概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末試卷及答案最新

1、一、填空（每小題2分，共10分）設(shè)是三個隨機(jī)事件，則至少發(fā)生兩個可表示為_。. 擲一顆骰子，表示“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，表示“點(diǎn)數(shù)不大于3”，則表示_。已知互斥的兩個事件滿足，則_。設(shè)為兩個隨機(jī)事件，則_。設(shè)是三個隨機(jī)事件，、，則至少發(fā)生一個的概率為_。二、單項選擇（每小題的四個選項中只有一個是正確答案，請將正確答案的番號填在括號內(nèi)。每小題2分，共20分）1. 從裝有2只紅球，2只白球的袋中任取兩球，記“取到2只白球”，則（ ）。(A) 取到2只紅球 (B) 取到1只白球 (C) 沒有取到白球 (D) 至少取到1只紅球2對擲一枚硬幣的試驗, “出現(xiàn)正面”稱為（ ）。(A) 隨機(jī)事件(B) 必然事件(C

2、) 不可能事件(D) 樣本空間3. 設(shè)A、B為隨機(jī)事件，則（ ）。(A) A (B) B(C) AB (D) 4. 設(shè)和是任意兩個概率不為零的互斥事件，則下列結(jié)論中肯定正確的是（ ）。(A) 與互斥(B)與不互斥(C)(D)5. 設(shè)為兩隨機(jī)事件，且，則下列式子正確的是（ ）。(A) (B)(C)(D)6. 設(shè)相互獨(dú)立，則（ ）。(A) (B)(C)(D)是三個隨機(jī)事件，且有，則（ ）。 (A) 0.1(B)(C) 0.8(D)8. 進(jìn)行一系列獨(dú)立的試驗，每次試驗成功的概率為p，則在成功2次之前已經(jīng)失敗3次的概率為（ ）。(A) p2(1 p)3(B) 4 p (1 p)3(C) 5 p2(1

3、p)3 (D) 4 p2(1 p)39. 設(shè)A、B為兩隨機(jī)事件，且，則下列式子正確的是（ ）。(A) (B) (C) (D) 10. 設(shè)事件A與B同時發(fā)生時，事件C一定發(fā)生，則（ ）。(A) P(A B) = P (C) (B) P (A) + P (B) P (C) 1(C) P (A) + P (B) P (C) 1 (D) P (A) + P (B) P (C)三、計算與應(yīng)用題（每小題8分，共64分）1. 袋中裝有5個白球，3個黑球。從中一次任取兩個。求取到的兩個球顏色不同的概率。2. 10把鑰匙有3把能把門鎖打開。今任取兩把。求能打開門的概率。3. 一間宿舍住有6位同學(xué)，求他們中有4個

4、人的生日在同一個月份概率。4. 50個產(chǎn)品中有46個合格品與4個次品，從中一次抽取3個，求至少取到一個次品的概率。5. 加工某種零件，需經(jīng)過三道工序，假定第一、二、三道工序的次品率分別為0.2，0.1，0.1，并且任何一道工序是否出次品與其它各道工序無關(guān)。求該種零件的次品率。6. 已知某品的合格率為0.95，而合格品中的一級品率為0.65。求該產(chǎn)品的一級品率。7. 一箱產(chǎn)品共100件,其中次品個數(shù)從0到2是等可能的。開箱檢驗時，從中隨機(jī)抽取10件，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收。若已知該箱產(chǎn)品已通過驗收，求其中確實沒有次品的概率。8. 某廠的產(chǎn)品，按甲工藝加工，按乙工藝加工，兩種

5、工藝加工出來的產(chǎn)品的合格率分別為0.8與0.9?，F(xiàn)從該廠的產(chǎn)品中有放回地取5件來檢驗，求其中最多有一件次品的概率。四、證明題（共6分）設(shè)，。證明 試卷一 參考答案一、填空1. 或 2. 出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)恰為53. 與互斥 則 故 5. 至少發(fā)生一個，即為又由 得 故 二、單項選擇12. A3. A利用集合的運(yùn)算性質(zhì)可得.4與互斥故 5故 6相互獨(dú)立7.且 則 8.9. B10. B故 P (A) + P (B) P (C) 1 三、計算與應(yīng)用題1. 解：設(shè) 表示“取到的兩球顏色不同”，則而樣本點(diǎn)總數(shù)故 2. 解：設(shè) 表示“能把門鎖打開”，則，而故 3. 解：設(shè) 表示“有4個人的生日在同一月份”，則而

6、樣本點(diǎn)總數(shù)為故 4. 解：設(shè) 表示“至少取到一個次品”，因其較復(fù)雜，考慮逆事件=“沒有取到次品”則 包含的樣本點(diǎn)數(shù)為。而樣本點(diǎn)總數(shù)為故 5. 解：設(shè) “任取一個零件為次品”由題意要求，但較復(fù)雜，考慮逆事件“任取一個零件為正品”，表示通過三道工序都合格，則 于是 6. 解：設(shè) 表示“產(chǎn)品是一極品”，表示“產(chǎn)品是合格品”顯然，則于是 即 該產(chǎn)品的一級品率為7. 解：設(shè) “箱中有件次品”，由題設(shè)，有，又設(shè) “該箱產(chǎn)品通過驗收”，由全概率公式，有于是 8. 解：依題意，該廠產(chǎn)品的合格率為，于是，次品率為 設(shè) 表示“有放回取5件，最多取到一件次品”則 四、證明題證明 ， ，由概率的性質(zhì)知 則又 且 故

