事件的相互獨立性

1、事件的相互獨立性事件的相互獨立性（共兩課時）(1).條件概率的概念條件概率的概念(2).條件概率計算公式條件概率計算公式:()()(|)( )( )n ABP ABP B An AP A復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧設(shè)事件設(shè)事件A和事件和事件B，且，且P(A)0,在已知事件在已知事件A發(fā)生的條發(fā)生的條件下事件件下事件B發(fā)生的概率，叫做發(fā)生的概率，叫做條件概率條件概率.記作記作P(B |A).三張獎券有一張可以中獎。現(xiàn)由三名同學(xué)依次無放回地抽取，問：最后一名去抽的同學(xué)的中獎概率會受到第一位同學(xué)是否中獎的影響嗎？同學(xué)中獎”.同學(xué)中獎”.B表示事件“最后一名B表示事件“最后一名設(shè)A為事件“第一位同學(xué)沒有中獎”。答

2、:事件事件A的發(fā)生會影響事件的發(fā)生會影響事件B發(fā)生的概率發(fā)生的概率21)()()()(APABPAnABn)(ABP三張獎券有一張可以中獎。現(xiàn)由三名同學(xué)依次有放回地抽取，問：最后一名去抽的同學(xué)的中獎概率會受到第一位同學(xué)是否中獎的影響嗎？同學(xué)中獎”.同學(xué)中獎”.B表示事件“最后一名B表示事件“最后一名設(shè)A為事件“第一位同學(xué)沒有中獎”。答：事件A的發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率。)()|(BPABP)|()()(ABPAPABP又)()()(BPAPABP設(shè)設(shè)A，B為兩個事件，如果為兩個事件，如果)()()(BPAPABP則稱事件則稱事件A與事件與事件B相互獨立。相互獨立。1.定義法定義法:P(AB

3、)=P(A)P(B)2.經(jīng)驗判斷經(jīng)驗判斷:A發(fā)生與否不影響發(fā)生與否不影響B(tài)發(fā)生的概率發(fā)生的概率 B發(fā)生與否不影響發(fā)生與否不影響A發(fā)生的概率發(fā)生的概率判斷兩個事件相互獨立的方法判斷兩個事件相互獨立的方法注意注意:(1)互斥事件互斥事件:兩個事件不可能同時發(fā)生兩個事件不可能同時發(fā)生(2)相互獨立事件相互獨立事件:兩個事件的發(fā)生彼此互不影響兩個事件的發(fā)生彼此互不影響(1)必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件與任何事件與任何事件A相互獨立相互獨立.；與與 BAAB與與 ；.BA 與與(2)若事件若事件A與與B相互獨立相互獨立, 則以下三對事件也相互獨立則以下三對事件也相互獨立:相互獨立事件的性質(zhì)

4、： 練習(xí)練習(xí)1.1.判斷下列事件是否為相互獨立事件判斷下列事件是否為相互獨立事件. . 籃球比賽的籃球比賽的“罰球兩次罰球兩次”中，中， 事件事件A A：第一次罰球，球進(jìn)了：第一次罰球，球進(jìn)了. . 事件事件B B：第二次罰球，球進(jìn)了：第二次罰球，球進(jìn)了. .袋中有三個紅球，兩個白球，采取不放回的取球袋中有三個紅球，兩個白球，采取不放回的取球. .事件事件A A：第一次從中任取一個球是白球：第一次從中任取一個球是白球. .事件事件B B：第二次從中任取一個球是白球：第二次從中任取一個球是白球. .袋中有三個紅球，兩個白球，采取有放回的取球袋中有三個紅球，兩個白球，采取有放回的取球. . 事件事

5、件A A：第一次從中任取一個球是白球：第一次從中任取一個球是白球. . 事件事件B B：第二次從中任取一個球是白球：第二次從中任取一個球是白球. .練習(xí)練習(xí)2 2、判斷下列各對事件的關(guān)系判斷下列各對事件的關(guān)系（1 1）運動員甲射擊一次，射中）運動員甲射擊一次，射中9 9環(huán)與射中環(huán)與射中8 8環(huán)；環(huán)；（2 2）甲乙兩運動員各射擊一次，甲射中）甲乙兩運動員各射擊一次，甲射中9 9環(huán)與乙環(huán)與乙射中射中8 8環(huán)；環(huán)；互斥互斥相互獨立相互獨立相互獨立相互獨立相互獨立相互獨立（4 4）在一次地理會考中，）在一次地理會考中，“甲的成績合甲的成績合格格”與與“乙的成績優(yōu)秀乙的成績優(yōu)秀”24. 0)(, 6 .

