高等數(shù)學(xué)(8)數(shù)值函數(shù)多重積分

1、1.概念、類型與性質(zhì)概念、類型與性質(zhì)2.二重積分二重積分3.三重積分三重積分4.第一型曲線與曲面積分第一型曲線與曲面積分5.在幾何與物理方面的典型應(yīng)用在幾何與物理方面的典型應(yīng)用7.1多元數(shù)值函數(shù)的積分多元數(shù)值函數(shù)的積分 -概念、類型與性質(zhì)概念、類型與性質(zhì)1.引例引例-概念抽象概念抽象-多元函數(shù)積分定義多元函數(shù)積分定義2.多元數(shù)值函數(shù)積分的基本類型多元數(shù)值函數(shù)積分的基本類型3.可積條件與積分基本性質(zhì)可積條件與積分基本性質(zhì)1.引例引例-概念抽象概念抽象-多元函數(shù)積分定義多元函數(shù)積分定義 我們已經(jīng)知道，一元函數(shù)定積分的產(chǎn)生，是與很多我們已經(jīng)知道，一元函數(shù)定積分的產(chǎn)生，是與很多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題密切相關(guān)的?，F(xiàn)實(shí)

2、問(wèn)題密切相關(guān)的。 但是一元函數(shù)的定義域僅僅是一維的，而我們的世但是一元函數(shù)的定義域僅僅是一維的，而我們的世界卻是三維的。并且大量的現(xiàn)實(shí)對(duì)象也是不對(duì)稱的。界卻是三維的。并且大量的現(xiàn)實(shí)對(duì)象也是不對(duì)稱的。 因此不難想到，在現(xiàn)實(shí)世界中，多元函數(shù)所應(yīng)用的因此不難想到，在現(xiàn)實(shí)世界中，多元函數(shù)所應(yīng)用的范圍更廣。而類似定積分的方法，在高維情況下肯定范圍更廣。而類似定積分的方法，在高維情況下肯定有十分廣泛的用途。有十分廣泛的用途。 即便是不知道多元函數(shù)積分的概念，僅從一元函即便是不知道多元函數(shù)積分的概念，僅從一元函數(shù)定積分的定義和應(yīng)用，是否可以想到有什么問(wèn)題數(shù)定積分的定義和應(yīng)用，是否可以想到有什么問(wèn)題可能會(huì)用到

3、多元函數(shù)的積分方法呢？可能會(huì)用到多元函數(shù)的積分方法呢？舉幾個(gè)例子。舉幾個(gè)例子?！纠纠?-1】（求平面薄板的質(zhì)量問(wèn)題）設(shè)一質(zhì)量非均勻分】（求平面薄板的質(zhì)量問(wèn)題）設(shè)一質(zhì)量非均勻分布的薄板，將其置于布的薄板，將其置于xOy平面上，它所占有的區(qū)域?yàn)槠矫嫔希加械膮^(qū)域?yàn)镈 (圖圖7-1), 在在D上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)P(x,y)處的面密度為處的面密度為( )( , ),f Pf x y 這里這里 且在且在D上連續(xù)上連續(xù).( , )0f x y OxyD（圖（圖7-1）i ),(ii 把區(qū)域把區(qū)域D任意分劃為任意分劃為n個(gè)小區(qū)個(gè)小區(qū)域域 (i=1,2,n)， 同時(shí)表示同時(shí)表示該小區(qū)域的面積該小區(qū)域的面積

4、.由于由于 連連續(xù)，因此薄板在每個(gè)小區(qū)域上的續(xù)，因此薄板在每個(gè)小區(qū)域上的質(zhì)量可以近似的看做均勻分布質(zhì)量可以近似的看做均勻分布.i i ( , )f x y（1）一個(gè)引例）一個(gè)引例 在每個(gè)在每個(gè) 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) ，則該小區(qū)域質(zhì)量的近，則該小區(qū)域質(zhì)量的近似值為似值為i ),(ii ，整個(gè)薄板質(zhì)量，整個(gè)薄板質(zhì)量m的近似值為的近似值為iiiifm ),(11(,)nniiiiiimmf 記記 ，所謂，所謂 的直徑指的是的直徑指的是 上任意兩點(diǎn)間距離的上確界上任意兩點(diǎn)間距離的上確界.當(dāng)當(dāng)d 0時(shí)，每個(gè)時(shí)，每個(gè) 的面積的面積將趨于零，并且小區(qū)域的數(shù)目無(wú)限增大，上述近似值將趨于零，并且小區(qū)域的數(shù)目無(wú)限

5、增大，上述近似值就無(wú)限接近薄板的實(shí)際質(zhì)量就無(wú)限接近薄板的實(shí)際質(zhì)量.因此可以把上面和式的極因此可以把上面和式的極限規(guī)定為薄板的質(zhì)量，即限規(guī)定為薄板的質(zhì)量，即 i i i （1）max1的直徑的直徑inid 01lim(,)niiidimf （2）討論上面例子）討論上面例子 假設(shè)上面例子中的物質(zhì)對(duì)象，不是一張平放的薄板。假設(shè)上面例子中的物質(zhì)對(duì)象，不是一張平放的薄板。而是如下幾種情況：而是如下幾種情況： 一條平直的細(xì)絲；一條平直的細(xì)絲； 一塊立體（區(qū)域）；一塊立體（區(qū)域）； 一條可以放在平面上的彎曲細(xì)絲；一條可以放在平面上的彎曲細(xì)絲； 一條在空間中彎曲的細(xì)絲；一條在空間中彎曲的細(xì)絲； 一片空間中的曲

6、面。一片空間中的曲面。 同樣假設(shè)知道物質(zhì)的密度函數(shù)，求其整體質(zhì)量，應(yīng)該同樣假設(shè)知道物質(zhì)的密度函數(shù)，求其整體質(zhì)量，應(yīng)該怎樣做？怎樣做？（3）多元數(shù)值函數(shù)積分的定義）多元數(shù)值函數(shù)積分的定義（i）符號(hào)與輔助概念約定：）符號(hào)與輔助概念約定： i ：根據(jù)具體情況表示某空間中的閉集。在實(shí)：根據(jù)具體情況表示某空間中的閉集。在實(shí)數(shù)集中表示一個(gè)閉區(qū)間；在平面中可以是平面曲線，數(shù)集中表示一個(gè)閉區(qū)間；在平面中可以是平面曲線，也可以是一個(gè)閉區(qū)域；在三維空間中，可以表示空間也可以是一個(gè)閉區(qū)域；在三維空間中，可以表示空間曲線、曲面、三維閉區(qū)域。曲線、曲面、三維閉區(qū)域。、注：在教材中，注：在教材中， 即表示小區(qū)域（或閉集合

