大學物理2-1第4章-2

1、第第4 4章章動量和角動量動量和角動量( (一）一）1、質(zhì)量為、質(zhì)量為m 的物體的物體,以以 從地面拋出。拋射角從地面拋出。拋射角 ，忽略，忽略 空氣阻力。則從拋出到剛要接觸地面的過程中空氣阻力。則從拋出到剛要接觸地面的過程中 1) 物體動量增量物體動量增量大小大小為（為（ ） 2) 物體動量增量物體動量增量方向方向為（為（ ）0v030v0300v0v0v0300300mv豎直向下豎直向下2、兩質(zhì)量分別為、兩質(zhì)量分別為m1 、m2的小球，用一倔強系數(shù)為的小球，用一倔強系數(shù)為k 的輕彈簧相的輕彈簧相 連，放在水平光滑桌面上，今以等值反向的力分別作用于兩連，放在水平光滑桌面上，今以等值反向的力分

2、別作用于兩 小球時，若以兩小球和彈簧為系統(tǒng)，則系統(tǒng)的小球時，若以兩小球和彈簧為系統(tǒng)，則系統(tǒng)的A）動量守恒，機械能守恒。）動量守恒，機械能守恒。B）動量守恒，機械能不守恒。）動量守恒，機械能不守恒。C）動量不守恒，機械能守恒。）動量不守恒，機械能守恒。D）動量不守恒，機械能不守恒。）動量不守恒，機械能不守恒。1m2mFF練習題練習題 例題例題4-5 兩個帶理想彈簧緩沖器的小車兩個帶理想彈簧緩沖器的小車A 和和 B，質(zhì)量分別為，質(zhì)量分別為m1 、m2，B不動，不動，A 以速度以速度 與與B 碰撞，已知兩車的的倔強系碰撞，已知兩車的的倔強系數(shù)分別為數(shù)分別為k1 、k2，在不計摩擦的情況下，求兩車相對

3、靜止時，其，在不計摩擦的情況下，求兩車相對靜止時，其間的作用力為多少？間的作用力為多少？ 0vA1m0vB2m2k1k解解 以兩小車為研究對象。以兩小車為研究對象。其碰撞過程中，系統(tǒng)的其碰撞過程中，系統(tǒng)的機機械能守恒械能守恒；動量守恒動量守恒。vmmvm)(2101 2222112212012121)(2121xkxkvmmvm 由牛頓第三定律：由牛頓第三定律：2211xkxk 2112kxkx 聯(lián)立上式：聯(lián)立上式：)(2121122101kkmmkkmmvx )(21212121011kkmmkkmmvxkF 補充例題補充例題用一輕彈簧把一個金屬盤懸掛起來，用一輕彈簧把一個金屬盤懸掛起來，這

4、時彈簧伸長這時彈簧伸長l1=10cm, 一個質(zhì)量和盤相同的泥一個質(zhì)量和盤相同的泥球從高于盤球從高于盤h30cm處由靜止下落到盤，求盤處由靜止下落到盤，求盤向下運動的最大距離向下運動的最大距離l2.h1l解：不能用一個守恒定律求解，而要分階段。解：不能用一個守恒定律求解，而要分階段。泥球自由下落過程：泥球自由下落過程：機械能守恒機械能守恒22/mvmgh泥球和盤的完全非彈性碰撞過程：泥球和盤的完全非彈性碰撞過程：動量守恒動量守恒V)mm(mv 泥球和盤向下運動的過程：泥球和盤向下運動的過程：機械能守恒機械能守恒。設(shè)盤的最低點為。設(shè)盤的最低點為重力勢能零點，向下運動最大距離重力勢能零點，向下運動最

5、大距離l2.221222121222121)ll (kgl)m(V)m(kl 平衡條件平衡條件1klmg 聯(lián)立解得：聯(lián)立解得：l2=0.3m2l4.3 質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理4.3.1 質(zhì)心質(zhì)心N 個質(zhì)點組成的系統(tǒng)個質(zhì)點組成的系統(tǒng) Njimmmm.1、位矢分別為位矢分別為 Njirrrr.1、NNNcmmmrmrmrmr .212211定義：質(zhì)點系質(zhì)心的位矢定義：質(zhì)點系質(zhì)心的位矢即即對質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點系對質(zhì)量連續(xù)分布的質(zhì)點系 Mmrrc dx1mzy Nmjmim OirMrmmrmriiNiiiNiic 11MmzzMmyyMmxxccc d,d,d在直角坐標系中：在直角坐標系