7、試卷二一、填空（每小題2分，共10分）1. 若隨機(jī)變量 的概率分布為 ，則_。2. 設(shè)隨機(jī)變量 ，且 ，則_。3. 設(shè)隨機(jī)變量 ,則 _。4. 設(shè)隨機(jī)變量 ，則 _。5. 若隨機(jī)變量的概率分布為則 _。二、單項選擇(每題的四個選項中只有一個是正確答案，請將正確答案的番號填在括號內(nèi)。每小題2分，共20分)1. 設(shè) 與 分別是兩個隨機(jī)變量的分布函數(shù)，為使 是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取（ ）。(A)(B)(C)(D)2. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，則（ ）。(A)(B)(C)(D)3.下列函數(shù)為隨機(jī)變量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) 4.下列函數(shù)為隨機(jī)變量分

8、布密度的是( )。(A)(B)(C) (D)5. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，則的概率密度為（ ）。(A)(B)(C)(D)6. 設(shè)服從二項分布，則（ ）。(A)(B)(C)(D) 7. 設(shè)，則（ ）。(A)(B)(C)(D)8設(shè)隨機(jī)變量的分布密度為 , 則（ ）。(A) 2(B) 1(C) 1/2(D) 49對隨機(jī)變量來說，如果，則可斷定不服從（ ）。(A) 二項分布(B) 指數(shù)分布(C) 正態(tài)分布(D) 泊松分布10設(shè)為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，則 ( )。(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) -3 三、計算與應(yīng)用題（每小題8分，共64分）1. 盒內(nèi)有12個乒乓球，其中9個是新球，3個是舊

9、球。采取不放回抽取，每次取一個，直到取到新球為止。求抽取次數(shù)的概率分布。2. 車間中有6名工人在各自獨(dú)立的工作，已知每個人在1小時內(nèi)有12分鐘需用小吊車。求（1）在同一時刻需用小吊車人數(shù)的最可能值是多少？（2）若車間中僅有2臺小吊車，則因小吊車不夠而耽誤工作的概率是多少？3. 某種電子元件的壽命是隨機(jī)變量，其概率密度為求（1）常數(shù)；（2）若將3個這種元件串聯(lián)在一條線路上，試計算該線路使用150小時后仍能正常工作的概率。4. 某種電池的壽命（單位：小時）是一個隨機(jī)變量，且。求（1）這樣的電池壽命在250小時以上的概率；（2），使電池壽命在內(nèi)的概率不小于0.9。5. 設(shè)隨機(jī)變量。求 概率密度。6.

10、 若隨機(jī)變量服從泊松分布，即，且知。求。7. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為。求和。8. 一汽車沿一街道行使，需要通過三個均沒有紅綠燈信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨(dú)立，求紅或綠兩種信號燈顯示的時間相等。以表示該汽車未遇紅燈而連續(xù)通過的路口數(shù)。求（1）的概率分布；（2）。四、證明題（共6分）設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布。證明：在區(qū)間上，服從均勻分布。試卷二參考答案一、填空1. 6由概率分布的性質(zhì)有 即 ，得 。2. ，則4. 由題設(shè)，可設(shè)即01則 二、單項選擇1. ()由分布函數(shù)的性質(zhì)，知 則 ，經(jīng)驗證只有滿足，選2. ()由概率密度的性質(zhì)，有3. ()由概率密度的性質(zhì)，

11、有4. ()由密度函數(shù)的性質(zhì)，有 5. ()是單減函數(shù)，其反函數(shù)為 ，求導(dǎo)數(shù)得 由公式，的密度為6. ()由已知服從二項分布，則又由方差的性質(zhì)知,7. ()于是 8. (A) 由正態(tài)分布密度的定義,有 9. (D) 如果時,只能選擇泊松分布.10. (D)X為服從正態(tài)分布N (-1, 2), EX = -1 E(2X - 1) = -3三、計算與應(yīng)用題1. 解：設(shè)為抽取的次數(shù) 只有個舊球,所以的可能取值為：由古典概型，有則12342. 解：設(shè) 表示同一時刻需用小吊車的人數(shù)，則是一隨機(jī)變量，由題意有，于是（1）的最可能值為 ，即概率達(dá)到最大的（2）3. 解：（1）由 可得 （2）串聯(lián)線路正常工作

