例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系課件

1、例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系演講：張小明 E-mail:例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系A(chǔ) A仿射幾何仿射幾何仿射幾何：對坐標內(nèi)的點進行放縮、旋轉(zhuǎn)和平移后，相應研究其中的不變性質(zhì)的幾何叫做仿射幾何，它是射影幾何的一部分.所謂放縮一、仿射幾何與平面幾何一、仿射幾何與平面幾何 1122,0Xk xk kYk y00XxxYyycossinsincosXxyYxy 1112021220Xa xa yxYa xa yy111221220aaaa112221 120a aa a，平移：，旋轉(zhuǎn)所以仿射變換指的是（1.1），即其中：例舉初等數(shù)學與

2、高等數(shù)學的一些聯(lián)系性質(zhì)性質(zhì)1.1 仿射變換保持一一對應性、同素性、結(jié)合性仿射變換保持一一對應性、同素性、結(jié)合性.說明：一一對應性指的是變換一、仿射幾何與平面幾何一、仿射幾何與平面幾何 （1）有逆變換，其實逆變換也是仿射變換；（2）同素性指的是：點變換成點，直線變換成直線.后者也就是說：若三點連線，變換后新三點也連線.證明：若 112233,x yxyx y三點連線，則 112233111021xyxyxy，則1111 1121021 1221022112122021222203311 3123021 322301111112211XYa xa yxa xa yyXYa xa yxa xa yy

3、XYa xa yxa xa yy11 112121 122111212221222211 312321 322311121a xa ya xa ya xa ya xa ya xa ya xa y11 121 111 122111221211222211 321 311 32231111112211a xa xa xa ya xa xa xa ya xa xa xa y12121 112122112221212222212321 31232231111112211a ya xa ya ya ya xa ya ya ya xa ya y111111222212222233331111112211x

4、yxya axya axyxyxy11112212222233111021xya aa axyxy所以 112233,X YX YX Y三點連線.例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系性質(zhì)性質(zhì)1.2 兩條平行直線經(jīng)仿射變換后仍變?yōu)閮蓷l平行直線兩條平行直線經(jīng)仿射變換后仍變?yōu)閮蓷l平行直線.說明：我們不妨證明兩條平行直線（ ， ）的原像是平行直線.它們的原像滿足一、仿射幾何與平面幾何一、仿射幾何與平面幾何 顯然命題為真.10AYBXC20AYBXC212201112010A a xa yyB a xa yxC211122120010AaBaxAaBayAyBxC，和211122120020AaBaxAaB

5、ayAyBxC例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系性質(zhì)性質(zhì)1.3 仿射變換保持簡比不變仿射變換保持簡比不變.說明：若新直線的定比分點滿足 一、仿射幾何與平面幾何一、仿射幾何與平面幾何 1231XXX1231YYY和，則有 11 112101121220113123021 1221021222202132230,1,1a xa yxa xa yxa xa yxa xa yya xa yya xa yy121211312312122132230,110,11xxyyaxayxxyyaxay1231230,10,1xxxyyy例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系一、仿射幾何與平面幾何一、仿射幾何與平面幾何

6、abcABC11221221ABCabcSa aa aS性質(zhì)性質(zhì)1.4 1.4 任意兩個三角形面積之比是仿射對應下的不變量任意兩個三角形面積之比是仿射對應下的不變量. .說明：其實我們在性質(zhì)1.1的說明中，已經(jīng)證明了與的面積之比為.推論1.1 (1) 兩個平行四邊形面積之比是仿射不變量. (2) 兩個封閉圖形面積之比是仿射不變量.例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系一、仿射幾何與平面幾何一、仿射幾何與平面幾何 ABCA BCABCABC性質(zhì)性質(zhì)1.51.5 在平面上給定不共線三點在平面上給定不共線三點、 及不共線三點及不共線三點、 、, ,總存在一仿射變換把總存在一仿射變換把、 分別變到分別變到、

7、 112233,x yxyx y說明：若 的坐標分別為， ABC、 112233,X YX YX Y的坐標為， A BC、1122331101xyxyxy1122331101XYXYXY則問題化為：在和的條件下， 1112212200,aaaaxy111 11210121 122102112122022122220311 31230321 32230Xa xa yxYa xa yyXa xa yxYa xa yyXa xa yxYa xa yy問關(guān)于的方程是否有解. ABCABC 推論1.2 (1) 在平面上給定不共線三點A、B、C, 總存在一仿射變換把三角形變到等腰直角ABCABC (2)

8、在平面上給定不共線三點A、B、C, 總存在一仿射變換把三角形變到等邊.例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系一、仿射幾何與平面幾何一、仿射幾何與平面幾何 ABCBRtABCDB B若干應用若干應用例例1.11.1 、將平形四邊形ABCD 各邊三等分(如圖) , 連EF、FH、HG、GE, 求證：SA EF= SDFH= SCHG= SBGE證明：通過仿射變換，把變成等腰直角三角形（），則此時平形四邊形ABCD為正方形AEF、DFH、CHG、SBGE為全等三角形，命題得證.例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系一、仿射幾何與平面幾何一、仿射幾何與平面幾何 例例1.2 求證：三角形的三條中線共點.例舉初等數(shù)學

