復(fù)合函數(shù)及抽象函數(shù)的單調(diào)性

1、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的定義：設(shè)復(fù)合函數(shù)的定義：設(shè)y=f(u)y=f(u)定義定義域域A A，u=g(x)u=g(x)值域?yàn)橹涤驗(yàn)锽 B，若，若A BA B，則則y y關(guān)于關(guān)于x x函數(shù)的函數(shù)的y=fg(x)y=fg(x)叫做函叫做函數(shù)數(shù)f f與與g g的復(fù)合函數(shù)，的復(fù)合函數(shù)，u u叫中間量叫中間量復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由兩個(gè)函數(shù)共同決定；引理1：已知函數(shù)y=fg(x)，若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，其值域?yàn)?c,d),又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。證明：在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x1,x2,使

2、ax1x2b,因?yàn)閡=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，所以g(x1)g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2),即u1u2，且u1,u2 (c,d).因?yàn)楹瘮?shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，所以f(u1)f(u2), 即y=fg(x1) y=fg(x2),故函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性引理2：已知函數(shù)y=fg(x)，若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，其值域?yàn)?c,d),又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。證明：在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x1,x2,使ax1x2g(x

3、2),記u1=g(x1),u2=g(x2),即u1u2，且u1,u2 (c,d).因?yàn)楹瘮?shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以f(u1)f(u2), 即y=fg(x1) y=fg(x2),故函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性若u=g(x)y=f(u)則y=fg(x)規(guī)律：當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)，其復(fù)合函數(shù)是增規(guī)律：當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)，其復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性不相同時(shí)，其復(fù)合函數(shù)是函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性不相同時(shí)，其復(fù)合函數(shù)是減函數(shù)。減函數(shù)。 “同增異減同增異減”增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)

4、增函數(shù)減函數(shù)解：由解：由1-9x20得：得：-1/3x1/3當(dāng)當(dāng)-1/3x0,x增大時(shí)，增大時(shí)，1-9x2增大，增大，f(x)減小減小當(dāng)當(dāng)0 x1/3，x增大時(shí)，增大時(shí)，1-9x2減小，減小，f(x)增大增大函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是 -1/3，0，0，1/3。的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。：求函數(shù)：求函數(shù)例例29121)(1xxf 1, 0,1 1,0 ,1 1, 1, 1,0例例2：設(shè)：設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集是定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)，上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（且在區(qū)間（-，0上是增函數(shù)，又上是增函數(shù)，又f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1),試求試求a的取值范圍。的取值范圍。問：設(shè)問：

5、設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函上的奇函數(shù)，且在區(qū)間（數(shù)，且在區(qū)間（-，0)上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，問在問在 區(qū)間區(qū)間(0，+）上）上f(x)是是 增函數(shù)還增函數(shù)還是減函數(shù)？是減函數(shù)？(0a3)例例1：設(shè)：設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，上的奇函數(shù)，且在區(qū)間（且在區(qū)間（-，0）上是增函數(shù)，又）上是增函數(shù)，又f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1),試求試求a的取值范圍。的取值范圍。抽象函數(shù)抽象函數(shù).2)3()()4()()()3()()()()2(1)2()1()(2的的取取值值范范圍圍求求時(shí)時(shí)，滿滿足足：上上的的函函數(shù)數(shù)：定定義義在在例例xxfxfyfx

6、fyxyfxfxyffxfR 2)2()2()4()()3( fffRxf上上減減，又又在在知知解解：由由)4()3()4(fxxf 從從而而 0304)3(xxxx4 x.)().()()(, 1)(0)(3上上的的增增函函數(shù)數(shù)是是求求證證：有有、且且對(duì)對(duì)于于任任意意時(shí)時(shí)，上上，當(dāng)當(dāng)定定義義在在：函函數(shù)數(shù)例例RxfbfafbafRbaxfxRxf )1()0()1(1,0fffba 則則證證：令令0)1(1)(0 fxfx時(shí)時(shí). 1)0( f)(1)()()()()()()()(, 1)(0,121112111212112122121xxfxfxfxxfxfxxxfxfxfxfxxfxxRx

7、xxx 有有、對(duì)對(duì)任任; 1)(011 xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng); 1)(011 xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1)()()0(,011111 xfxffxbxax則則時(shí)時(shí)令令當(dāng)當(dāng))(1)(11xfxf 0)(1)(11 xfxf.0)(11 xfRx都都有有故故對(duì)對(duì)于于任任0)()(0)(12112 xfxfxxf又又.)(為增函數(shù)為增函數(shù)綜上：綜上：xf);()();()();()(:212122112211xxfxxfxxxfxfxxxfxf 注注：常常用用的的佩佩湊湊方方法法例例4: .1 , 2)(, 2)1(, 0)(0),()()(,)(上上的的值值域域在在區(qū)區(qū)間間求求時(shí)時(shí)，且且當(dāng)當(dāng)均均有有、對(duì)對(duì)于于任任

