理論力學(xué)動力學(xué)普遍定理

1、理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院1理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院2一、質(zhì)點系的質(zhì)心一、質(zhì)點系的質(zhì)心 iiiiiiCCCm xm ym zxyzmmm，10-1 10-1 質(zhì)點系的質(zhì)心質(zhì)點系的質(zhì)心 內(nèi)力與外力內(nèi)力與外力 在均勻重力場中，質(zhì)點系的質(zhì)心與重心的位置重合?？刹捎么_定重心在均勻重力場中，質(zhì)點系的質(zhì)心與重心的位置重合。可采用確定重心的各種方法來確定質(zhì)心的位置。但是，質(zhì)心與重心是兩個不同的概念，質(zhì)的各種方法來確定質(zhì)心的位置。但是，質(zhì)心與重心是兩個不同的概念，質(zhì)心比重心具有更加廣泛的力學(xué)意義。心比重心具有更加廣泛的力學(xué)意義。yCxzOyCxCz

2、CrCrii()imm質(zhì)心質(zhì)心C點的位置點的位置： i ii iCimmmmrrr CCCCxyz rijk質(zhì)點系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心。是表示質(zhì)點系的質(zhì)量中心稱為質(zhì)心。是表示質(zhì)點系質(zhì)量分布情況的一個重要概念。質(zhì)點系質(zhì)量分布情況的一個重要概念。理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院3 內(nèi)力：質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點之間相互作用的力。內(nèi)力：質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點之間相互作用的力。 對整個質(zhì)點系來講，內(nèi)力系的主矢恒等于零，對整個質(zhì)點系來講，內(nèi)力系的主矢恒等于零， 內(nèi)力系對任一點（或軸）的主矩恒等于零。即：內(nèi)力系對任一點（或軸）的主矩恒等于零。即：(i)(i)0 ()0iOi ；FMF二、質(zhì)點系的內(nèi)力與

3、外力二、質(zhì)點系的內(nèi)力與外力外力：質(zhì)點系以外的物體作用于該質(zhì)點系中各質(zhì)點的力。外力：質(zhì)點系以外的物體作用于該質(zhì)點系中各質(zhì)點的力。(i)(i)(i)()0()0()0 xiyiziMMM ，F(xiàn)FF理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院4轉(zhuǎn)動慣量的計算轉(zhuǎn)動慣量的計算122221 d12lzlmJxxmll2201 d 3lzmJxxmll解解：1、積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）、積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用） 例例均均質(zhì)細直桿長為質(zhì)細直桿長為l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為m。求桿。求桿對對z軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量Jz 及對及對z1 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量Jz1 。

4、zdxxxOl2lz1dxxxC2l理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院5 zR222zi iiJm rRmmR xyRrdr22201d2d2RzJrmrrrmR 設(shè)細圓環(huán)的質(zhì)量為設(shè)細圓環(huán)的質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R。則。則均質(zhì)薄圓環(huán)對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量均質(zhì)薄圓環(huán)對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量均質(zhì)圓板對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量均質(zhì)圓板對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)圓板的質(zhì)量為設(shè)圓板的質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R。將圓板分為無數(shù)。將圓板分為無數(shù)同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的質(zhì)量為同心的薄圓環(huán)，任一圓環(huán)的質(zhì)量為dm= 2 rdr， =m/ R2，于是圓板轉(zhuǎn)動慣量為，于是圓板轉(zhuǎn)動慣量為理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)

5、土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院6由所定義的長度由所定義的長度r rz稱為剛體對稱為剛體對 z 軸的回轉(zhuǎn)半徑。軸的回轉(zhuǎn)半徑。zzJmr2zzJmr 對于均質(zhì)剛體，對于均質(zhì)剛體，r rz僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。對僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。對于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回轉(zhuǎn)半徑是相同的。轉(zhuǎn)半徑是相同的。 在機械工程設(shè)計手冊中，可以查閱到簡單幾何形狀或已在機械工程設(shè)計手冊中，可以查閱到簡單幾何形狀或已標準化的零件的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)標準化的零件的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)剛體的剛體

6、的Jz和和r rz，以供參考。，以供參考。2、回轉(zhuǎn)半徑、回轉(zhuǎn)半徑理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院73、平行移軸定理、平行移軸定理 剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過質(zhì)心且與該軸平行剛體對某軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對通過質(zhì)心且與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離的平方之乘積。2zzCJJmdzCzydxmiCOzixiriCriyixCyiC222()zCi iCiiiCJm rm xy22222()() zi iiiiiiiCJm rm xym xyd2222()()2ziiiCiiiCzCJm xym

7、 ddm yJmd剛體對通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量具有最小值剛體對通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量具有最小值。0 iiCm y理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院8 動能定理用能量法研究動力學(xué)問題。能量法不僅在機械運動能定理用能量法研究動力學(xué)問題。能量法不僅在機械運動的研究中有重要的應(yīng)用，而且是溝通機械運動和其它形式運動的研究中有重要的應(yīng)用，而且是溝通機械運動和其它形式運動的橋梁。動能定理建立了與運動有關(guān)的物理量動的橋梁。動能定理建立了與運動有關(guān)的物理量動能和作用動能和作用力的物理量力的物理量功之間的聯(lián)系，這是一種能量傳遞的規(guī)律。功之間的聯(lián)系，這是一種能量傳遞的規(guī)律。 力的功是力沿路程累積效

