西方經濟學高等數(shù)學導數(shù)公式大全優(yōu)秀課件

1、導數(shù)的基本公式與運算法則導數(shù)的基本公式與運算法則基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)的導數(shù)公式(x ) = x - -1 .(ax) = ax lna .(ex) = ex.0 (cc為任意常數(shù)).ln1)(logaxxa .1)(lnxx (sin x) = cos x.(cos x) = - - sin x.(tan x) = = sec2x .(cot x) = = - - csc2x .(sec x) = = sec x tan x .(csc x) = = - - csc x cot x .,11)(arcsin2xx- - 另外還有反三角函數(shù)的導數(shù)公式：另外還有反三角函數(shù)的導數(shù)公式：

2、,11)(arccos2xx- - - ,11)(arctan2xx .11)cotarc(2xx - - 定理定理2.2. 1設函數(shù)設函數(shù) u(x)、v( (x) ) 在在 x 處可導，處可導，)0)()()( xuxuxv在在 x 處也可導，處也可導，(u(x) v(x) = u (x) v (x);(u(x)v(x) = u(x)v (x) + + u (x)v(x);.)()()()()()()(2xuxvxuxvxuxuxv - - 導數(shù)的四則運算導數(shù)的四則運算且且則它們的和、差、積與商則它們的和、差、積與商推論推論 1(cu(x) = cu (x) (c 為常數(shù)為常數(shù)).推論推論

3、2.)()()(12xuxuxu - - ()uvwu vwuv wuvw乘法法則的推廣：乘法法則的推廣：補充例題：補充例題： 求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)：解解根據推論根據推論 1 可得可得 (3x4) = 3(x4) ，(5cos x) = 5(cos x) ，(cos x) = - - sin x，(ex) = ex， (1) = 0，故故f (x) = (3x4 - - ex + 5cos x - - 1) = (3x4) - -( (ex ) ) + (5cos x) - - (1) = 12x3 - - ex - - 5sin x .f (0) = (12x3 - - ex

4、- - 5sin x)|x=0 = - - 1又又(x4) = 4x3，例例 1設設 f (x) = 3x4 ex + 5cos x - - 1，求求 f (x) 及及 f (0).例例 2設設 y = xlnx ， 求求 y .解解根據乘法公式，有根據乘法公式，有y = (xlnx) = x (lnx) (x) lnxxxxln11 .ln1x 解解根據除法公式，有根據除法公式，有22222)1()1()1()1)(1(11 - - - - - - - - xxxxxxxy例例 3設設,112 - - xxy求求 y .2222)1()1()1()()1()(1( - - - - - - x

5、xxxx.)1(12)1()1(2)1(222222 - - - - - xxxxxxx教材教材P32 P32 例例2 2 求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)：3(1)cosyxx-2(2)xyx e2(3)1xyx-32(4)23 sinyxxxe解：解：332(1)(cos )() (cos )3sinyxxxxxx-2222(2)()()()2(2)xxxxxxyx exex exex exxe22222(1)(1)(3)()1(1)xxxxxyxx-2221( 2 )(1)xxxx-222)1 (1xx- 32(4)(2) (3 sin ) ()yxxxe0)sin( 3)(23-xx

6、x)cos(sin362xxxx- 高階導數(shù)高階導數(shù)如果可以對函數(shù)如果可以對函數(shù) f(x) 的導函數(shù)的導函數(shù) f (x) 再求導，再求導，所得到的一個新函數(shù)，所得到的一個新函數(shù)， 稱為函數(shù)稱為函數(shù) y = f(x) 的二階導數(shù)，的二階導數(shù)，.dd22xy記作記作 f (x) 或或 y 或或如對二階導數(shù)再求導，則如對二階導數(shù)再求導，則稱三階導數(shù)，稱三階導數(shù)，.dd33xy記作記作 f (x) 或或 四階或四階以上導四階或四階以上導數(shù)記為數(shù)記為 y(4)，y(5)， ，y(n),dd44xy,ddnnxy或或 ， 而把而把 f (x) 稱為稱為 f (x) 的一階導數(shù)的一階導數(shù).例例3 3 求下列

7、函數(shù)的二階導數(shù)求下列函數(shù)的二階導數(shù)(1)cosyxx(2)arctanyx(1)cos( sin )cossinyxxxxxx-xxxxxxxycossin2)cos(sinsin-21(2)1yx222)1 ()1 (xxy-22)1 (2xx-解：解：二階以上的導數(shù)可利用后面的數(shù)學軟件來計算二階以上的導數(shù)可利用后面的數(shù)學軟件來計算 2.2.4 復合函數(shù)的求導法則2.2 ( )( )( ( )( ) ( ) dydy dudxdu dxdyfuu xduu xxyf uuyf u xxx定理若函數(shù)在點 可導，函數(shù) 在點 處可導，則復合函數(shù)在點 可導，且或記作：推論推論設設 y = f (u)

8、 ， u = (v)， v = (x) 均均可導，則復合函數(shù)可導，則復合函數(shù) y = f ( (x) 也可導，也可導，.xvuxvuyy 以上法則說明：復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于復合以上法則說明：復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于復合函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù)函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù). .23tan4.1(31) ; 2)sin(2); 3)lncos ;4);5)2xxyxyxyxyey-例 求下列函數(shù)的導數(shù)：）32322222222(1)( ), ( )31,( )3( )( )3(31)(31)3(31)618 (31)yux u xxyuxuxu xx

