圓的旋轉(zhuǎn)問題

1、1、 一個(gè)圓的周長等于一個(gè)正方形的邊長，將此圓繞著正方形外周滾動(dòng)一周時(shí)，圓轉(zhuǎn)了幾周？解題思路：圓在多邊形外邊的轉(zhuǎn)動(dòng)不同于圓在一條直線上的轉(zhuǎn)動(dòng)，計(jì)算其旋轉(zhuǎn)的周數(shù)時(shí)還要考慮圓從一條邊轉(zhuǎn)到另一條邊自身轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。解：圓在正方形外周滾動(dòng)的狀態(tài)可以下圖來表示根據(jù)“一個(gè)圓的周長等于一個(gè)正方形的邊長”可知，圓A從圖1 滾動(dòng)到圖2 的位置上，完成了在正方形的一條邊的滾動(dòng)，圓旋轉(zhuǎn)了一周，要完成4 條邊的滾動(dòng)則要旋轉(zhuǎn)4 周。從圖2滾動(dòng)到圖3 的位置上時(shí)，圓自身旋轉(zhuǎn)了90 度角?？紤]到正方形有4 個(gè)角，所以圓共需自轉(zhuǎn)90× 4 360（度），即自轉(zhuǎn)一周。所以：此圓繞著正方形外周滾動(dòng)一周時(shí)，圓轉(zhuǎn)了4 1 5

2、（周）。2、如果一個(gè)圓的周長等于一個(gè)正三角形的邊長，將此圓繞著三角形外周滾動(dòng)一周，圓自轉(zhuǎn) 了幾周？解題思路：圓繞著正三角形外周滾動(dòng)與圓繞正方形外周滾動(dòng)一周的相似，計(jì)算其旋轉(zhuǎn)的周數(shù)時(shí)還要考慮圓從一條邊轉(zhuǎn)動(dòng)到另一條邊自身轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。 解：圓在三角形外周滾動(dòng)的狀態(tài)可以下圖來表示根據(jù)“一個(gè)圓的周長等于一個(gè)正方形的邊長”可知，圓了在正三角形的一條邊的滾動(dòng)，圓旋轉(zhuǎn)了一周，要完成滾動(dòng)到圖3 的位置上時(shí)，圓自身旋轉(zhuǎn)了180 60 120（度）A從圖1 滾動(dòng)到圖2 的位置上，完成3 條邊的滾動(dòng)則要旋轉(zhuǎn)3 周。從圖2?？紤]到正三角形有3 個(gè)角，所以圓共需自轉(zhuǎn)120 × 3 360（度） ，即自轉(zhuǎn)一周。所

3、以：此圓繞著正三角形外周滾動(dòng)一周時(shí)，圓轉(zhuǎn)了3 1 4（周）。綜合以上兩題，我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個(gè)圓的周長等于一個(gè)正方形或者正三角形的邊長時(shí)，這個(gè)圓在這個(gè)正多邊形的外周滾動(dòng)一周，圓旋轉(zhuǎn)的周數(shù)都等于邊的條數(shù)加1 。 這個(gè)結(jié)論我們還可以應(yīng)用與解決圓在其它的正多邊形外周滾動(dòng)的問題，即一個(gè)圓的周長等于一個(gè)正n 邊形的邊長時(shí)，這個(gè)圓在這個(gè)正多邊形的外周滾動(dòng)一周，圓旋轉(zhuǎn)的周數(shù)等于n 1。3、甲、乙兩枚大小相同的硬幣，現(xiàn)將硬幣甲固定，讓硬幣乙沿硬幣甲的周圍滾動(dòng)，當(dāng)硬幣乙滾動(dòng)一周，回到原來的位置，硬幣乙旋轉(zhuǎn)了幾圈？解題思路：此題如果不仔細(xì)分析的話很容易會(huì)將其同我們用滾動(dòng)法沿著直尺測(cè)量圓的周長等同起來，認(rèn)為乙也只是轉(zhuǎn)