8、應(yīng)的度量。力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。cosWFsF s 時，正功；時，正功； 時，功為零；時，功為零； 時，負功。時，負功。 功的單位：焦耳（）；功的單位：焦耳（）；2221J1N m一、常力的功一、常力的功( (力是常矢量力是常矢量) )FM1M2s 12-112-1力的功力的功功是代數(shù)量。功是代數(shù)量。理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院9二、變力的功二、變力的功 力力F 在曲線路程中作功為在曲線路程中作功為21MM 設(shè)質(zhì)點設(shè)質(zhì)點M在變力在變力F的作用下沿曲線運動，力的作用下沿曲線運動，力F在微小弧在微小弧段上所作的功稱為力的段上所作的功稱為力的元功元功，記為記為d

9、 dW，于是有于是有cosdWFs0cos dsWFs自然法表示的自然法表示的功的計算公式功的計算公式上兩式可寫成矢量點乘積形式上兩式可寫成矢量點乘積形式dW Fr21dMMW Fr矢徑法表示的矢徑法表示的功的計算公式功的計算公式MM1M2dsMdrFdddxyzWF xFyF z21(ddd )MxyzMWF xFyF z直角坐標法表示的功的計算公式，也稱為功的解析表達式。直角坐標法表示的功的計算公式，也稱為功的解析表達式。理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院10三、常見力的功三、常見力的功 質(zhì)點系質(zhì)點系1212g()g()iiiiCCWWmzzmzz 質(zhì)點系重力的功，等

10、于質(zhì)點系的重量與其在始末位置重心質(zhì)點系重力的功，等于質(zhì)點系的重量與其在始末位置重心高度差的乘積，而與各質(zhì)點運動的路徑無關(guān)。高度差的乘積，而與各質(zhì)點運動的路徑無關(guān)。00gxyzFFFm ，代入功的解析表達式得代入功的解析表達式得211212(g)dg()zzWmzmzz1、重力的功、重力的功M1M2Mmgz1z2Oxyz理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院11221100d()dMMMMWk rlFrrr2011ddd()d()d22rrrrr rrrrr r200)(d2d)(2121lrkrlrkWrrrr )()(2202201lrlrk222212()()22kkWd

11、ddd末初有限變形下彈性力的功只與有限變形下彈性力的功只與彈簧的初始變形和末變形有彈簧的初始變形和末變形有關(guān)，與力作用點的路徑無關(guān)。關(guān)，與力作用點的路徑無關(guān)。2、彈性力的功、彈性力的功 ( (指有限變形下彈性力的功，與彈簧兩端點位置無關(guān)指有限變形下彈性力的功，與彈簧兩端點位置無關(guān)) )彈簧原長彈簧原長l0 ，作用點的軌跡為圖示曲線，作用點的軌跡為圖示曲線A1A2。在彈性極限內(nèi)。在彈性極限內(nèi) k彈簧的剛性系數(shù)，表示使彈簧發(fā)生單位變形時所需的力彈簧的剛性系數(shù)，表示使彈簧發(fā)生單位變形時所需的力(N/m)。00()k rl Fr110220rlrldd初變形初變形 末變性末變性A1A2r2r1d d1

12、d d2l0Or0rAd dFA0dr理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院12 OzO1A設(shè)作用在定軸轉(zhuǎn)動剛體上設(shè)作用在定軸轉(zhuǎn)動剛體上A點的力為點的力為F，將該力分解為將該力分解為Ft、Fn和和Fb 。當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)角當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)角j j與弧長與弧長s的關(guān)系為的關(guān)系為tcosFFddsRjR為點為點A到軸的垂距。力到軸的垂距。力F 的元功為的元功為ttd =dddzWF sF RMjjFrFtFrFbFn力力F在剛體從角在剛體從角j j1轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到j(luò) j2所作的功為所作的功為2112dzWMjjj 3、作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力的功，力偶的功、作用于定軸轉(zhuǎn)動剛體上的力的功

13、，力偶的功作用面垂直轉(zhuǎn)軸的常力作用面垂直轉(zhuǎn)軸的常力偶偶M，則力偶作的功為，則力偶作的功為1221()WMjj理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院13dd0CtrvSSdd0CWtdFrFv法向力法向力FN，靜摩擦力，靜摩擦力FS作用于瞬心作用于瞬心C處，而瞬心的位移處，而瞬心的位移(2) 圓輪沿固定面作純滾動時，靜滑動摩擦力的功。圓輪沿固定面作純滾動時，靜滑動摩擦力的功。(1) 動滑動摩擦力的功動滑動摩擦力的功2211NddMMMMWF sf Fs FN=常量時，常量時，W= f FNs，與質(zhì)點的路徑有關(guān)。，與質(zhì)點的路徑有關(guān)。 圓輪沿固定面作純滾動時，圓輪沿固定面作純滾動時

