核心概念、思想方法教學(xué)(人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室-章建躍)

1、聚焦數(shù)學(xué)核心概念、思想方法聚焦數(shù)學(xué)核心概念、思想方法的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)人民教育出版社人民教育出版社 章建躍章建躍一、我們面臨的現(xiàn)實(shí)一、我們面臨的現(xiàn)實(shí) 課改迅猛推進(jìn)課改迅猛推進(jìn) 亟待解決的問(wèn)題多多：新課程提倡的理亟待解決的問(wèn)題多多：新課程提倡的理念難把握；新教材的改革設(shè)計(jì)難適應(yīng)；念難把握；新教材的改革設(shè)計(jì)難適應(yīng)；教學(xué)方式、學(xué)習(xí)方式的變革難跟上；課教學(xué)方式、學(xué)習(xí)方式的變革難跟上；課程改革與考試評(píng)價(jià)制度的改革不配套；程改革與考試評(píng)價(jià)制度的改革不配套；等。等。二、教學(xué)層面的問(wèn)題二、教學(xué)層面的問(wèn)題 課堂教學(xué)抓不住數(shù)學(xué)概念的核心，沒(méi)有前后一課堂教學(xué)抓不住數(shù)學(xué)概念的核心，沒(méi)有前后一致、貫穿始終的數(shù)

2、學(xué)思想主線(xiàn)，在學(xué)生沒(méi)有基致、貫穿始終的數(shù)學(xué)思想主線(xiàn)，在學(xué)生沒(méi)有基本了解數(shù)學(xué)概念和思想方法時(shí)就進(jìn)行大量解題本了解數(shù)學(xué)概念和思想方法時(shí)就進(jìn)行大量解題操練，導(dǎo)致教學(xué)缺乏必要的根基，教學(xué)活動(dòng)不操練，導(dǎo)致教學(xué)缺乏必要的根基，教學(xué)活動(dòng)不得要領(lǐng)，在無(wú)關(guān)大局的細(xì)枝末節(jié)上耗費(fèi)學(xué)生寶得要領(lǐng)，在無(wú)關(guān)大局的細(xì)枝末節(jié)上耗費(fèi)學(xué)生寶貴時(shí)間，數(shù)學(xué)課堂中效益、質(zhì)量貴時(shí)間，數(shù)學(xué)課堂中效益、質(zhì)量“雙低下雙低下”。學(xué)生花大量時(shí)間學(xué)數(shù)學(xué)，做無(wú)數(shù)的練習(xí)，但數(shù)學(xué)生花大量時(shí)間學(xué)數(shù)學(xué)，做無(wú)數(shù)的練習(xí)，但數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仍很脆弱。學(xué)基礎(chǔ)仍很脆弱。 我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量滑坡的現(xiàn)象并沒(méi)有隨課改而我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量滑坡的現(xiàn)象并沒(méi)有隨課改而得到改觀(guān)，而是越來(lái)越嚴(yán)重了。

3、得到改觀(guān)，而是越來(lái)越嚴(yán)重了。例例1 1 “平方根平方根”中的不當(dāng)問(wèn)題中的不當(dāng)問(wèn)題 是近似值，無(wú)法在數(shù)軸上表示準(zhǔn)確。是近似值，無(wú)法在數(shù)軸上表示準(zhǔn)確。 帶根號(hào)的數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)實(shí)數(shù)。帶根號(hào)的數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)實(shí)數(shù)。 數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間都有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)。數(shù)軸上任意兩點(diǎn)之間都有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)。 若若a|b|，則，則a2b2。 的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別是的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別是m，n，求求mn。22三、教師層面的問(wèn)題分析三、教師層面的問(wèn)題分析 對(duì)數(shù)學(xué)課程、教材的體系結(jié)構(gòu)、內(nèi)容及其組織對(duì)數(shù)學(xué)課程、教材的體系結(jié)構(gòu)、內(nèi)容及其組織方式把握不準(zhǔn)，特別是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念和方式把握不準(zhǔn)，特別是對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念和思想方法的體系結(jié)構(gòu)缺

