第二章 地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(1)

1、u數(shù)字地圖制圖的流程u地圖的分幅與編號u地圖學(xué)的定義u地圖學(xué)的學(xué)科體系，由哪些內(nèi)容組成u地圖學(xué)的發(fā)展趨勢地圖學(xué)是研究地理信息的表達(dá)、處理和傳輸?shù)睦碚摵头椒?，以地圖學(xué)是研究地理信息的表達(dá)、處理和傳輸?shù)睦碚摵头椒?，以地理信息可視化為核心，探討地圖的制作技術(shù)和使用方法地理信息可視化為核心，探討地圖的制作技術(shù)和使用方法。l一、空間坐標(biāo)系l二、地圖比例尺l三、地圖定向l四、地圖投影 通過天文大地測量、地球重力測量、衛(wèi)星大地測量通過天文大地測量、地球重力測量、衛(wèi)星大地測量等精密測量，發(fā)現(xiàn)：等精密測量，發(fā)現(xiàn)： 地球并不是一個(gè)正球體，而是一個(gè)極半徑略短、地球并不是一個(gè)正球體，而是一個(gè)極半徑略短、赤道半徑略長，

2、北極略突出、南極略扁平，近于梨形赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體。的橢球體。地球的自然表面 地球的自然表面是一個(gè)起伏不平，十分不規(guī)則的表地球的自然表面是一個(gè)起伏不平，十分不規(guī)則的表面。對于地球測量而言，地表是一個(gè)無法用數(shù)學(xué)公式面。對于地球測量而言，地表是一個(gè)無法用數(shù)學(xué)公式表達(dá)的曲面。表達(dá)的曲面。 為了尋求一種規(guī)則的曲面來代替地球的自然表面，為了尋求一種規(guī)則的曲面來代替地球的自然表面，人們設(shè)想當(dāng)海洋靜止時(shí)，平均海水面穿過大陸和島嶼，人們設(shè)想當(dāng)海洋靜止時(shí)，平均海水面穿過大陸和島嶼，形成一個(gè)閉合的曲面，該面上的各點(diǎn)與重力方向（鉛形成一個(gè)閉合的曲面，該面上的各點(diǎn)與重力方向（鉛垂線

3、）成正交，這就是垂線）成正交，這就是大地水準(zhǔn)面。大地水準(zhǔn)面。大地水準(zhǔn)面所包大地水準(zhǔn)面所包圍的球體，叫大地球體。圍的球體，叫大地球體。大地水準(zhǔn)面是對地球形狀的一級逼近大地水準(zhǔn)面是對地球形狀的一級逼近 xayazb2222221aba eaba2222()eabb()2222 l地心坐標(biāo)系地心坐標(biāo)系l原點(diǎn)為包括海洋和大氣的整個(gè)地球的質(zhì)量中心。原點(diǎn)為包括海洋和大氣的整個(gè)地球的質(zhì)量中心。lZ軸指向軸指向BIH1984.0定義的協(xié)議極地方向（定義的協(xié)議極地方向（BIH國際時(shí)間局）國際時(shí)間局）X軸指向軸指向BIH1984.0定義的零子午面與協(xié)議赤道的交點(diǎn)，定義的零子午面與協(xié)議赤道的交點(diǎn)，lY軸按右手坐標(biāo)系

4、確定。軸按右手坐標(biāo)系確定。l2000國家大地坐標(biāo)系采用的地球橢球參數(shù)如下：國家大地坐標(biāo)系采用的地球橢球參數(shù)如下：l長半軸長半軸 a=6378137ml扁率扁率f=1/298.257222101l地心引力常數(shù)地心引力常數(shù)GM=3.9860044181014m3s-2l自轉(zhuǎn)角速度自轉(zhuǎn)角速度=7.292l1510-5rad s-1l1954年北京坐標(biāo)系、1980西安坐標(biāo)系是參心坐標(biāo)系，lWGS84坐標(biāo)系、2000 國家大地坐標(biāo)系是地心坐標(biāo)系 100120140160180 將橢球面上的將橢球面上的客觀世界表現(xiàn)在有客觀世界表現(xiàn)在有限的平面上，必然限的平面上，必然遇到大與小的矛盾遇到大與小的矛盾.圖解比