14、，摩擦力是靜摩擦力，不作功摩擦力是靜摩擦力，不作功! !4、摩擦力的功、摩擦力的功FNFSCPRw wO理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院145、質(zhì)點系內(nèi)力的功、質(zhì)點系內(nèi)力的功 只要只要A、B兩點間距離保持不變，內(nèi)力的元功和就等于零兩點間距離保持不變，內(nèi)力的元功和就等于零。 剛體內(nèi)力功之和等于零，不可伸長的繩索內(nèi)力功之和等剛體內(nèi)力功之和等于零，不可伸長的繩索內(nèi)力功之和等于零于零，但變形體內(nèi)力功之和不為零，例如彈簧的功不為零。但變形體內(nèi)力功之和不為零，例如彈簧的功不為零。ddABWdFrFrddABFrFrd()ABFrrdBAFr6、任意運動剛體上力系的功、任意運動剛體上

15、力系的功結(jié)論結(jié)論1 1：任意運動剛體上力系的功，等于剛體上所受各力：任意運動剛體上力系的功，等于剛體上所受各力作功的代數(shù)和。作功的代數(shù)和。結(jié)論結(jié)論2 2：任意運動剛體上力系的功，也等于力系向任一點：任意運動剛體上力系的功，也等于力系向任一點簡化所得的力與力偶作功之和。簡化所得的力與力偶作功之和。 ( (虛位移原理用虛位移原理用) )OABrArBFF理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院15約束力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。約束力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。4、柔性約束（不可伸長的繩索）、柔性約束（不可伸長的繩索）拉緊時，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零

16、。拉緊時，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零。RRRRdddd0WdFrFrFrFrNNd0 (d )WdFrFr1、光滑固定面約束、光滑固定面約束drFNNNS() d0CWdFFr3、剛體沿固定面作純滾動、剛體沿固定面作純滾動FNFSC四、理想約束力的功四、理想約束力的功2、聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）drFRFR理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院16 物體的動能是由于物體運動而具有的能量，是機械運物體的動能是由于物體運動而具有的能量，是機械運動強弱的又一種度量。動強弱的又一種度量。瞬時量，恒為正，具有與功相同的量綱，單位也是瞬時量，恒為正，具有與

17、功相同的量綱，單位也是J(焦耳焦耳)。對于任一質(zhì)點系：（對于任一質(zhì)點系：（viC 為第為第i個質(zhì)點相對質(zhì)心的速度）個質(zhì)點相對質(zhì)心的速度）221122CiiCTmvmv柯尼希定理柯尼希定理221mvT 一、質(zhì)點的動能一、質(zhì)點的動能212iiTmv二、質(zhì)點系的動能二、質(zhì)點系的動能12-212-2動動 能能理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院17212PTJw（P為速度瞬心）為速度瞬心）2PCJJmd222221111()2222CCCJm dmvJwww22221111()2222iiiCTmvm vmvmv2222111()222iii izTmvmrJww3、平面運動剛體、

18、平面運動剛體三、剛體的動能三、剛體的動能2、定軸轉(zhuǎn)動剛體、定軸轉(zhuǎn)動剛體1、平移剛體、平移剛體只能對瞬心和質(zhì)心用，對其它點不存在類似的公式。只能對瞬心和質(zhì)心用，對其它點不存在類似的公式。dw w質(zhì)心質(zhì)心C瞬心瞬心P理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院18221122CCTmvJw212CCJmRvRw ，243CmvT CvRvw2211()22CTm vrJww221122CCTmvJw均質(zhì)圓盤在平板上均質(zhì)圓盤在平板上作純滾動時的動能作純滾動時的動能w wvCvC均質(zhì)圓盤在地面上均質(zhì)圓盤在地面上作純滾動時的動能作純滾動時的動能CvCw w理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院

19、中南大學(xué)土木工程學(xué)院19P 為為AB桿的瞬心桿的瞬心2234AATm vsinAvlw2113PJml2212126sinAABPABm vTJw21223()6sin4AmTm vAvPAw解：解：AABTTT例例均質(zhì)細桿長為均質(zhì)細桿長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m1，上端，上端B靠在光滑的墻上，下端靠在光滑的墻上，下端A用鉸鏈用鉸鏈與質(zhì)量為與質(zhì)量為m2、半徑為、半徑為R且放在粗糙地面上的均質(zhì)圓柱中心相連，圓柱作且放在粗糙地面上的均質(zhì)圓柱中心相連，圓柱作純滾動，桿與水平線的夾角為純滾動，桿與水平線的夾角為 ，若圓柱中心速度為，若圓柱中心速度為vA，求系統(tǒng)的動能。，求系統(tǒng)的動能。vAAB CPw wA

20、B理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院20解：解：AB桿作平面運動，其質(zhì)心桿作平面運動，其質(zhì)心C的速度為的速度為CACAvvv速度合成矢量圖如圖，由余弦定理有：速度合成矢量圖如圖，由余弦定理有：222222221122142cos(180)()2coscosCACAA CAAAAAvvvv vvlvlvll vjwwjwwj則桿的動能則桿的動能222222222211221111242 121123(cos )()(cos )CCAAAATmvJm vll vmlm vll vwwwjwwwj例例如圖滑塊如圖滑塊A以速度以速度vA在滑道內(nèi)滑動，其上鉸接一質(zhì)在滑道內(nèi)滑動，其上