9、xxxxx解： 函數(shù)可以分解為(2)2 cos(2) (2) 1cos(2)2cos(2)2xyxxxxxx-把當作中間變量，(3)cos1sin(cos )tancoscosxxyxxxx - -把當作中間變量，tantan2tan(4)tan()(tan )secxxxxyeexxe把當作中間變量，(5)(2 )2 ln2 ()2 ln2xxxxyx- -把當作中間變量， 先將要求導的函數(shù)分解成基本初等函數(shù)先將要求導的函數(shù)分解成基本初等函數(shù),或或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商. 任何初等函數(shù)的導數(shù)都可以按常數(shù)和基本任何初等函數(shù)的導數(shù)都可以按常數(shù)和基本初

10、等函數(shù)的求導公式和上述復合函數(shù)的求導初等函數(shù)的求導公式和上述復合函數(shù)的求導法則求出法則求出. 復合函數(shù)求導的關鍵復合函數(shù)求導的關鍵: 正確分解初等函數(shù)正確分解初等函數(shù)的復合結構的復合結構.求導方法小結：求導方法小結：2 3221( 1) ; (2)cos3 (3)32 4 lgcos(32)xyxyyxxx - -練習：求下列函數(shù)的導數(shù)(課堂練習)（）；（ ）222222222(1) 6 ( 1)(2) 3 ln3 sin323(3) 232cos(32)sin(32)(4) (32)4 tan(32)cos(32)cos(32)xxyxxyxyxxxxyxxxxx- - -解:例例5 5：求

11、下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)（1） （2）（3） （4）2cosxy 232-xxeyxylnlnln)1ln(2xxy2.2.5 隱函數(shù)的導數(shù)00( )yxF xyF xyyy x與 的關系由方程（ ， ） 確定，未解出因變量的方程（ ， ）= 所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)6( )1.ydyyy xyxedx 例 設函數(shù)由方程所確定，求(1) (),()(1) 1yyyyyyyyyxyxeyexeex eyxeyeeyxe -解：上式兩邊對 求導，則有 即1;2.xyyy隱函數(shù)的求導步驟：（）方程兩邊對 求導，求導過程中把 視為中間變量，得到一個含有 的等式（ ）從所得等式中解出227( )c

12、os().dyyy xyxyxdx-例 設函數(shù)由方程所確定，求222222222222222222 sin() ()1 sin() (22)1 2 sin()2 sin()12 sin() 1 2 sin()1 2 sin()12 sin()xxyxyxyyxyxyyyxxyyxyyyxyyxxyxxyyyxy -解：方程兩邊分別對 求導，得2( )2.dyyy xxyyxdx練習：設函數(shù)由方程所確定，求2 () ()2 22(2 )222xxyyyx yy yxyyyyyxy-解：兩邊分別對 求導，得 二元函數(shù)的偏導數(shù)的求法二元函數(shù)的偏導數(shù)的求法求 對自變量 (或 )的偏導數(shù)時,只須將另一自

13、變量 (或 )看作常數(shù),直接利用一元函數(shù)求導公式和四則運算法則進行計算.),(yxfz xyyx例例1 1 設函數(shù)設函數(shù)324( , )23,f x yxx yy-求求( , ),xfx y( , ),yfx y(1,1),xf(1, 1),yf-解：解： xyxyyxxyxfxx43)32(),(2423-32423122)32(),(yxyyxxyxfyy-111413) 1 , 1 (2-xf14) 1(1212) 1, 1 (32-yf例例2 2 設函數(shù)設函數(shù) 求),ln()(2222yxyxzxzyz解：解：xxyxyxyxyxxz )ln()ln()(222222222222222

14、212 ln()()()xxxyxyxyxy222 ln()2xxyx222 ln() 1xxy類似可得類似可得2222222)()ln(2yxyyxyxyyz222 ln()1yxy 二元函數(shù)的二階偏導數(shù)二元函數(shù)的二階偏導數(shù)函數(shù)函數(shù) z = f ( x , y ) 的兩個偏導數(shù)的兩個偏導數(shù)),(yxfxzx ),(yxfyzy 一般說來仍然是一般說來仍然是 x , y 的函數(shù)，的函數(shù)， 如果這兩個函數(shù)關于如果這兩個函數(shù)關于 x , y 的偏導數(shù)也存在，的偏導數(shù)也存在， 則稱它們的偏導數(shù)是則稱它們的偏導數(shù)是 f (x , y)的二階偏導數(shù)的二階偏導數(shù).依照對變量的不同求導次序，依照對變量的不同

15、求導次序，二階偏導數(shù)有四二階偏導數(shù)有四個：（用符號表示如下）個：（用符號表示如下） xzxxzx22xz ),(yxfxx ;xxz xzyxzyyxz 2),(yxfxy ;xyz yzxyzxxyz 2),(yxfyx ;yxz yzyyzy22yz ),(yxfyy .yyz 其中其中 及及 稱為二階混合偏導數(shù)稱為二階混合偏導數(shù).),(yxfxy ),(yxfyx 類似的，可以定義三階、四階、類似的，可以定義三階、四階、 、n 階偏導數(shù)，階偏導數(shù)，二階及二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)，二階及二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)，),(,),(yxfyyxfx而稱為函數(shù)稱為函數(shù) f ( x , y ) 的一階偏導數(shù)的一階偏導數(shù).注：當兩個二階導數(shù)連續(xù)時，它們是相等的注：當兩個二階導數(shù)連續(xù)時，它