常微分方程線性方程ppt課件

1、第二章 一階微分方程微分方程課程的一個(gè)主要問題是求解，微分方程課程的一個(gè)主要問題是求解，即把微分方程的解通過初等函數(shù)或它們的積分即把微分方程的解通過初等函數(shù)或它們的積分表達(dá)出來，但對(duì)一般的微分方程是無法求解的，表達(dá)出來，但對(duì)一般的微分方程是無法求解的，的解，但是對(duì)某些特殊類型的方程，我們可設(shè)法的解，但是對(duì)某些特殊類型的方程，我們可設(shè)法轉(zhuǎn)化為已解決的問題進(jìn)行求解。轉(zhuǎn)化為已解決的問題進(jìn)行求解。),(yxf如對(duì)一般的二元函數(shù)如對(duì)一般的二元函數(shù)，我們無法求出，我們無法求出),(yxfy （1 1）一階微分方程一階微分方程2.1 2.1 線性方程線性方程2.2 2.2 變量可分離方程變量可分離方程2.3

2、 2.3 全微分方程全微分方程2.4 2.4 變量替換法變量替換法2.5 2.5 一階隱式方程一階隱式方程2.6 2.6 近似解法近似解法2.7 2.7 一階微分方程的應(yīng)一階微分方程的應(yīng)用用2.8 2.8 習(xí)題課習(xí)題課本章的主要內(nèi)容一、一、 線性齊次方程線性齊次方程( )0yp x y線性齊次方程線性齊次方程: :假設(shè)假設(shè)( )( )yp x yg x中中時(shí)，時(shí)，0)(xg求解思想：求解思想：2.1 2.1 線性方程線性方程一階線性微分方程一階線性微分方程( )( )yp x yg x 將將 進(jìn)行變形，將方程左端進(jìn)行變形，將方程左端整理成某一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再進(jìn)行積分求解。整理成某一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

3、，再進(jìn)行積分求解。( )0yp x y例2.1.1 求線性齊次方程求線性齊次方程0yy的通解。的通解。解：對(duì)于方程兩端乘以解：對(duì)于方程兩端乘以 xe得得 0 xxyeye由于由于 ()xxxyeyeye故故()0 xye方程的通解為方程的通解為xyce故故 xyec其中其中為任意常數(shù)。為任意常數(shù)。c一般地，對(duì)方程一般地，對(duì)方程( )( )( )0yexpp x dxp x y expp x dx即即 ( )0y expp x dx整理得通解為整理得通解為( )yc expp x dx( )0yp x y( )expp x dx后得后得 兩端同乘以兩端同乘以 二、二、 線性非齊次方程線性非齊次方

4、程1.積分因子法給方程兩邊乘以函數(shù)給方程兩邊乘以函數(shù)兩種解法兩種解法變成一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，變成一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，使左邊使左邊)(exp()()(exp()(dxxpxgdxxpyxpy整理得：整理得：)(exp()( )(exp(dxxpxgdxxpy積分得通解：積分得通解：)(exp(dxxp( )( )exp( )yexpp x dxCg xp x dx dx)(exp(dxxp稱為方程的積分因子。稱為方程的積分因子。( )( )yp x yg x2.2.常數(shù)變易法常數(shù)變易法思想：將一個(gè)對(duì)應(yīng)齊次方程的通解中的常數(shù)思想：將一個(gè)對(duì)應(yīng)齊次方程的通解中的常數(shù)變?yōu)楹瘮?shù)，代入原方程后確定出該方程的通解。變

5、為函數(shù)，代入原方程后確定出該方程的通解。再把通解表達(dá)式中的常數(shù)再把通解表達(dá)式中的常數(shù)c c 換成一個(gè)待定函數(shù)換成一個(gè)待定函數(shù) ( )u x。)(exp(dxxpcy( )exp( )yu xp x dx即令即令 先求先求 對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為：對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為：( )( )yp x yg x xxpexuyd)()(,代代入入原原方方程程和和將將yy )(xg xxpxxpeexuxpxud)(d)()()()( xxpexuxpd)()()()(xu)(xp xxped)()()(d)(xgxuxxpe 線性非齊次方程線性非齊次方程 yxpxy)(dd設(shè)想設(shè)想 待定函數(shù)待定函數(shù))(x

6、g xxpeyd)()(xu xxpexgxud)()()(xxgxuxxped)()(d)( C 一階線性非齊次微分方程的通解：一階線性非齊次微分方程的通解：d)(d)(d)(Cxxgyxxpxxpee xxpexuyd)()(設(shè)設(shè)常數(shù)變易法：常數(shù)變易法：齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)。 xxdd xxpeCd)(非齊次方程的一個(gè)特解非齊次方程的一個(gè)特解對(duì)應(yīng)齊次對(duì)應(yīng)齊次方程通解方程通解d)(d)(d)(Cxxgyxxpxxpee 一階線性方程解的結(jié)構(gòu)一階線性方程解的結(jié)構(gòu)xxgxxpxxpeed)(d)(d)( 注注高階線性方程解的結(jié)構(gòu)，高階線性方程解的結(jié)構(gòu)，高階非齊次線性方程的常數(shù)變易法

