正方形的性質(zhì)與判定講義

1、正方形的性質(zhì)及判定一、知識(shí)點(diǎn)歸納（一）正方形的概念：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。（二）正方形的性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有通性；1、因?yàn)锳BCD是正方形（2）四個(gè)邊都相等，四個(gè) 角都是直角;（3）對(duì)角線相等垂直且平分對(duì)角.正方形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有4條，也是中心對(duì)稱二、例題講解考點(diǎn)正方形與等腰三角形（等邊三角形）結(jié)合1 .如圖，E是正方形 ABCD的對(duì)角線 BD上一點(diǎn)，且 BE= BC,則/ ACE=°2 .如圖，四邊形 ABCD是正方形，延長 CD至ij E,使CE=CB,則Z DBE=:3 .如圖，正方形 ABCD中，點(diǎn)E在BC的延長線上，AE平分/ DAC,則下列結(jié)論：

2、（1） /E=22.5 ; （2） /AFC=112.5 ; （3） /ACE=135 ; （4） AC= CE; （5） AD： CE=1 :加.其中正確的有（）A. 5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)4 .如圖，等邊 EDC在正方形 ABCD內(nèi)，連結(jié) EA EB,則/ AEB=° Z ACE=:以CD為邊作等邊4。口已 則/ AED的度數(shù)是 考點(diǎn)正方形與旋轉(zhuǎn)結(jié)合1 .如圖1,四邊形ABCD是正方形，E是邊CD上一點(diǎn)，若4AFB經(jīng)過逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角 。后與4AED重合，則0的取值可能為（）A.90°B.60°C.45°D.30°2 .已知正方形 ABC

3、D中，點(diǎn)E在邊DC上，DE = 2, EC = 1 （如圖2所示） 把線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E 落在直線BC上的點(diǎn)F處，則F、C兩點(diǎn)的距離為 .3.如圖3,在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別為DC,BC邊上的點(diǎn)，且滿足/EAF=45°,連接EF求證：DE+ BF= EF考點(diǎn)正方形對(duì)角線的對(duì)稱性1 .如圖：正方形 ABCD中，AC=10, P是AB上任意一點(diǎn)，PE± AC于E, PF± BD于F, 則PE+PF= L可以用一句話概括：正方形邊上的任意一點(diǎn)到兩對(duì)角線的距離之和等思考：如若P在AB的延長線時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并 加以說明.2

4、.如圖，點(diǎn)P是正方形 ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE± BC于點(diǎn)E, PF± CD于點(diǎn)F,連接EF給出下列五個(gè) 結(jié)論：AP =EF;AP，EF;4APD一定是等腰三角形；值/ PFE= / BAP處PD=、/2EC其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .1）正確結(jié)論是否依舊成立？若成立,思考：當(dāng)點(diǎn)P在DB的長延長線上時(shí)，請(qǐng)將備用圖補(bǔ)充完整，并思考（直接寫出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)寫出相應(yīng)的結(jié)論 考點(diǎn)正方形的折疊1 .如圖1,將邊長為8cm的正方形紙片 ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為 MN ,則線段CN的長是.2 .如圖2,四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將

5、其沿 MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的B處，點(diǎn)A 對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A ,且B C =3 ,則AM的長是:3如圖3,正方形 ABCD中，AB= 6,點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE.將4ADE沿AE對(duì)折至AFE,延長EF交邊 BC于點(diǎn) G,連結(jié) AG、CF.下列結(jié)論：AARGQ AFG;BG= GC;AG/ CF; Sfgc= 3,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 .課后練習(xí)1、已知：如圖，正方形 ABCD中，CM=CD, MN ±AC,連結(jié) CN,則/ DCN= B, / MND=:ZB.2 .在正方形 ABCD中，AB=12 cm ,對(duì)角線 AC、BD相交于O,則 ABO的周長是（）A.12+12 2B.

6、12+6 2C.12+ 2D.24+6 . 2、，一11.，一，一3 .正方形的面積是-，則其對(duì)角線長是34 .如圖，在正方形 ABCD中，PBC 4QCD是兩個(gè)等邊三角形，PB與DQ交于M, BP與CQ交于E, CP與DQ交于F求證：PM = QM.5 .如圖4,正方形 ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,正方形 ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AB交BC 于點(diǎn)E, A'D'交CD于點(diǎn)F,若正方形 ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度后，OE=OF嗎？兩正方形重合部分的面積怎樣變化？為什么?6.如圖,P是邊長為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在射線BC上，且

7、PE=PB試判斷PE與PB的關(guān)系.7.如圖，正方形 ABCD的面積為12, 4ADE是等邊三角形，點(diǎn) 點(diǎn)P,使PB+ PE的和最小，則這個(gè)最小值為 .E在正方形 ABCD內(nèi)，在對(duì)角線 AC上有8.如圖，將邊長為4cm的正方形紙片 ABCD沿EF折 E、F分別在邊 AB、CD上），使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) 處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P,連接EP.（1）如圖，若M為AD邊的中點(diǎn)，AEM的周長=cm；求證：EP=AE+DP；（2）隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置（點(diǎn)M不與 重合），4PDM的周長是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由.（三）正方形的判定：（1）平行四邊形一組鄰邊等一個(gè)直角（2）菱形 一個(gè)

8、直角四邊形ABCD是正方形（3）矩形一組鄰邊等1、判斷：（1）四條邊都相等的四邊形是正方形。（）（2）兩條對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形。（）（3）兩條對(duì)角線分別平分一組對(duì)角的四邊形是正方形。（）（4）兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。（）2 .不能判定四邊形是正方形的是（）A.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形B.對(duì)角線互相垂直的矩形C.對(duì)角線相等的菱形D.對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形3、四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn) O,能判定它是正方形的條件是（）A. AB=BC=CD=DAB. AO=CO , BO=DO , ACXBDC. AC=BD , ACBD 且 AC、BD 互相平分D.