4、動(dòng)了一周。此題中的滾動(dòng)，不單包含了乙圍繞甲的轉(zhuǎn)動(dòng)，也包含了乙自身的轉(zhuǎn)動(dòng)。我們可以通過以下兩種方法來得出答案。解：方法1 硬幣乙繞硬幣甲的周圍進(jìn)行滾動(dòng)，包括了兩種運(yùn)動(dòng)形式。一方面硬幣乙沿著由硬幣甲的圓周所“拉直”的線段做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，因?yàn)閮蓚€(gè)硬幣大小相同，所以硬幣乙要旋轉(zhuǎn) 1圈；另一方面這條“拉直”的線段又要圍成一個(gè)圓周，因而使得硬幣乙上的各點(diǎn)也要圍繞其中心旋轉(zhuǎn)1 圈，所以硬幣乙一共要旋轉(zhuǎn)2 圈。方法2、如圖1 ，假設(shè)硬幣甲、乙的圓心分別是O1、O2，把硬幣乙上的圓周分為4 個(gè)等份，等分點(diǎn)依次是B1、B2、B3、 B4。開始時(shí)硬幣乙上的B1 點(diǎn)和硬幣甲相接觸，線段O1B1O2處于豎直位置。硬幣乙貼住

5、硬幣甲滾動(dòng)，如圖2， 從B1 點(diǎn)滾動(dòng)到B2點(diǎn)。這時(shí)硬幣乙所滾動(dòng)過的弧長1等于圓周長的四分之一，半徑O2B1 和初始位置相比轉(zhuǎn)過了180°，即硬幣乙旋轉(zhuǎn)了圈。根21據(jù)對(duì)稱性，可以得到硬幣乙繞硬幣甲旋轉(zhuǎn)一周，硬幣乙旋轉(zhuǎn)了× 4=2（圈）。21圖24、一個(gè)圓在正五角形外側(cè)A處開始與正五角形的邊相切滾動(dòng)，如果BC的長度等于圓周長，那么當(dāng)此圓滾回原出發(fā)點(diǎn)解題思路：本題要區(qū)分清楚圓在正五角形外側(cè)滾動(dòng)是，遇到不同的角時(shí)圓所轉(zhuǎn)動(dòng)的角度是不同的。當(dāng)圓處從點(diǎn)A 所在的邊轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)B 所在的邊上時(shí)，圓不需要自轉(zhuǎn)，且從點(diǎn)B 到點(diǎn) C港號(hào)轉(zhuǎn)了1 圈；當(dāng)通過C轉(zhuǎn)到另一條邊時(shí)，圓必須要自傳144 度后才能

6、繼續(xù)滾動(dòng)。在正五角形中，像C這樣的角共有5個(gè)，所以圓共需自轉(zhuǎn)144× 5 720 度。解：當(dāng)此圓滾回原出發(fā)點(diǎn)A處時(shí)，它轉(zhuǎn)的圈數(shù)是1× 10 144× 5÷ 360 12 圈。答：略。5、一個(gè)小圓在一個(gè)大圓內(nèi)不停地滾動(dòng)，大圓的半徑是小圓的直徑。小圓滾動(dòng)一周回到原來 的位置時(shí)，小圓自己旋轉(zhuǎn)了幾周？解題思路：如下圖， 圓和這條直線相切于A點(diǎn)， 這個(gè)圓從A點(diǎn)開始沿著直線滾動(dòng)一周后再和這條直線相切于A點(diǎn)，這時(shí)圓心所經(jīng)過路徑長度為線段OO1的長度，圓周所滾過的路徑長度為線段 AA的長度，這兩個(gè)長度是一樣的。因?yàn)椤皥A是到定點(diǎn)（圓心）的距離等于定長（半徑）的點(diǎn)的軌跡”，圓上的點(diǎn)前進(jìn)多少，圓心也會(huì)前進(jìn)多少。因此，不管圓怎樣滾動(dòng)，圓心所經(jīng)過軌跡的長度一定會(huì)等于圓周所滾動(dòng)過的長度。圖解：設(shè)小圓的半