購房貸款還貸的數(shù)學(xué)模型

1、購房貸款還貸的數(shù)學(xué)模型班級：熱能091學(xué)號：姓名：一、數(shù)學(xué)模型建立 ：a=貸款本金；b=每月還款額；n=房貸年數(shù)；r=貸款月利率；x=總利息；w=總償還貸款本息；a(i)=第 i 月歸還本金；x(i)= 第 i 月償還的利息；y(i)= 第 i 月欠銀行的錢；模型描述：無論哪種還款方式，都有一個共同點(diǎn)，就是每月的還款額（也稱月供）中包含兩個部分：本金還款和利息還款：月還款額 =當(dāng)月本金還款 +當(dāng)月利息b(i)=a(i)+x(i) ；當(dāng)月剩余本金 =上月剩余本金 -當(dāng)月本金還款y(i)=y(i-1)-a(i) ；當(dāng)月利息 =上月剩余本金×月利率x(i)=y(i-1)*r ；月利率 =年

2、利率÷ 12；其中本金還款是真正償還貸款的。 每月還款之后，貸款的剩余本金就相應(yīng)減少，利息還款是用來償還剩余本金在本月所產(chǎn)生的利息的。由上面利息償還公式中可見， 月利息是與上月剩余本金成正比的，由于在貸款初期，剩余本金較多，所以可見，貸款初期每月的利息較多，月還款額中償還利息的份額較重。 隨著還款次數(shù)的增多， 剩余本金將逐漸減少， 月還款的利息也相應(yīng)減少，直到最后一個月，本金全部還清，利息付最后一次，下個月將既無本金又無利息，至此，全部貸款償還完畢。二、模型求解 ：1.等本息 .等本息還款額的推導(dǎo)：每個月的還款額相等，其中月還款額=當(dāng)月本金還款 +當(dāng)月利息第一個月的利息 ar第一個月

3、的本金還款額Y(1) b第一個月的利息 b ar第一個月剩余本金總貸款額第一個月本金還款額 a（ b ar） a×（ r） b第二個月，當(dāng)月利息還款額上月剩余本金 ×月利率第二個月的利息（ a×（ r） b） ×r第二個月的本金還款額Y(i)b第二個月的利息 b（ a×（ r） b） ×r第二個月剩余本金第一個月剩余本金第二個月本金還款額 a×（ r） b（ b（ a×（ r） a）×r） a×（ r） b b（ a×（ r） b）×r a×（ r）2 a（ r）

4、×b(1+r)2 表示 (1+r) 的 2 次方第三個月的利息第二個月剩余本金×月利率第三個月的利息（a×（ r）2 a（ r） ×b） ×r第三個月的本金還款額Y(3) b第三個月的利息 b（ a×（ r） 2 b（ r）×b） ×r第三個月剩余本金第二個月剩余本金第三個月的本金還款額 a×（ r）2 b（ r） ×b（ a（ a×（ r） 2 b（ r）×b） ×r） a×（ r）2 b（ r） ×b（ b（ a×（ r） 2

5、15;r b（ r）×b） ×r） a×（ r）2×（ r）（ b b（ r）×b ×（ r） a×（ r）3 b（ r）×b（ r）2×b上式可以分成兩個部分第一部分： a×（ r）3第二部分： b（ r） ×b（ r） 2×b b×（ r）（ r）2通過對前三個月的剩余本金公式進(jìn)行總結(jié)，我們可以看到其中的規(guī)律：剩余本金中的第一部分總貸款額 ×（月利率）的次方，（其中還款月數(shù)）剩余本金中的第二部分是一個等比數(shù)列，以（月利率）為比例系數(shù)，月還款額為常數(shù)系數(shù)

6、，項數(shù)為還款月數(shù)。推廣到任意月份：第月的剩余本金 a×（ r） b×s( )（ s(n) 為（ r）的等比數(shù)列的前項和）根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式： z z2 z3 z（ z）（ z）可以得出b×s(n) b×（ r） ）（r） b×（ r） ） r所以，第月的剩余本金 a×（ r） b×（ r） r 由于最后一個月本金將全部還完，所以當(dāng)?shù)扔谶€款次數(shù)時，剩余本金為零。剩余本金 a×（ r）n b×（ r）n） r0從而得出月還款額ar (1 r )12nbr )12n 1(1總貸款額 ×月利率 &

7、#215;（月利率） 還款次數(shù) ÷（月利率） 還款次數(shù) 總利息x=12b*n-a=月還款額 x12 個月 x 年數(shù) 本金代入數(shù)據(jù)得：b=4,018.47x=122,216.402.等本金的推導(dǎo)：月還款額 =當(dāng)月本金還款 +當(dāng)月利息b(i)=a(i)+x(i) ；每個月的還的本金相同， a(i)=a ；12 n每個月的利息為，x iaa1r ；i12n那么每個月的還款額為b iaaa(i1) r ；12n12n總利息可以用等差數(shù)列完成計算x1 anr1 a r ；223.等比遞增本金的推導(dǎo)：在此改變一下模型的定義a(i)=第 i 年歸還本金；b(i,j)= 第 i 年第 j 月的還款額