4、乏必要的了解；思想方法的體系結(jié)構(gòu)缺乏必要的了解； 對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)概念的核心把握不準(zhǔn)確，對(duì)概念所對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)概念的核心把握不準(zhǔn)確，對(duì)概念所反映的思想方法的理解水平不高；反映的思想方法的理解水平不高； 只能抽象籠統(tǒng)地描述數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，導(dǎo)致教學(xué)只能抽象籠統(tǒng)地描述數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)，導(dǎo)致教學(xué)措施無(wú)的放矢，對(duì)是否已經(jīng)達(dá)成教學(xué)目標(biāo)心中措施無(wú)的放矢，對(duì)是否已經(jīng)達(dá)成教學(xué)目標(biāo)心中無(wú)數(shù)；無(wú)數(shù)； 對(duì)自己設(shè)計(jì)的教學(xué)方案不能取得預(yù)期效果，不對(duì)自己設(shè)計(jì)的教學(xué)方案不能取得預(yù)期效果，不能從設(shè)計(jì)層面給出令人信服的解釋?zhuān)话涯軓脑O(shè)計(jì)層面給出令人信服的解釋?zhuān)话褑?wèn)題歸咎于教學(xué)系統(tǒng)的復(fù)雜性；問(wèn)題歸咎于教學(xué)系統(tǒng)的復(fù)雜性； 缺乏有效的發(fā)現(xiàn)、

5、分析和解決教學(xué)問(wèn)題的方法，缺乏有效的發(fā)現(xiàn)、分析和解決教學(xué)問(wèn)題的方法，往往感到教學(xué)問(wèn)題的存在而不知其所在，或者往往感到教學(xué)問(wèn)題的存在而不知其所在，或者發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題而找不到原因，甚至發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題及發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題而找不到原因，甚至發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題及其根源也找不出解決問(wèn)題的有效方法；其根源也找不出解決問(wèn)題的有效方法； 采取的教學(xué)方法、策略和模式都比較單一，機(jī)采取的教學(xué)方法、策略和模式都比較單一，機(jī)械地套用一些已有的解決教學(xué)問(wèn)題方案，缺乏械地套用一些已有的解決教學(xué)問(wèn)題方案，缺乏根據(jù)教學(xué)問(wèn)題和教學(xué)條件創(chuàng)建解決教學(xué)問(wèn)題的根據(jù)教學(xué)問(wèn)題和教學(xué)條件創(chuàng)建解決教學(xué)問(wèn)題的新方法。新方法。 四、努力的方向四、努力的方向?qū)I(yè)化專(zhuān)業(yè)化數(shù)學(xué)

6、學(xué)科的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng) 有較好的數(shù)學(xué)功底（教好數(shù)學(xué)的前提是有較好的數(shù)學(xué)功底（教好數(shù)學(xué)的前提是自己先學(xué)好數(shù)學(xué)），對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容所反映自己先學(xué)好數(shù)學(xué)），對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容所反映的思想、精神有深入的體會(huì)和理解；懂的思想、精神有深入的體會(huì)和理解；懂得哪些數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)學(xué)生的發(fā)展具有根本得哪些數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)學(xué)生的發(fā)展具有根本的重要性；具有揭示數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的的重要性；具有揭示數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的科學(xué)方法和理性思維過(guò)程的能力和科學(xué)方法和理性思維過(guò)程的能力和“技技術(shù)術(shù)”；等。；等。 教育學(xué)科的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)：教育學(xué)科的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)： 一個(gè)人的可持續(xù)發(fā)展，不僅要有扎實(shí)的一個(gè)人的可持續(xù)發(fā)展，不僅要有扎實(shí)的雙基，而且要有積極的生活態(tài)度、

7、主動(dòng)雙基，而且要有積極的生活態(tài)度、主動(dòng)發(fā)展的需求、終身學(xué)習(xí)的愿望、熱情、發(fā)展的需求、終身學(xué)習(xí)的愿望、熱情、能力和堅(jiān)持性、健康向上的人生觀(guān)和價(jià)能力和堅(jiān)持性、健康向上的人生觀(guān)和價(jià)值觀(guān)。教師在這些方面對(duì)學(xué)生的影響力，值觀(guān)。教師在這些方面對(duì)學(xué)生的影響力，就是教師的教育學(xué)科專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)的最重要就是教師的教育學(xué)科專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)的最重要指標(biāo)。指標(biāo)。 “兩個(gè)素養(yǎng)兩個(gè)素養(yǎng)”的結(jié)合的結(jié)合 善于抓住數(shù)學(xué)的核心概念和思想方法，懂得削善于抓住數(shù)學(xué)的核心概念和思想方法，懂得削枝強(qiáng)干；對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的價(jià)值觀(guān)資源特別枝強(qiáng)干；對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的價(jià)值觀(guān)資源特別敏感，有挖掘這些資源并用與學(xué)生身心發(fā)展相敏感，有挖掘這些資源并用與學(xué)生身心發(fā)展