7、）也表示即表示小區(qū)域（或閉集合）也表示該區(qū)域（或閉集合）的度量（長(zhǎng)度、面積、體積）。該區(qū)域（或閉集合）的度量（長(zhǎng)度、面積、體積）。i 盡管這樣規(guī)定也可以，但稍不注意就可能引起混淆。盡管這樣規(guī)定也可以，但稍不注意就可能引起混淆。 ：表示閉集合：表示閉集合 的的“度量度量”（或（或“體積體積”） -對(duì)于曲線（也包括直線），表示長(zhǎng)度；對(duì)于曲線（也包括直線），表示長(zhǎng)度； -對(duì)于曲面（包括平面），表示面積；對(duì)于曲面（包括平面），表示面積； -對(duì)于立體區(qū)域，表示體積（設(shè)對(duì)于立體區(qū)域，表示體積（設(shè) 是可度量的）。是可度量的）。 )()(idd ，：分別表示區(qū)域：分別表示區(qū)域 和和 的直徑。其的直徑。其中中i

8、 ,|sup)(AyxyxAd 若若A是有界閉區(qū)域，是有界閉區(qū)域，d(A)是是A內(nèi)任意兩點(diǎn)距離中最大者。內(nèi)任意兩點(diǎn)距離中最大者。 ( ) （ 或或 ）：表示閉集合）：表示閉集合 的一個(gè)有限分劃。在的一個(gè)有限分劃。在已已知所分劃的閉集合時(shí)，就簡(jiǎn)記為知所分劃的閉集合時(shí)，就簡(jiǎn)記為 。 i 則稱由這有限個(gè)閉集則稱由這有限個(gè)閉集 為元素所組成的集合稱為閉集為元素所組成的集合稱為閉集合合 的一個(gè)分劃（這里的分化都是有限分劃）。的一個(gè)分劃（這里的分化都是有限分劃）。 的有限分劃的有限分劃：設(shè)有有限個(gè)閉集：設(shè)有有限個(gè)閉集 ， ), 2 , 1(ni 滿足如下條件滿足如下條件i i ； ini 1；0)( ji

9、ji，()max () |iid 分割寬度分割寬度：設(shè)：設(shè) 是是 的一個(gè)分劃，記的一個(gè)分劃，記 稱為分劃稱為分劃 的的寬度（寬度（或分割網(wǎng)的或分割網(wǎng)的網(wǎng)徑）網(wǎng)徑）。 （4）多元數(shù)值函數(shù)積分的定義：）多元數(shù)值函數(shù)積分的定義： fnR 設(shè)設(shè) 是一個(gè)可度量的有界閉集，包含在函數(shù)是一個(gè)可度量的有界閉集，包含在函數(shù) 的定義域中，如果的定義域中，如果(),0,0()(|()|)iiiiiIPf PI 即即 ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù) 在在 上可積，上可積，IPfiii )(0)()(limf 并稱并稱 是是 在在 上的積分，記作上的積分，記作f I()0()()lim()iiif P df PI （2）注：有這

10、個(gè)概念定義，還派生如下一些輔屬概念注：有這個(gè)概念定義，還派生如下一些輔屬概念- 被積函數(shù)被積函數(shù)，積分（區(qū)）域積分（區(qū)）域，積分元素（微元）積分元素（微元），被被積表達(dá)式積表達(dá)式， 積分和積分和，積分號(hào)積分號(hào)。2.多元數(shù)值函數(shù)積分的主要類型與常用符號(hào)表示多元數(shù)值函數(shù)積分的主要類型與常用符號(hào)表示 下面假設(shè)都是在直角坐標(biāo)系下的表示。根據(jù)積分域下面假設(shè)都是在直角坐標(biāo)系下的表示。根據(jù)積分域的情況分類，有如下四大類：的情況分類，有如下四大類： dyxfD ),( （2） 是三維坐標(biāo)空間中的區(qū)域是三維坐標(biāo)空間中的區(qū)域V時(shí)，積分記為時(shí)，積分記為稱為二元函數(shù)稱為二元函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域D上的上的二重積分，二重積

11、分， 稱為稱為面面積微元積微元。f d0lim(,)iiiif （1）積分域）積分域 是是xOy坐標(biāo)平面中的區(qū)域坐標(biāo)平面中的區(qū)域D，則，則表示分劃中小塊區(qū)域表示分劃中小塊區(qū)域 的面積的面積 ，積分表示為，積分表示為 ii i dVzyxfV ),(稱為三元函數(shù)稱為三元函數(shù) 在在V上的上的三重積分三重積分， 稱為稱為體積微元體積微元。fdVL（3）當(dāng)）當(dāng) 是平面或空間中一條曲線是平面或空間中一條曲線 時(shí)，時(shí)， 表示的表示的 iis 是曲線分化中小弧段是曲線分化中小弧段 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度 。如果曲線是平面。如果曲線是平面曲線，則函數(shù)曲線，則函數(shù) 是二元函數(shù)，具體的積分表示為：是二元函數(shù)，具體的積分表示

12、為：isf isiiiLsfdsyxf),(lim),(0 如果是空間曲線，函數(shù)應(yīng)是三元函數(shù)，積分記為如果是空間曲線，函數(shù)應(yīng)是三元函數(shù)，積分記為0( ,)lim(,)iiiiiLsf x yz dsfs ，ds 稱為稱為弧長(zhǎng)微元弧長(zhǎng)微元。積分稱為。積分稱為第一型曲線積分第一型曲線積分，也，也稱為稱為對(duì)弧長(zhǎng)的積分對(duì)弧長(zhǎng)的積分。（4）當(dāng)）當(dāng) 是空間中的一塊曲面是空間中的一塊曲面 時(shí)，時(shí)， 是三元函數(shù)。是三元函數(shù)。 SfiiSiS 表示分劃中某個(gè)小曲面塊表示分劃中某個(gè)小曲面塊 的面積的面積 ，具體的，具體的積分表達(dá)式為積分表達(dá)式為0( , , )lim(,)iiiiiSSf x y z dSfS d

13、S 稱為稱為面積微元面積微元，該積分稱為，該積分稱為第一型曲面積分第一型曲面積分，或，或?qū)γ娣e的曲面積分對(duì)面積的曲面積分。3.多元數(shù)值函數(shù)積分的基本性質(zhì)多元數(shù)值函數(shù)積分的基本性質(zhì)（1）可積的必要條件）可積的必要條件-被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有界被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有界（注意，積分區(qū)域本身必須是有界閉集）。（注意，積分區(qū)域本身必須是有界閉集）。可積的一個(gè)充分條件可積的一個(gè)充分條件-被積函數(shù)連續(xù)。被積函數(shù)連續(xù)。 注意教材中對(duì)積分區(qū)域注意教材中對(duì)積分區(qū)域“度量度量”的記法的特殊約定。的記法的特殊約定。但是在這里我們?yōu)榱瞬灰鹌缌x，還是引入新的符號(hào)但是在這里我們?yōu)榱瞬灰鹌缌x，還是引入新的符號(hào)約定。約定。