5、例尺地圖比例尺的含義和表示 由于地圖投影的原因會(huì)造成地圖上各處的縮小比例不一致性，因此，進(jìn)行地圖投影時(shí)，應(yīng)考慮地圖投影對地圖比例尺的影響。在以紙質(zhì)為信息載體的地圖上，地圖內(nèi)容的選取、概括程度、數(shù)據(jù)精度等都與比例尺密切相關(guān)，電子地圖出現(xiàn)后傳統(tǒng)的比例尺概念發(fā)生新變化，在計(jì)算機(jī)生成的屏幕地圖上，比例尺主要表明地圖數(shù)據(jù)的精度。屏幕上比例尺的變化，并不影響上述內(nèi)容涉及的地圖本身比例尺的特征。 一、地圖比例尺的含義一、地圖比例尺的含義u 當(dāng)制圖區(qū)域比較小，地圖投影后，各方面變形都相對當(dāng)制圖區(qū)域比較小，地圖投影后，各方面變形都相對比較小，因此，圖面上各處長度縮小的比例都可以看成是相比較小，因此，圖面上各處長

6、度縮小的比例都可以看成是相等的。在這種情況下，地圖比例尺的含義，具體指的是圖上等的。在這種情況下，地圖比例尺的含義，具體指的是圖上長度與相應(yīng)地面之間的長度比例。長度與相應(yīng)地面之間的長度比例。u 當(dāng)制圖區(qū)域相當(dāng)大，制圖時(shí)對景物的縮小比率也相當(dāng)當(dāng)制圖區(qū)域相當(dāng)大，制圖時(shí)對景物的縮小比率也相當(dāng)大，在這種情況下采用的地圖投影比較復(fù)雜，地圖上的長度大，在這種情況下采用的地圖投影比較復(fù)雜，地圖上的長度也因地點(diǎn)和方向不同而有所變化。在這種情況下所注明的比也因地點(diǎn)和方向不同而有所變化。在這種情況下所注明的比例尺含義，其實(shí)質(zhì)指的是在進(jìn)行地圖投影時(shí)，對地球半徑縮例尺含義，其實(shí)質(zhì)指的是在進(jìn)行地圖投影時(shí)，對地球半徑縮小

7、的比率，通常稱之為小的比率，通常稱之為地圖主比例尺地圖主比例尺。地圖經(jīng)過投影后，體。地圖經(jīng)過投影后，體現(xiàn)在地圖上只有個(gè)別的點(diǎn)或線才沒有長度變形。換句話說，現(xiàn)在地圖上只有個(gè)別的點(diǎn)或線才沒有長度變形。換句話說，只有在這些沒有變形的點(diǎn)或線上，才可以用地圖上注明的主只有在這些沒有變形的點(diǎn)或線上，才可以用地圖上注明的主比例尺進(jìn)行量算。比例尺進(jìn)行量算。 二、地圖比例尺的表示二、地圖比例尺的表示1.比例尺的表示 傳統(tǒng)地圖上的比例尺通常有以下幾種表現(xiàn)形式：數(shù)字式比例尺、文字式比例尺、圖解式比例尺。（1）數(shù)字式比例尺 如如110000110000（2）文字式比例尺 如圖上如圖上1 1厘米等于實(shí)地厘米等于實(shí)地1

8、1千米千米（3）圖解比例尺：可分為直線比例尺、斜分比例尺和復(fù)式比例尺。 直線比例尺直線比例尺，是以直線線段形式標(biāo)明圖上線段長度所對應(yīng)的地面距離。 斜分比例尺斜分比例尺，是一種根據(jù)相似三角形原理制成的圖解比例尺，利，是一種根據(jù)相似三角形原理制成的圖解比例尺，利用這種斜分比例尺，可以量取比例尺基本長度單位的百分之一。用這種斜分比例尺，可以量取比例尺基本長度單位的百分之一。 斜分比例尺是由縱、橫兩種分劃組成的復(fù)合比例尺，縱分劃為斜斜分比例尺是由縱、橫兩種分劃組成的復(fù)合比例尺，縱分劃為斜線，橫分劃及其注記與直線比例尺相同。使用該比例尺時(shí)，先在圖上線，橫分劃及其注記與直線比例尺相同。使用該比例尺時(shí)，先在