6、 0)(, 6 . 0)()3(ABPBPAP已知即兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，即兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率， 等于每個事件發(fā)生的概率的積。等于每個事件發(fā)生的概率的積。2.2.推廣：如果事件推廣：如果事件A A1 1，A A2 2，A An n相互獨立相互獨立，那，那么這么這n n個事件同時發(fā)生的概率個事件同時發(fā)生的概率P(AP(A1 1A A2 2A An n)= P(A)= P(A1 1) )P(AP(A2 2) )P(AP(An n) )1.1.若若A A、B B是相互是相互獨立獨立事件，則有事件，則有P(AP(AB)= P(A)B)= P(A)P(B)P(B)應(yīng)用公式的前提：應(yīng)

7、用公式的前提：1.事件之間相互獨立事件之間相互獨立 2.這些事件同時發(fā)生這些事件同時發(fā)生. 相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式等于每個事件發(fā)生的概率的積等于每個事件發(fā)生的概率的積. .即即：例例1、某商場推出兩次開獎活動，凡購買一定、某商場推出兩次開獎活動，凡購買一定價值的商品可以獲得一張獎券。獎券上有一價值的商品可以獲得一張獎券。獎券上有一個兌獎號碼，可以分別參加兩次抽獎方式相個兌獎號碼，可以分別參加兩次抽獎方式相同的兌獎活動。如果兩次兌獎活動的中獎概同的兌獎活動。如果兩次兌獎活動的中獎概率都為率都為0.05，求兩次抽獎中以下事件的概率：，求兩次抽獎中以下事件的概率

8、：（1）“都抽到某一指定號碼都抽到某一指定號碼”；（2）“恰有一次抽到某一指定號碼恰有一次抽到某一指定號碼”；（3）“至少有一次抽到某一指定號碼至少有一次抽到某一指定號碼”。變式變式:“至多有一次抽到中獎號碼至多有一次抽到中獎號碼”。第一問解答第一問解答第二問解答第二問解答第三問解答第三問解答解解: (1)記記“第一次抽獎抽到某一指定號碼第一次抽獎抽到某一指定號碼”為事件為事件A， “第二次抽獎抽到某一指定號碼第二次抽獎抽到某一指定號碼”為事件為事件B，則，則“兩次抽獎都抽到某一指定號兩次抽獎都抽到某一指定號碼碼”就是事件就是事件AB。（1）“都抽到某一指定號碼都抽到某一指定號碼”；由于兩次的

9、抽獎結(jié)果是互不影響的由于兩次的抽獎結(jié)果是互不影響的,因此因此A和和B相互獨立相互獨立.于是由獨立性可得于是由獨立性可得,兩次抽獎都抽兩次抽獎都抽到某一指定號碼的概率為到某一指定號碼的概率為 P(AB)=P(A)P(B)=0.050.05=0.0025（2）“恰有一次抽到某一指定號碼恰有一次抽到某一指定號碼”；解解: “兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼”可以用可以用 表示。由于事件表示。由于事件 與與 互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨立事件的互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨立事件的定義，所求的概率為：定義，所求的概率為：B B) )A A( () )B B( (A A

10、 B BA AB BA A0 0. .0 09 95 5 0 0. .0 05 50 0. .0 05 5) )( (1 10 0. .0 05 5) )( (1 10 0. .0 05 5 ) )P P( (B B) )A AP P( () )B B P P( (A A) )P P( (B B) )A AP P( () )B BP P( (A A（3）“至少有一次抽到某一指定號碼至少有一次抽到某一指定號碼”；0 0. .0 09 97 75 5 0 0. .0 09 95 50 0. .0 00 02 25 5B B) )A AP P( () )B BP P( (A AP P( (A AB

