以L為周期的函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1以以L為周期的函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)為周期的函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)2022年4月19日星期二2一、以一、以2L為周期為周期的傅氏級(jí)數(shù)的傅氏級(jí)數(shù) 本節(jié)討論以2L為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式及偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式ltxtlx或第1頁/共23頁2022年4月19日星期二3)sincos(2)(10nnnntbntaatF(1) 其中 , 2 , 1 , 0,cos)(1nntdttFan, 2 , 1 , 0,sin)(1nntdttFbn(2) 第2頁/共23頁2022年4月19日星期二4于是由(1)與(2)式分別得 )sincos(2)(10nnnlxnblxnaatFxf(3) llnn

2、dxlxnxfa, 2 , 1 , 0,cos)(llnndxlxnxfb, 2 , 1 , 0,sin)( (4) 第3頁/共23頁2022年4月19日星期二5 5.sincos22)0()0(10nnnlxnblxnaaxfxf式式為為則則它它的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開定定理理的的條條件件滿滿足足收收斂斂的的周周期期函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)周周期期為為,)(2xfl定理定理),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 第4頁/共23頁2022年4月19日星期二6為為其中系數(shù)其中系數(shù)nnba ,), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,si

3、n)(1 ndxlxnxflblln,)()1(為奇函數(shù)為奇函數(shù)如果如果xf則有則有,sin)(1 nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn 為為其中系數(shù)其中系數(shù)), 2 , 1( n第5頁/共23頁2022年4月19日星期二7,)()2(為偶函數(shù)為偶函數(shù)如果如果xf則有則有,cos2)(10 nnlxnaaxfdxlxnxflaalnn 0cos)(2為為其中系數(shù)其中系數(shù)), 2 , 1 , 0( n證明證明,lxz 令令lxl , z),()()(zFlzfxf 設(shè)設(shè).2)(為周期為周期以以 zF),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn 第6頁/共23頁202

4、2年4月19日星期二8)sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn .sin)(1,cos)(1 nzdzzFbnzdzzFann其中其中.sin)(1,cos)(1 llnllnxdxlnxflbxdxlnxfla其中其中)()(xfzFlxz 第7頁/共23頁2022年4月19日星期二9k2 xy2044 例例 1 1 設(shè)設(shè))(xf是周期為是周期為 4 的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在)2 , 2 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 20020)(xkxxf, 將其展將其展成傅氏級(jí)數(shù)成傅氏級(jí)數(shù).解解., 2 滿足狄氏充分條件滿足狄氏充分條件 l 2002021021kdxdxa,k 第8頁

5、/共23頁2022年4月19日星期二10 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng))25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf), 4, 2, 0;( xx na), 2 , 1( n第9頁/共23頁2022年4月19日星期二11例例 2 2 將函數(shù)將函數(shù) 15510)( xxxf展開成傅展開成傅氏級(jí)數(shù)氏級(jí)數(shù).解解,10 xz作變量代換作變量代換155 x, 55 z)10()( zfxf),(zFz ,)55()(的定義的定義補(bǔ)充函數(shù)補(bǔ)充函數(shù) zzzF, 5)5(

6、 F令令)10()( TzF作周期延拓作周期延拓然后將然后將,收收斂斂定定理理的的條條件件這這拓拓廣廣的的周周期期函函數(shù)數(shù)滿滿足足).()5, 5(zF內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于且展開式在且展開式在 第10頁/共23頁2022年4月19日星期二12x)(zFy5 501510), 2 , 1 , 0(, 0 nan 502sin)(52dzznzbn,10)1( nn), 2 , 1( n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x第11頁/共23頁2022年4月19日星期二13另解另解 1555co

7、s)10(51dxxnxan 1555sin)10(51dxxnxbn 1551555cos515cos2dxxnxdxxn, 0 1550)10(51dxxa, 0 ,10)1( nn ), 2 , 1( n 15sin)1(1010)(nnxnnxxf故故)155( x), 2 , 1( n第12頁/共23頁2022年4月19日星期二14:. 1定義、 設(shè)設(shè) 是以是以 為周期的偶函數(shù)為周期的偶函數(shù),或是定義在或是定義在fl 2 上的偶函數(shù)上的偶函數(shù),則稱則稱,ll 10cos2 nnlxnaaf為為 的余弦級(jí)數(shù)的余弦級(jí)數(shù),其中其中l(wèi)nndxlxnxfla0., 2, 1 , 0,cos)(

8、2二二 偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)第13頁/共23頁2022年4月19日星期二15 若若 是以是以 為周期的奇函數(shù)為周期的奇函數(shù),或是定義在或是定義在 ,ll fl 2 上的奇函數(shù)上的奇函數(shù),則稱則稱1sin nnlxnb為為 的正弦級(jí)數(shù)的正弦級(jí)數(shù),其中其中flnndxlxnxflb0., 2 , 1,sin)(2第14頁/共23頁2022年4月19日星期二16第15頁/共23頁2022年4月19日星期二17:2奇偶延拓、 若將定義在若將定義在 (或或 )上的函數(shù)上的函數(shù) 展成余弦展成余弦級(jí)數(shù)或正弦級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)或正弦級(jí)數(shù),先把定義在先把定義在 (或或 )上的函數(shù)作上的函數(shù)

9、作偶式延拓或作奇式延拓至偶式延拓或作奇式延拓至 (或或 )f, 0 , 0 l, 0 , 0 l,ll yxoyxo偶式延拓奇式延拓第16頁/共23頁2022年4月19日星期二18:3例,sin)(xxxf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f 求求 的的Fourier級(jí)數(shù)展開式級(jí)數(shù)展開式.:解f 是是 上的偶函級(jí)上的偶函級(jí),其周期延拓后其周期延拓后(如下圖如下圖),23xyo23f 由于由于 是按段光滑函數(shù)是按段光滑函數(shù),故可展開成余弦級(jí)數(shù)故可展開成余弦級(jí)數(shù).第17頁/共23頁2022年4月19日星期二19因?yàn)橐驗(yàn)?02sin,4axdx102sin cos0,axxdx020,3,5,2sincos41,2,4

10、,.1nnaxnxdxnn所以所以21214sincos241mxmxm212cos21 2,.41mmxxm 第18頁/共23頁2022年4月19日星期二20把把 在在 內(nèi)展成內(nèi)展成 xxf)() 2 , 0 (:4例(i) 正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù); (ii) 余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù).:解(i) 為了把為了把 展成正弦級(jí)數(shù)展成正弦級(jí)數(shù),對對 作奇式周期延拓作奇式周期延拓ffxyo22第19頁/共23頁2022年4月19日星期二21則則., 2 , 1,) 1(42sin22b 120nnndxxnxn所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)時(shí),由收斂定理由收斂定理 得得) 2 , 0 (x114( )( 1)sin2nnn xf xxn (ii) 為了把為了把 展成余弦級(jí)數(shù)展成余弦級(jí)數(shù),對對 作作 偶式偶式 周期延拓如下圖周期延拓如下圖:ff第20頁/共23頁2022年4月19日星期二22xyo26624848則則, 2a 200 xdx, 2 , 1,1) 1(42cos22a 2220nnndxxnxn)., 2 , 1(0,) 12(8a 2221 -2kkakk第21頁/共23頁2022年4月19日星期二23利用變量代