9、圖上用量角規(guī)卡出欲量線段的長度，然后再到復(fù)合比例尺上去比量。比量用量角規(guī)卡出欲量線段的長度，然后再到復(fù)合比例尺上去比量。比量時(shí)應(yīng)注意：每上升一條水平線，斜線的偏值將增加時(shí)應(yīng)注意：每上升一條水平線，斜線的偏值將增加0.010.01基本單位；量基本單位；量角規(guī)的兩腳務(wù)必位于同一水平線上。角規(guī)的兩腳務(wù)必位于同一水平線上。如圖中如圖中ab線段為線段為2.64個(gè)單位長度，若地圖比例尺為個(gè)單位長度，若地圖比例尺為1:10萬，則實(shí)地長萬，則實(shí)地長度為度為5.28km。 復(fù)式比例尺復(fù)式比例尺，又稱投影比例尺，是一種根據(jù)地圖主比，又稱投影比例尺，是一種根據(jù)地圖主比例尺和地圖投影長度變形分布規(guī)律設(shè)計(jì)的一種圖解比例

10、尺。例尺和地圖投影長度變形分布規(guī)律設(shè)計(jì)的一種圖解比例尺。 2.2.特殊比例尺特殊比例尺（1 1）變比例尺）變比例尺 當(dāng)制圖的主區(qū)分散且間隔的距離比較遠(yuǎn)時(shí)，為了突出主當(dāng)制圖的主區(qū)分散且間隔的距離比較遠(yuǎn)時(shí)，為了突出主區(qū)和節(jié)省圖面，可將主區(qū)以外部分的距離按適當(dāng)比例相應(yīng)壓區(qū)和節(jié)省圖面，可將主區(qū)以外部分的距離按適當(dāng)比例相應(yīng)壓縮，而主區(qū)仍按原來規(guī)定的比例尺表示。縮，而主區(qū)仍按原來規(guī)定的比例尺表示。（2 2）無級別比例尺）無級別比例尺 是一種隨數(shù)字制圖的出現(xiàn)而與傳統(tǒng)的比例尺系統(tǒng)相對而是一種隨數(shù)字制圖的出現(xiàn)而與傳統(tǒng)的比例尺系統(tǒng)相對而言的一個(gè)新概念，并沒有一個(gè)具體的表現(xiàn)形式。在數(shù)字制圖言的一個(gè)新概念，并沒有一個(gè)

11、具體的表現(xiàn)形式。在數(shù)字制圖中，由于計(jì)算機(jī)或數(shù)據(jù)庫里可以存貯物體的實(shí)際長度面積體中，由于計(jì)算機(jī)或數(shù)據(jù)庫里可以存貯物體的實(shí)際長度面積體積等數(shù)據(jù)，并且根據(jù)需要可以很容易按比例任意縮小或放大積等數(shù)據(jù)，并且根據(jù)需要可以很容易按比例任意縮小或放大這些數(shù)據(jù)，因此沒有必要將地圖數(shù)據(jù)固定在某一比例尺這些數(shù)據(jù)，因此沒有必要將地圖數(shù)據(jù)固定在某一比例尺上。 數(shù)字比例尺數(shù)字比例尺文字比例尺（地圖名稱）文字比例尺（地圖名稱）圖上圖上1cm相當(dāng)于實(shí)地相當(dāng)于實(shí)地km數(shù)數(shù)實(shí)地實(shí)地1km相當(dāng)于圖上相當(dāng)于圖上cm數(shù)數(shù) 1 10000一萬分之一一萬分之一0.1101 25000二萬五千分之一二萬五千分之一0.2541 50000五萬