11、B) )解解: “兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號碼兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號碼”可以用可以用 表示。由于事件表示。由于事件 與與 兩兩互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨立兩兩互斥，根據(jù)概率加法公式和相互獨立事件的定義，所求的概率為：事件的定義，所求的概率為：) )B B( (A AB B) )A A( ( (A AB B) )B BA AB BA AA AB B, ,0.09750.09750.05)0.05)(1(10.05)0.05)(1(11 1) )B BA AP(P(1 1另解：另解：(逆向思考逆向思考)至少有一次抽中的概率為至少有一次抽中的概率為練習(xí)練習(xí)3:已知已知A、B、C相

12、互獨立，試用數(shù)相互獨立，試用數(shù)學(xué)符號語言表示下列關(guān)系學(xué)符號語言表示下列關(guān)系 A、B、C同時發(fā)生概率；同時發(fā)生概率； A、B、C都不發(fā)生的概率；都不發(fā)生的概率； A、B、C中恰有一個發(fā)生的概率；中恰有一個發(fā)生的概率； A、B、C中恰有兩個發(fā)生的概率；中恰有兩個發(fā)生的概率；A、B 、C中至少有一個發(fā)生的概率；中至少有一個發(fā)生的概率；)(CBAP)(CBAP(1) A發(fā)生且發(fā)生且B發(fā)生且發(fā)生且C發(fā)生發(fā)生(2) A不發(fā)生且不發(fā)生且B不發(fā)生且不發(fā)生且C不發(fā)生不發(fā)生)()()()3(CBAPCBAPCBAP練習(xí)練習(xí)3:已知已知A、B、C相互獨立，試用數(shù)相互獨立，試用數(shù)學(xué)符號語言表示下列關(guān)系學(xué)符號語言表示下

13、列關(guān)系 A、B、C同時發(fā)生概率；同時發(fā)生概率； A、B、C都不發(fā)生的概率；都不發(fā)生的概率； A、B、C中恰有一個發(fā)生的概率；中恰有一個發(fā)生的概率； A、B、C中恰有兩個發(fā)生的概率；中恰有兩個發(fā)生的概率；A、B 、C中至少有一個發(fā)生的概率；中至少有一個發(fā)生的概率；)()()()4(CBAPCBAPCBAP)(1 )5(CBAP練習(xí)練習(xí)4 P55：1、2、3例例2 2. .甲甲, , 乙兩人同時向敵人炮擊乙兩人同時向敵人炮擊, ,已知甲擊中敵已知甲擊中敵機(jī)的概率為機(jī)的概率為0.6, 0.6, 乙擊中敵機(jī)的概率為乙擊中敵機(jī)的概率為0.5, 0.5, 求敵求敵機(jī)被擊中的概率機(jī)被擊中的概率. .解解設(shè)設(shè)

14、 A= 甲擊中敵機(jī)甲擊中敵機(jī) ,B= 乙擊中敵機(jī)乙擊中敵機(jī) ,C=敵機(jī)被擊中敵機(jī)被擊中 .BAC 則則依題設(shè)依題設(shè),5 . 0)(, 6 . 0)( BPAP由于由于 甲，乙同時射擊，甲擊中敵機(jī)并不影響乙擊中甲，乙同時射擊，甲擊中敵機(jī)并不影響乙擊中敵機(jī)的可能性，所以敵機(jī)的可能性，所以 A與與B獨立獨立, ,進(jìn)而進(jìn)而.獨獨立立與與 BABAC BA )(1)(CPCP )()(1BPAP )(1)(11BPAP )5 . 01)(6 . 01(1 = 0.8練習(xí)練習(xí)5、若甲以、若甲以10發(fā)發(fā)8中，乙以中，乙以10發(fā)發(fā)7中的命中率打靶，中的命中率打靶， 兩人各射擊一次，則他們都中靶的概率是兩人各射

