抽屜原理與最不利原則(4年級培優(yōu))教師版

1、知識要點(diǎn)7/5眇專題解析y原理1 把多于n個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜中，則至少有一個(gè)抽屜中有 2個(gè)或2個(gè)以上的物體。原理2把多于mn （m乘以n）個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜中，則至少有一個(gè)抽屜中有 m 1個(gè) 或多于m 1個(gè)的物體。解題矣犍密構(gòu)造“抽屜”、找出“物體”及物體的放法是應(yīng)用抽屜原理解決問題的關(guān)鍵。 常見的構(gòu)造抽屜的方法有：數(shù)的分組法；剩余類法；圖形分割法；染色法。當(dāng)問題中出現(xiàn)“保證”二字，就要求我們必須利用“最不利”原則情況分析問題。最不利原則就是從“極端倒霉”的情況考慮問題，將所有不利的情況都考慮進(jìn)來。將n個(gè)物品放到我們可以用如下方法，解決簡單抽屜原理的問題:m個(gè)抽屜中，如果a ,那么一定有一

2、個(gè)抽屜中至少有a個(gè)物品;如果n m ab（ b 0），那么一定有一個(gè)抽屜中至少有a 1個(gè)物品。靈精講范例魄D*L ''四年（1）班一共有42名學(xué)生，那么一定有至少幾名學(xué)生的屬相相同？（五年級培優(yōu)底稿）解：中國屬相有12個(gè)，即有12個(gè)“抽屜”，42名學(xué)生為“物體”。42 1236 ,則至少有3 14 （名）。難度系數(shù)：A練;盒子中裝有紅、白、黑三種顏色的小球各20個(gè)，這些小球摸起來手感都一樣。14個(gè)小朋友閉著眼睛玩摸球游戲，每個(gè)小朋友一次只能摸出一個(gè)小球。那么一次至少有幾 個(gè)小朋友摸出的小球顏色相同？（五年級培優(yōu)底稿）解：14 3 42,則至少有4 1 5 （個(gè)）。難度系數(shù)：A有

3、3個(gè)不同的自然數(shù)，至少有兩個(gè)數(shù)的和是偶數(shù)，為什么?（思維潛能P83）解析：自然數(shù)只有奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況，所以3個(gè)不同的自然數(shù)必定有兩個(gè)同樣是奇數(shù)或同樣是偶數(shù)。因?yàn)椤捌鏀?shù) +奇數(shù)=偶數(shù)”，“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)”，所以至少有兩個(gè)數(shù)的和是 偶數(shù)。答案：因?yàn)椋浩鏀?shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)。3個(gè)不同自然數(shù)中至少有兩個(gè)同是奇數(shù)或同是偶數(shù)。所以至少有兩個(gè)數(shù)的和是偶數(shù)。 難度系數(shù)：A4個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別被3除后，必有兩個(gè)余數(shù)相同，為什么？（思維潛能P83）解析：一個(gè)自然數(shù)除以 3,余數(shù)只有三種情況 O、1、2。4個(gè)連續(xù)自然數(shù)中取 3個(gè)連續(xù) 自然數(shù)分別除以 3后，三種余數(shù)必定全部出現(xiàn)，第四個(gè)數(shù)再去除以3所得的

4、余數(shù)肯定和之前的某個(gè)余數(shù)是相同的。答案：因任意自然數(shù)被 3除余數(shù)只可能是O、1、2。4÷ 3=11,1 +仁2.所以4個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別被 3除后，必有兩個(gè)余數(shù)相同。難度系數(shù)：Al7j*i布袋中有60塊大小、形狀都相同的木塊，每15塊涂上相同的顏色，一次至少取出多少塊才能保證其中至少有3塊顏色相同？（思維潛能）解析：要保證取出的木塊有 3塊顏色是相同的，那么必須算出共有60÷ 15=4 （種）不同的顏色。要保證取出 3塊木塊顏色是相同的，那最不利的情況就是每種顏色都先出現(xiàn)兩 次，需要取出4× 2=8 （塊）。這時(shí)候無論再取出一塊是什么顏色的，總有一種顏色出現(xiàn)了 3次

5、。答案：60÷ 15 × 2+仁9 （塊）難度系數(shù)：B副撲克牌一共有 54張，至少從中取出多少張才能保證:（1）至少有4張牌的花色相同；（2）4種花色的牌都有；3× 4+1+2=15 （張） 13× 3+1+2=42（張） 13× 3+4+2=45 （張） B（3）至少有4張牌是黑桃。（思維潛能） 答案：（1）（2）（3）難度系數(shù)：2012名冬令營營員去游覽長城、頤和園、天壇，規(guī)定每人最少去一處，最多 去兩處游覽，至少有幾個(gè)人游覽的地方完全相同？（思維潛能）解析：首先要考慮游覽不同的景點(diǎn)有幾種不同的情況，由于最少去一處最多去兩處。所以只有去一處