9、與高等數(shù)學的一些聯(lián)系一、仿射幾何與平面幾何一、仿射幾何與平面幾何 22221yxabab例例1.3 1.3 求證橢圓的面積為.例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系一、仿射幾何與平面幾何一、仿射幾何與平面幾何 例例1.4 能否在三角形ABC中找一個內(nèi)接四邊形PQRS，如圖，使得1234SSSS？ 例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系二、算術(shù)二、算術(shù)-幾何平均不等式與最值單調(diào)定理幾何平均不等式與最值單調(diào)定理數(shù)學奧林匹克中不等式的題目甚多，幾乎每屆數(shù)學奧林匹克中不等式的題目甚多，幾乎每屆IMO與與CMO都有一道不等式都有一道不等式.在我國高中聯(lián)賽中，不等式也是屢見不鮮在我國高中聯(lián)賽中，不等式也是屢見不鮮.例

10、舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系二、算術(shù)二、算術(shù)-幾何平均不等式與最值單調(diào)定理幾何平均不等式與最值單調(diào)定理例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系二、算術(shù)二、算術(shù)-幾何平均不等式與最值單調(diào)定理幾何平均不等式與最值單調(diào)定理例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系二、算術(shù)二、算術(shù)-幾何平均不等式與最值單調(diào)定理幾何平均不等式與最值單調(diào)定理例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系二、算術(shù)二、算術(shù)-幾何平均不等式與最值單調(diào)定理幾何平均不等式與最值單調(diào)定理例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系二、算術(shù)二、算術(shù)-幾何平均不等式與最值單調(diào)定理幾何平均不等式與最值單調(diào)定理例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系二、算術(shù)二、算術(shù)-幾何平均不等式與最值單

11、調(diào)定理幾何平均不等式與最值單調(diào)定理例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系三、局部調(diào)整法，三、局部調(diào)整法，Schur條件與最值壓縮定理條件與最值壓縮定理例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系三、局部調(diào)整法，三、局部調(diào)整法，Schur條件與最值壓縮定理條件與最值壓縮定理例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系三、局部調(diào)整法，三、局部調(diào)整法，Schur條件與最值壓縮定理條件與最值壓縮定理例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系三、局部調(diào)整法，三、局部調(diào)整法，Schur條件與最值壓縮定理條件與最值壓縮定理例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系三、局部調(diào)整法，三、局部調(diào)整法，Schur條件與最值壓縮定理條件與最值壓縮定理例舉初等數(shù)學與高

12、等數(shù)學的一些聯(lián)系三、局部調(diào)整法，三、局部調(diào)整法，Schur條件與最值壓縮定理條件與最值壓縮定理例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系三、局部調(diào)整法，三、局部調(diào)整法，Schur條件與最值壓縮定理條件與最值壓縮定理例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系三、局部調(diào)整法，三、局部調(diào)整法，Schur條件與最值壓縮定理條件與最值壓縮定理例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系三、局部調(diào)整法，三、局部調(diào)整法，Schur條件與最值壓縮定理條件與最值壓縮定理例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系三、局部調(diào)整法，三、局部調(diào)整法，Schur條件與最值壓縮定理條件與最值壓縮定理例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系三、局部調(diào)整法，三、局部調(diào)整法，S

13、chur條件與最值壓縮定理條件與最值壓縮定理例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系三、局部調(diào)整法，三、局部調(diào)整法，Schur條件與最值壓縮定理條件與最值壓縮定理例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系四、高次多項式的圖像性質(zhì)與三角形不等式的證明四、高次多項式的圖像性質(zhì)與三角形不等式的證明例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系四、高次多項式的圖像性質(zhì)與三角形不等式的證明四、高次多項式的圖像性質(zhì)與三角形不等式的證明例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系四、高次多項式的圖像性質(zhì)與三角形不等式的證明四、高次多項式的圖像性質(zhì)與三角形不等式的證明例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系四、高次多項式的圖像性質(zhì)與三角形不等式的證明四、高次多

14、項式的圖像性質(zhì)與三角形不等式的證明例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系四、高次多項式的圖像性質(zhì)與三角形不等式的證明四、高次多項式的圖像性質(zhì)與三角形不等式的證明例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系四、高次多項式的圖像性質(zhì)與三角形不等式的證明四、高次多項式的圖像性質(zhì)與三角形不等式的證明例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系五、對稱條件與非對稱結(jié)果五、對稱條件與非對稱結(jié)果例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系五、對稱條件與非對稱結(jié)果五、對稱條件與非對稱結(jié)果例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系五、對稱條件與非對稱結(jié)果五、對稱條件與非對稱結(jié)果例舉初等數(shù)學與高等數(shù)學的一些聯(lián)系五、對稱條件與非對稱結(jié)果五、對稱條件與非對稱結(jié)果 參考

15、文獻參考文獻1楊擁良.荀洋滔.伸縮變換的一個重要結(jié)論及其應用.中等數(shù)學，2009年2期，P.8-11.2何作發(fā).仿射幾何的幾點應用.湖北大學成人教育學院學報，2004年第8期，P.76-78.3張小明，褚玉明.解析不等式新論.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2009年6月.4Albert WMarshall,Ingram Olkin. Inequalities:theory of majorization and its applicationsMNew York :Academic Press,Inc,19795王伯英控制不等式基礎(chǔ)M北京：北京師范大學出版社，1990年6張小明.三角形不等式的“B-C”證法不等式研究（楊學枝主編），拉薩：西藏人民出版社，2000年6月.7楊學枝.兩個三元不等式及其應用.中國初等