8、相適應(yīng)的方式表述的能力，使數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)與價(jià)適應(yīng)的方式表述的能力，使數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)與價(jià)值觀(guān)影響有機(jī)整合；方法多樣、有趣味、少而值觀(guān)影響有機(jī)整合；方法多樣、有趣味、少而精；能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生學(xué)精；能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性，使學(xué)生有效學(xué)習(xí)、主動(dòng)習(xí)的主動(dòng)性、積極性，使學(xué)生有效學(xué)習(xí)、主動(dòng)發(fā)展，使他們不僅學(xué)業(yè)成就得到提高，而且發(fā)發(fā)展，使他們不僅學(xué)業(yè)成就得到提高，而且發(fā)展均衡。展均衡。 五、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)五、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)教什么教什么 構(gòu)建反映數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展邏輯、符合學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)構(gòu)建反映數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展邏輯、符合學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律的中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體知規(guī)律的中學(xué)數(shù)

9、學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系，并使核心概念、思想方法在數(shù)學(xué)課堂中得系，并使核心概念、思想方法在數(shù)學(xué)課堂中得到落實(shí)，是提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量和效益的突到落實(shí)，是提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量和效益的突破口，同時(shí)也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的抓手。因破口，同時(shí)也是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的抓手。因?yàn)槭箤W(xué)生真正領(lǐng)會(huì)和把握數(shù)學(xué)概念的核心，領(lǐng)為使學(xué)生真正領(lǐng)會(huì)和把握數(shù)學(xué)概念的核心，領(lǐng)悟概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思悟概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，才能形成功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，切實(shí)維，才能形成功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，切實(shí)發(fā)展數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。發(fā)展數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 例例2 2 代數(shù)的核心概念、思想方法

10、代數(shù)的核心概念、思想方法 有系統(tǒng)、有效力地運(yùn)用數(shù)系的加、乘和有系統(tǒng)、有效力地運(yùn)用數(shù)系的加、乘和指數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律，去解決各種各樣的指數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律，去解決各種各樣的代數(shù)問(wèn)題：代數(shù)問(wèn)題： 各種式（整式、分式、根式等）的運(yùn)算各種式（整式、分式、根式等）的運(yùn)算用運(yùn)算律進(jìn)行用運(yùn)算律進(jìn)行“等價(jià)變換等價(jià)變換”； 方程方程未知數(shù)、已知數(shù)之間的特定代未知數(shù)、已知數(shù)之間的特定代數(shù)關(guān)系；解方程數(shù)關(guān)系；解方程由代數(shù)方程式確定由代數(shù)方程式確定其中的其中的“未知數(shù)未知數(shù)”的值；的值； 解方程的基本原理：運(yùn)算律對(duì)任何數(shù)都解方程的基本原理：運(yùn)算律對(duì)任何數(shù)都成立（通性），所以對(duì)成立（通性），所以對(duì)“未知數(shù)未知數(shù)”也成也成立、可

11、用。有系統(tǒng)地用運(yùn)算律化簡(jiǎn)所給立、可用。有系統(tǒng)地用運(yùn)算律化簡(jiǎn)所給的方程，從而確定其中的未知數(shù)的方程，從而確定其中的未知數(shù)化化未知為已知。未知為已知。 一元一次方程是基礎(chǔ)，其它都設(shè)法向它一元一次方程是基礎(chǔ)，其它都設(shè)法向它轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化。 許多問(wèn)題是在引進(jìn)字母表示數(shù)時(shí)才水到許多問(wèn)題是在引進(jìn)字母表示數(shù)時(shí)才水到渠成地提出來(lái)的渠成地提出來(lái)的從處理單個(gè)的數(shù)到從處理單個(gè)的數(shù)到處理一類(lèi)問(wèn)題。處理一類(lèi)問(wèn)題。 從代數(shù)式（符號(hào)代表數(shù)）、方程（符號(hào)從代數(shù)式（符號(hào)代表數(shù)）、方程（符號(hào)代表未知數(shù)）到函數(shù)（符號(hào)代表變數(shù)）代表未知數(shù)）到函數(shù)（符號(hào)代表變數(shù)）是一個(gè)飛躍，這是看問(wèn)題角度的根本變是一個(gè)飛躍，這是看問(wèn)題角度的根本變化化從變