15、擊一次，則他們都中靶的概率是( )(A)(B)(D)(C)5 53 34 43 32 25 51 12 22 25 51 14 4練習(xí)練習(xí)6.某產(chǎn)品的制作需三道工序，設(shè)這三道工序出某產(chǎn)品的制作需三道工序，設(shè)這三道工序出現(xiàn)次品的概率分別是現(xiàn)次品的概率分別是P1,P2,P3。假設(shè)三道工序互不影。假設(shè)三道工序互不影響，則制作出來的產(chǎn)品是正品的概率響，則制作出來的產(chǎn)品是正品的概率是是 。D(1P1) (1P2) (1P3)練習(xí)練習(xí)7.甲、乙兩人獨立地解同一問題甲、乙兩人獨立地解同一問題,甲解決這個甲解決這個問題的概率是問題的概率是P1, ，乙解決這個問題的概率是，乙解決這個問題的概率是P2，那么其中至

16、少有那么其中至少有1人解決這個問題的概率是多少？人解決這個問題的概率是多少？P1 (1P2) +(1P1)P2+P1P2=P1 + P2 P1P2練習(xí)練習(xí)8:8: 已知諸葛亮解出問題的概率為已知諸葛亮解出問題的概率為0.8,0.8,臭皮匠臭皮匠老大解出問題的概率為老大解出問題的概率為0.5,0.5,老二為老二為0.45,0.45,老三為老三為0.4,0.4,且每個人必須獨立解題，問三個臭皮匠中且每個人必須獨立解題，問三個臭皮匠中至少有一人解出的概率與諸葛亮解出的概率比至少有一人解出的概率與諸葛亮解出的概率比較，誰大？較，誰大？ 1()10.5 0.55 0.60.835P A B C 0.8(

17、)P D 略解略解: : 三個臭皮匠中至少有一人解出的概率為三個臭皮匠中至少有一人解出的概率為 所以所以，合三個臭皮匠之力把握就大過，合三個臭皮匠之力把握就大過諸葛亮諸葛亮. . 一個元件能正常工作的概率一個元件能正常工作的概率r稱為該元件的可靠性。稱為該元件的可靠性。由多個元件組成的系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可由多個元件組成的系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性。今設(shè)所用元件的可靠性都為靠性。今設(shè)所用元件的可靠性都為r(0(0r1)1)，且各元件能，且各元件能否正常工作是互相獨立的。試求各系統(tǒng)的可靠性。否正常工作是互相獨立的。試求各系統(tǒng)的可靠性。(1)12(2)12(3)1212(4)2

18、211P1=r2P2=1(1r)2P3=1(1r2)2P4=1(1r)22?J?C?J?B?J?A練習(xí)練習(xí)1414： 如圖如圖, ,在一段線路中并聯(lián)著在一段線路中并聯(lián)著3 3個自動控制的常個自動控制的常開開關(guān)，只要其中有開開關(guān)，只要其中有1 1個開關(guān)能夠閉合，線路就能正常個開關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作工作. .假定在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉合的概率都是假定在某段時間內(nèi)每個開關(guān)能夠閉合的概率都是0.70.7，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率，計算在這段時間內(nèi)線路正常工作的概率. . 解：解：分別記這段時間內(nèi)開關(guān)分別記這段時間內(nèi)開關(guān)J JA A,J,JB B,J,JC C能能夠閉合為事件夠閉合為事件A A，B B，C.C.由題意，這段由題意，這段時間內(nèi)時間內(nèi)3 3個開關(guān)是否能夠閉合相互之間個開關(guān)是否能夠閉合相互之間沒有影響沒有影響, ,根據(jù)相互獨立事件的概率乘根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式，這段時間內(nèi)法公式，這段時間內(nèi)3 3個開關(guān)都不能閉個開關(guān)都不能閉合的概率是合的概率是 ()( )( )( )1( )( )( )(10.7) (10.7) (10.7)0.02711A B CABCABCPPPPPPP 這段時間內(nèi)至少有這段時間內(nèi)至少有1 1個開關(guān)能夠閉合，從而使線路能個開關(guān)能夠閉合，從而使線路能正常工作的概率是正常工作的概率是 1()1 0.0270.973