6、中：1）幾何形狀對稱的均質(zhì)物體，質(zhì)心就是幾何對稱中心。）幾何形狀對稱的均質(zhì)物體，質(zhì)心就是幾何對稱中心。2）有些物體的質(zhì)心可能不在所求的物體上。）有些物體的質(zhì)心可能不在所求的物體上。4.3.2、質(zhì)心運動定理、質(zhì)心運動定理由質(zhì)心位矢由質(zhì)心位矢Mrmriic對對 t 求導(dǎo)，得：求導(dǎo)，得：MvmMtrmtrviiiicc dddd iivmpccvMpp 質(zhì)心的動量質(zhì)心的動量等于質(zhì)點系的總動量等于質(zhì)點系的總動量 注意注意由兩個質(zhì)點組成的質(zhì)點系由兩個質(zhì)點組成的質(zhì)點系2121111dd:trmfFm 2222222dd:trmfFm 021 ffN 個質(zhì)點組成的質(zhì)點系：個質(zhì)點組成的質(zhì)點系： 22ddtrm

7、Fiii2222212121ddddtrmtrmFF )(dd22 iirmtMrmtMii)(dd22 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理caMF FFi 22ddtrMc 1f2F1F2m1m2f說明說明 質(zhì)心的運動只由質(zhì)點系所受的合外力決定，內(nèi)力對質(zhì)心的質(zhì)心的運動只由質(zhì)點系所受的合外力決定，內(nèi)力對質(zhì)心的運動不產(chǎn)生影響。運動不產(chǎn)生影響。質(zhì)心運動定理不能描述各質(zhì)點的運動情況，每個質(zhì)點的質(zhì)心運動定理不能描述各質(zhì)點的運動情況，每個質(zhì)點的實際運動應(yīng)是質(zhì)心的運動和質(zhì)點相對質(zhì)心運動的疊加。實際運動應(yīng)是質(zhì)心的運動和質(zhì)點相對質(zhì)心運動的疊加。質(zhì)點系各質(zhì)點由于內(nèi)力和外力的作用，其運動情況可能質(zhì)點系各質(zhì)點由于內(nèi)力和外力的

8、作用，其運動情況可能很復(fù)雜，但質(zhì)心的運動可能很簡單。很復(fù)雜，但質(zhì)心的運動可能很簡單。當當0 合合外外F時，時，質(zhì)心的加速度與把全部質(zhì)量集中在質(zhì)心質(zhì)心的加速度與把全部質(zhì)量集中在質(zhì)心的質(zhì)點的加速度相同。的質(zhì)點的加速度相同。把實際物體抽象為質(zhì)點，正是只考慮了質(zhì)心而忽略了把實際物體抽象為質(zhì)點，正是只考慮了質(zhì)心而忽略了物體中各質(zhì)點相對質(zhì)心的運動。物體中各質(zhì)點相對質(zhì)心的運動。上 例題例題4-64-6 一長為一長為L L ，密度分布不均勻的細桿，其質(zhì)量線密度，密度分布不均勻的細桿，其質(zhì)量線密度 , , 為常量，為常量，x 從輕端算起，求其質(zhì)心。從輕端算起，求其質(zhì)心。L/x0 0 解：解：取質(zhì)元取質(zhì)元xdLx

9、xdmd0 L21xdLxmdM0L00 L32MxdLxMmxdXL002c 比較：質(zhì)量均勻分布、長度為比較：質(zhì)量均勻分布、長度為L細棒的質(zhì)心位置。細棒的質(zhì)心位置。oxdxxL21ML21MxdxMmxdX2L0c 例題補充例題補充 如圖所示，浮吊的質(zhì)量如圖所示，浮吊的質(zhì)量M = 20 t，從岸上吊起從岸上吊起m = 2 t的重物后，再將吊桿與豎直方向的夾角的重物后，再將吊桿與豎直方向的夾角由由600轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到300 ，設(shè)桿，設(shè)桿長長l = 8 m，水的阻力與桿重略而不計，求浮吊在水平方向上移，水的阻力與桿重略而不計，求浮吊在水平方向上移動的距離。動的距離。 取質(zhì)心為坐標原點。設(shè)取質(zhì)心為坐標原

10、點。設(shè) 在由在由600 轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到300 時，吊車在水平方向上移動的距離為時，吊車在水平方向上移動的距離為x1 ，重物移動的距離為重物移動的距離為x2 。 解解 取吊車和重物組成的系統(tǒng)為研究取吊車和重物組成的系統(tǒng)為研究對象。由于系統(tǒng)所受的合外力為零，質(zhì)點對象。由于系統(tǒng)所受的合外力為零，質(zhì)點系的質(zhì)心保持原來的靜止位置不動。系的質(zhì)心保持原來的靜止位置不動。ObamM cxl0600 mMmbMaxC在在 = 60 0 時時0 mbMa060sinlba 0)(12 xxmmbMa02130sin)(lxxba m266. 0)30sin60(sin001 mMmlx在在 = 30 0 時：時：0)(