12、化過(guò)程中考察規(guī)律，函數(shù)是從變化過(guò)程中考察規(guī)律，函數(shù)是研究變化規(guī)律的。研究變化規(guī)律的。 一次函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b的變化規(guī)律由誰(shuí)反映的變化規(guī)律由誰(shuí)反映不僅明確不僅明確x，y的意義，而且明確的意義，而且明確k，b的意義的意義變化規(guī)律由變化規(guī)律由k，b決定。決定。 其他函數(shù)也類(lèi)似。其他函數(shù)也類(lèi)似。六、基于概念的核心、思想方法六、基于概念的核心、思想方法的教學(xué)設(shè)計(jì)框架的教學(xué)設(shè)計(jì)框架1 1教學(xué)設(shè)計(jì)的基本線(xiàn)索教學(xué)設(shè)計(jì)的基本線(xiàn)索 概念及其解析（概念的核心）；概念及其解析（概念的核心）； 目標(biāo)和目標(biāo)解析；目標(biāo)和目標(biāo)解析； 教學(xué)問(wèn)題診斷（達(dá)成目標(biāo)已有條件和需教學(xué)問(wèn)題診斷（達(dá)成目標(biāo)已有條件和需要的新條件的分析）

13、；要的新條件的分析）； 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)；教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)； 目標(biāo)檢測(cè)的設(shè)計(jì)。目標(biāo)檢測(cè)的設(shè)計(jì)。 2 2概念和概念解析概念和概念解析 概念：內(nèi)涵和外延的準(zhǔn)確表達(dá)；概念：內(nèi)涵和外延的準(zhǔn)確表達(dá)； 概念解析：重點(diǎn)是在揭示內(nèi)涵的基礎(chǔ)上概念解析：重點(diǎn)是在揭示內(nèi)涵的基礎(chǔ)上說(shuō)明概念的核心之所在；對(duì)概念在中學(xué)說(shuō)明概念的核心之所在；對(duì)概念在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位的分析，對(duì)內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)中的地位的分析，對(duì)內(nèi)容所反映的思想方法的明確。在此基礎(chǔ)上確定教學(xué)思想方法的明確。在此基礎(chǔ)上確定教學(xué)重點(diǎn)。重點(diǎn)。例例2 2 “三線(xiàn)八角三線(xiàn)八角”概念的核心概念的核心定義：定義： “兩條直線(xiàn)兩條直線(xiàn)”被被“第三條直線(xiàn)所截第三條直線(xiàn)所截”，得到八個(gè)角

14、。得到八個(gè)角。 對(duì)頂角、內(nèi)錯(cuò)角、同位角、對(duì)頂角、內(nèi)錯(cuò)角、同位角、同旁?xún)?nèi)角，都是關(guān)于一對(duì)角同旁?xún)?nèi)角，都是關(guān)于一對(duì)角的位置關(guān)系；的位置關(guān)系；關(guān)鍵是：根據(jù)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分類(lèi)。關(guān)鍵是：根據(jù)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分類(lèi)。例例3 3 一元二次方程一元二次方程 知識(shí)：概念（未知數(shù)、系數(shù)）；解法和知識(shí)：概念（未知數(shù)、系數(shù)）；解法和公式公式通法；判別式通法；判別式解的情況解的情況（通性）；根與系數(shù)的關(guān)系（通性）；根與系數(shù)的關(guān)系通性。通性。 思想方法：等價(jià)轉(zhuǎn)化（配方法）；化歸思想方法：等價(jià)轉(zhuǎn)化（配方法）；化歸思想：二次化一次（因式分解、開(kāi)方等思想：二次化一次（因式分解、開(kāi)方等運(yùn)算）；對(duì)方程的根、系數(shù)之間關(guān)系進(jìn)運(yùn)算）；對(duì)方程的根

15、、系數(shù)之間關(guān)系進(jìn)行研究的思想行研究的思想方法論層次。方法論層次。3 3目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)和目標(biāo)解析 目標(biāo)是教學(xué)目的的具體化，是教學(xué)活動(dòng)每一階目標(biāo)是教學(xué)目的的具體化，是教學(xué)活動(dòng)每一階段所要實(shí)現(xiàn)的教學(xué)結(jié)果，是衡量教學(xué)質(zhì)量的標(biāo)段所要實(shí)現(xiàn)的教學(xué)結(jié)果，是衡量教學(xué)質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)。準(zhǔn)。 目標(biāo)：用了解目標(biāo)：用了解及行為動(dòng)詞經(jīng)歷及行為動(dòng)詞經(jīng)歷表述目表述目標(biāo)；闡明經(jīng)過(guò)教學(xué)，學(xué)生將有哪些變化，會(huì)做標(biāo)；闡明經(jīng)過(guò)教學(xué)，學(xué)生將有哪些變化，會(huì)做哪些以前不會(huì)做的事。哪些以前不會(huì)做的事。 目標(biāo)解析：解析了解、理解、掌握、經(jīng)歷、體目標(biāo)解析：解析了解、理解、掌握、經(jīng)歷、體驗(yàn)、探究等的含義。特別注意對(duì)概念所反映的驗(yàn)、探究等的含義。特別注

