圓的旋轉(zhuǎn)問題

1、1、 一個圓的周長等于一個正方形的邊長，將此圓繞著正方形外周滾動一周時，圓轉(zhuǎn)了幾周？解題思路：圓在多邊形外邊的轉(zhuǎn)動不同于圓在一條直線上的轉(zhuǎn)動，計算其旋轉(zhuǎn)的周數(shù)時還要考慮圓從一條邊轉(zhuǎn)到另一條邊自身轉(zhuǎn)動的角度。解：圓在正方形外周滾動的狀態(tài)可以下圖來表示根據(jù)“一個圓的周長等于一個正方形的邊長”可知，圓A從圖1 滾動到圖2 的位置上，完成了在正方形的一條邊的滾動，圓旋轉(zhuǎn)了一周，要完成4 條邊的滾動則要旋轉(zhuǎn)4 周。從圖2滾動到圖3 的位置上時，圓自身旋轉(zhuǎn)了90 度角。考慮到正方形有4 個角，所以圓共需自轉(zhuǎn)90× 4 360（度），即自轉(zhuǎn)一周。所以：此圓繞著正方形外周滾動一周時，圓轉(zhuǎn)了4 1 5

2、（周）。2、如果一個圓的周長等于一個正三角形的邊長，將此圓繞著三角形外周滾動一周，圓自轉(zhuǎn) 了幾周？解題思路：圓繞著正三角形外周滾動與圓繞正方形外周滾動一周的相似，計算其旋轉(zhuǎn)的周數(shù)時還要考慮圓從一條邊轉(zhuǎn)動到另一條邊自身轉(zhuǎn)動的角度。 解：圓在三角形外周滾動的狀態(tài)可以下圖來表示根據(jù)“一個圓的周長等于一個正方形的邊長”可知，圓了在正三角形的一條邊的滾動，圓旋轉(zhuǎn)了一周，要完成滾動到圖3 的位置上時，圓自身旋轉(zhuǎn)了180 60 120（度）A從圖1 滾動到圖2 的位置上，完成3 條邊的滾動則要旋轉(zhuǎn)3 周。從圖2?？紤]到正三角形有3 個角，所以圓共需自轉(zhuǎn)120 × 3 360（度） ，即自轉(zhuǎn)一周。所

3、以：此圓繞著正三角形外周滾動一周時，圓轉(zhuǎn)了3 1 4（周）。綜合以上兩題，我們可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)一個圓的周長等于一個正方形或者正三角形的邊長時，這個圓在這個正多邊形的外周滾動一周，圓旋轉(zhuǎn)的周數(shù)都等于邊的條數(shù)加1 。 這個結(jié)論我們還可以應(yīng)用與解決圓在其它的正多邊形外周滾動的問題，即一個圓的周長等于一個正n 邊形的邊長時，這個圓在這個正多邊形的外周滾動一周，圓旋轉(zhuǎn)的周數(shù)等于n 1。3、甲、乙兩枚大小相同的硬幣，現(xiàn)將硬幣甲固定，讓硬幣乙沿硬幣甲的周圍滾動，當(dāng)硬幣乙滾動一周，回到原來的位置，硬幣乙旋轉(zhuǎn)了幾圈？解題思路：此題如果不仔細(xì)分析的話很容易會將其同我們用滾動法沿著直尺測量圓的周長等同起來，認(rèn)為乙也只是轉(zhuǎn)

4、動了一周。此題中的滾動，不單包含了乙圍繞甲的轉(zhuǎn)動，也包含了乙自身的轉(zhuǎn)動。我們可以通過以下兩種方法來得出答案。解：方法1 硬幣乙繞硬幣甲的周圍進(jìn)行滾動，包括了兩種運動形式。一方面硬幣乙沿著由硬幣甲的圓周所“拉直”的線段做旋轉(zhuǎn)運動，因為兩個硬幣大小相同，所以硬幣乙要旋轉(zhuǎn) 1圈；另一方面這條“拉直”的線段又要圍成一個圓周，因而使得硬幣乙上的各點也要圍繞其中心旋轉(zhuǎn)1 圈，所以硬幣乙一共要旋轉(zhuǎn)2 圈。方法2、如圖1 ，假設(shè)硬幣甲、乙的圓心分別是O1、O2，把硬幣乙上的圓周分為4 個等份，等分點依次是B1、B2、B3、 B4。開始時硬幣乙上的B1 點和硬幣甲相接觸，線段O1B1O2處于豎直位置。硬幣乙貼住

5、硬幣甲滾動，如圖2， 從B1 點滾動到B2點。這時硬幣乙所滾動過的弧長1等于圓周長的四分之一，半徑O2B1 和初始位置相比轉(zhuǎn)過了180°，即硬幣乙旋轉(zhuǎn)了圈。根21據(jù)對稱性，可以得到硬幣乙繞硬幣甲旋轉(zhuǎn)一周，硬幣乙旋轉(zhuǎn)了× 4=2（圈）。21圖24、一個圓在正五角形外側(cè)A處開始與正五角形的邊相切滾動，如果BC的長度等于圓周長，那么當(dāng)此圓滾回原出發(fā)點解題思路：本題要區(qū)分清楚圓在正五角形外側(cè)滾動是，遇到不同的角時圓所轉(zhuǎn)動的角度是不同的。當(dāng)圓處從點A 所在的邊轉(zhuǎn)動到點B 所在的邊上時，圓不需要自轉(zhuǎn)，且從點B 到點 C港號轉(zhuǎn)了1 圈；當(dāng)通過C轉(zhuǎn)到另一條邊時，圓必須要自傳144 度后才能

6、繼續(xù)滾動。在正五角形中，像C這樣的角共有5個，所以圓共需自轉(zhuǎn)144× 5 720 度。解：當(dāng)此圓滾回原出發(fā)點A處時，它轉(zhuǎn)的圈數(shù)是1× 10 144× 5÷ 360 12 圈。答：略。5、一個小圓在一個大圓內(nèi)不停地滾動，大圓的半徑是小圓的直徑。小圓滾動一周回到原來 的位置時，小圓自己旋轉(zhuǎn)了幾周？解題思路：如下圖， 圓和這條直線相切于A點， 這個圓從A點開始沿著直線滾動一周后再和這條直線相切于A點，這時圓心所經(jīng)過路徑長度為線段OO1的長度，圓周所滾過的路徑長度為線段 AA的長度，這兩個長度是一樣的。因為“圓是到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的點的軌跡”，圓上的點前進(jìn)多少，圓心也會前進(jìn)多少。因此，不管圓怎樣滾動，圓心所經(jīng)過軌跡的長度一定會等于圓周所滾動過的長度。圖解：設(shè)小圓的半