第五節(jié) 可降階的微分方程

1、第五節(jié)第五節(jié) 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程)( xfdxydnn 一、一、),( yxfy 二、二、),( yyfy 三、三、下 頁上 頁 返 回解法：解法：特點(diǎn)：特點(diǎn)：.,)1( nyyy及及不不顯顯含含未未知知函函數(shù)數(shù) )1()(nnyy由于由于.)()()1( dxxfdxyynn則則,)()(次次連連續(xù)續(xù)積積分分將將nxfyn 可得通解可得通解.型型一一、)()(xfyn 即對即對x逐次積分逐次積分n次可得通解次可得通解.下 頁上 頁 返 回0sin ).1()4( xxy求下列方程的通解求下列方程的通解xxy sin )4(解解12)4(2cos Cxxdxy )3(y2

2、13)3(! 3sin CxCxxdxy y322142! 4cos CxCxCxxdxy y43223152! 3! 5sin CxCxCxCxxdxy y例例 1 下 頁上 頁 返 回0 ).2()4()5( yxy解解),()4(xPy 設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程, 0 PPxxCP1 解線性方程解線性方程, 得得兩端積分兩端積分,得得原方程通解為原方程通解為)()5(xPy ）（0 P,1)4(xCy 即即,21221CxCy ,2612054233251CxCxCxCxCy 54233251dxdxdxdxdy 下 頁上 頁 返 回型型二、二、),( yxfy 特點(diǎn)：特點(diǎn)：不顯含不顯含

3、y解法解法:)( xpy 作變換作變換)(xpy 則則代入有代入有)(,()( xpxfxp 此為一階微分方程此為一階微分方程若能解此微分方程的通解為若能解此微分方程的通解為),()(1Cxxp 則有則有),(1Cxy 此又為一階微分方程此又為一階微分方程21),(:CdxCxy 得原方程的通解得原方程的通解下 頁上 頁 返 回 121 ).1( yxyx解解),( xPy 設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程 1212 xPPx)(xPy 求解下列方程的通解求解下列方程的通解此為一階線性非齊次微分方程此為一階線性非齊次微分方程其通解為：其通解為：11)(2212212Cdxexexpdxxxdxxx 1

4、111222Cdxxxx 211xCx 例例 2下 頁上 頁 返 回211 xCxy 從而從而dxxCxy 211 即即 212arctan1ln21 CxCxy 下 頁上 頁 返 回yyy x ln ).2(解解),( xPy 設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程PPPxln )(xPy 此為可分離變量微分方程此為可分離變量微分方程其通解為：其通解為： xdxPPdPln1lnlnlnln CxP 即即xCexP1)( xCey1 即即故原方程的通解為故原方程的通解為:2111CeCyxC 下 頁上 頁 返 回)(ypy 設(shè)設(shè),dydPpdxdydydpy 則則一階微分方程方程，一階微分方程方程，的的代

5、入原方程得到新函數(shù)代入原方程得到新函數(shù))(yP求得其解為求得其解為原方程通解為原方程通解為,),(21CxCydy 特點(diǎn)：特點(diǎn)：.x右右端端不不顯顯含含自自變變量量解法：解法：),(PyfdydPP 型型三、三、),( yyfy ),()(1CyyPdxdy 下 頁上 頁 返 回.02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,dydPpy 則則),(ypy 設(shè)設(shè)代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xCeCy 原方程通解為原方程通解為,1yCdxdy 例例 3下 頁上 頁 返 回.122的的通通解解求求方方程

6、程yyy 解解,dydPpy 則則),(ypy 設(shè)設(shè)代入原方程得代入原方程得 212PdydPPy ydyPPdP212 即即 12lnln1lnCyP 可可得得yCdxdy121 例例 4下 頁上 頁 返 回變量分離變量分離得得111 yCdy原方程的通解為原方程的通解為21112CxCyC 2221114CxCyC 即即下 頁上 頁 返 回一平放的彈簧振子，設(shè)彈簧彈力的大小與質(zhì)點(diǎn)一平放的彈簧振子，設(shè)彈簧彈力的大小與質(zhì)點(diǎn)到平衡點(diǎn)的距離成正比，不計(jì)其它阻力，開始到平衡點(diǎn)的距離成正比，不計(jì)其它阻力，開始時(shí)有時(shí)有x=0,速度速度v0 = 0，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。x解解由牛頓力學(xué)知識(shí)得由牛頓力學(xué)知識(shí)得)0( ,22 kdtxdmkxF型型屬屬),( yyfy ,dxdPPx 則則),(xPdtdx 設(shè)設(shè)代入原方程得代入原方程得 mxdxdPP 22,其中其中例例5 下 頁上 頁 返 回得得xdxdPp2 2212x