數(shù)值計(jì)算方法(第4章學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)值數(shù)值(shz)計(jì)算方法計(jì)算方法(第第4章章第一頁，共54頁。)4(,)(,)3(,)(,)()()(1)2(210221010210221010210101000 xxxxfxxxxxfxxxfxxxxfxxxxxfxxxfxxxxfxxxxxxfxxxfxf得，則點(diǎn)為了提高精度，增加節(jié)）式得：式代入（第1頁/共54頁第二頁，共54頁。上有一般的，在節(jié)點(diǎn)）式得：式代入（nxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf,.,)()(,)(,)()()(3)4(21021021010101000第2頁/共54頁第三頁，共54頁。)(,., f)(RNewton)()()()(

2、)(,.,)().()(,.,).()(.,)(,)()()(1 . 2 . 4n10n010110110110210101000 xxxxxxxxfxRxNxRxNxxxxfxxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxfLagrangennninnnnnnnnn插值公式和余項(xiàng)。上的在節(jié)點(diǎn)分別為、其中插值多項(xiàng)式：次定理第3頁/共54頁第四頁，共54頁。)()()()()(,)()(,)(,)()(,)(,)()()()()()()()(,)()()()()(20202020020201210021210020210121002021010101010010100 xfx

3、xxfxfxxxfxxfxxxfxxxxfxxfxxxxfxxxfxxxfxxxxfxxxfxNxfxxxfxfxxxfxxfxxxfxNxfxNnnn可以驗(yàn)證：第4頁/共54頁第五頁，共54頁。的最大值與最小值之間介于其中，故有差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即：因此他們的余式也相等由插值的唯一性知：類似地可以證明nnnnnnnniinxxxxnfxxxxfxnfxxxxfxxLxNnixfxN,.,)!1)(,.,)()!1)(,.,)(),()(),.2 , 1 , 0()()(10)1(10)1(10第5頁/共54頁第六頁，共54頁。為重點(diǎn)插商。為使用方便，我們規(guī)定,.,.,.,.,.,1010100

4、10010limlimnnnhnhnxxxxfdxdhxxxxfxxxhxfxxxxhxfxxxxxf第6頁/共54頁第七頁，共54頁。一階插商二階插商三階插商單元號(hào)F(0)F(1)F(2)F(3)F(n)(kxf)(0 xf)(1xfkx0 x1x2x3x)(2xf)(3xf,10 xxf,20 xxf,30 xxf,210 xxxf,310 xxxf,3210 xxxxfnx)(nxf,0nxxf,10nxxxf,210nxxxxf第7頁/共54頁第八頁，共54頁。第8頁/共54頁第九頁，共54頁。第9頁/共54頁第十頁，共54頁。第10頁/共54頁第十一頁，共54頁。第11頁/共54頁第

5、十二頁，共54頁。第12頁/共54頁第十三頁，共54頁。第13頁/共54頁第十四頁，共54頁。第14頁/共54頁第十五頁，共54頁。),.,2 , 1 , 0(niihaxi第15頁/共54頁第十六頁，共54頁。第16頁/共54頁第十七頁，共54頁。00101101)()(,fhxxxfxfxxf第17頁/共54頁第十八頁，共54頁。01002201021021210!1,.,!21211),),fhnxxxffhhfhfhxxxxfxxfxxxfnnn一般有第18頁/共54頁第十九頁，共54頁。),(),().(1()!1()(!) 1).(1(.! 2) 1(! 1)()(,00)1(10

6、020000hxxfntttnhxRfnntttfttftfthxNxNNewtonthxxnnnnnn式插值公式和余式具有形則若令第19頁/共54頁第二十頁，共54頁。同樣有：插值公式為：則到排序?yàn)椋喝绻麑⒐?jié)點(diǎn),.,).()(.,)(,)()()(,.,.,0111121110110 xxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxNNewtonxxxxxxnnnnnnnnnnnnnnnnn第20頁/共54頁第二十一頁，共54頁。nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnfhnxxxxffhhfhfhxxxxfxxfxxxffhxxxfxfxxf!1,.,!21211,1)()(

7、,011221221121111一般有第21頁/共54頁第二十二頁，共54頁。),(),().(1()!1()(!) 1).(1(.! 2) 1(! 1)()() 0() 1(12nnnnnnnnnnnnnnxnhxfnsssnhxRfnnsssfssfsfshxNxNsshxx則一般取若令第22頁/共54頁第二十三頁，共54頁。第23頁/共54頁第二十四頁，共54頁。第24頁/共54頁第二十五頁，共54頁。000191. 0,000886. 0,003992. 0018033. 0,081450. 0,367879. 0000191. 0,001077. 0,005955. 0,032858