14、以以 表示積分區(qū)域表示積分區(qū)域 的的“度量度量”（根據(jù)情況（根據(jù)情況分別表示長(zhǎng)度、面積、體積）。分別表示長(zhǎng)度、面積、體積）。)( （2）基本性質(zhì)）基本性質(zhì))( （i） d1（ii）積分與函數(shù)的線性運(yùn)算可交換）積分與函數(shù)的線性運(yùn)算可交換-即積分是一個(gè)即積分是一個(gè)線性映射（從哪里到哪里？）。線性映射（從哪里到哪里？）。（iii）積分）積分對(duì)于積分區(qū)域的可加性對(duì)于積分區(qū)域的可加性。（iv）大小的比較）大小的比較 fg()()g P df P d |( )|( )|f P df Pd （v）積分的估值）積分的估值()()()mf P dM mM與與 分別是函數(shù)在積分區(qū)域上的最大和最小值。分別是函數(shù)在積

15、分區(qū)域上的最大和最小值。（vi）中值定理。存在）中值定理。存在 0P0( )() ()f P df P 注：除了符號(hào)以及涉及到的集合（積分區(qū)域與被積注：除了符號(hào)以及涉及到的集合（積分區(qū)域與被積函數(shù)）不同，其它在形式和關(guān)系上，與一元函數(shù)定函數(shù)）不同，其它在形式和關(guān)系上，與一元函數(shù)定積分的基本性質(zhì)完全一樣。積分的基本性質(zhì)完全一樣。7.2 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算1.幾何意義幾何意義2.直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算3.多重積分的換元法多重積分的換元法4.極坐標(biāo)下的二重積分極坐標(biāo)下的二重積分7-2: 3(3，4);4(3，4);5(3，4，5)； 6(2，3，4，6，7); 8

16、(3，4); 9(2，3); 10(2)。第七章第第七章第2 2節(jié)作業(yè)題節(jié)作業(yè)題1.二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義-曲頂柱體曲頂柱體體積的體積的“代數(shù)和代數(shù)和”2.直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算（1）二重積分與一元函數(shù)定積分在計(jì)算方法上的）二重積分與一元函數(shù)定積分在計(jì)算方法上的差異。差異。（i）二重積分的區(qū)域很不規(guī)整；區(qū)域分化（面積）二重積分的區(qū)域很不規(guī)整；區(qū)域分化（面積微元）可能有不同的選擇。而一元函數(shù)定積分，微元）可能有不同的選擇。而一元函數(shù)定積分，積分區(qū)域是一個(gè)區(qū)間，區(qū)間分劃的形式是唯一的積分區(qū)域是一個(gè)區(qū)間，區(qū)間分劃的形式是唯一的 ，就是區(qū)間分段。就是區(qū)間分段。（

17、ii）計(jì)算積分，沒(méi)有原函數(shù)可以直接利用。）計(jì)算積分，沒(méi)有原函數(shù)可以直接利用。要解決二重積分，以及更高重的積分的計(jì)算問(wèn)題，要解決二重積分，以及更高重的積分的計(jì)算問(wèn)題，當(dāng)然就要針對(duì)上面的不同，給出具體的計(jì)算規(guī)則。當(dāng)然就要針對(duì)上面的不同，給出具體的計(jì)算規(guī)則。（2）計(jì)算二重積分的基本規(guī)則）計(jì)算二重積分的基本規(guī)則 注：由于積分區(qū)域本身往往不是矩形。所以看上注：由于積分區(qū)域本身往往不是矩形。所以看上去，分劃并不整齊。但是因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)有界，區(qū)域去，分劃并不整齊。但是因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)有界，區(qū)域邊界的面積為邊界的面積為0，在取極限的情況下，隨著覆蓋邊，在取極限的情況下，隨著覆蓋邊界的那些小矩形面積之和趨近于界的那些

18、小矩形面積之和趨近于0，這些邊界處的，這些邊界處的積分值也就趨近于積分值也就趨近于0了。了。（ii）將積分區(qū)域分解為）將積分區(qū)域分解為-X型、型、Y型區(qū)域的并集：型區(qū)域的并集：所謂所謂X型域型域，就是該區(qū)域是由兩條垂直于，就是該區(qū)域是由兩條垂直于X軸的直軸的直線與兩條以線與兩條以x為自變量的函數(shù)曲線圍城的區(qū)域。為自變量的函數(shù)曲線圍城的區(qū)域。類似可知類似可知Y型域型域構(gòu)成方式。（考察構(gòu)成方式。（考察關(guān)鍵區(qū)別在哪里關(guān)鍵區(qū)別在哪里！）?。╥）直角坐標(biāo)系情況下，用小矩形分劃積分區(qū)域，）直角坐標(biāo)系情況下，用小矩形分劃積分區(qū)域，面積微元記為面積微元記為 或或 （其意義自明）；（其意義自明）；dxdydy

19、dx（iii）將）將X型與型與Y型域上的重積分，轉(zhuǎn)化為型域上的重積分，轉(zhuǎn)化為“兩重兩重”相互聯(lián)系起來(lái)的一元函數(shù)的定積分。相互聯(lián)系起來(lái)的一元函數(shù)的定積分。（3）X型（型（Y型）域上的二重積分的計(jì)算。型）域上的二重積分的計(jì)算。根據(jù)二重積分的幾何意義，所謂曲頂柱體的體積微元根據(jù)二重積分的幾何意義，所謂曲頂柱體的體積微元 假設(shè)假設(shè)X型區(qū)域型區(qū)域 如下：如下：,)()(| ),(21baxxyxyx （iv）利用積分對(duì)區(qū)域的可加性，求總的積分。）利用積分對(duì)區(qū)域的可加性，求總的積分。( )( )dV xS x dxV （參考（參考圖示圖示7-7）為）為其體積為其體積為( )( )( , )bbaaDVdV

20、 xS x dxf x y dxdy 而而dyyxfxSxx )()(21),()( 于是二重積分計(jì)算就轉(zhuǎn)換為兩次一元函數(shù)的定積分于是二重積分計(jì)算就轉(zhuǎn)換為兩次一元函數(shù)的定積分的計(jì)算，即轉(zhuǎn)化為的計(jì)算，即轉(zhuǎn)化為累次積分（二次積分）累次積分（二次積分）：( , )=( )=bDaf x y dxdyS x dx 21( )( )( , )bxaxf x y dy dx 注注1：Y型域的積分與此類似；型域的積分與此類似；注注2：有界凸型區(qū)域，往往既是：有界凸型區(qū)域，往往既是X型域也是型域也是Y型域，型域，無(wú)論哪一種考慮，積分所得結(jié)果是一樣的，積分時(shí)無(wú)論哪一種考慮，積分所得結(jié)果是一樣的，積分時(shí)只需考慮哪