8、意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)已已知知函函數(shù)數(shù) xffxfxyfxfyxfyxxf0)(0121221 xxfxxxx解解：設(shè)設(shè))()()()(1121122xfxxfxxxfxf 又又)()(0)()()(121212xfxfxxfxfxf 即即.)(為增函數(shù)為增函數(shù)故故xf則則中中令令在在xyyfxfyxf )()()(),()()0(xfxff 0)0()0(2)0(0 fffyx則則再再令令.)(),()(為為奇奇函函數(shù)數(shù)從從而而故故xfxfxf , 4)1()1()2(, 2)1()1( fffff.2,4)( 的的值值域域?yàn)闉樗砸詘f.,9)1(0)3(.), 0()()2.()()1().1

9、, 0()(10, 9)27(, 1)1()()()()(53的的取取值值范范圍圍求求且且若若上上的的單單調(diào)調(diào)性性，并并證證明明在在判判斷斷的的奇奇偶偶性性判判斷斷時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且都都有有、對(duì)對(duì)任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)：已已知知函函數(shù)數(shù)例例aafaxfxfxfxffyfxfxyfyxxf .)()()1()()(11為為偶偶函函數(shù)數(shù)則則）令令解解（xfxffxfxfy )1 , 0()(100)2(212121 xxfxxxx則則設(shè)設(shè) 1)()()()()()()()()(2122221222121 xxfxfxfxfxxfxfxxxfxfxf. 1)1(1)()1()()1()1 , 0()1()1 ,

10、 0(1,1; 01)1()1(1);1 , 0()(102222222222 xfxfxfxffxfxxffxxfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng).),0()(上上是是增增函函數(shù)數(shù)在在 xf0 1)()()()(21221 xxfxfxfxf.0)(,022 xfx都都有有對(duì)對(duì)于于任任意意.,9)1(0)3(.), 0)()2.()()1().1 , 0)(10, 9)27(, 1)1()()()()(3的的取取值值范范圍圍求求且且若若上上的的單單調(diào)調(diào)性性，并并證證明明在在判判斷斷的的奇奇偶偶性性判判斷斷時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且都都有有、對(duì)對(duì)任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)例例：已已知知函函數(shù)數(shù)aafaxfxfxfx

11、ffyfxfxyfyxxf 3)3()3()3()3()9()3()93(99)27()3(ffffffff 又又39)3( f即即)3()1(9)1(3fafaf ),0(310 、aa231)3()1( aafaf. 20 a故故)(xf, 0,1 , 1 baba且且、. 0)()( babfaf)(xf)6()15(2xfxf 例例6:已知已知是定義在是定義在-1,1上的奇函數(shù)，上的奇函數(shù)，則有則有 (1)判斷判斷（2）解不等式）解不等式在在-1,1上的增減性，并證明你的結(jié)論；上的增減性，并證明你的結(jié)論；解：（解：（1）)(xf在在-1,1上增。上增。證明：任取證明：任取,1 , 12

12、121xxxx 且且、則則)()()()()()()()()(21212121212121xxxfxfxxxxxfxfxxxfxf . 0)()(, 0, 0)()()( 1 , 12121212121 xfxfxxxxxfxfxx又又、故)(xf在在-1,1上增。上增。若若（2）)(xf在在-1,1上增，上增， 2226151611151)6()15(xxxxxfxf .31031216666520 xxxxx或或不等式的解集為.310 xx)(xf, 0,1 , 1 baba且且、. 0)()( babfaf)(xf是定義在是定義在-1,1上的奇函數(shù)，上的奇函數(shù)，則有則有在在-1,1上的增

13、減性，并證明你的結(jié)論；上的增減性，并證明你的結(jié)論；若若例例6:已知已知 (1)判斷判斷.1 , 1,1 , 112)()3(2的的取取值值范范圍圍恒恒成成立立，求求實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于所所有有若若maxammxf 12)1()( 1 , 1)()3(2max ammfxfxf增增，在在022 amm022 mam即即1 , 1,2)(2 ammaag令令 0)(ag則則 02)1(02)1(22mmgmmg 0220mmmm或或或或. 202 mmm或或或或復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性小結(jié)復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)性可按下列步驟判斷： (1) 將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡單函數(shù)：y=f(u)與u=g(x)。其中y=