安徽省合肥市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省合肥市部分學(xué)校2024—2025學(xué)年高一上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，則.故選：A.2.下列函數(shù)與函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于A，，對應(yīng)關(guān)系不同，與函數(shù)不是同一函數(shù)；對于B，，與函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，所以它們是同一函數(shù)；對于C，，對應(yīng)關(guān)系不同，與函數(shù)不是同一函數(shù)；對于D，，與函數(shù)的定義域不同，所以與函數(shù)不是同一函數(shù).故選：B.3.若兩個正實數(shù)x，y滿足，且存在這樣的x，y使不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】由題設(shè)，則，當且僅當，即時等號成立，要使不等式有解，則，所以或.故選：C.4.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】，的否定是：，.故選：C.5.已知，且，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因，則，則，當且僅當，結(jié)合，，即，時取等號.故選：A.6.已知函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為為奇函數(shù)，則，且函數(shù)的圖象關(guān)于0,1中心對稱，即，因為為偶函數(shù)，所以，則，所以，，所以，故的周期為，因，所以.故選：B.7.已知全集，，，，，，則下列選項不正確的為（）A. B.的不同子集的個數(shù)為8C. D.【答案】D【解析】，由，，，，，作出圖，如圖所示，由圖可知，，，故A，正確；集合的子集個數(shù)為個，故B正確；因為，所以，錯誤.故選：D.8.若函數(shù)在定義域上的值域為，則稱為“函數(shù)”．已知函數(shù)是“函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知的定義域為，又因為函數(shù)“函數(shù)”，故其值域為；而，則值域為；當時，，當時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故由函數(shù)是“函數(shù)”可得，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.不等式的解集是，則下列選項正確的是（）A.且B.不等式的解集是C.D.不等式的解集是【答案】BCD【解析】對于，，，是方程的兩個根，所以，，所以，，所以，，所以錯誤；對于，，由可得不等式解集為，所以正確；對于，當時，，，所以正確；對于，由題得，因為，所以，所以，所以不等式的解集是，所以正確．故選：.10.已知全集，是的非空子集，當時，且，則稱為的一個“孤立元素”，則下列說法正確的是（）A.若中元素均為孤立元素，則中最多有個元素B.若中不含孤立元素，則中最少有個元素C.若中元素均為孤立元素，且僅有個元素，則這樣的集合共有個D.若中不含孤立元素，且僅有個元素，則這樣集合共有個【答案】ABD【解析】對于A，因為集合，，的并集為，且集合，，中任意兩個集合的交集都為空集，若中的元素個數(shù)大于，則必有兩個元素來自集合，，中的一個，此時，集合中存在不是孤立元素的元素，故若中元素均為孤立元素，則中的元素個數(shù)小于等于，又時，中元素均為孤立元素，所以若中元素均為孤立元素，則中最多有個元素，對于B，若中只有1個元素，則必為孤立元素，又集合時，中不含孤立元素，故B正確；對于C，易知這樣的集合有，，，；，，；，；共10個，故C錯誤；對于D，，其中不含“孤立元素”且包含有四個元素的集合有，，，，，共6個，故D正確.故選：ABD.11.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如.設(shè)函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A.的圖象關(guān)于軸對稱 B.的最大值為1，沒有最小值C. D.在上是增函數(shù)【答案】ABD【解析】因為，畫出的圖象如下：A選項，可以看出此函數(shù)不是偶函數(shù)，不關(guān)于軸對稱，A錯誤；B選項，無最大值，有最小值0，B錯誤；C選項，因為，故，，因為，所以，故，C正確；D選項，由圖象可知在R上不是增函數(shù)，D錯誤.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，，，.對于任意的，存在，使得，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因為，，所以，又對于任意的，存在，使得，則，又，，當時，，所以，解得，當時，，所以，解得，綜上，的取值范圍是.13.已知集合，若，且，則實數(shù)m所取到的值為______或______．【答案】21【解析】，因為，且，所以或，當時，可得：，得：，當時，可得：，得：，所以實數(shù)m所取到的值為2或1.14.已知方程的兩根分別為，若對于，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】設(shè)，則，且，則，當且僅當時，即時，即時，等號成立，又由方程的兩根分別為且，可得，所以，且，因為對于，都有成立，即不等式成立，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，．（1）若，全集，試求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，求實數(shù)的取值范圍；解：（1）解不等式得，∴，解得，∴，當時，，∴，∴，∴.（2）由（1）可知，，∵，∴，∴實數(shù)的取值范圍：.（3）由（1）可知，，∵，∴，∴，∴實數(shù)的取值范圍：.16.已知函數(shù).（1）若，，函數(shù)的最小值為0，求a的值；（2）若，不等式有且僅有四個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；（3）當時，對，，若存在實數(shù)m使得成立，求m的最小值.解：（1）當，時，，由題意得，函數(shù)的值域，（i）時，不符合題意；（ii）時，，即；綜上，.（2）因為，不等式轉(zhuǎn)化為，因為有四個整數(shù)解，則必有兩個不相等實數(shù)根，記為，且，又因為當時，，當時，，圖象開口向上，對稱軸為，所以，故不等式的解集中的四個整數(shù)解為，所以，所以，故.（3）因為當時，對，，由題設(shè)，有，又，則，又，，故存在使成立，則，所以，令，則，，令，則，且，故，當且僅當，即，，時，等號成立，所以，即的最小值為.17.已知，且.（1）求最大值；（2）求最小值；（3）若不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.解：（1）已知，且，，，當且僅當即，，取“=”.所以最大值為.（2），當且僅當，即，時取“=”，所以最小值為.（3），當且僅當，即，時取“=”，，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.18.已知方程.（1）若，，求方程的解；（2）若對任意實數(shù)，方程恒有兩個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；（3）若方程有兩個不相等實數(shù)解，且，求的最小值．解：（1），時，，解得或.（2），故，所以，其中，當且僅當時，等號成立，故.（3）有兩個不相等的實數(shù)解，，由韋達定理得，故，所以，此時，所以，因為，所以，令，其在上單調(diào)遞增，故，故，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.19.若函數(shù)的定義域為．集合，若存在非零實數(shù)使得任意都有，且，則稱為M上的增長函數(shù)．（1）已知函數(shù)，函數(shù)，判斷和hx是否為區(qū)間-1,0上的增長函數(shù)，并說明理由：（2）已知函數(shù)，且是區(qū)間上的增長函數(shù)，求正整數(shù)n的最小值；（3）如果的圖像關(guān)于原點對稱，當時，，且為R上的增長函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．解：（1）是：因為，，；不是，反例：當時，．（2）由題意得，對于恒成立，等