21、一種選擇使計(jì)算更簡(jiǎn)便；只需考慮哪一種選擇使計(jì)算更簡(jiǎn)便；注注3：更多重積分的計(jì)算方法，與二重積分的考慮：更多重積分的計(jì)算方法，與二重積分的考慮方式基本一樣，可自行推廣。方式基本一樣，可自行推廣。小結(jié)：以上過(guò)程，是數(shù)學(xué)中比較典型的方法顯示小結(jié)：以上過(guò)程，是數(shù)學(xué)中比較典型的方法顯示-將將復(fù)雜的對(duì)象轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的對(duì)象，將新問(wèn)題的解決復(fù)雜的對(duì)象轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的對(duì)象，將新問(wèn)題的解決轉(zhuǎn)化為對(duì)老問(wèn)題的解決。轉(zhuǎn)化為對(duì)老問(wèn)題的解決。 新積分的概念基礎(chǔ)，依然還是新積分的概念基礎(chǔ)，依然還是-極限極限！【例【例7-2】計(jì)算】計(jì)算 ，其中，其中D由由y軸、直線軸、直線 y=1及拋及拋物線物線 圍成圍成.)0(2 xxy

22、 Ddxdyxy2Oxyy=x2D1（圖（圖7-8）顯然，積分域是凸集，顯然，積分域是凸集，可以用兩種方法計(jì)算，可以用兩種方法計(jì)算，且繁簡(jiǎn)程度沒(méi)有什么且繁簡(jiǎn)程度沒(méi)有什么差別。差別。 而多元函數(shù)積分的計(jì)算，主要還是而多元函數(shù)積分的計(jì)算，主要還是歸結(jié)為一元函數(shù)歸結(jié)為一元函數(shù)的定積分計(jì)算，的定積分計(jì)算，但也要注意其自身的某些特點(diǎn)。但也要注意其自身的某些特點(diǎn)。【例【例7-3】計(jì)算】計(jì)算 ，其中，其中D是由曲線是由曲線 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.和和2xy Ddxdyx222xy （圖（圖7-9）Oxy2ABD-11 比較兩種順序的累次積比較兩種順序的累次積分，觀察一下哪一種簡(jiǎn)明。分，觀察一下哪一種

23、簡(jiǎn)明。為什么？為什么？ 在某些情況下，不同順序的累次積分，還不僅僅是在某些情況下，不同順序的累次積分，還不僅僅是計(jì)算時(shí)的繁簡(jiǎn)差異。而是涉及到是否可以計(jì)算的問(wèn)計(jì)算時(shí)的繁簡(jiǎn)差異。而是涉及到是否可以計(jì)算的問(wèn)題。見(jiàn)下例。題。見(jiàn)下例。Oxyy=xD1（圖（圖7-10）1 Dxdxdye2【例【例7-4】計(jì)算】計(jì)算 ，其中，其中D由由x軸、直線軸、直線 x=1和和y=x圍成（圖圍成（圖7-10）.解：若先對(duì)解：若先對(duì)x后對(duì)后對(duì)y積分，則積分，則 Dyxxdxedydydxe101,22而而 不是初等函數(shù)，故不是初等函數(shù)，故 無(wú)法積出，因此無(wú)法積出，因此按這種累次積分次序無(wú)法算出所求二重積分若換序按這種累次

24、積分次序無(wú)法算出所求二重積分若換序計(jì)算計(jì)算2xedx 2xedx 接續(xù)【例接續(xù)【例7-4】22211000 xxxxDedxdydxedyxedx 21101()|(1).22xee 【例【例7-5】計(jì)算】計(jì)算 ，其中，其中D是下半是下半圓域圓域 （圖（圖7-11）. DydxdyexyxI)(30, 4),( 22 yyxyx（圖（圖7-11）Oxy2D-2利用積分域以及函數(shù)利用積分域以及函數(shù)某種對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算。某種對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算。接續(xù)【例接續(xù)【例7-5】解：注意積分區(qū)域是關(guān)于解：注意積分區(qū)域是關(guān)于y軸對(duì)稱的，對(duì)于自變量軸對(duì)稱的，對(duì)于自變量x，x+x3e y 是奇函數(shù)，是奇函數(shù)，y可視為關(guān)于

25、可視為關(guān)于x的偶函數(shù)，因而的偶函數(shù)，因而22043324()()0,yyyyDxx edxdydyxx edx 21200422yDDydxdyydxdydxydy 22016(4),3xdx 有有 記記 .20 , 04),( 21 xyxyxD3316()().3yyDDDxyx edxdyxx edxdyydxdy 于是于是【例【例7-6】設(shè)】設(shè)D是是xOy平面上以曲線平面上以曲線 y=x3,直線直線x=- -1和和y=1所圍成的閉區(qū)域（圖所圍成的閉區(qū)域（圖7-12）,求求.)sin(22 DdxdyxyyxIy=x3D1（圖（圖7-12）Oxy1-11D2D3D4 學(xué)會(huì)觀察函數(shù)與積學(xué)會(huì)

26、觀察函數(shù)與積分域的特點(diǎn)與關(guān)系，分域的特點(diǎn)與關(guān)系，利用這些關(guān)系和特點(diǎn)利用這些關(guān)系和特點(diǎn)適當(dāng)分解積分域，可適當(dāng)分解積分域，可以簡(jiǎn)化積分的計(jì)算以簡(jiǎn)化積分的計(jì)算-不要只是盲目的計(jì)算。不要只是盲目的計(jì)算。接續(xù)【例接續(xù)【例7-6】解：如圖解：如圖7-32所示，在第二象限畫(huà)出曲線所示，在第二象限畫(huà)出曲線 y=-x3，這樣，這樣就由曲線就由曲線 y=-x3 和兩條坐標(biāo)軸將和兩條坐標(biāo)軸將D分成了四個(gè)子區(qū)域，分成了四個(gè)子區(qū)域，其中其中D1和和D2關(guān)于關(guān)于 y 軸對(duì)稱，而軸對(duì)稱，而D3和和D4關(guān)于關(guān)于 x 軸對(duì)稱軸對(duì)稱12sin()0DDxy dx dy 因?yàn)楹瘮?shù)因?yàn)楹瘮?shù) f (x,y)=sin(xy) 關(guān)于自變量