21、鉸接一質(zhì)量為量為m，長為，長為 l 的均質(zhì)桿的均質(zhì)桿AB，桿以角速度，桿以角速度ww繞繞A轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動。試求當(dāng)桿試求當(dāng)桿AB與鉛垂線的夾角為與鉛垂線的夾角為jj時，桿的動能。時，桿的動能。BjvAw wABjvAw wACvCvAvCA理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院211221TTW質(zhì)點系動能定理的積分形式質(zhì)點系動能定理的積分形式在理想約束的條件下，質(zhì)點系的約束力不作功，但質(zhì)點系在理想約束的條件下，質(zhì)點系的約束力不作功，但質(zhì)點系的內(nèi)力作功之和并不一定等于零，例如彈簧在系統(tǒng)內(nèi)作功。的內(nèi)力作功之和并不一定等于零，例如彈簧在系統(tǒng)內(nèi)作功。一、質(zhì)點系的動能定理一、質(zhì)點系的動能定理

22、質(zhì)點系在一段運動過程中動能的改變量，等于作用于質(zhì)質(zhì)點系在一段運動過程中動能的改變量，等于作用于質(zhì)點系全部力在此過程中所作功的和。對理想約束，等于點系全部力在此過程中所作功的和。對理想約束，等于全部主動力所作功的和。全部主動力所作功的和。當(dāng)可以求出任意位置的動能和功的當(dāng)可以求出任意位置的動能和功的表達式時，利用上式求導(dǎo)可求加速度或角加速度。表達式時，利用上式求導(dǎo)可求加速度或角加速度。12-312-3動能定理動能定理理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院22例例已知均質(zhì)圓盤質(zhì)量為已知均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R，摩擦因數(shù)為，摩擦因數(shù)為 f ，斜面傾角為，斜面傾角為j j 。

23、求。求純滾動時盤心的加速度。純滾動時盤心的加速度。j jCFNmgvCw wFS解：取系統(tǒng)為研究對象，假設(shè)圓盤中心向下解：取系統(tǒng)為研究對象，假設(shè)圓盤中心向下 產(chǎn)生位移產(chǎn)生位移 s 時速度達到時速度達到vC。s10T 力的功力的功：12sinWmgsj由動能定理得：由動能定理得：230sin4Cmvmgsj2234CTmvjsin32ga 上式兩邊對時間求導(dǎo)得上式兩邊對時間求導(dǎo)得：理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院23w wII解：取整個系統(tǒng)為研究對象解：取整個系統(tǒng)為研究對象 T1=022222122211123222 Am lm rTm vww AAvlvlrrwww，2

24、22222212212229()()624 12mlmm rmmlTllrwwww12WMj根據(jù)動能定理，得根據(jù)動能定理，得221229012mmlMwj將將式對式對t求導(dǎo)數(shù)，得求導(dǎo)數(shù)，得2126(29)Mmm l122329Mlmmjw例例水平面上水平面上行星齒輪機構(gòu)的曲柄行星齒輪機構(gòu)的曲柄OA受力偶受力偶M作用而繞固定水平軸作用而繞固定水平軸O轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動，并帶動齒輪并帶動齒輪在固定齒輪在固定齒輪上滾動如圖所示。設(shè)曲柄上滾動如圖所示。設(shè)曲柄OA為均質(zhì)桿，長為均質(zhì)桿，長l、質(zhì)量為質(zhì)量為m1；齒輪齒輪為均質(zhì)圓盤，半徑為均質(zhì)圓盤，半徑r 、質(zhì)量為質(zhì)量為m2。試求曲柄的角速度及試求曲柄的角速度及角加

25、速度。角加速度。P321，12-12 OAMw wvA理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院24例例圖示系統(tǒng)中，均質(zhì)圓盤圖示系統(tǒng)中，均質(zhì)圓盤A、B各重各重P，半徑均為，半徑均為R，兩盤中心線為水平線，兩盤中心線為水平線，重物重物D重重Q，盤，盤A上作用有常力偶矩上作用有常力偶矩M。問下落距離。問下落距離h時重物的速度時重物的速度與加速度。與加速度。(不可伸長的繩不計自重，盤不可伸長的繩不計自重，盤B作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止)ABCOMD解：取系統(tǒng)為研究對象，設(shè)重物解：取系統(tǒng)為研究對象，設(shè)重物 速度為速度為 v，加速度為，加速度為a。01T2222111

26、 222OACBQTJvJgww22222222222111 32 222 23()()4242(87 )16ABPQPRvRgggPvQPvRvRgRggRvQPgwwQv aC12hWMQhMQhRjw wAw wB理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院25PQhgQRMvhQRMPQgv78)/(4 )(0)78(16287ddd2() ()16dddQPvMhhvQvgtRtt8(/)87M RQ gaQP上式兩邊求導(dǎo)得：上式兩邊求導(dǎo)得：2112TTW由動能定理由動能定理Qv aABCOMDCw wAw wB理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院26