12、分之一五萬分之一0.521 100000十萬分之一十萬分之一111 250000二十五萬分之一二十五萬分之一2.50.41 500000五十萬分之一五十萬分之一50.21 1000000百萬分之一百萬分之一100.1 國家基本地圖的比例尺系列 l（1）按地圖投影變形分類）按地圖投影變形分類l 主比例尺主比例尺 指投影面上沒有變形的點(diǎn)或線上的比例尺。指投影面上沒有變形的點(diǎn)或線上的比例尺。l在地圖投影中的切點(diǎn)、切線及割線上是沒有任何變化的，這在地圖投影中的切點(diǎn)、切線及割線上是沒有任何變化的，這些地方的比例尺為主比例尺。通常以切點(diǎn)、切線及割線縮小些地方的比例尺為主比例尺。通常以切點(diǎn)、切線及割線縮小的

13、倍數(shù)表示地面的縮小程度。各種地圖上通常所標(biāo)注的都是的倍數(shù)表示地面的縮小程度。各種地圖上通常所標(biāo)注的都是這種比例尺，故稱這種比例尺，故稱“普通比例尺普通比例尺”。l 局部比例尺局部比例尺 指投影面上有變形處的比例尺。指投影面上有變形處的比例尺。l地圖投影中，除標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)、標(biāo)準(zhǔn)線之外，其他地方均有不同程地圖投影中，除標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)、標(biāo)準(zhǔn)線之外，其他地方均有不同程度的變形。地圖上一般不標(biāo)注的這種比例尺，它不反映地面度的變形。地圖上一般不標(biāo)注的這種比例尺，它不反映地面實(shí)際的縮小程度。用于研究投影變形大小、分布規(guī)律和投影實(shí)際的縮小程度。用于研究投影變形大小、分布規(guī)律和投影性質(zhì)。性質(zhì)。l（2）按比例尺大小分類）按比例

14、尺大小分類 比例尺大小是以比例尺的比值來衡量的，分母越大比值越小，反之亦然。比例尺大小是一個(gè)相對的概念，各部門根據(jù)用圖時(shí)需要達(dá)到的精度要求的不同，劃分比例尺大小的標(biāo)準(zhǔn)不盡相同。u例；建筑或施工單位，研究作業(yè)區(qū)小，精度要求高，使用的比例尺較大，一般 1：1萬 大比例尺 1：2.5萬1：10萬 中比例尺 1：25萬、1：50萬、1：100萬 小比例尺u在測繪、地學(xué)或其它部門，研究區(qū)大，精度要求不十分高，使用的比例尺較?。?1：10萬 大比例尺 1：25萬、1：50萬 中比例尺 1：100萬 小比例尺l人們習(xí)慣地圖上的方向是“上北下南，左西右東”，其說法并不準(zhǔn)確。地圖上確定方向的正確方法是：利用經(jīng)線

15、來確定南北方向，北半球圖上經(jīng)線向北極方向?yàn)楸?，向南極方向?yàn)槟希焕镁暰€來確定東西方向，北半球圖上沿緯線逆時(shí)針方向是從西向東。北極北極ABC南極南極ABCESWNESWNESWNESWNESWNESWN 方位角方位角測繪或使用地形圖時(shí)，首先要確定一個(gè)南北標(biāo)準(zhǔn)方測繪或使用地形圖時(shí)，首先要確定一個(gè)南北標(biāo)準(zhǔn)方向線，作為標(biāo)定地圖方向和測定目標(biāo)方位的依據(jù)，常用向線，作為標(biāo)定地圖方向和測定目標(biāo)方位的依據(jù)，常用的是方位角和三北方向線。的是方位角和三北方向線。方位角，系從過某點(diǎn)方位角，系從過某點(diǎn)P的指北方向線起，順時(shí)針方的指北方向線起，順時(shí)針方向量到某一目標(biāo)方向線的水平夾角向量到某一目標(biāo)方向線的水平夾角a l大