27、關(guān)于自變量 x 和和 y 均為奇均為奇函數(shù)，所以函數(shù)，所以且且34sin()0.DDxy dxdy 從而從而sin()0.Dxy dxdy 函數(shù)函數(shù)g(x,y)=2x2y關(guān)于關(guān)于y是奇函數(shù)，關(guān)于是奇函數(shù)，關(guān)于x是偶函數(shù)，所是偶函數(shù)，所以以從而從而242.9Dx ydxdy 34220DDx ydx dy 16204=2(1).9xx dx 312111222022222xDDDx ydxdyx ydxdydxx ydy 接續(xù)【接續(xù)【7-67-6】3.二重積分的換元法二重積分的換元法 從前面的例子可以看出，重積分計(jì)算的一個(gè)重要環(huán)從前面的例子可以看出，重積分計(jì)算的一個(gè)重要環(huán)節(jié)是對(duì)積分域的分析。是否

28、能夠?qū)⒎e分域的幾何形節(jié)是對(duì)積分域的分析。是否能夠?qū)⒎e分域的幾何形狀、邊界的解析表示簡(jiǎn)化，對(duì)于重積分的計(jì)算是十狀、邊界的解析表示簡(jiǎn)化，對(duì)于重積分的計(jì)算是十分關(guān)鍵的。分關(guān)鍵的。 假設(shè)在假設(shè)在xOy平面上的一個(gè)區(qū)域比較復(fù)雜（或其解析平面上的一個(gè)區(qū)域比較復(fù)雜（或其解析表達(dá)式復(fù)雜）。一個(gè)自然的想法是，做一個(gè)變換，表達(dá)式復(fù)雜）。一個(gè)自然的想法是，做一個(gè)變換，使得在另外一個(gè)坐標(biāo)系中，這個(gè)積分區(qū)域變得比較使得在另外一個(gè)坐標(biāo)系中，這個(gè)積分區(qū)域變得比較簡(jiǎn)明，從而使其邊界的解析表示形式簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)明，從而使其邊界的解析表示形式簡(jiǎn)化。 如果存在這樣的變換，那么被積表達(dá)式會(huì)有什么變?nèi)绻嬖谶@樣的變換，那么被積表達(dá)式會(huì)有什么

29、變化呢？化呢？（1）-回顧一元函數(shù)定積分的換元法。回顧一元函數(shù)定積分的換元法。 用積分的一般表示形式，無(wú)論是第一類還是第二類用積分的一般表示形式，無(wú)論是第一類還是第二類換元公式，對(duì)于定積分而言，都是如下關(guān)系：換元公式，對(duì)于定積分而言，都是如下關(guān)系： ),(,)(| )(|)( dxxfdtttf其中，變換為其中，變換為 ，并且，并且)(tx 12000210(2 )2,2( )|( )|( 2 )|( 2)|2tdtxdxxtttdttdtxdxxt ，1( ,) , , ,( , )a ba b txtx2,2 還是還是，都有，都有例如無(wú)論是做變換例如無(wú)論是做變換。這個(gè)關(guān)系的幾何解釋是怎樣的

30、呢？這個(gè)關(guān)系的幾何解釋是怎樣的呢？注意：變換注意：變換 中，中，. 00; 21 xtxttx2 盡管盡管 ，但不是按照對(duì)應(yīng)順序映成的。，但不是按照對(duì)應(yīng)順序映成的。2 , 0)0 , 1( （2）多重積分的換元法公式（二重、三重積分）多重積分的換元法公式（二重、三重積分）dudvJvuyvuxfdxdyyxfDD |),(),(),(若若 則有則有 )(DFD ， ),(),(),(vuyvuxvuFyx( , )0( , )x yJu v ，。注注1：如果雅各比矩陣存在，且其行列式恒不為：如果雅各比矩陣存在，且其行列式恒不為0，則變換則變換F當(dāng)然是連續(xù)，可偏導(dǎo)的；并且變換當(dāng)然是連續(xù)，可偏導(dǎo)的

31、；并且變換F還是還是1-1的，起碼在對(duì)應(yīng)的兩個(gè)積分區(qū)域之間。的，起碼在對(duì)應(yīng)的兩個(gè)積分區(qū)域之間。因此還有因此還有 。)(1DFD 注注2：如果區(qū)域內(nèi)有些點(diǎn)處雅各比行列式為：如果區(qū)域內(nèi)有些點(diǎn)處雅各比行列式為0，但是，但是設(shè)有變換設(shè)有變換 這些點(diǎn)組成的集合的面積（或體積這些點(diǎn)組成的集合的面積（或體積-在三維情況）為在三維情況）為0，則上述積分變換的結(jié)果依然成立。則上述積分變換的結(jié)果依然成立。注注3：只要將上面的變換公式寫(xiě)成三重積分，甚至：只要將上面的變換公式寫(xiě)成三重積分，甚至n重積分的形式，結(jié)論也都是對(duì)的。重積分的形式，結(jié)論也都是對(duì)的。（3）極坐標(biāo)系情況下的二重積分計(jì)算）極坐標(biāo)系情況下的二重積分計(jì)算

32、 在二重積分的變換中，將直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)是在二重積分的變換中，將直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)是很常見(jiàn)的情況之一。很常見(jiàn)的情況之一。 設(shè)函數(shù)的定義域原本是由直角坐標(biāo)系表示的，如設(shè)函數(shù)的定義域原本是由直角坐標(biāo)系表示的，如果果應(yīng)用極坐標(biāo)表示這個(gè)區(qū)域應(yīng)用極坐標(biāo)表示這個(gè)區(qū)域，直接從幾何角度分析，直接從幾何角度分析，以射線與同心圓族分割，可得用極坐標(biāo)表示的小區(qū)以射線與同心圓族分割，可得用極坐標(biāo)表示的小區(qū)域面積表示為：域面積表示為：221()2iiiiiiiirrrr r drdrd 事實(shí)上，由直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)變換的雅各比行列式事實(shí)上，由直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)變換的雅各比行列式rrrryx cos,sinsin,co

33、s),(),(所得到的積分微元的變換也是一樣的。這在情理之中。所得到的積分微元的變換也是一樣的。這在情理之中。注：當(dāng)極坐標(biāo)表示的平面積分區(qū)域中含有極點(diǎn)，即矢注：當(dāng)極坐標(biāo)表示的平面積分區(qū)域中含有極點(diǎn)，即矢徑為徑為0的點(diǎn)，那么對(duì)矢徑的積分下限，就從的點(diǎn)，那么對(duì)矢徑的積分下限，就從0開(kāi)始。開(kāi)始。 盡管直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)不都是盡管直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)不都是1-1的，但的，但是在幅角變化不超過(guò)一周的情況下，對(duì)積分沒(méi)影響。是在幅角變化不超過(guò)一周的情況下，對(duì)積分沒(méi)影響。即面積微元是即面積微元是（圖（圖7-17）Oxy12,)(22 Ddyx 【例【例7-7】計(jì)算】計(jì)算 其中其中D是圓環(huán)域是圓環(huán)