16、意對(duì)概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法的解析。數(shù)學(xué)思想方法的解析。例例4 4 “三線(xiàn)八角三線(xiàn)八角”的教學(xué)目標(biāo)的教學(xué)目標(biāo)目標(biāo)：目標(biāo)： 識(shí)別同位角識(shí)別同位角（課標(biāo)）。（課標(biāo)）。目標(biāo)解析：目標(biāo)解析： 正確地分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，從中找到正確地分析圖形的結(jié)構(gòu)特征，從中找到“兩條直線(xiàn)兩條直線(xiàn)”和和“第三條直線(xiàn)第三條直線(xiàn)”，確定角，確定角的關(guān)系（同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角）。的關(guān)系（同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角）。 以以“結(jié)構(gòu)特征結(jié)構(gòu)特征”為依據(jù)，對(duì)角進(jìn)行分類(lèi)，為依據(jù)，對(duì)角進(jìn)行分類(lèi)，確定角的特定關(guān)系的思想方法。確定角的特定關(guān)系的思想方法。例例5 5 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 目標(biāo)：掌握一元二次方程的解法。目標(biāo)：

17、掌握一元二次方程的解法。 解析：（解析：（1）能用具體的方法，如開(kāi)方法）能用具體的方法，如開(kāi)方法、因式分解法、配方法、公式法等解方、因式分解法、配方法、公式法等解方程；（程；（2）能用等價(jià)轉(zhuǎn)化（如）能用等價(jià)轉(zhuǎn)化（如x2=a、(xx1) (xx2)=0等）、化歸（通過(guò)代數(shù)運(yùn)算等）、化歸（通過(guò)代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化方程，化未知為已知）等探究一元轉(zhuǎn)化方程，化未知為已知）等探究一元二次方程的解。二次方程的解。例例6 6 一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式 目標(biāo)：掌握一元二次方程根的判別式。目標(biāo)：掌握一元二次方程根的判別式。 解析：解析：對(duì)對(duì)“掌握掌握”的內(nèi)涵作具體界定。的內(nèi)涵作具體界定。（1）在用配方

18、法推導(dǎo)求根公式的過(guò)程中，理解）在用配方法推導(dǎo)求根公式的過(guò)程中，理解判別式的結(jié)構(gòu)和作用；判別式的結(jié)構(gòu)和作用；（2）能用判別式判斷數(shù)字系數(shù)的一元二次方程）能用判別式判斷數(shù)字系數(shù)的一元二次方程根的情況；根的情況；（3）能用判別式判斷字母系數(shù)的一元二次方程）能用判別式判斷字母系數(shù)的一元二次方程根的情況；根的情況；（4）能應(yīng)用判別式解決其他情境中的問(wèn)題。）能應(yīng)用判別式解決其他情境中的問(wèn)題。例例7 7 根與系數(shù)的關(guān)系根與系數(shù)的關(guān)系 目標(biāo)：掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。目標(biāo)：掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。 解析：解析：（1 1）提出問(wèn)題的方法）提出問(wèn)題的方法根的個(gè)數(shù)、符號(hào)、根根的個(gè)數(shù)、符號(hào)、根和根之間的

19、關(guān)系、根和系數(shù)的關(guān)系（根由系數(shù)和根之間的關(guān)系、根和系數(shù)的關(guān)系（根由系數(shù)唯一確定、具體關(guān)系的探究）、由根作新的方唯一確定、具體關(guān)系的探究）、由根作新的方程（解方程的反問(wèn)題）、根程（解方程的反問(wèn)題）、根多項(xiàng)式的因子多項(xiàng)式的因子；（2 2）通過(guò)運(yùn)算所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律）通過(guò)運(yùn)算所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律代數(shù)的基本方代數(shù)的基本方法；等等。法；等等。教學(xué)目標(biāo)的三層級(jí)模型教學(xué)目標(biāo)的三層級(jí)模型第一層級(jí)第一層級(jí) 主成分：以記憶為主要標(biāo)志主成分：以記憶為主要標(biāo)志, ,培養(yǎng)的是以記憶為主的基本能力。培養(yǎng)的是以記憶為主的基本能力。 測(cè)試：基本事實(shí)、方法的記憶水平。測(cè)試：基本事實(shí)、方法的記憶水平。 標(biāo)準(zhǔn)：獲得的知識(shí)量以及掌握的準(zhǔn)確性。標(biāo)準(zhǔn)