7、高階非齊次線性方程的常數(shù)變易法.)()(ddxgyxpxy 線性微分方程解的性質(zhì):1.1.齊次方程的解或者恒為零，或恒不為零。齊次方程的解或者恒為零，或恒不為零。2.2.齊次方程任何解的線性組合仍是它的解。齊次方程任何解的線性組合仍是它的解。3.3.齊次方程的任一解與非齊次方程的任一解之和齊次方程的任一解與非齊次方程的任一解之和仍為非齊次方程的解。仍為非齊次方程的解。4.4.非齊次方程的兩解之差為對(duì)應(yīng)齊次方程的解。非齊次方程的兩解之差為對(duì)應(yīng)齊次方程的解。5.5.非齊次方程的任一解與對(duì)應(yīng)齊次方程的齊次方程非齊次方程的任一解與對(duì)應(yīng)齊次方程的齊次方程的通解之和是非齊次方程的通解。的通解之和是非齊次方

8、程的通解。.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ?)( xp?)( xg xxeyd1xCxx cos解解sin xx xxed1xdC d)(d)(d)(Cxxgyxxpxxpee ,)(xxuy 設(shè)非齊通解：設(shè)非齊通解：,sin)(xxxxu ,ddxxyy 考慮：考慮：,xCy 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊通通解解：.cos)(Cxxu 解初值問題解初值問題: 10cos2)1(02xyxxyyx解解 改寫方程：改寫方程：1cos1222 xxyxxy),sin(112xCxy 10 xy特解特解:21sin1xxy , 1 C,1)(2 xxuy設(shè)非齊通解：設(shè)非齊通解：.cos)(xxu ,d

9、12d2xxxyy 考考慮慮：,12 xCy對(duì)應(yīng)齊通解：對(duì)應(yīng)齊通解：的通解為的通解為微分方程微分方程xxyycostan 解解 y 典型的一階非齊次線性方程典型的一階非齊次線性方程.分析分析,cos)(xxuy 設(shè)設(shè)非非齊齊通通解解：.)(Cxxu ,dcossindxxxyy 考考慮慮：,cos xCy 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)齊齊通通解解：, 1)( xu.cos)(xCx yxyyxylnlndd 既不是線性方程既不是線性方程, 也不能分離變量也不能分離變量.改寫方程：改寫方程：yyyxyxlnlndd yxyy1ln1 以以x為未知函數(shù)為未知函數(shù), yxyyyx1ln1dd 的一階非齊次線性方程的一階

10、非齊次線性方程.分析分析y 為自變量為自變量 解方程解方程0d)ln(dln yyxxyy.lnln21yCyx 此外此外, y = 1 也是原方程的解也是原方程的解.解解yxyyyx1ln1dd 解方程解方程 0d)ln(dln yyxxyy時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 y,lnddyyyxx 先解：先解：,ln)(:yyux 設(shè)設(shè),lnlnlnlnCyx ,1ln)(yyyu ,ln21)(2Cyyu 解微分方程解微分方程0cossindd xyxyxy解解 原方程變形原方程變形 xydd xyydd2cos212 2tanddyxzy 2tan設(shè)設(shè).ddxzxz 一階線性方程一階線性方程原方程通解原方

11、程通解: :)1(2tanxCyxe 2cos2sin2yyxy 2cos220 2tany0 x的的通通解解。求求yexy 1分析分析這不是典型類型，這不是典型類型，：ye 11dd yyeexxy解解，令令yez .11dd zxxz線性方程線性方程,2xCxz ）（xCxy 2ln)(3xfx ，23xyy 解解 xxxf0d)(積分方程積分方程平行于平行于 y 軸的動(dòng)直線被曲線軸的動(dòng)直線被曲線 y = f (x)陰影部分的面積陰影部分的面積, )(xf，)(32xfx xyO3xy )(xfy xPQ截下的線段截下的線段PQ之長數(shù)值上等于之長數(shù)值上等于求曲線求曲線 y = f (x).

12、)0(3 xxy與與.0|0 xy所求曲線方程所求曲線方程)222(32 xxyxe 求微分方程求微分方程0d)2(d xyxyx 的一個(gè)解的一個(gè)解),(xyy 所圍平面圖形繞所圍平面圖形繞 x 軸軸旋轉(zhuǎn)體體積最小旋轉(zhuǎn)體體積最小.軸軸及及使使得得由由xxxxyy2, 1),( .12dd yxxy解解212475xxy 改寫微分方程改寫微分方程.2xCxy 通解：通解：)(CV).37215531(2 CC 0)215562()( CCV .12475 C 2122d)(xxCx 數(shù)，求微分方程數(shù)，求微分方程 ( )dyayf xdx的的 2周期解。周期解。 解：齊次方程解：齊次方程 0dya