6、景點(diǎn)和去兩種景點(diǎn)這兩種不同的情況。去一處景點(diǎn)有3種不同情況，去兩處景點(diǎn)也有3種不同的情況，所以共有 6種不同的游覽情況。用 2012去除以6可以算出平 均每種游覽情況有 335人同時(shí)去，還剩余2人，所以至少有335+仁336 （人）游覽的地方完 全相同。2（人）,335+仁336 （人）答案：2012÷（ 3+3） =335 （人）難度系數(shù)：B45人進(jìn)行體育比賽，項(xiàng)目有A、B、C三種，規(guī)定每人至少參加一項(xiàng)，最多參加三項(xiàng)，至少有幾人參加的項(xiàng)目是相同的?答案：45÷（ 3+3+1）=6 （人）3（人）6+仁7 （人）難度系數(shù)：B2011這些自然數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得其

7、中每兩個(gè)數(shù)的差不等于4?（思維潛能）解析：去1的話不包括5,取2的話不取6,取3的話不取7,去4的話不取8;那么自然 數(shù)把這些數(shù)四個(gè)一組：（1,2,3,4） , （ 5,6,7,8） , （ 9,10,11,12）,，（2005,2006,2007,2008 ）,（2009,2010,2011,2012）,共分成了“ 2011 ÷ 4=5023（個(gè)）” 502組，最后一組就是余下的3個(gè)數(shù)，然后取奇數(shù)組的4個(gè)數(shù)，舍去偶數(shù)組的4個(gè)數(shù)，共可取4× （ 502÷ 2） +3=1007 （個(gè)） 數(shù)。答案：2011 ÷4=502 （組）3 （個(gè)），4 ×（

8、 502÷ 2） +3=1007 （個(gè)）難度系數(shù)：C從1至2011這2011個(gè)自然數(shù)中最多能取出多少個(gè)數(shù),使得其中任意的兩個(gè)數(shù)都不連續(xù)且差不等于 4?（思維潛能）解析：由于任意兩個(gè)數(shù)都不連續(xù)，且差不等于4,和前一題一樣，取1的話5不能取，但是同樣2也不能取；接下去只能取3,則4和7不能??；取6則10不能取。我們不妨將這些自然數(shù)排列出來看看有沒有一定的規(guī)律：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12,從這列數(shù)中我們不難看出15可以組成一組，610可以組成一組，以此類推。每組數(shù)可以取到2個(gè)數(shù)。因此2011共可分成2011 ÷ 5=4021,共402組，由于每組的最后一

9、個(gè)數(shù)是舍 去的，所以多出的這一個(gè)數(shù)是要取中的。答案：2011 ÷5=402 （組）1（個(gè)）, 402× 2+1=805 （個(gè)）難度系數(shù)：CO思看某班有16名學(xué)生，每個(gè)月教師把學(xué)生分成兩個(gè)小組。問：最少要經(jīng)過幾個(gè)月，才能使該班答案:第一個(gè)月:第二個(gè)月第三個(gè)月第四個(gè)月 答：至少要經(jīng)過 難度系數(shù)：C的任意兩個(gè)學(xué)生總有某個(gè)月份是分在不同的小組里？（思維潛能）16÷ 2=8 （人），至少有 8人同組；8 ÷ 2=4 （人），至少有4人還同組；4 ÷ 2=2 （人），至少有2人還同組；2 ÷ 2=1 （人），至此把同組的全部分開了。4個(gè)月，才能使

10、該班的任意兩個(gè)學(xué)生總有某個(gè)月份是分在不同的小組里。什么是莫比烏斯帶180°。莫比烏斯帶是拓?fù)鋵W(xué)家們的杰作之一。它使人感到古怪的是：只有一側(cè)的曲面。 它的制作是極為簡單的。我們把一個(gè)雙側(cè)環(huán)帶隨意在一處剪開，然后扭轉(zhuǎn)一半，即 再粘合到一起來形成封閉的環(huán)，就得到了莫比烏斯帶。但如果描述為沒有“另一側(cè)”，這是很難理解和想象的。但做起來卻很容易，你可隨意 從一處開始涂色(不離開這面)最終你將會發(fā)現(xiàn)莫比烏斯帶都被你涂上了顏色，也就說明 這的確是一個(gè)單側(cè)面的帶子。如果我們把莫比烏莫比烏斯具有各種意想不到的性質(zhì)，有人稱之為“魔術(shù)般的變化” 斯帶沿中線剪開，出乎意料地得到了一條雙側(cè)袋子而不是兩條。數(shù)學(xué)