20、：獲得的知識(shí)量以及掌握的準(zhǔn)確性。第二層級(jí)第二層級(jí) 主成分：以理解為主要標(biāo)志，培養(yǎng)的是主成分：以理解為主要標(biāo)志，培養(yǎng)的是以理解為主的基本能力；以理解為主的基本能力； 測(cè)試：能否順利地解決常規(guī)性、通用性測(cè)試：能否順利地解決常規(guī)性、通用性問(wèn)題，包括能否滿(mǎn)意地解決綜合性問(wèn)題；問(wèn)題，包括能否滿(mǎn)意地解決綜合性問(wèn)題； 標(biāo)準(zhǔn)：運(yùn)用知識(shí)的水平，如正確、敏捷、標(biāo)準(zhǔn)：運(yùn)用知識(shí)的水平，如正確、敏捷、靈活、深刻等。靈活、深刻等。第三層級(jí)第三層級(jí) 主成分：以探究為主要標(biāo)志，培養(yǎng)以評(píng)主成分：以探究為主要標(biāo)志，培養(yǎng)以評(píng)判為主的基本能力；判為主的基本能力； 測(cè)試：能否對(duì)解決問(wèn)題的過(guò)程進(jìn)行反思，測(cè)試：能否對(duì)解決問(wèn)題的過(guò)程進(jìn)行反思

21、，即檢驗(yàn)過(guò)程的正確性、合理性及其優(yōu)劣；即檢驗(yàn)過(guò)程的正確性、合理性及其優(yōu)劣； 標(biāo)準(zhǔn)：思維的深刻性、批判性、全面性、標(biāo)準(zhǔn)：思維的深刻性、批判性、全面性、獨(dú)創(chuàng)性等。獨(dú)創(chuàng)性等。4 4教學(xué)問(wèn)題診斷分析教學(xué)問(wèn)題診斷分析 教師根據(jù)自己以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)內(nèi)教師根據(jù)自己以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)內(nèi)在的邏輯關(guān)系以及思維發(fā)展理論，對(duì)本在的邏輯關(guān)系以及思維發(fā)展理論，對(duì)本內(nèi)容在教與學(xué)中可能遇到的障礙進(jìn)行的內(nèi)容在教與學(xué)中可能遇到的障礙進(jìn)行的預(yù)測(cè)，并對(duì)出現(xiàn)障礙的原因進(jìn)行分析。預(yù)測(cè)，并對(duì)出現(xiàn)障礙的原因進(jìn)行分析。在上述分析的基礎(chǔ)上指出教學(xué)難點(diǎn)。在上述分析的基礎(chǔ)上指出教學(xué)難點(diǎn)。 例例8 8 “三線(xiàn)八角三線(xiàn)八角”中的難點(diǎn)中的難點(diǎn) 學(xué)生

22、初次接觸平面幾何關(guān)于位置關(guān)系、學(xué)生初次接觸平面幾何關(guān)于位置關(guān)系、大小度量的討論，在思想方法上存在困大小度量的討論，在思想方法上存在困難外，對(duì)于認(rèn)識(shí)幾何問(wèn)題的一般程序也難外，對(duì)于認(rèn)識(shí)幾何問(wèn)題的一般程序也存在困難。復(fù)雜的圖形會(huì)使學(xué)生感到無(wú)存在困難。復(fù)雜的圖形會(huì)使學(xué)生感到無(wú)從下手。從下手。 教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的理解并正教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的理解并正確地對(duì)角分類(lèi)；在具體（變式）圖形中確地對(duì)角分類(lèi)；在具體（變式）圖形中正確找出有關(guān)的角。正確找出有關(guān)的角。 B和和BCE可以看成是直線(xiàn)可以看成是直線(xiàn) ， 被被直線(xiàn)直線(xiàn) 所截得的所截得的 角；角；B和和BCD可可以看成是直線(xiàn)以看成是直線(xiàn) ， 被直線(xiàn)被