34、域4122 yx（圖（圖7-17）.注：在注：在 平面（另一個(gè)直角平面（另一個(gè)直角坐標(biāo)平面），這里的積分區(qū)域坐標(biāo)平面），這里的積分區(qū)域變換為一個(gè)矩形。變換為一個(gè)矩形。 rO 所以變換之后的積分是很容易所以變換之后的積分是很容易計(jì)算的。計(jì)算的。2 , 02 , 1 【例【例7-8】把二重積分】把二重積分 化作在極坐標(biāo)系下的化作在極坐標(biāo)系下的累次積分，其中累次積分，其中D是由直線是由直線y=x , y=2x及曲線及曲線x2+y2=4x , x2+y2=8x 所圍成的平面區(qū)域（圖所圍成的平面區(qū)域（圖7-18）. Ddyxf ),(（圖（圖7-18）Oxy42arctan 4 cos8 r cos4

35、r注：變換之后在直角坐標(biāo)注：變換之后在直角坐標(biāo) 平面中的區(qū)域?yàn)槠矫嬷械膮^(qū)域?yàn)?rO 型域：型域：2arctan,4 .cos8cos4 r； 2arctan4cos8cos4)sin,cos(),( rdrrrfddxdyyxfD于是由變量代換公式得：于是由變量代換公式得：【例【例7-9】求雙紐線】求雙紐線(x2+y2)2=2a2(x2-y2)(a0)（圖（圖7-19）所圍區(qū)域的面積所圍區(qū)域的面積.（圖（圖7-19）OxyD4 注：極坐標(biāo)表示雙紐線為注：極坐標(biāo)表示雙紐線為,2cos222 ar 222arccos21ar 在第一象限有（四分之一區(qū)域）在第一象限有（四分之一區(qū)域）4, 0 這時(shí)在

36、這時(shí)在 坐標(biāo)平面的積分域?yàn)樽鴺?biāo)平面的積分域?yàn)?型域型域 rO4, 0 2cos20ar ；。 402cos20444 aDDrdrddxdydA于是于是【例【例7-10】 （1）計(jì)算二重積分）計(jì)算二重積分 ，其中，其中 D 是是1/4圓域圓域 Dyxdxdye)(22).0, 0()0(222 yxaayx （2）利用（）利用（1）的結(jié)果求反常積分）的結(jié)果求反常積分 0.2dxex（圖（圖7-20）OxyD1a2aD2D3（1）做極坐標(biāo)變換，在）做極坐標(biāo)變換，在 rO坐標(biāo)平面上積分域?yàn)樽鴺?biāo)平面上積分域?yàn)榫匦危壕匦危?，積分結(jié)果為，積分結(jié)果為2, 0, 0 a)4()exp(1(42 aa（2）

37、考慮圖示中的三個(gè)積分區(qū)域）考慮圖示中的三個(gè)積分區(qū)域可得：可得：)2exp(1(4)()exp(1(422022adxeax 接續(xù)【例接續(xù)【例7-10】解解：（：（1）在極坐標(biāo)系下，區(qū)域）在極坐標(biāo)系下，區(qū)域D可表示為可表示為,20 ,0),( arrD于是于是2222()20001()22axyrraDedx dydedre ).142ae （ 下面計(jì)算下面計(jì)算 220()xedx 2xe ，注意函數(shù)，注意函數(shù) 的原函數(shù)不的原函數(shù)不是初等函數(shù)。是初等函數(shù)。（2）構(gòu)造三個(gè)區(qū)域）構(gòu)造三個(gè)區(qū)域2221( , ),0,0,Dx y xyaxy2222( , )2,0,0,Dx y xyaxy 3( ,

38、) 0,0,Dx yxaya顯然顯然 （圖（圖7-20）132DDD 由（由（1）的結(jié)果得）的結(jié)果得221()xyDedx dy 21)4ae （，222()xyDedx dy 221).4ae （由于由于221()xyDedx dy 222()xyDedx dy 223()xyDedx dy 而而222223()2000=() .aaaxyxyxDedxdyedxedyedx 所以所以21)4ae （221).4ae （220()axedx 令令 ，上式兩端趨于同一極限，上式兩端趨于同一極限 ，于是得到，于是得到 a4 20.2xedx 注：由上面的積分（注：由上面的積分（2），可以得到概率

39、中正態(tài)分布），可以得到概率中正態(tài)分布函數(shù)的密度函數(shù)。函數(shù)的密度函數(shù)。 這個(gè)計(jì)算表明，即便被積函數(shù)的原函數(shù)沒(méi)有初等表這個(gè)計(jì)算表明，即便被積函數(shù)的原函數(shù)沒(méi)有初等表示，也不意味著無(wú)法通過(guò)積分求得某些定積分值。示，也不意味著無(wú)法通過(guò)積分求得某些定積分值?！纠纠?-11】求球體】求球體 被圓柱面被圓柱面 所截得含在圓柱面內(nèi)的立體體積所截得含在圓柱面內(nèi)的立體體積V.)0(2222 RRzyxRxyx 22（圖（圖7-21）OxyzRRR（圖（圖7-22）Oxy cosRr rD注：從幾何直觀上分析，這是求（考慮對(duì)稱性）注：從幾何直觀上分析，這是求（考慮對(duì)稱性）積分域?yàn)榉e分域?yàn)?2( , )| ()(0)

40、Dx yxyRxy 被積函數(shù)為被積函數(shù)為222( , )4f x yRxy 的積分。做極坐標(biāo)變換，得到在的積分。做極坐標(biāo)變換，得到在 坐標(biāo)平面上的坐標(biāo)平面上的積分域?yàn)榉e分域?yàn)?型域（見(jiàn)圖型域（見(jiàn)圖7-22）：）： rO .cos0,2, 0 Rr 附注：上述立體稱為附注：上述立體稱為維維安尼體，維維安尼體，假設(shè)在負(fù)假設(shè)在負(fù)y那半個(gè)平那半個(gè)平面上再截去這樣一個(gè)體積，球體所剩下立體體積完全面上再截去這樣一個(gè)體積，球體所剩下立體體積完全可能是有理數(shù)，只要半徑是有理數(shù)，而與圓周率無(wú)關(guān)?？赡苁怯欣頂?shù)，只要半徑是有理數(shù)，而與圓周率無(wú)關(guān)。具體計(jì)算如下頁(yè)所示。具體計(jì)算如下頁(yè)所示。接續(xù)【例接續(xù)【例7-11】解解