27、解：選系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。解：選系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。122sincos(2sincos )Wmgsfmgsmgsf22221211 110 22 22TTmvmrmvw運動學(xué)關(guān)系：運動學(xué)關(guān)系：wrv 2245mvT 由動能定理：由動能定理：250(2sincos )4mvmgsf對對求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得2(2sincos )5gaf例例均質(zhì)圓盤均質(zhì)圓盤A質(zhì)量質(zhì)量m，半徑，半徑r；滑塊；滑塊B質(zhì)量質(zhì)量m，通過通過質(zhì)量不質(zhì)量不計計、平行于斜面、平行于斜面的的桿桿AB連接連接。斜面傾角為。斜面傾角為 ，動摩擦因數(shù)為，動摩擦因數(shù)為 f，圓盤作純滾動，系統(tǒng)初始靜，圓盤作純滾動，系統(tǒng)初始靜止。求滑

28、塊止。求滑塊B的加速度及桿的內(nèi)力。的加速度及桿的內(nèi)力。P326、綜、綜-21 ABmgFNAmgFNBFSAFBs設(shè)設(shè)A移動移動s，則，則桿的內(nèi)力用質(zhì)心運動定理求解桿的內(nèi)力用質(zhì)心運動定理求解理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院27例例卷揚機如圖，鼓輪在常力偶卷揚機如圖，鼓輪在常力偶M的作用下將圓柱上拉。已知鼓輪的半徑的作用下將圓柱上拉。已知鼓輪的半徑為為R1，質(zhì)量為，質(zhì)量為m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為R2，質(zhì)量為，質(zhì)量為m2，質(zhì)量，質(zhì)量均勻分布。設(shè)斜坡的傾角為均勻分布。設(shè)斜坡的傾角為 ，圓柱只滾不滑。系統(tǒng)從靜止開始運動，求，圓柱只滾不

29、滑。系統(tǒng)從靜止開始運動，求圓柱中心圓柱中心C經(jīng)過路程經(jīng)過路程s 時的速度和加速度。時的速度和加速度。 MOCR1R2解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。系統(tǒng)在運動過程中所有力所作的功為系統(tǒng)在運動過程中所有力所作的功為1221sinsWMm gsR系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動能分別為系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動能分別為01T22221122111222CCTJm vJwwFNm1gFOxFOym2gFS其中其中2111Jm R22212CJm R11RvCw22RvCww w1w w2理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院28于是于是)32(42122m

30、mvTC由由1212WTT得得21221(23)0sin4CvsmmMm gsR解之得解之得21112(sin )2(23)CMm gRsvRmm MOCR1R2FNm1gFOxFOym2gFSw w1w w2動能定理求導(dǎo)得動能定理求導(dǎo)得211212(sin )(23)CMm gRamm R由于斜面不一定通過由于斜面不一定通過O點，所以系統(tǒng)不能用對點點，所以系統(tǒng)不能用對點O的動量矩定理求解。的動量矩定理求解。理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院29AB求下落時求下落時B的加速度的加速度j jAB求初瞬時桿的角加速度求初瞬時桿的角加速度AFBC求初瞬時兩桿的角加速度求初瞬時兩

31、桿的角加速度此類求加速度問題，之所以一般位置的動能及功的表達式不好列出，是此類求加速度問題，之所以一般位置的動能及功的表達式不好列出，是因為這類問題是兩個因為這類問題是兩個“自由度自由度”的問題，而動能定理只有一個方程，無的問題，而動能定理只有一個方程，無法求兩個自由度的問題。若補充其它動力學(xué)方程又會出現(xiàn)未知的約束力。法求兩個自由度的問題。若補充其它動力學(xué)方程又會出現(xiàn)未知的約束力。對于一個自由度的問題，動能定理一般可以求解！前面用動能定理求加對于一個自由度的問題，動能定理一般可以求解！前面用動能定理求加速度的問題都是一個自由度的問題。兩個自由度的問題可用動量定理及速度的問題都是一個自由度的問題

32、。兩個自由度的問題可用動量定理及動量矩定理或達朗貝爾原理求解！動量矩定理或達朗貝爾原理求解！理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院30解：以任意位置的桿解：以任意位置的桿AB為研究對象，受力如圖。為研究對象，受力如圖。桿作平面運動，設(shè)任意位置時桿的角速度和桿作平面運動，設(shè)任意位置時桿的角速度和角加速度分別為角加速度分別為w w和和 。例例質(zhì)量為質(zhì)量為m長為長為l 的均質(zhì)桿，在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地面，另一端沿的均質(zhì)桿，在鉛直平面內(nèi)一端沿著水平地面，另一端沿著鉛垂墻壁，從著鉛垂墻壁，從j j0角角無初速地滑下，不計摩擦。求：無初速地滑下，不計摩擦。求：(1)桿在任意位置時的桿

33、在任意位置時的角速度和角加速度；角速度和角加速度；(2)開始滑動的瞬時，地面和墻壁對桿的約束力；開始滑動的瞬時，地面和墻壁對桿的約束力；(3)桿桿脫離墻時，桿與水平面所夾的角脫離墻時，桿與水平面所夾的角。P283，11-15，P326綜綜-18OxyABCj jFBmgFAw w 桿的動能，桿的動能，T1=022222111226CCTmvJmlww系統(tǒng)只有重力系統(tǒng)只有重力mg作功作功120(sinsin )2lWmgjj由由1212WTT得得03(sinsin )glwjj兩邊對時間求導(dǎo)，并注意兩邊對時間求導(dǎo)，并注意jw 可得可得3cos2glj理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土