23、直線(xiàn) 所截得所截得的的 角。角。 B E A C D例例9 9 一元二次方程中的難點(diǎn)一元二次方程中的難點(diǎn) 真正的難點(diǎn)還是在思想方法上：等價(jià)轉(zhuǎn)真正的難點(diǎn)還是在思想方法上：等價(jià)轉(zhuǎn)化（配方法）；化歸思想：二次化一次化（配方法）；化歸思想：二次化一次（因式分解、開(kāi)方等運(yùn)算）；對(duì)方程的（因式分解、開(kāi)方等運(yùn)算）；對(duì)方程的根、系數(shù)之間關(guān)系進(jìn)行研究的思想根、系數(shù)之間關(guān)系進(jìn)行研究的思想如何提出研究的問(wèn)題；分類(lèi)討論思想。如何提出研究的問(wèn)題；分類(lèi)討論思想。 具體操作上：由平方根概念所附帶產(chǎn)生具體操作上：由平方根概念所附帶產(chǎn)生的難點(diǎn)。的難點(diǎn)。4 4教學(xué)支持條件分析教學(xué)支持條件分析 為了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)問(wèn)題診斷為

24、了有效實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)問(wèn)題診斷分析和學(xué)習(xí)行為分析，分析應(yīng)當(dāng)采取哪分析和學(xué)習(xí)行為分析，分析應(yīng)當(dāng)采取哪些教學(xué)支持條件，以幫助學(xué)生更有效地些教學(xué)支持條件，以幫助學(xué)生更有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，使他們更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)思維，使他們更好地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。當(dāng)前，可以適當(dāng)?shù)貍?cè)重于信息技規(guī)律。當(dāng)前，可以適當(dāng)?shù)貍?cè)重于信息技術(shù)的使用，以構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念術(shù)的使用，以構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的的“多元聯(lián)系表示多元聯(lián)系表示”的教學(xué)情境。的教學(xué)情境。 5 5教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 強(qiáng)調(diào)教學(xué)過(guò)程的內(nèi)在邏輯線(xiàn)索；強(qiáng)調(diào)教學(xué)過(guò)程的內(nèi)在邏輯線(xiàn)索； 給出學(xué)生思考和操作的具體描述；突出核心概給出學(xué)生思考和操作的具體描述；突出核心概

25、念的思維建構(gòu)和技能操作過(guò)程，突出思想方法念的思維建構(gòu)和技能操作過(guò)程，突出思想方法的領(lǐng)悟過(guò)程分析；的領(lǐng)悟過(guò)程分析； 以以“問(wèn)題串問(wèn)題串”方式呈現(xiàn)為主，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真思考每方式呈現(xiàn)為主，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真思考每一問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖、師生活動(dòng)預(yù)設(shè)，以及需要一問(wèn)題的設(shè)計(jì)意圖、師生活動(dòng)預(yù)設(shè)，以及需要概括的概念要點(diǎn)、思想方法，需要進(jìn)行的技能概括的概念要點(diǎn)、思想方法，需要進(jìn)行的技能訓(xùn)練，需要培養(yǎng)的能力，等；訓(xùn)練，需要培養(yǎng)的能力，等； 根據(jù)內(nèi)容特點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，如基于問(wèn)題解決根據(jù)內(nèi)容特點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，如基于問(wèn)題解決的設(shè)計(jì)，講授式教學(xué)設(shè)計(jì)，自主探究式教學(xué)設(shè)的設(shè)計(jì)，講授式教學(xué)設(shè)計(jì)，自主探究式教學(xué)設(shè)計(jì)，合作交流式教學(xué)設(shè)計(jì)，等。計(jì)，合作

26、交流式教學(xué)設(shè)計(jì)，等。 例例10 10 “三線(xiàn)八角三線(xiàn)八角”的教學(xué)過(guò)程的教學(xué)過(guò)程 問(wèn)題問(wèn)題1 1 （1 1）請(qǐng)回顧一下角的概念。（）請(qǐng)回顧一下角的概念。（2 2）對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角是怎樣形成的？我們是對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角是怎樣形成的？我們是怎樣研究它們的性質(zhì)的？怎樣研究它們的性質(zhì)的？ 設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)調(diào)從結(jié)構(gòu)特征、討論問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：強(qiáng)調(diào)從結(jié)構(gòu)特征、討論問(wèn)題的思想方法等角度，對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行復(fù)的思想方法等角度，對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)提供借鑒。習(xí)回顧，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)提供借鑒。 先行組織者：兩條直線(xiàn)相交形成四個(gè)角，先行組織者：兩條直線(xiàn)相交形成四個(gè)角，它們的關(guān)系（性質(zhì)）已經(jīng)清楚（特例是它們的關(guān)系（性質(zhì)）