16、比例尺地形圖上繪有三種指向北方的線，即真子大比例尺地形圖上繪有三種指向北方的線，即真子午線、磁子午線、坐標(biāo)縱線、稱為三北方向線。這三種午線、磁子午線、坐標(biāo)縱線、稱為三北方向線。這三種方向線雖然都是指向北方，但這方向線雖然都是指向北方，但這“北方北方”實(shí)際上是不一實(shí)際上是不一致的，分別稱為真北、磁北和坐標(biāo)北，統(tǒng)稱為三北方向。致的，分別稱為真北、磁北和坐標(biāo)北，統(tǒng)稱為三北方向。由三北方向線構(gòu)成的三種方位角為真方位角、磁方位角由三北方向線構(gòu)成的三種方位角為真方位角、磁方位角和坐標(biāo)方位角和坐標(biāo)方位角 1.真北真北 過地面上任意一點(diǎn)，指向北極的方向，叫真北。過地面上任意一點(diǎn)，指向北極的方向，叫真北。真子午

17、線，真子午線，系通過地面某點(diǎn)系通過地面某點(diǎn)P指向地球南北兩極的方向線，即經(jīng)線。在地指向地球南北兩極的方向線，即經(jīng)線。在地形圖上，東、西內(nèi)圖廓線和經(jīng)度相同各點(diǎn)的連線都是真子午線，形圖上，東、西內(nèi)圖廓線和經(jīng)度相同各點(diǎn)的連線都是真子午線，它指向正南、正北方向。它指向正南、正北方向。被稱為真北方向線或真子午線。被稱為真北方向線或真子午線。 2、磁北、磁北磁子午線，系在某一地點(diǎn)上，羅盤儀磁針?biāo)届o止時(shí)所指的磁子午線，系在某一地點(diǎn)上，羅盤儀磁針?biāo)届o止時(shí)所指的南北方向線。磁子午線方向可以用羅盤儀測得。在小面積測圖南北方向線。磁子午線方向可以用羅盤儀測得。在小面積測圖中常用磁子午線作為定向的標(biāo)準(zhǔn)。大比例尺地

18、形圖右半幅中央中常用磁子午線作為定向的標(biāo)準(zhǔn)。大比例尺地形圖右半幅中央的南北圖廓間的的南北圖廓間的PP連線即為該圖的磁子午線。連線即為該圖的磁子午線。 3、坐標(biāo)縱線北、坐標(biāo)縱線北 坐標(biāo)縱線，系高斯坐標(biāo)縱線，系高斯-克呂格投影帶坐標(biāo)縱軸（中央經(jīng)線）克呂格投影帶坐標(biāo)縱軸（中央經(jīng)線）及與其平行的方里網(wǎng)縱線，即坐標(biāo)北方向線。除中央經(jīng)線外，及與其平行的方里網(wǎng)縱線，即坐標(biāo)北方向線。除中央經(jīng)線外，它們均不指向真北方向，所指的為坐標(biāo)北方向。它們均不指向真北方向，所指的為坐標(biāo)北方向。 1.真方位角：從真子午線北段順時(shí)針方向量至某一直線的水平角，叫真方位角。2.磁方位角：從磁子午線北端順時(shí)針方向量至某一直線的水平角

19、，叫磁方位角。3.坐標(biāo)方位角：從坐標(biāo)縱線北端順時(shí)針方向量至某一直線的水平角，叫坐標(biāo)方位角。三種方位角 由于真北、磁北、坐標(biāo)縱線北在一般情況下方向是不一致的，所以三者之間互相形成三種偏角。1.磁偏角：以真子午線為準(zhǔn)，磁子午線與真子午線的夾角。磁子午線東偏為正，西偏為負(fù)，磁偏角是實(shí)測得來的，由于磁偏角因地而異，所以圖幅的磁偏角是本圖幅幾個(gè)點(diǎn)的平均值。2坐標(biāo)縱線偏角（子午線收斂角） 以真子午線為準(zhǔn)，坐標(biāo)縱線與真子午線之間的夾角。東偏為正，西偏為負(fù)，在投影帶的中央經(jīng)線以東的圖幅均為東偏，以西的圖幅均為西偏。3磁坐偏角：以坐標(biāo)縱線為準(zhǔn)，坐標(biāo)縱線與磁子午線之間的夾角。磁子午線東偏為正，西偏為負(fù)。三種偏角子

