英語(yǔ)學(xué)習(xí)格林公式PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 對(duì)有向光滑弧 對(duì)有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(第1頁(yè)/共39頁(yè)zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 兩類(lèi)曲線積分的聯(lián)系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 第2頁(yè)/共39頁(yè)原點(diǎn) O 的距離成正比,例例

2、1. 設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在),(yxM處受恒指向原點(diǎn),)0,(aA沿橢圓此質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)12222byax沿逆時(shí)針移動(dòng)到, ),0(bB),(yxMxyo)0 ,(aA), 0(bB解解:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t, ),(yxOM F 的大小與M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF第3頁(yè)/共39頁(yè))0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Coxyz為折線 ABCOA(如圖), 計(jì)算zyyxIddd解解:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddO

3、Axd第4頁(yè)/共39頁(yè)yAxoL,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,AOD它與L 所圍原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周區(qū)域?yàn)镈 , 則6483第5頁(yè)/共39頁(yè)一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的二、平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的 等價(jià)條件等價(jià)條件格林公式及其應(yīng)用 第6頁(yè)/共39頁(yè)LD區(qū)域 D 分類(lèi)單連通區(qū)域 ( 無(wú)“洞”區(qū)域 )多連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 )域 D 邊界L 的正向正向: 域的內(nèi)部靠左域

4、的內(nèi)部靠左定理定理1. 設(shè)閉區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),LDyxyQxPyxQPdddd或第7頁(yè)/共39頁(yè)1) 若D 既是 X - 型區(qū)域 , 又是 Y - 型區(qū)域 , 且bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21則yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcyddcyxoECBAbaD第8頁(yè)/共39頁(yè)即yxxQDdd

5、LyyxQd),(同理可證yxyPDddLxyxPd),(、兩式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd第9頁(yè)/共39頁(yè)yxoL2) 若D不滿足以上條件, 則可通過(guò)加輔助線將其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd為有限個(gè)上述形式的區(qū)域 , 如圖)(的正向邊界表示kkDD證畢格格林林公公式式的的實(shí)實(shí)質(zhì)質(zhì): : 溝溝通通了了沿沿閉閉曲曲線線的的積積分分與與二二重重積積分分之之間間的的聯(lián)聯(lián)系系.第10頁(yè)/共39頁(yè)LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 橢圓20,sincos:byaxL所圍面積Lxyy

6、xAdd212022d)sincos(21ababab第11頁(yè)/共39頁(yè)設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明0dd22yxxyxL證證: 令,22xQyxP則yPxQ利用格林公式 , 得yxxyxLdd22022xxDyxdd00第12頁(yè)/共39頁(yè),dd2Dyyxe其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 為頂點(diǎn)的三角形閉域 . 解解: 令, 則2, 0yexQPyPxQ利用格林公式 , 有Dyyxedd2Dyyexd2yexOAyd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (A) 1 , 0(BD2ye第13頁(yè)/共39頁(yè),dd22Lyxxyyx其中L

7、為一無(wú)重點(diǎn)且不過(guò)原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解解: 令,022時(shí)則當(dāng) yx22222)(yxxyxQ設(shè) L 所圍區(qū)域?yàn)镈,)0 , 0(時(shí)當(dāng)D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoL第14頁(yè)/共39頁(yè)dsincos2022222rrr2,)0 , 0(時(shí)當(dāng)D在D 內(nèi)作圓周,:222ryxl取逆時(shí)針?lè)较?1D, 對(duì)區(qū)域1D應(yīng)用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx記 L 和 l 所圍的區(qū)域?yàn)榱止?, 得第15頁(yè)/共39頁(yè)xyoL解解 引引入入輔輔助助曲曲線線

8、L,1 1） 簡(jiǎn)化曲線積分簡(jiǎn)化曲線積分ABDBOABOAL 應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有第16頁(yè)/共39頁(yè) LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由于由于.412rdxdyxdyDAB 第17頁(yè)/共39頁(yè)yAxoL,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,AOD它與L 所圍原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周區(qū)域?yàn)镈 , 則6483第18頁(yè)/共39頁(yè)例例 2 2