8、；x(i,j)= 第 i 年第 j 月償還的利息；x i =第 i 年償還的總利息；y(j)= 第 j 月欠銀行的錢；月還款額 =當(dāng)月本金還款 +當(dāng)月利息b(i,j)=a(i)+x(ij) ；每一年應(yīng)還的本金分別是： a(1),a(2),a(3) a(10) ；每個月應(yīng)還的利息是： x(1),x(2),x(3) x(119),x(120) ；每年應(yīng)還的總利息是： X1,X2,X3 X10;第 j 月應(yīng)還的利息是： xjaa ij 1r ；第 i 年應(yīng)還的總利息是： Xix(1)x(2)x(12) ；那么 a=12a(1)+a(2)+a(3) +a(10) ；a(i)=1.1a(i-1)；該等比

9、數(shù)列之和為 a=12 a(1)11.110，a(1)=0.00523a；11.1第一年第一個月： x(1,1)=ar第二個月： x(1,2)=(a-a(1)*r第十二個月： x(1,12)=(a-a(1)*11)*r ；總利息： X1=12ar 66a(1)r ；第二年以此類推X2=12(a 12a(1)*r 66a(2)*r ；X3=12(a 12a(1) 12a(2)*r 66a(3)*r ；X10=12(a 12a(1) 12a(2) 12a(9)*r 66a(9)*r ；X=X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10;；在計算時遇到 0 0a(1) a(1)=a(1)

10、 (1.11 1) 10a(1)+a(2) a(1) 11.12=a(1) (1.12 1) 1011.1911.19a(1)+a(2)+a(3)+ +a(9) a(1)=a(1) (1.11)10 ；求和；經(jīng)過計算可得 100a(1)*( 1.110 - 2 )；X= 12r 10a 1200a 1 1.1102 66 a r ；12b(1,1)=a(1)+x(1,1)b(1,2)=a(1)+x(1,2)b(10,12)=a(10)+x(10,12)；三、 C 語言程序把以上各房貸款還款情況用 c 語言程序簡單編輯出來，可以計算不同貸款本金，房貸年數(shù)，年利率下的三種還貸方式每個月需要還款的金

11、額和總利息：#include<stdio.h>#include<math.h>int main()double a,r,b,x,r1,x1,x2,x3,b1,b2,b12,b22,a1;int n,m,i=1;printf(" 請依次輸入貸款本金額：萬元，房貸年數(shù)：，貸款年利率% ： ");scanf("%lf%d%lf",&a1,&m,&r1);a=a1*10000;n=m*12;r=r1/1200;b=a*r/(1-1/pow(1+r,n);x=b*n-a;b1=a/n+(a-a*(i-1)/n)*r;

12、b12=a/n+(a-a*(120-1)/n)*r;x1=0.5*n*a*r+0.5*a*r;b2=0.00523*a+a*r;b22=pow(1.1,9)*0.00523*a+(a-pow(1.1,9)*0.00523*(12-1)*r;x2=12*r*(10*a-1200*0.00523*a*(pow(1.1,10)-2)-66/12*a*r;printf(" 用等額本息貸款每月的付款額為：%.2ftprintf(" 用等額本金貸款第一個月付款額為：總利息為： %.2fn",b,x);%.2ft 最后一個月： %.2f總利息為： %.2fn",b1,

13、b12,x1);printf(" 用等比本金貸款第一個月付款額為：%.2ft最后一個月：%.2f總利息為： %.2fn",b2,b22,x2);return 0;圖例：四、如何選擇適合自己的方式等額本息還款法的特點(diǎn)是每個月歸還一樣的本息和，容易作出預(yù)算。還款初期利息占每月供款的大部分， 隨本金逐漸返還供款中本金比重增加。 等額本金還款法的特點(diǎn)是每月歸還本金一樣， 利息則按貸款本金余額逐日計算， 前期償還款項較大，每月還款額在逐漸減少。由于是遞減，每個月的還款需要精心計算。根據(jù)一般的收入變化趨勢，等額本息還款法更適用于現(xiàn)期收入少，預(yù)期收入將穩(wěn)定或增加的借款人，或預(yù)算清晰的人士和收入穩(wěn)定的人士，一般為青年人，特別是剛開始工作的年輕人也適合選用這種方法，以避免初期太大的供款壓力。而等額本金還款法適用于現(xiàn)在收入處于高峰期的人士， 特別是預(yù)期以后收入會減少或是家庭經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)會加重的，一般為中老年人。等比遞增本金的特點(diǎn)是 隨著工作