34、木工程學(xué)院31解：取系統(tǒng)分析，則運動初瞬時的動能為解：取系統(tǒng)分析，則運動初瞬時的動能為2012ATmv2v02220021 1()()2 2CvTMrMvr22001(2)22BTmvmv2107104ABCDMmTTTTTv222200011 13()()22 24DvTMvMrMvr例例如圖，重物如圖，重物A和和B通過動滑輪通過動滑輪D和定滑輪和定滑輪C而而運動。如果重物運動。如果重物A開始時向下的速度為開始時向下的速度為v0，試問，試問重物重物A下落多大距離，其速度增大一倍。設(shè)重物下落多大距離，其速度增大一倍。設(shè)重物A和和B的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為m，滑輪，滑輪D和和C的質(zhì)量均為的質(zhì)量均為M

35、，半徑均為半徑均為r且為均質(zhì)圓盤。重物且為均質(zhì)圓盤。重物B與水平面的動與水平面的動摩擦因數(shù)為摩擦因數(shù)為f ，繩索質(zhì)量忽略不計且不能伸長。，繩索質(zhì)量忽略不計且不能伸長。DABv0C理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院32DABC 系統(tǒng)受力如圖所示，設(shè)重物系統(tǒng)受力如圖所示，設(shè)重物A下降下降h高高度時，其速度增大一倍。在此過程中，所度時，其速度增大一倍。在此過程中，所有的力所作的功為有的力所作的功為12d2(1 2 )WmghMghFhMf m gh由由1212WTT得得203(710 )(1 2 )4Mm vMf m gh解得解得203(710 )4(1 2 )Mm vhMf

36、m g速度增大一倍時的動能為速度增大一倍時的動能為220(710 )TMm vmgMgMgmgFNFdFCyFCx如何求運動過程中各段繩如何求運動過程中各段繩的張力及的張力及C處的約束力？處的約束力？理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院33設(shè)重物設(shè)重物A下降任意位置下降任意位置 s 時的速度為時的速度為vA。DABCvAs227104ABCDAMmTTTTTv系統(tǒng)的動能為系統(tǒng)的動能為1constT 在此過程中，所有的力所作的功為在此過程中，所有的力所作的功為12d2(1 2 )WmgsMgsFsMf m gs并注意并注意 可求得可求得dd0ddAAAvsavtt，2(1 2

37、 ) 710AMf magMm加速度求得后，如何求力？加速度求得后，如何求力？定軸轉(zhuǎn)定軸轉(zhuǎn)動方程動方程質(zhì)心運質(zhì)心運動定理動定理動量矩動量矩定理定理質(zhì)心運質(zhì)心運動定理動定理由由1212WTT上式兩邊對時間求導(dǎo)上式兩邊對時間求導(dǎo)理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院342、定軸轉(zhuǎn)動剛體、定軸轉(zhuǎn)動剛體 定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。剛體動量矩的計算剛體動量矩的計算1、平移剛體、平移剛體()zzCLMmv 平移剛體可視為質(zhì)量集中于質(zhì)心的平移剛體可視為質(zhì)量集中于質(zhì)心的質(zhì)點來計算對點（或

38、軸）的動量矩。質(zhì)點來計算對點（或軸）的動量矩。2()zziii izLM mmrJwwv 對對定軸定軸的動量矩的動量矩vivCrCrixyziCOpmiviMiriw wz理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院353、平面運動剛體、平面運動剛體 平面運動剛體對垂直于質(zhì)量對稱平面某軸的動量矩，平面運動剛體對垂直于質(zhì)量對稱平面某軸的動量矩，等于剛體隨質(zhì)心作平移時質(zhì)心處的動量對該軸的動量矩等于剛體隨質(zhì)心作平移時質(zhì)心處的動量對該軸的動量矩與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動時的動量矩之和。與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動時的動量矩之和。CvCw wJw wp=mvCAd1d2B1AzACLLmv dJw2BCLmv dJw 理

39、論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院361223232222()OJJLmmR vRR1122222332()JJm v Rm v RwwOOAOBOCLL+L+L解：系統(tǒng)對解：系統(tǒng)對O軸的動量矩等于三個物體軸的動量矩等于三個物體 對對O點動量矩的代數(shù)和。點動量矩的代數(shù)和。w w1w w2112223222RRvvww由運動學(xué)知識可知有如下關(guān)系由運動學(xué)知識可知有如下關(guān)系例例已知滑輪系統(tǒng)中滑輪已知滑輪系統(tǒng)中滑輪A的質(zhì)量的質(zhì)量m1和半徑和半徑R1，對，對O的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量J1。滑輪滑輪B的質(zhì)量的質(zhì)量m2和半徑和半徑R2， 對對B的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量J2 ，且，且 R1=2R2

40、。 物體物體C的質(zhì)量的質(zhì)量m3和速度和速度v3。求系統(tǒng)對。求系統(tǒng)對O軸的動量矩。軸的動量矩。OAMR1BCR2v3v2理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院37質(zhì)點系的動量矩定理質(zhì)點系的動量矩定理(e)d()dOOtLMF質(zhì)點系對質(zhì)點系對固定點固定點的動量矩定理的動量矩定理(e)d()dzzLMtF 上式稱為質(zhì)點系對上式稱為質(zhì)點系對固定軸固定軸的動量矩定理。即質(zhì)點系對任的動量矩定理。即質(zhì)點系對任一固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點系上所有一固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點系上所有外力對同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對同一軸的主矩）。外力對同一固定軸之矩的代數(shù)