12、的充要條件是每個元件都能正常工作，而這里三個元件的工作是相互獨(dú)立的，因此，若用表示“線路正常工作”，則而 故 4. 解：（1）（查正態(tài)分布表）（2）由題意即 查表得 。5. 解:對應(yīng)的函數(shù)單調(diào)增加，其反函數(shù)為，求導(dǎo)數(shù)得，又由題設(shè)知 故由公式知： 6. 解:，則而由題設(shè)知 即 可得 故 查泊松分布表得，7. 解:由數(shù)學(xué)期望的定義知,而 故 8. 解:（1）的可能取值為且由題意,可得即0123（2）由離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，有四、證明題證明：由已知 則又由 得 連續(xù)，單調(diào)，存在反函數(shù) 且 當(dāng)時， 則 故 即 試卷三一、填空（請將正確答案直接填在橫線上。每小題 2分，共10分）1. 設(shè)二維隨機(jī)

13、變量的聯(lián)合分布律為，則 _，_.2. 設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立，其概率分布分別為，則 _.3. 若隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且，則 服從_分布.4. 已知與相互獨(dú)立同分布，且則 _.5. 設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為、方差，則由切比雪夫不等式有_.二、單項選擇(在每題的四個選項中只有一個是正確答案，請將正確答案的番號填在括號內(nèi)。每小題2分，共20分)1. 若二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為，則系數(shù)（ ）.(A)(B)(C)(D)2. 設(shè)兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和分別服從正態(tài)分布和，則下列結(jié)論正確的是（ ）.(A)(B)(C)(D)3. 設(shè)隨機(jī)向量(X , Y)的聯(lián)合分布密度為, 則（ ）.(A) (X , Y) 服

14、從指數(shù)分布(B) X與Y不獨(dú)立(C) X與Y相互獨(dú)立(D) cov(X , Y) 04. 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且都服從區(qū)間0,1上的均勻分布，則下列隨機(jī)變量中服從均勻分布的有（ ）.(A) (B)(C)(D)5. 設(shè)隨機(jī)變量與隨機(jī)變量相互獨(dú)立且同分布, 且, 則下列各式中成立的是（ ）.(A)(B)(C)(D)6設(shè)隨機(jī)變量的期望與方差都存在, 則下列各式中成立的是（ ）.(A)(B)(C)(D)7. 若隨機(jī)變量是的線性函數(shù)，且隨機(jī)變量存在數(shù)學(xué)期望與方差，則與的相關(guān)系數(shù)（ ）.(A)(B)(C)(D)8. 設(shè)是二維隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量與不相關(guān)的充要條件是（ ）.(A)(B)(C)(D)9. 設(shè)是個

15、相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，則對于，有（ ）.(A)(B)(C)(D)10. 設(shè),為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且Xi( i = 1,2,)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，正態(tài)分布N ( 0, 1 ) 的密度函數(shù)為, 則（ ）.三、計算與應(yīng)用題（每小題8分，共64分）1. 將2個球隨機(jī)地放入3個盒子，設(shè)表示第一個盒子內(nèi)放入的球數(shù)，表示有球的盒子個數(shù).求二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布.2. 設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為（1）確定的值；（2）求 .3. 設(shè)的聯(lián)合密度為（1）求邊緣密度和；（2）判斷與是否相互獨(dú)立.4. 設(shè)的聯(lián)合密度為求的概率密度.5. 設(shè)，且與相互獨(dú)立.求（1）的聯(lián)合概率密度；（2）；（3）.6.

16、設(shè)的聯(lián)合概率密度為求及.7. 對敵人陣地進(jìn)行100次炮擊。每次炮擊命中目標(biāo)的炮彈的數(shù)學(xué)期望是4，標(biāo)準(zhǔn)差是1.5.求100次炮擊中有380至420課炮彈命中目標(biāo)的概率.8. 抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，如果發(fā)現(xiàn)次品數(shù)多于10個，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受.問應(yīng)檢查多少個產(chǎn)品才能使次品率為10%的這批產(chǎn)品不被接受的概率達(dá)0.9.四、證明題（共6分）設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在，證明隨機(jī)變量與任一常數(shù)的協(xié)方差是零.試卷三參考解答一、填空1. 由聯(lián)合分布律的性質(zhì)及聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系得2. 3. 相互獨(dú)立的正態(tài)變量之和仍服從正態(tài)分布且，4. 5. 二、單項選擇1. (B)由 即 選擇(B).2. (B)由題設(shè)可知，故將標(biāo)準(zhǔn)化得 選擇(B).3. (C)選擇(C).4.(C)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且都服從區(qū)間0,1上的均勻分布, 則選擇(C).5. (A)選擇(A).6.(A)由期望的性質(zhì)知選擇(A).7. (D)選擇(D).8. (B)與不相關(guān)的充要條件是即 則 選擇(B).9. (C)選擇(C).10.(A)Xi( i = 1,2,)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則故 選擇(A).三、計算與應(yīng)用題1. 解顯然的可能取值為；的可能取值為注意到將個球隨機(jī)的放入個盒子共有種放法,則有即 的聯(lián)合分布律為2. 解（1）由概率密度的性質(zhì)有可得 （2）設(shè)，則3. 解（1）即 即 ，（2）當(dāng)時故隨機(jī)變量與不相互獨(dú)立.