9、AB=BC , CD=DA4、如圖，已知四邊形 ABCD是菱形，則只須補(bǔ)充條件： （用字母表示）就可以判定四邊形 ABCD是正方形.精講精練例 1、已知 RtVABC 中， C 90 , CD 平分 ACB,交 AB 于 D, DF/BC,DE/AC ,求證：四邊形 DECF為正方形。例2、已知：如圖，在 4ABC中，AB=AC, AD±BC,垂足為點(diǎn) D, AN是ABC外角/CAM的平分線，CEL AN,垂足為點(diǎn)E, （1）求證：四邊形 ADCE為矩形；（2）當(dāng) ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形 ADCE是 一個(gè)正方形？并給出證明.NDC例3如圖，已知平行四邊形 ABCD中，對(duì)角線AC

10、, BD交于點(diǎn)O, E是BD延長線上的點(diǎn)，且AACE是 等邊三角形.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若 AED 2 EAD ,求證：四邊形 ABCD是正方形.例4、如圖， ABC中，點(diǎn)O是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) O作直線MN / BC,設(shè)MN交/ BCA的平分線于E,交/ BCA的外角平分線于點(diǎn) F.求證：EO= FO(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形 AECF是矩形？并證明你的結(jié)論(3)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形 AECF是有可能是正方形？并證明你的結(jié)論拓展探究(平行四邊形與特殊平行四邊形的綜合運(yùn)用)1、如圖，正方形 ABCD中，E、F、G分別是AD、AB、BC上的點(diǎn)，且 AE=FB=

11、GC。試判斷VEFG的形狀,并說明理由。2、如圖，在正方形 ABCD中，P為BC上一點(diǎn)，Q為CD上一點(diǎn)，若PQ=BP+DQ ,求 PAQ。若 PAQ 45，求證：PQ=BP+DQ.3、如圖，菱形 ABCD的邊長為2,對(duì)角線BD=2, E、F分別是AD、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足 AE+CF=2. (1)求證：VBDE VBCF .(2)判斷VBEF的形狀。4以四邊形ABCD的邊AR BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H,順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH(1)如圖1,當(dāng)四邊形 ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖 2,當(dāng)四邊形 ABCD為

12、矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形 EFGH的形狀(不要求證明)；(2)如圖3,當(dāng)四邊形 ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè) ZADC=(0°< <90°),試用含的代數(shù)式表示/HAE;求證：HE=HG; 四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由.例1、在正方形 ABCD的邊BC的延長線上取一點(diǎn)E,使CE=CA,連接AE交CD于F,求 AFD的度數(shù)。變式：1、已知如下圖，正方形 ABCD中，E是CD邊上的一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長線上一點(diǎn)，CE=CF.(1)求證： BEC ADFC; (2)若 / BEC=60 ° ,求/EFD的度數(shù).例2：如圖，E為正方形 ABCD的BC邊上

13、的一點(diǎn)，CG平分/ DCF,連結(jié)AE,并在CG上取一點(diǎn)G,使EG=AE求證：AE± EG星乙例3、P為止方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，K BC例4如圖，P是邊長為1的止方形PE=PB(1)求證： PE=PD ; A _DBECPA=1 , PB=2 , PC=3 ,求/ APB 的度數(shù).ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)(P與A、C /、重合)，點(diǎn)E在射線BC上，且PEI PD;1、如圖，四邊形ABCD為正方形,以AB為邊向正方形外作等邊三角形 ABE, CE與DB相交于點(diǎn)F,則 AFD =OBE2、若正方形 ABCD的邊長為4, E為BC邊上一點(diǎn)，BE=3 , M為線段AE上一點(diǎn)，射線 BM交正方形

14、的一邊于點(diǎn)F,且BF=AE,則BM的長為4.E為正方形 ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且 EBC是等邊三角形，求/ EAD的度數(shù).5、如圖，正方形 ABCD與正方形 OMNP的邊長均為10,點(diǎn)。是正方形 ABCD的中心，正方形 OMNP繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，證明：無論正方形 OMNP旋轉(zhuǎn)到何種位置，這兩個(gè)正方形重疊部分的面積總是一個(gè)定值，并求這個(gè)定值.6、如圖1,四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)G與C、D不重合），以CG為一邊在正方 形ABCD外作正方形CEFG連結(jié)BG, DE.我們探究下列圖中線段 BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的 位置關(guān)系：（1）猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針（或逆時(shí)針）方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形