41、：由對(duì)稱性，只需求得該立方體在第一卦限部分的：由對(duì)稱性，只需求得該立方體在第一卦限部分的體積，它的四倍即為所求立方體體積（圖體積，它的四倍即為所求立方體體積（圖7-21）在）在第一卦限內(nèi)的體積是一曲頂柱體，其底為區(qū)域（圖第一卦限內(nèi)的體積是一曲頂柱體，其底為區(qū)域（圖7-22）22( , )+,0,Dx y xyRx y 曲頂為球面曲頂為球面 ，故所求體積，故所求體積222yxRz DdxdyyxRV2224在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下( , ) 0cos ,0,2DrrR 于是于是cos222004RVdRr rdr 2033)sin1 (34 dR342().323R 由上式可知，若用兩個(gè)柱面由上

42、式可知，若用兩個(gè)柱面 去截球體去截球體Rxyx 22 ，則所截下的體積為，則所截下的體積為2V，而球體所剩，而球體所剩立體體積為立體體積為2222Rzyx .91623433RVR 接續(xù)【例接續(xù)【例7-11】【例【例7-12】計(jì)算】計(jì)算 ，其中，其中D是由曲線是由曲線xy=1 , xy=2, y=x 及及 y=4x 在第一象限圍成的區(qū)域（圖在第一象限圍成的區(qū)域（圖7-23）. Dxydxdy（圖（圖7-23）OxyDy=xy=4xxy=2xy=1（4）其它的某些變量代換）其它的某些變量代換 積分變換沒(méi)有固定方法，積分變換沒(méi)有固定方法，必須多做一些練習(xí)必須多做一些練習(xí)，熟悉很多變換的作用，才可能

43、做出合適的選擇。熟悉很多變換的作用，才可能做出合適的選擇。（圖（圖7-24）Ouv1142D做變換做變換vvuyxxyyxvu21),(),(2),(),( 則有則有,.yuxy vx接續(xù)【例接續(xù)【例7-12】解解： 作變換作變換 ，則對(duì)應(yīng)于，則對(duì)應(yīng)于D的的uOv平面上的平面上的區(qū)域區(qū)域 （圖（圖7-24）xyvxyu ,41 , 21),( vuvuD由由 可得可得xyvxyu ,uvyvux 從而從而,2122221),(),(3vvuuvvuuvvuyxJ 由公式（由公式（7）便得）便得 DDdvvudududvvuxydxdy2141. 2ln232121求出求出J ( , )1( ,

44、 )( , )( , )x yu vu vx y 注意，在計(jì)算注意，在計(jì)算 時(shí)，若時(shí)，若J 不易計(jì)算，可由不易計(jì)算，可由),(),(vuyxJ 如在本例中，可先求如在本例中，可先求,21),(),(2xyxxyxyyxvu 從而從而.212vyxJ 【例【例7-13】計(jì)算】計(jì)算 ，其中，其中D為橢圓域：為橢圓域： Ddxdybyax22221. 0, 0, 12222 babyax注：做廣義極坐標(biāo)變換，實(shí)際是一個(gè)線性伸縮變換注：做廣義極坐標(biāo)變換，實(shí)際是一個(gè)線性伸縮變換與極坐標(biāo)變換的復(fù)合與極坐標(biāo)變換的復(fù)合cossinxarybr 積分區(qū)域變換為積分區(qū)域變換為 ，雅各比行列式為，雅各比行列式為2

45、, 01 , 0 abrryxJ ),(),( 2221200222113Dxydxdyabdrr drabab ),(),(vuyvuxyx做二維變換：做二維變換：0),(),( vuyx并且并且( , )|( , )x ydxdydudvu v 注：首先考察上述變換是線性變換；注：首先考察上述變換是線性變換； 再考慮行列式的幾何意義；再考慮行列式的幾何意義； 最后考察對(duì)應(yīng)關(guān)系（最后考察對(duì)應(yīng)關(guān)系（1）的幾何意義。）的幾何意義。（1） 問(wèn)題：可以將這樣的變換推廣到高維情況嗎？問(wèn)題：可以將這樣的變換推廣到高維情況嗎？ 起碼看看三維的情況。起碼看看三維的情況。然后作對(duì)應(yīng)然后作對(duì)應(yīng)附錄附錄-多元積分

46、變量代換公式的分析。多元積分變量代換公式的分析。（1）二維空間線性變換下的某些幾何關(guān)系）二維空間線性變換下的某些幾何關(guān)系。設(shè)有。設(shè)有11122122xxaaxuuuvyaavyyvuv 下面給這個(gè)變換關(guān)于面積關(guān)系轉(zhuǎn)換的一個(gè)解釋。下面給這個(gè)變換關(guān)于面積關(guān)系轉(zhuǎn)換的一個(gè)解釋。 設(shè)有兩個(gè)直角坐標(biāo)系給出二維向量空間表示，一個(gè)是設(shè)有兩個(gè)直角坐標(biāo)系給出二維向量空間表示，一個(gè)是uOv 平面，一個(gè)是平面，一個(gè)是 平面。平面。 上面的（附上面的（附1）式，可以看做是從前一個(gè)平面（空間）式，可以看做是從前一個(gè)平面（空間）到后一個(gè)平面（空間）的線性映射。到后一個(gè)平面（空間）的線性映射。xOy（附（附1）根據(jù)這個(gè)映射，

47、根據(jù)這個(gè)映射， 坐標(biāo)空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基坐標(biāo)空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交基uOv 10,01vuee分別對(duì)應(yīng)到分別對(duì)應(yīng)到 中的向量為中的向量為xOy, uyuxeuyeuxyx和和.xyxxyveevvyv 于是于是 平面中由平面中由 （的線段長(zhǎng)度為邊）所（的線段長(zhǎng)度為邊）所確定的矩形，對(duì)應(yīng)到確定的矩形，對(duì)應(yīng)到 平面中。是由平面中。是由uOvvuveue ,xOy(),xyxxyueeuuuuyu ().xyxxyveevvvvyv 所確定的所確定的平行四邊形。從面積的角度講，這個(gè)線性映射平行四邊形。從面積的角度講，這個(gè)線性映射將將 平面中面積為平面中面積為 的平行四邊形，映射成的平行四邊形，映射成 平面中

48、面積為平面中面積為dudvuOvxOy( , )|( , )x ydudvu v uOvxOy的平行四邊形。反之，這個(gè)映射的逆映射將的平行四邊形。反之，這個(gè)映射的逆映射將 平面平面中面積為中面積為 的平行四邊形，映射為的平行四邊形，映射為 平面中面平面中面積為積為dxdy1( , )( , )|( , )( , )u vx ydxdydxdyx yu v 的平行四邊形。的平行四邊形。 在計(jì)算積分在計(jì)算積分時(shí)，積分變換中面積微元的變換公式（時(shí)，積分變換中面積微元的變換公式（1）所反映的就是這種關(guān)系。所反映的就是這種關(guān)系。 換句話說(shuō)，如果我們要用換句話說(shuō)，如果我們要用 平面中的面積微元表示平面中的