8、. 0,181269. 0, 155545352550504030200ffffffffffff而：即：第25頁/共54頁第二十六頁，共54頁。第26頁/共54頁第二十七頁，共54頁。第27頁/共54頁第二十八頁，共54頁。njjjnjnjjniiiiiiiifxhyxhxHnifxfxHxfxHxHnixffxfyxii0,0,)()()(),.2, 1 ,0()()(),()()(),.,2, 1 ,0()(),(令滿足希望，已知第28頁/共54頁第二十九頁，共54頁。ijijxhnixhnixhijijxhLagrangeinijninijnjj01)(4,.2 , 1 , 00)(3,

9、.2 , 1 , 00)(201)(1,）（）（）（）（插值函數(shù)我們設(shè)想由第29頁/共54頁第三十頁，共54頁。?)(?)(,xhxhjnjn如何求0)(, 1)()(.)()(.)()(1: )()(.)()(.)()(0: )(,1110,1,1,1,0,jjjnnjjnjnjjnjjnjnjnjnxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhxhjnjnjnjnjnjnjn而第30頁/共54頁第三十一頁，共54頁。為一次多是項(xiàng)式。次多項(xiàng)式，故是由于所以令的二重零點(diǎn)。是則)(12)()()().()().()()().()().()()()()()(,.,.,2,2212121202

10、21212120,1110 xCnxHxlxCxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCxhxhxxxxxjnnjjjjjjjnjjjnjnnjj)()()()(2,xlBAxxhBAxxCjnjn即令第31頁/共54頁第三十二頁，共54頁。0)()(2)()(2)()()(0)()(10)(, 1)(,22,jjnjjjnjjnjjjjjjjjjjjnxlBAxAxlxlBAxxAlxhBAxxlBAxxhxhjnjn即得：由)(21)(20)()(21,jjnjjjnjjnjjxlxBxlAxlBAxABAx得由第32頁/共54頁第三十三頁，共54頁。)()()(21 ()()(21)(

11、2()(2,2,xlxlxxxlxlxxxlxhjnjjnjjnjjnjjjjn故得：由同理可得)()()(2xlxxxhjjj第33頁/共54頁第三十四頁，共54頁。)()()(,)(,.,.,1)(, 0)(0.)()(.)()(0)(.)()(.)()(2,1110,1,1,1,0,1,1,1,1,0,xlDCxxhxhxxxxxxhxhhxhxhxhxhxhxhxhxhxhjnjnjnnjjjjnjjnjnjjnjjnjnjnjjnjjnjjnjnjn所以設(shè)的二重零點(diǎn)是知道第34頁/共54頁第三十五頁，共54頁。)()()(11)()()(2)()(0)(2,2,xlxxxhxDCxl

12、xlDCxxClxhDCxxhjnjjnjjjnjjnjjjnjjnjjjn所以解得：第35頁/共54頁第三十六頁，共54頁。第36頁/共54頁第三十七頁，共54頁。第37頁/共54頁第三十八頁，共54頁。第38頁/共54頁第三十九頁，共54頁。第39頁/共54頁第四十頁，共54頁。).()(.).()().()(1)(),).()().()(1)()(1121313202010210 ,0,nnnnnnjjxxxxxxxxxxxxxxxxxxAxlxxxxxxAxxxxxxAxlxln則其中例如：）首先如何實(shí)現(xiàn)（第40頁/共54頁第四十一頁，共54頁。nijnnnnnxxxxxxxxxxxx

13、xxxxxxxxxxxxxxAxl1002010102010030100302000,)(1)(1.)(1)(1).()(.).()().()(1)(所以有第41頁/共54頁第四十二頁，共54頁。njiijnjjjjjjjjjnxxxxxxxxxxxxxl101110,)(1)(1.)(1)(1.)(1)(1)(不是一般性第42頁/共54頁第四十三頁，共54頁。第43頁/共54頁第四十四頁，共54頁。第44頁/共54頁第四十五頁，共54頁。第45頁/共54頁第四十六頁，共54頁。2112111111313111331)()()21()()()21()()()()()(:)(,)()()(,)()()(,11313jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj-hxxfxxyhxxhxxfxxyhxxfxfxyxyxxHfxHfxHyxfxHyxfxHxHHermitexxjjjjj則滿足條件：插值多項(xiàng)式上求二點(diǎn)三次對于區(qū)間第46頁/