13、ydx的通解為的通解為 axyce()0( )xaxa x syceef s ds方程方程 ( )dyayf xdx的通解為的通解為 例：例：2.1.3 2.1.3 為了使為了使 以以 為周期，須滿足為周期，須滿足 2y是以是以 2( )f x為周期的周期函數(shù)，為周期的周期函數(shù)， 是正常是正常a設(shè)設(shè) 整理得整理得 200)()2()2(.)()(xxsxaaxsxaxadssfecedssfece( )f x為周期為周期 2以以 （令（令 ） 2st0221( )1asacef s dse 將將c c 的表達(dá)式代入通解的表達(dá)式代入通解, ,再一次利用再一次利用f (x)f (x)的周期性的周期

14、性得得: : xasxsaadssfedssfeec020)2(2)()()1( xtaxsatdtfedssfe 220)2()()( 2)(2)(11xxsxaadssfeey線性非齊次方程初值解公式在理論上的意義線性非齊次方程初值解公式在理論上的意義: :我們可以利用它來研究解的性質(zhì)，對(duì)解進(jìn)行我們可以利用它來研究解的性質(zhì)，對(duì)解進(jìn)行“估值估值”。證：設(shè)證：設(shè) ( )xx t為方程的任一解，它滿足某初始條件為方程的任一解，它滿足某初始條件 00,)t 我們只證我們只證 0( ) ,x tt 在上有界。上有界。 于是于是 dsesfextxsttttt)()(000)()(,)(00 xtx試

15、證方程試證方程 的所有解均在的所有解均在 0,)上有界。上有界。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ( )f t在在 上連續(xù)且有界上連續(xù)且有界, ,0,)(tfxdtdx設(shè)設(shè) ( ),0,)f tM t于是，對(duì)于是，對(duì) 0tt 有有 00()0( )( )tt ts ttx tx ef s eds00ttstxMee ds0()01ttxMe0 xM原題得證。三、 Bernoulli方程伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式: :)1,0()()(ddyxgyxpxy)()(dd1xgyxpxyyxyyxzdd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxgzxpxz求出此方程通解后求出此方程通解后, ,換回原變

16、量即得伯努利方程的通解換回原變量即得伯努利方程的通解. .y以除方程兩邊除方程兩邊 , , 得得解法解法: :( (線性方程線性方程) ),1-yz 令例例2.1.4 2.1.4 求初值問題求初值問題2(1)122dyyxydxxy，的解。的解。解：方程兩邊同乘以解：方程兩邊同乘以2y 2y 后得后得222dyyyxdxx令令 2zy代入得代入得 2dzzxdxx通解為通解為312zCxx將將 2zy代入得代入得 2312yCxx代入初值條件得代入初值條件得31()2yxx.4dd的通解的通解求方程求方程yxyxxy 解解伯努利方程伯努利方程，21 作變換作變換.211yyz xzdd.22d

17、dxzxxz ,ln212）（xCxz 原方程的通解原方程的通解:24ln21）（xCxy )()1 ()()1 (ddxgzxpxzzx)4()211( x)211( 解方程解方程321ddyxyxxy 解解y 視為自變量視為自變量,23ddxyxyyx 兩邊除以兩邊除以,dd132yxyyxx 2x.dd3yzyyz ,1xz 設(shè)設(shè)2222yCxye 的伯努利方程的伯努利方程.2 例例2 2 湖泊的污染湖泊的污染設(shè)一個(gè)化工廠每立方米的廢水中含有設(shè)一個(gè)化工廠每立方米的廢水中含有3.08kg鹽酸，鹽酸，這些廢水流入一個(gè)湖泊中，廢水流入的速率這些廢水流入一個(gè)湖泊中，廢水流入的速率20立方米每小時(shí)

18、立方米每小時(shí). 開始湖中有水開始湖中有水400000立方米立方米. 河水中流入不含鹽酸的水是河水中流入不含鹽酸的水是1000立方米每小時(shí)立方米每小時(shí), 湖泊中混合均勻的水的流出的速率是湖泊中混合均勻的水的流出的速率是1000立方米立方米每小時(shí)每小時(shí), 求該廠排污求該廠排污1年時(shí)年時(shí), 湖泊水中鹽酸的含量湖泊水中鹽酸的含量.解解: 設(shè)設(shè)t 時(shí)刻湖泊中所含鹽酸的數(shù)量為時(shí)刻湖泊中所含鹽酸的數(shù)量為),(tx考慮考慮 ,ttt內(nèi)湖泊中鹽酸的變化內(nèi)湖泊中鹽酸的變化.四、四、 線性微分方程的應(yīng)用舉例線性微分方程的應(yīng)用舉例ttxtttxttx204000000)(100008. 320)()(因此有因此有. 0)0(, 6 .612400000100 xtxdtdx該方程有積分因子該方程有積分因子50)02. 04000()2400000100exp()(tdttt兩邊同乘以兩邊同乘以)(t后后,整理得整理得5050)