11、)(21 mMxbmxaMxC0)(12 xxmObamMcxl0302x1x0604.4 角動量定理角動量定理 sinmvrL 大?。捍笮。悍较颍河煞较颍河捎沂致菪▌t右手螺旋定則確定。確定。SI 中中 ： kgm 2 / s質(zhì)點的角動量與質(zhì)點的角動量與參考點的選擇參考點的選擇有關(guān)。有關(guān)。定義定義:r質(zhì)量為質(zhì)量為m的質(zhì)點以速度在空間運動，某時刻對的質(zhì)點以速度在空間運動，某時刻對O 點點的位矢為的位矢為 ，則它，則它對對O 點的角動量點的角動量( 動量矩動量矩 ) 為為：vrxyzom vvrL4.4.14.4.1、角動量、角動量vmrprL1）矢量性矢量性2）相對性）相對性 原點原點O 選取

12、的不同，則位置矢量選取的不同，則位置矢量不同，角動量也不同。不同，角動量也不同。1、質(zhì)點角動量、質(zhì)點角動量質(zhì)點對參考點的角動量質(zhì)點對參考點的角動量yzxzPyPLzxyxPzPLzyxPPPzyxkjiPrLxyzyPxPL 3） 的直角坐標系中的的直角坐標系中的分量式分量式L4）兩個特例）兩個特例做圓周運動質(zhì)點做圓周運動質(zhì)點 m 對圓心對圓心O 的角動量的角動量vmrL 2rmmvrL 大大小小：rvOmzL方向：方向： 與與 同向，垂直于轉(zhuǎn)動平面，同向，垂直于轉(zhuǎn)動平面， 與質(zhì)點轉(zhuǎn)動繞向成與質(zhì)點轉(zhuǎn)動繞向成右手螺旋關(guān)系。右手螺旋關(guān)系。L L做做勻速率圓周運動勻速率圓周運動的質(zhì)點的質(zhì)點對圓心的角

13、動量是恒量。對圓心的角動量是恒量。vmrprL11sin1mvrL 方向：由右手螺旋定則確定。方向：由右手螺旋定則確定。質(zhì)點對質(zhì)點對O點的角動量為：點的角動量為：vmrprL3）若）若O 取在直線上，則：取在直線上，則：。0 L說明說明 質(zhì)量為質(zhì)量為m 的質(zhì)點作直線運動。的質(zhì)點作直線運動。 t 時刻質(zhì)點對時刻質(zhì)點對O點的角動量為：點的角動量為：2)、作直線運動質(zhì)點的角動量、作直線運動質(zhì)點的角動量1）若物體作勻速直線運動，對同一參考點）若物體作勻速直線運動，對同一參考點O，則，則。CL 2 2）對不同的參考點，質(zhì)點有不同的恒定角動量）對不同的參考點，質(zhì)點有不同的恒定角動量11sinr mp1r2

14、 omp1 2r大小：大?。簉osinr談質(zhì)點的角動量，談質(zhì)點的角動量，必須指明參考點。必須指明參考點。2、質(zhì)點系的角動量、質(zhì)點系的角動量 iLL)( iipr質(zhì)點系的角動量等于質(zhì)點系的角動量等于各質(zhì)點對同一參考點的角動量的矢量和。各質(zhì)點對同一參考點的角動量的矢量和。iiiprL 二、質(zhì)點的角動量定理二、質(zhì)點的角動量定理1、力矩、力矩FdFrM sin1）大?。┐笮?： ， d 為力臂。為力臂。方向：由方向：由右手螺旋定則右手螺旋定則確定。確定。 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的質(zhì)點在力的質(zhì)點在力 的作用的作用下作曲線運動。力下作曲線運動。力 對參考點對參考點O 的的力矩力矩 為為:FFMFrMSI 中中

15、 ：NmOr MF sinr2）在直角坐標系中）在直角坐標系中yzxzFyFM zxyxFzFM xyzyFxFM 3）相對性：依賴于參考點）相對性：依賴于參考點O 的選擇。的選擇。zyxFFFzyxkjiFr niFrFrFrM 214）作用于質(zhì)點的）作用于質(zhì)點的合外力矩等于合外力的力矩。合外力矩等于合外力的力矩。MFrFFFrn 合合)(212、質(zhì)點的角動量定理、質(zhì)點的角動量定理prL 將角動量將角動量 對時間求導(dǎo)，可得：對時間求導(dǎo)，可得：tPrPtrdddd FrPv )(ddddPrttLtLFrMdd 質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點所受的合外力矩等于它的角動量的時間變化率。質(zhì)點

