105113 43rr 1521110513130100 121105113 132rr 0. 1121344111213141MMMMAAAA 【證明【證明】 用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法21211Dxx 21()ijijxx 【例【例1818】 證明范德蒙德證明范德蒙德( (Vandermonde) )行列式行列式1222212111112111().nnnijn ijnnnnxxxxxxDxxxxx (1)所以所以n=2時(shí)時(shí)(1)式成立式成立.21xx21311221331122222133

39、11111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx 假設(shè)假設(shè)(1)對于對于n1階范德蒙行列式成立，從第階范德蒙行列式成立，從第n行開始，后行行開始，后行減去前行的減去前行的 倍：倍：1x按照第按照第1列展開，并提出每列的公因子列展開，并提出每列的公因子 ，就有，就有1()ixx 213112()()()()nnijn ijDxxxxxxxx 1().ijn ijxx 232131122223111()()()nnnnnnxxxxxxxxxxxx n1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式【練習(xí)【練習(xí)11】若 則行列式 =_, 3 , 2 ,

40、 1, 0ibaii332313322212312111bababababababababa0【解【解】根據(jù)】根據(jù) 性質(zhì)性質(zhì)4 行列式中如果行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零行列式為零 【練習(xí)【練習(xí)12】 計(jì)算3階行列式 767676545454323232【解【解】07600065400043200027670065450043230027676765454543232323221cccc【練習(xí)【練習(xí)13】【解【解】D【練習(xí)【練習(xí)14】C【解【解】9303334443332312322211312113331312321211311111Daaaa

41、aaaaaaaaaaaaaaD【練習(xí)【練習(xí)15】 已知3階行列式 則 _2796364232333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa2【解【解】2732323232323296364232333231232221131211333231232221131211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa2333231232221131211aaaaaaaaa【練習(xí)【練習(xí)16】 設(shè)行列式設(shè)行列式 =2， 則行列式則行列式 =（ ） A.12B.24 C.36 D.4833323123

42、2221131211aaaaaaaaa333231232221131211333222aaaaaaaaaA【練習(xí)【練習(xí)17】 設(shè)行列式設(shè)行列式 =3， 則行列式則行列式 =（ ） A.-18B.-12 C.12 D.18D111213212223313233aaaaaaaaa111213212223313233232323aaaaaaaaa【練習(xí)【練習(xí)18】 設(shè)行列式 =6， 則 =（ ） A12 B 18 C18 D12111213212223313233aaaaaaaaa111213313233213122322333333aaaaaaaaaaaaC【練習(xí)【練習(xí)19】 設(shè)A為3階方陣， 且

43、 ，則 （ ） A4B1 C1D42121A | AD2121A【解【解】21|213A4|A【練習(xí)【練習(xí)20】 行列式 中第4行各元素的代數(shù)余子式之和為_.42350010111104030【解【解】0111100101111040344434241AAAA【練習(xí)【練習(xí)21】 計(jì)算行列式D=3512453312012034【解【解】48930212) 1(0930131302122341313111) 1(2342000113134111343021021335421533213D【練習(xí)【練習(xí)22】 設(shè)行列式 其第3行各元素的代數(shù)余子式之和為_.304222 ,532D 0【解【解】0111

44、222403333231AAA ( (行列式中行與列具有同行列式中行與列具有同等的地位等的地位, , 凡是對行成立的性質(zhì)對列也同樣成凡是對行成立的性質(zhì)對列也同樣成立立).). 計(jì)算行列式常用方法：計(jì)算行列式常用方法：(1)(1)利用定義利用定義;(2);(2)利利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值行列式的值小結(jié)小結(jié)行列式的行列式的6 6個(gè)性質(zhì)個(gè)性質(zhì)1.4 克拉默法則二元線性方程組二元線性方程組 11112212112222a xa xba xa xb 若令若令 11122122aaDaa 1211222bbaDa 1221121baD

45、ab ( (方程組的系數(shù)行列式方程組的系數(shù)行列式) )則上述二元線性方程組的解可表示為則上述二元線性方程組的解可表示為1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 一、克拉默法則如果線性方程組如果線性方程組11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb 的系數(shù)行列式不等于零，即的系數(shù)行列式不等于零，即1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa122123,. (2)nnDDDDxxxxDDDD其中其中 是把系數(shù)行列式是把系

46、數(shù)行列式 中第中第 列的元素用方程組右端的常列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的數(shù)項(xiàng)代替后所得到的 階行列式，即階行列式，即jDDjn111,11,111,1,11jjnjnn jn jnnnaaaaDaaaabb 那么線性方程組那么線性方程組(1)(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成有解并且解是唯一的，解可以表示成定理中包含著三個(gè)結(jié)論：定理中包含著三個(gè)結(jié)論：方程組有解；方程組有解；（解的存在性）（解的存在性） 解是唯一的；解是唯一的；（解的唯一性）（解的唯一性）解可以由公式解可以由公式( (2) )給出給出. .這三個(gè)結(jié)論是有聯(lián)系的這三個(gè)結(jié)論是有聯(lián)系的. . 應(yīng)該注意，該定理所討論的只是系應(yīng)該注意，該定理所討論的只是系數(shù)行列式不為零的方程組，至于系數(shù)行列式等于零的情形，數(shù)行列式不為零的方程組，至于系數(shù)行列式等于零的情形，將在第三章的一般情形中一并討論將在第三章的一般情形中一并討論. .關(guān)于克拉默法則的等價(jià)命題定理定理4 如果線性方程組如果線性方程組( (1) )的系數(shù)行列式不等于零，則的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解該線性方程組一定有解, ,而且解是唯一的而且解是唯一的 . .定理定理4 如果線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的如果線性方程組無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零系數(shù)行列式必為零.