41、和（外力系對同一軸的主矩）。 一個剛體一個剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動微分方程為繞定軸轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動微分方程為(e)d()()dzzzJJMtw F理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院38例例已知滑輪系統(tǒng)中滑輪已知滑輪系統(tǒng)中滑輪A的質(zhì)量的質(zhì)量m1和半徑和半徑R1，對，對O的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量J1，其上作，其上作用力偶矩為用力偶矩為M的力偶?；喌牧ε?。滑輪B的質(zhì)量的質(zhì)量m2和半徑和半徑R2， 對對B的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量J2 ，且，且R1=2R2。 物體物體C的質(zhì)量的質(zhì)量m3，求物體，求物體C的加速度。的加速度。OAMR1BCR2v解：取整個系統(tǒng)為研究對象，受力分析如圖示。解：取整個

42、系統(tǒng)為研究對象，受力分析如圖示。(e)232()()gOMMmmRF由動量矩定理由動量矩定理(e)d()dOOLMFt122322222()OCJJLmmR vRR2312232222()g()CMmmaJJmmRRFxFym1gm2gm3ga理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院39 取質(zhì)心取質(zhì)心C為動系原點，則平面運為動系原點，則平面運動可分解為動可分解為隨質(zhì)心隨質(zhì)心C的平移的平移和和繞繞質(zhì)心質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動，可分別通過可分別通過質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理和和相對質(zhì)心的動量矩定理相對質(zhì)心的動量矩定理來確定。來確定。 rrd dCCCCCLLJJJtwj，11-611-6剛

43、體平面運動微分方程剛體平面運動微分方程 設(shè)平面運動剛體具有質(zhì)量對稱平面，力系設(shè)平面運動剛體具有質(zhì)量對稱平面，力系F1，F(xiàn)2 Fn可以可以簡化為該對稱平面內(nèi)的一個平面力系。取質(zhì)量對稱平面為平面簡化為該對稱平面內(nèi)的一個平面力系。取質(zhì)量對稱平面為平面圖形圖形S，其質(zhì)心一定位于，其質(zhì)心一定位于S內(nèi)。內(nèi)。jyxxyOCDF1F2F3FnS(e)(e) ()CCCmJMaFF，剛體平面運動微分方程剛體平面運動微分方程理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院40 上述方程稱為（單個）上述方程稱為（單個）剛體平面運動微分方程剛體平面運動微分方程。應(yīng)用時，前一式取其投影式。即應(yīng)用時，前一式取其投

44、影式。即(e)(e) ()CCCmJMaFF，(e)(e)(e)()CxCxCyCyCCCmamxFmamyFJJMj F剛體平面運剛體平面運動微分方程動微分方程 平面運動微分方程只用于一個作平面運動的剛體，平面運動微分方程只用于一個作平面運動的剛體，不能用于多剛體系統(tǒng)。對于多剛體系統(tǒng)，可用多剛體不能用于多剛體系統(tǒng)。對于多剛體系統(tǒng)，可用多剛體系統(tǒng)的質(zhì)心運動定理和對系統(tǒng)的質(zhì)心運動定理和對固定軸固定軸的動量矩定理。的動量矩定理。(e)(e)d ()dziiCzLmMtaFF，理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院41 動力學(xué)普遍定理動力學(xué)普遍定理 動量定理動量定理動量矩定理動量矩

45、定理 動能定理動能定理矢量形式，投影求解。矢量形式，投影求解。標量形式標量形式綜合應(yīng)用綜合應(yīng)用根據(jù)問題的已知條件和待求量，選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砀鶕?jù)問題的已知條件和待求量，選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砬蠼猓ǜ鞣N守恒定理的應(yīng)用。求解，包括各種守恒定理的應(yīng)用。比較復(fù)雜的問題，根據(jù)需要選用兩、三個定理聯(lián)比較復(fù)雜的問題，根據(jù)需要選用兩、三個定理聯(lián)合求解。一般可用動能定理求運動有關(guān)的量（速度、合求解。一般可用動能定理求運動有關(guān)的量（速度、加速度），用質(zhì)心運動定理或?qū)ΧㄝS的動量矩定理、加速度），用質(zhì)心運動定理或?qū)ΧㄝS的動量矩定理、對質(zhì)心的動量矩定理求力。對質(zhì)心的動量矩定理求力。求解過程中，往往要正求解過程中，往往要正確進行

46、運動分析，確進行運動分析， 提供提供正確的運動學(xué)補充方程。正確的運動學(xué)補充方程。平面運動速度和平面運動速度和加速度的分析。加速度的分析。12-612-6動力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用動力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院42動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用 例例置于光滑水平面上的兩均質(zhì)桿置于光滑水平面上的兩均質(zhì)桿AC和和BC各重為各重為P，長為，長為l，在，在C處光滑鉸處光滑鉸 接，初始靜止，接，初始靜止，C點高度為點高度為h，求鉸，求鉸C到達地面時的速度。到達地面時的速度。ChABC解：整體分析受力如圖。因為解：整體分析受力如圖。因為 ，且