11、家對這種奇妙的現(xiàn)象 解釋為：一條莫比烏斯帶只有一條邊，剪開卻使它增加了第二條邊與另一側(cè)。如果把莫比烏 斯帶沿三等分線剪開將使你又獲新奇之感。剪刀將環(huán)繞紙帶子走整整兩圈，但只是一次連 續(xù)的剪開，剪的結(jié)果是兩條卷繞在一起的紙條，其中的一條是雙側(cè)紙圈，另一條則是新的 莫比烏斯帶。你看，這真是一個(gè)奇妙的帶子?！窘處焸溆妙}】(RS(SI1用遞等式計(jì)算：(能簡便的要簡便)(1) 9.4+2635+4.65( 2)18.76 6.37+1.24 3.73(3) 43 28.123 11.875總用小數(shù)表示下列各數(shù)。808克=()千克8角=()元88厘米=()米8008 米=()千米88角=()元18分米8厘

12、米-()米J添括號，使所有的得數(shù)都等于50.7× 14 6 6=50185+15÷5+10-50160 5× 3+19-50總應(yīng)用題王師傅要加工4800只零件，原計(jì)劃16天完成。由于改進(jìn)技術(shù)，實(shí)際提前4天完成任務(wù)。實(shí)際每天比原來多加工多少個(gè)零件?釣把1,2,3,，29,30,這30個(gè)數(shù)任意分成10組，每組3個(gè)數(shù)，證明其中必有一組中的3個(gè)數(shù)的和大于46. 答案：1、40.4、9.9、3.002 2、0.808、0.8、0.88、8.008、8.8、1.883、7 ×( 14-6)- 6=50; (185+15)÷ 5+10=50 ; 160 5

13、×( 3+9) =504、4800÷( 16 4) 4800÷ 16=100 (個(gè))5、分析：將10組看作10個(gè)“抽屜”，如果先算出30個(gè)數(shù)字的總和：12330456 ,將465分配到10個(gè)抽屜里面，如果是每個(gè)抽屜里面的數(shù)字之和盡可能接近，能保證抽屜里數(shù)字之和最大的那個(gè)最小。那么只要30個(gè)抽屜里數(shù)字之和最大的那個(gè)數(shù)字大于 46,本題就可到證明。解： 12 330456 又丁 465 46 10 5根據(jù)抽屜原理2,10個(gè)抽屜里至少有一個(gè)抽屜里面的數(shù)字之和不小于46 147即證得必有一組中的 3個(gè)數(shù)字的和大于 46.謀后練習(xí)血某小學(xué)四(1)班有46名同學(xué)，至少有幾個(gè)同

14、學(xué)在同一個(gè)月過生日？(思維潛能)解析：一年有12個(gè)月，這里最不利的情況是先有12個(gè)同學(xué)的生日是在不同的12個(gè)月。再有12個(gè)同學(xué)的生日在不同的12個(gè)月，可以得到 46÷ 12=3 (個(gè))10(個(gè))，表示有3個(gè)同學(xué)是在同一個(gè)月過生日。多出的10個(gè)同學(xué)最不利的情況是 10個(gè)人又都不在相同的月份，所以至少有3+仁4 (個(gè))同學(xué)在同一個(gè)月過生日。答案：46÷ 12=3 (個(gè))10 (個(gè))3+仁4 (個(gè))難度系數(shù)：A* l整扎某小學(xué)有369位1996年出生的學(xué)生，那么至少有幾個(gè)同學(xué)的生日是在同一天？(思維 潛能)解析：1996是閏年，有366天，要至少至少有幾個(gè)學(xué)生的生日是同一天，則要

15、考慮最不利 的情況，即有 366位同學(xué)的生日都不相同，那么剩下的3為同學(xué)的生日也不相同，但是必定和之前的366為同學(xué)中的1位同一天生日。所以至少有 2個(gè)同學(xué)的生日是在同一天。答案：369初366=1 (個(gè))3 (個(gè))難度系數(shù)：Ar I皿35名同學(xué)參加數(shù)學(xué)考試，試卷中有2道選擇題，每題有 A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)。每位同學(xué)都寫出的答案，那么一定有至少幾名同學(xué)的答案是相同的。(底稿)解：構(gòu)造抽屜，2道選擇題答案的所有可能性如下，同一種選項(xiàng)：(A , A )、(B , B)、( C, C)、( D, D) , 4 種；不同種選項(xiàng)：(A , B )、(A , C)、(A , D )、( B , C)、( B, D )、( C, D )、( B, A )、( C,A)、( D, A)、( C, B)、( D, B)、(D, C) , 6 212 種；一共4 12 16 (種)不同答案，即有16個(gè)“抽屜”，將33名同學(xué)看成33個(gè)“物品”， 利用原理，35 16 23,則必有一個(gè)抽屜中至少有 2 1 3個(gè)“物品”，即至少有3 名同學(xué)的答案相同。難度系數(shù)：Bd個(gè)不透明的袋子里有紅色、黃色、黑色襪子各20只。至少要拿幾只襪子，才能保證其中至少有2雙顏色不相同的襪子。（底稿）解：兩雙是4只，