16、所受的合外力矩等于它的角動量的時間變化率。FrtL dd0 pv微分形式微分形式LtMdd 積分形式積分形式 2121ddttLLtML 21dtttML 21tttM d 表示作用于質(zhì)點上的力矩在（表示作用于質(zhì)點上的力矩在（t 2t 1）內(nèi)的內(nèi)的時間積累效應(yīng)，稱為力矩的角沖量或沖量矩。時間積累效應(yīng)，稱為力矩的角沖量或沖量矩。)Pr(ttL ddddFrPv 和和 是對同一慣性系中同一參考點而言的是對同一慣性系中同一參考點而言的ML說明說明 例題例題4-8 質(zhì)量為質(zhì)量為m、線長為線長為l 的單擺，可繞點的單擺，可繞點O 在豎直平面在豎直平面內(nèi)擺動，初始時刻擺線被拉成水平，然后自由放下。求內(nèi)擺動

17、，初始時刻擺線被拉成水平，然后自由放下。求: : 擺線擺線與水平線成與水平線成角時，擺球所受到的力矩及擺球?qū)c角時，擺球所受到的力矩及擺球?qū)cO 的角動量；的角動量； 擺球到達點擺球到達點 B 時，角速度的大小。時，角速度的大小。解解 任意位置時受力為：重力；張力。任意位置時受力為：重力；張力。由由角動量定理角動量定理 cosddmglMtL tLtLdddddd 瞬時角動量瞬時角動量：gm重力對重力對O 點的力矩：點的力矩： cosmglM 方向：方向：張力對張力對O 點的力矩為零。點的力矩為零。 ddL 2mlLL dd 2lmmvlL o lmBATr 垂直于紙面向里。垂直于紙面向里。

18、sin232glmL 。點點時時，當當小小球球到到達達2/B cosdddd2mglmlLLtL lgmlL22 glmlglmL2sin232 olBA dcosd32glmLL dcosd3200glmLLL niiiiitprptrtL1)dddd(dd niiii)fF(r1 niiiniii)fr()Fr(11 niiiFrtL1)(dd niiiFrM1)(令令4.4.3、質(zhì)點系的角動量定理：、質(zhì)點系的角動量定理：0)(1 niiifr作用力和反作用力對同一點力矩的作用力和反作用力對同一點力矩的矢量和等于零。矢量和等于零。 niiiprL1質(zhì)點系的角動量：質(zhì)點系的角動量：質(zhì)點系角動

19、量質(zhì)點系角動量的時間變化率的時間變化率 質(zhì)點系所受的合外力矩質(zhì)點系所受的合外力矩 質(zhì)點系所受的合內(nèi)力矩質(zhì)點系所受的合內(nèi)力矩 FrM 方向：垂直板面向外，大小：方向：垂直板面向外，大小：FdM FrM FddFM 方向：垂直板面向里，大小：方向：垂直板面向里，大?。鹤饔昧εc反作用力對同一點的力矩的矢量和為零。作用力與反作用力對同一點的力矩的矢量和為零。0 MMoFF rdr FF 設(shè)：設(shè)：2、積分形式：、積分形式：LtMLttLL 2121dd質(zhì)點系角動量的增量等于系統(tǒng)合外力矩的角沖量。質(zhì)點系角動量的增量等于系統(tǒng)合外力矩的角沖量。1、微分形式：、微分形式：LtMdd 質(zhì)點系所受的合外力矩等于系統(tǒng)

20、角動量對時質(zhì)點系所受的合外力矩等于系統(tǒng)角動量對時間變化率間變化率 質(zhì)點系的角動量定理。質(zhì)點系的角動量定理。說明說明tLMdd 分分量量式式為為是是一一個個矢矢量量方方程程，直直角角MdtLd統(tǒng)的總角動量統(tǒng)的總角動量的角動量，但不影響系的角動量，但不影響系矩只改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點矩只改變系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點關(guān)，內(nèi)力關(guān)，內(nèi)力矩之和，而與內(nèi)力矩無矩之和，而與內(nèi)力矩無只取決于系統(tǒng)所受外力只取決于系統(tǒng)所受外力dtLddtdLM,dtdLM,dtdLMzzyyxx 4.5.1、 質(zhì)點的角動量守恒定律質(zhì)點的角動量守恒定律若質(zhì)點所受的合力矩若質(zhì)點所受的合力矩。，則則CLtL,M0dd0 若對某一參考點，質(zhì)點所受外力矩的矢量和恒為零，則此若對某一參考點，質(zhì)點所受外力矩的矢量和恒為零，則此質(zhì)點對該參考點的角動量保持不變。質(zhì)點對該參考點的角動量保持不變。 質(zhì)點的角動量守恒定律質(zhì)點的角動量守恒定律 4.5 角動量守恒定律角動量守恒定律例如，地球衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動時，相對地球的角動量守恒。例如，地球衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動時，相對地球的