20、午線收斂角子午線收斂角 坐標(biāo)方位角=磁磁方位角方位角+ +磁坐偏角磁坐偏角 磁方位角=坐標(biāo)坐標(biāo)方位角方位角+ +磁坐偏角磁坐偏角 真方位角=坐標(biāo)坐標(biāo)方位角方位角+ +坐標(biāo)縱線偏角坐標(biāo)縱線偏角 注意偏角的正負(fù)號，注意偏角的正負(fù)號，各偏角在運(yùn)算中均應(yīng)各偏角在運(yùn)算中均應(yīng)帶著原有的正負(fù)號。帶著原有的正負(fù)號。 野外用圖主要是對照實(shí)地閱讀填圖。使用地形圖的前提，是地形圖的定向。一、地形圖的野外定向 地形圖定向就是使地形圖的方向與實(shí)地一致，圖上地物符號與地面上相應(yīng)的物體方向?qū)?yīng)。（一）利用羅盤定向 在野外用羅盤定向是最方便而常用的方法，使用時(shí)遠(yuǎn)離鐵軌、高壓線等地物。 利用羅盤定向示意圖根據(jù)磁子午線定向根據(jù)磁

21、子午線定向 地形圖南北圖廓線上注有磁南、磁北（或與地形圖南北圖廓線上注有磁南、磁北（或與）兩點(diǎn)）兩點(diǎn)的連線即為磁子午線。定向時(shí)將羅盤的直尺邊或（叫南北線）的連線即為磁子午線。定向時(shí)將羅盤的直尺邊或（叫南北線）與磁子午線重合，然后轉(zhuǎn)動(dòng)地形圖，使磁針北端對準(zhǔn)度盤與磁子午線重合，然后轉(zhuǎn)動(dòng)地形圖，使磁針北端對準(zhǔn)度盤“”分劃線，即磁針與磁子午線平行即可，地形圖方向就分劃線，即磁針與磁子午線平行即可，地形圖方向就與實(shí)地一致了。與實(shí)地一致了。按真子午線定向按真子午線定向 首先使羅盤上的直尺邊與地形圖上的東西圖內(nèi)廓線重合，首先使羅盤上的直尺邊與地形圖上的東西圖內(nèi)廓線重合，從從“三北三北”方向上查得磁偏角是多少

22、，然后轉(zhuǎn)動(dòng)地圖，使磁方向上查得磁偏角是多少，然后轉(zhuǎn)動(dòng)地圖，使磁針偏角與磁偏角相等，則地形圖標(biāo)定好。針偏角與磁偏角相等，則地形圖標(biāo)定好。根據(jù)坐標(biāo)縱線定向根據(jù)坐標(biāo)縱線定向 把羅盤直尺邊與坐標(biāo)縱線（方里網(wǎng)縱線）重合，從把羅盤直尺邊與坐標(biāo)縱線（方里網(wǎng)縱線）重合，從“三三北北”方向線上查得磁坐偏角值，然后轉(zhuǎn)動(dòng)地圖，使磁針北端方向線上查得磁坐偏角值，然后轉(zhuǎn)動(dòng)地圖，使磁針北端指向磁坐偏角相應(yīng)的分劃值，即完成地圖定向。指向磁坐偏角相應(yīng)的分劃值，即完成地圖定向。 利用直長地物（如直長的鐵路、公路的路段、河渠等）標(biāo)定地圖，應(yīng)在地圖上找到這段地物，對照兩側(cè)地形使地形與實(shí)地的關(guān)系位置概略相符；再轉(zhuǎn)動(dòng)地圖，使地圖直長地物符號與實(shí)地直長地物的方向一致，地圖即標(biāo)定。（二）利用直長地物定向利用明顯地形點(diǎn)標(biāo)定利用明顯地形點(diǎn)標(biāo)定 先確定站立點(diǎn)在圖上的位置，再選定遠(yuǎn)方一個(gè)實(shí)地先確定站立點(diǎn)在圖上的位置，再選定遠(yuǎn)方一個(gè)實(shí)地和地圖上都有的明顯地形點(diǎn)（如山頂、獨(dú)立物等），將和地圖上都有的明顯地形點(diǎn)（如山頂、獨(dú)立物等），將直尺邊切于圖上的站立點(diǎn)和