47、初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒。且初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒。(e)0 xF動量守恒定理動能定理求解。動量守恒定理動能定理求解。計算動能時，利用平面運動的運動學(xué)關(guān)系。計算動能時，利用平面運動的運動學(xué)關(guān)系。1222hWPPh01T222223123121wwlgPlgPT代入動能定理：代入動能定理：ghvPhvgPCC3 03122231 CCvgPTlvwPPFNAFNBvCw ww w理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院43OBA解解：取單個物體為研究對象。：取單個物體為研究對象。 分別以物塊分別以物塊A、B和滑輪為研究對象，受力如圖。和滑輪為研究對象，受力如

48、圖。由質(zhì)心運動定理和定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，得由質(zhì)心運動定理和定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，得21()(3)2ABmrFF rm1gFAam2gFBa例例物塊物塊A和和B的質(zhì)量分別為的質(zhì)量分別為m1、m2，且，且 m1m2，分別系，分別系在繩索的兩端，繩跨過一定滑輪，如圖。滑輪的質(zhì)量為在繩索的兩端，繩跨過一定滑輪，如圖?；喌馁|(zhì)量為m，并可看成是半徑為并可看成是半徑為r的均質(zhì)圓盤。假設(shè)不計繩的質(zhì)量和軸的均質(zhì)圓盤。假設(shè)不計繩的質(zhì)量和軸承摩擦，繩與滑輪之間無相對滑動，試求物塊承摩擦，繩與滑輪之間無相對滑動，試求物塊A的加速度的加速度和軸承和軸承O的約束力。的約束力。ABOr11(1)Am am gF22(2)B

49、m aFm g0(4)OxF0(5)OyABFFFmgFBFAFOxFOymg 理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院44 由以上方程聯(lián)立求解得：由以上方程聯(lián)立求解得：12122()2()mmagmmm0OxF21212122()()2()OymmFmmm ggmmmar注意到注意到解解：用動能定理和質(zhì)心運動定理。以整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，：用動能定理和質(zhì)心運動定理。以整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，運動分析如圖。系統(tǒng)動能為運動分析如圖。系統(tǒng)動能為222221212111 11()( )(22)222 24vTmvm vmrmmm vr121d(22) d2Tmmm v

50、v所有力的元功為所有力的元功為1212() d()diWmm gsmm gv t12121(22) d()d2mmm v vmm gv t 由微分形式由微分形式的動能定理得的動能定理得于是可得于是可得12122()2()mmagmmmBAm1gvm2gvOmgw wFOxFOy理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院45于是可得于是可得21212122()()2()OymmFmmm ggmmm2112()Oym am aFmmm g得得0OxF考慮剛體系統(tǒng)的質(zhì)心運動定理考慮剛體系統(tǒng)的質(zhì)心運動定理(e)iiCxxmaF(e)iiCyymaFBAm1gam2gaOmg FOxFOy

51、理論力學(xué)理論力學(xué)中南大學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院46 解解：用動量矩定理和質(zhì)心運動定理：用動量矩定理和質(zhì)心運動定理 解：以整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，解：以整個系統(tǒng)為研究對象，受力如圖，運動分析如圖。系統(tǒng)對定軸的動量矩為運動分析如圖。系統(tǒng)對定軸的動量矩為212121()21(22)2OLmvrm vrmrmmm vrw1212d1(22)()2dvmmm rmm grt然后按解然后按解的方法即可求得軸承的方法即可求得軸承O的約束力。的約束力。由由得得(e)d()dOOLMt F12122()dd2()mmvagtmmmBAm1gvm2gvOmgw wFOxFOy理論力學(xué)理論力學(xué)中南大

52、學(xué)土木工程學(xué)院中南大學(xué)土木工程學(xué)院47 解：解：用動能定理求角加速度。用動能定理求角加速度。由于地面光滑，直桿沿水平方向不受力，由于地面光滑，直桿沿水平方向不受力， 倒下過程中質(zhì)心將鉛直下落。設(shè)桿運動到與水平方向夾角為倒下過程中質(zhì)心將鉛直下落。設(shè)桿運動到與水平方向夾角為 時時 的角速度為的角速度為w w，則桿的動能為，則桿的動能為2222222111( cos ) (cos)22 12283PmllmlTJmwww初動能為零，此過程只有重力作功，由初動能為零，此過程只有重力作功，由2221(cos)(1 sin )832mllmgw當(dāng)當(dāng) =0時解出時解出lg3w2112TTW vA動能定理兩邊對時間求導(dǎo)可求角加速度動能定理兩邊對時間求導(dǎo)可求角加速度22212cos ( sin )(cos)2( cos )832mlmgl www =0代入上式，便得到特定位置代入上式，便得到特定位置時的角加速度時的角加速度3g2l 例例均質(zhì)桿長為均質(zhì)桿長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，靜止直立于光滑水平面上。當(dāng)桿受微小干，靜止直立于光滑水平面上。當(dāng)桿受微小干擾而倒下時，求桿剛剛到達地面時的角速度和角加速度及地面的約束力。擾而倒下時，求桿剛剛到達地面時的角速度和角加速度及地面的約束力。AC