數(shù)學(xué)模型之SIR數(shù)學(xué)模型

1、.動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)模型模型 描述對(duì)象特征隨時(shí)間()的演變過程 分析對(duì)象特征的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來性態(tài) 研究控制對(duì)象特征的手段 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分微分方程方程建模建模 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè) 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程數(shù)學(xué)模型. 傳染病模型傳染病模型問題問題 描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻 預(yù)防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型數(shù)學(xué)模型. 已感染人數(shù) (病人) i(t) 每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型模型1 1【模型【模型假設(shè)】假設(shè)】ttititti)()()(若有效

2、接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)【模型構(gòu)【模型構(gòu)成】成】0)0(iiidtdiitteiti0)(?數(shù)學(xué)模型.sidtdi1)()(tits模型模型2 2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康 人的 比例分別為)(),(tsti 2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為, 且使接觸的健康人致病ttNitstittiN)()()()(0)0()1(iiiidtdi 日接觸率SI 模型數(shù)學(xué)模型【模型【模型假設(shè)】假設(shè)】【模型構(gòu)【模型構(gòu)成】成】.teiti1111)(00)0()1(iiiidtdi模型模型21/2tmii010t11ln

3、01itmtm傳染病高潮到來時(shí)刻 (日接觸率) tm1itLogistic 模型病人可以治愈！?t=tm, di/dt 最大數(shù)學(xué)模型.模型模型3傳染病無免疫性病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)增加假設(shè)SIS 模型3）病人每天治愈的比例為 日治愈率ttNittitNstittiN)()()()()(/ 日接觸率1/ 感染期 一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。0)0()1(iiiiidtdi數(shù)學(xué)模型【模型構(gòu)【模型構(gòu)成】成】.1,01,11)(i)11(iidtdi模型模型3i0i0接觸數(shù) =1 閾值/1)(ti形曲線增長(zhǎng)按Sti )(感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過

4、病人數(shù)小01i1-1/i0iiidtdi)1(模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至0P2: s01/ i(t)單調(diào)降至01/閾值P3P4P2S0數(shù)學(xué)模型.ssss00lnln模型模型4SIR模型模型預(yù)防傳染病蔓延的手段預(yù)防傳染病蔓延的手段 (日接觸率) 衛(wèi)生水平(日治愈率) 醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計(jì)0ln1000sssis0i忽略 降低 s0提高 r0 1000ris 提高閾值 1/ 降低 (=/) , 群體免疫數(shù)學(xué)模型.模型模型4SIR模型模型被傳染人數(shù)的估計(jì)被傳染人數(shù)的估計(jì)0ln1000sssis記被傳染人數(shù)比例ssx00)211(200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssxxs0i0s/1P10ssi0 0, s0 1 小, s0