9、 計(jì)計(jì)算算 Dydxdye2,其其中中D是是以以)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的三三角角形形閉閉區(qū)區(qū)域域.解解 令令2, 0yxeQP ,2 2）簡(jiǎn)化二重積分）簡(jiǎn)化二重積分xyoAB11D則則 2yeyPxQ ,第19頁(yè)/共39頁(yè)應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式, ,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e第20頁(yè)/共39頁(yè)格林公式格林公式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2閉閉區(qū)區(qū)域域D的的面面積積 LydxxdyA21.取取, 0 xQP 得得 Lxdy

10、A取取, 0, QyP 得得 LydxA3 3）計(jì)算平面面積）計(jì)算平面面積第21頁(yè)/共39頁(yè)曲線曲線AMO由函數(shù)由函數(shù), 0,axxaxy 表示表示,例例 4 4 計(jì)計(jì)算算拋拋物物線線)0()(2 aaxyx與與x軸軸所所圍圍成成的的面面積積. .解解ONA為為直直線線0 y. LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANM第22頁(yè)/共39頁(yè) AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0 ,(aANM第23頁(yè)/共39頁(yè)定理定理2. 設(shè)D 是單連通域 ,),(),(yxQyxP在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(

11、1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有.0ddLyQxP(2) 對(duì)D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有.xQyPLyQxPdd與路徑無(wú)關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在 D 內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即 第24頁(yè)/共39頁(yè)說(shuō)明說(shuō)明: 當(dāng)積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí), 曲線積分可記為 設(shè)21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP為D 內(nèi)任意兩條由A 到B 的有向分段光滑曲線, 則(根據(jù)條件(1)BAyQxPddAByQxPd

12、d2ddLyQxP第25頁(yè)/共39頁(yè)在D內(nèi)取定點(diǎn)),(00yxA因曲線積分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux則),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可證yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一點(diǎn)B( x, y ),與路徑無(wú)關(guān),),(yxxC),(yxB),(00yxA有函數(shù) 第26頁(yè)/共39頁(yè)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得yQxPuddd則),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),xyuyxu22所以從而在D內(nèi)

13、每一點(diǎn)都有xQyPxyuxQyxuyP22,第27頁(yè)/共39頁(yè)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖) ,上因此在 DxQyP利用格林公式格林公式 , 得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所圍區(qū)域?yàn)樽C畢第28頁(yè)/共39頁(yè)yx根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi),xQyP則2) 求曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,3) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):Dyx),(00及動(dòng)點(diǎn),),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為yyyyxQ0

14、d),(xxxyxP0d),(若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;取定點(diǎn)1) 計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑;第29頁(yè)/共39頁(yè)yyxxyxdd22是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出這個(gè)函數(shù). 證證: 設(shè),22yxQyxP則xQyxyP2由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx第30頁(yè)/共39頁(yè)22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函數(shù) , 并求出它. 證證: 令2222,yxxQyxyP則)

15、0()(22222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函數(shù)),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx第31頁(yè)/共39頁(yè)oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy第32頁(yè)/共39頁(yè)作用下沿曲線 L :xycos2由)2, 0(A移動(dòng)到, )0,2(B求力場(chǎng)所作的功W解解:)dd(2Lyxx

16、yrk令,22rxkQrykP則有)0()(22422yxryxkyPxQ可見(jiàn), 在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān). )(22yxr其中LBAyox),(2xyrkFsFWLd第33頁(yè)/共39頁(yè):AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 積分路徑是否可以取?OBAO取圓弧LBAyox為什么？注意, 本題只在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無(wú)關(guān) !第34頁(yè)/共39頁(yè)例例6. 設(shè),4:, 1:222412yxlyxL且都取正向, 問(wèn)下列計(jì)算是否正確 ?Lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Do2y1x2LlDd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412注注:時(shí)022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(第35頁(yè)/共39頁(yè)1. 格林公式LyQxPdd2. 等價(jià)條件在 D 內(nèi)與路徑無(wú)關(guān).yPxQ在 D 內(nèi)有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd對(duì) D 內(nèi)任意閉曲線 L 有0ddLyQxP在 D 內(nèi)有設(shè) P, Q 在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有第36頁(yè)/共39頁(yè), )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求解解:)