27、已經(jīng)清楚（特例是垂直）。接下來(lái)可以研究一條直線(xiàn)與兩垂直）。接下來(lái)可以研究一條直線(xiàn)與兩條直線(xiàn)分別相交，可以得到哪些角，它條直線(xiàn)分別相交，可以得到哪些角，它們又有什么關(guān)系（性質(zhì)）。們又有什么關(guān)系（性質(zhì)）。 意圖：提出問(wèn)題的方法、研究思路的引意圖：提出問(wèn)題的方法、研究思路的引導(dǎo)。導(dǎo)。 問(wèn)題問(wèn)題2：畫(huà)出一條直線(xiàn)與兩條直線(xiàn)分別相：畫(huà)出一條直線(xiàn)與兩條直線(xiàn)分別相交的圖形。共得到幾個(gè)角？你知道其中交的圖形。共得到幾個(gè)角？你知道其中哪些角的關(guān)系？哪些角的關(guān)系？ 設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生畫(huà)圖的習(xí)慣；分析設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生畫(huà)圖的習(xí)慣；分析出需要研究的新問(wèn)題（思維的邏輯性）。出需要研究的新問(wèn)題（思維的邏輯性）。 問(wèn)題問(wèn)題3

28、：我們沒(méi)有研究過(guò)的是哪些角的關(guān)：我們沒(méi)有研究過(guò)的是哪些角的關(guān)系？如何把這些角分類(lèi)？系？如何把這些角分類(lèi)？ 1 2 設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué) 3 4 習(xí)根據(jù)一定標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)的研習(xí)根據(jù)一定標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)的研 5 6究方法。究方法。 7 8 問(wèn)題問(wèn)題4：如圖，直線(xiàn)：如圖，直線(xiàn)AB，CD被直線(xiàn)被直線(xiàn)EF所所截。截。1與沒(méi)有公共定點(diǎn)的與沒(méi)有公共定點(diǎn)的 5，6， 7，8的關(guān)系可以怎樣描述？可分為的關(guān)系可以怎樣描述？可分為幾類(lèi)？幾類(lèi)？ 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己描述這些角的結(jié)設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己描述這些角的結(jié)構(gòu)特征，并分類(lèi)。構(gòu)特征，并分類(lèi)。 E B 說(shuō)明：本問(wèn)題是本課說(shuō)明：本問(wèn)題是本課 A 1的關(guān)鍵，可多給

29、時(shí)間，的關(guān)鍵，可多給時(shí)間， 5 6教師可在確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)教師可在確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn) C 7 8 D上給予引導(dǎo)。上給予引導(dǎo)。 F 問(wèn)題問(wèn)題5 5：圖中，（：圖中，（1 1）與）與1 1、5 5具有相具有相同位置關(guān)系的角還有哪幾對(duì)？（同位置關(guān)系的角還有哪幾對(duì)？（2 2）還有）還有哪幾對(duì)角的位置關(guān)系是問(wèn)題哪幾對(duì)角的位置關(guān)系是問(wèn)題4 4中沒(méi)有包括中沒(méi)有包括的？的？ 設(shè)計(jì)意圖：從圖中識(shí)別同位角，及時(shí)鞏設(shè)計(jì)意圖：從圖中識(shí)別同位角，及時(shí)鞏固概念；引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察圖形，從分類(lèi)角固概念；引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察圖形，從分類(lèi)角度認(rèn)識(shí)內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角概念。度認(rèn)識(shí)內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角概念。 可以安排讓學(xué)生找出所有內(nèi)錯(cuò)角、同旁可以安排讓學(xué)生找出所有內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角的活動(dòng)。內(nèi)角的活動(dòng)。 教科書(shū)只敘述了事實(shí)，給了名字。數(shù)學(xué)教科書(shū)只敘述了事實(shí)，給了名字。數(shù)學(xué)思想方法沒(méi)有明確思想方法沒(méi)有明確要學(xué)生自己悟。要學(xué)生自己悟。 例題：例題： 主要是通過(guò)圖形變式，讓學(xué)生在逐漸復(fù)主要是通過(guò)圖形變式，讓學(xué)生在逐漸復(fù)雜的圖形中識(shí)別有關(guān)