49、面積微元表示uOvxOy 平面中的面積微元，便有如下形式等式：平面中的面積微元，便有如下形式等式：( , )|( , )x ydxdydudvu v （2）關(guān)于面積微元變換的另一個(gè)解釋。）關(guān)于面積微元變換的另一個(gè)解釋。 考慮二維平面向量空間到自身的一個(gè)變換。給這個(gè)考慮二維平面向量空間到自身的一個(gè)變換。給這個(gè)向量空間有一組基，基向量記為向量空間有一組基，基向量記為 ， 。設(shè)。設(shè)udvd( , )0 |( , )x yu v 因此在給定點(diǎn)因此在給定點(diǎn)，以如下對(duì)應(yīng)方式，以如下對(duì)應(yīng)方式dvvxduuxxd yydydudvuv 定義了二維向量空間到自身的一個(gè)滿秩線性變換，定義了二維向量空間到自身的一個(gè)

50、滿秩線性變換，( , )|( , )x yu v 重要的是，這個(gè)變換（以重要的是，這個(gè)變換（以 和和 的向量組為基）的向量組為基）的坐標(biāo)變換表示矩陣為：的坐標(biāo)變換表示矩陣為：udvdud；vdxyuuxyvv其行列式還是：其行列式還是：由這個(gè)規(guī)定，同樣可得由這個(gè)規(guī)定，同樣可得ydxd dudv ( , )|( , )x yu v 引入符號(hào)引入符號(hào) （類似還有（類似還有 等）表示由向等）表示由向量量 與與 （幾何表示的線段為鄰邊）所確定平行四（幾何表示的線段為鄰邊）所確定平行四邊形的有向面積。即有邊形的有向面積。即有ydxd dudv xdydxdydydxd （3）一個(gè)形式規(guī)定帶來(lái)的方便）一個(gè)

51、形式規(guī)定帶來(lái)的方便 7.3 三重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算1.直角坐標(biāo)系下的計(jì)算直角坐標(biāo)系下的計(jì)算2.柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的計(jì)算柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的計(jì)算7-3: 1(3);2(2，4，6); 3(2); 4(4，5);5(2，3); 6(1，3，5);7(1，2，3); 8; 11。第七章第第七章第3節(jié)作業(yè)題節(jié)作業(yè)題1.直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算 從二重積分的計(jì)算方法不難看出，將高重積分分解從二重積分的計(jì)算方法不難看出，將高重積分分解為較低重的積分，是問(wèn)題解決的關(guān)鍵。為較低重的積分，是問(wèn)題解決的關(guān)鍵。 現(xiàn)在，我們已經(jīng)可以計(jì)算二重積分了，那么怎樣現(xiàn)在，我們已經(jīng)可以計(jì)算二

52、重積分了，那么怎樣才能將三重積分分解為二重和一重（一元函數(shù)）積才能將三重積分分解為二重和一重（一元函數(shù)）積分呢？當(dāng)然，二重積分也是變換為兩次一重積分的。分呢？當(dāng)然，二重積分也是變換為兩次一重積分的。不過(guò)這已經(jīng)不是問(wèn)題了。不過(guò)這已經(jīng)不是問(wèn)題了。 主要的方法有兩種，通俗的講，就是主要的方法有兩種，通俗的講，就是“先一后二先一后二”和和“先二后一先二后一”。 在直角坐標(biāo)系下，對(duì)積分域的的分劃，與二維情況在直角坐標(biāo)系下，對(duì)積分域的的分劃，與二維情況相似，就是分劃為長(zhǎng)方體，體積微元總是相似，就是分劃為長(zhǎng)方體，體積微元總是 。dxdydz（1）坐標(biāo)面投影法）坐標(biāo)面投影法-或或“先一后二先一后二”法法 將積

53、分域?qū)⒎e分域V（總假設(shè)是有界閉集）到某個(gè)坐標(biāo)平面（總假設(shè)是有界閉集）到某個(gè)坐標(biāo)平面投影，比如說(shuō)投影到投影，比如說(shuō)投影到xOy平面，記為平面，記為 。 如果滿足：從任何一個(gè)屬于投影區(qū)域如果滿足：從任何一個(gè)屬于投影區(qū)域 的點(diǎn)引垂的點(diǎn)引垂直于該平面的直線，這條直線與積分域的交集總是直于該平面的直線，這條直線與積分域的交集總是一個(gè)線段，那么就稱這個(gè)區(qū)域一個(gè)線段，那么就稱這個(gè)區(qū)域V是是xy型域。型域。xyVxyV yz型與型與zx型域可類似定義。型域可類似定義。 一個(gè)一個(gè)xy型域，一般都可以表示為：型域，一般都可以表示為：),(),(),(| ),(21yxzyxDyxzyxxy 于是三重積分可以表示為

54、于是三重積分可以表示為dxdydzzyxfdxdydzzyxfxyDyxyxV),(),(),(),(21 （1）21(, )(, )( , , )( , , )xyx yDx yVf x y z dxdydzdxdyf x y z dz 上式也約定記為上式也約定記為以此清楚地表明以此清楚地表明“先一后二先一后二”的積分順序。的積分順序。 上述關(guān)系式（上述關(guān)系式（1）可以由高維體積或賦予物理意義）可以由高維體積或賦予物理意義給以解釋，比如說(shuō)物質(zhì)密度與總質(zhì)量的關(guān)系。給以解釋，比如說(shuō)物質(zhì)密度與總質(zhì)量的關(guān)系。（1+）【例【例7-14】計(jì)算】計(jì)算 ，其中，其中V是由平面是由平面x+y+z=1和三和三個(gè)

55、坐標(biāo)面圍成的閉區(qū)域個(gè)坐標(biāo)面圍成的閉區(qū)域.VxdVOxyz111z = =1-x-yy=1-xDxy（圖（圖7-26）1010| ),(xyxyxDxy .10;),( :yxzDyxVxy 【例【例7-15】計(jì)算】計(jì)算 , 其中其中VzdV.10),( 22yxzzyxV Oxyz111Dxy-1-1（圖（圖7-27）Oxyz（圖（圖7-28）czd 從題設(shè)條件，積分域從題設(shè)條件，積分域已經(jīng)十分清楚了。已經(jīng)十分清楚了。 作為課堂練習(xí)。作為課堂練習(xí)。（2）截面法）截面法-“先二后一先二后一”法。法。觀察左邊圖觀察左邊圖7-28，對(duì)任意的，對(duì)任意的z，假設(shè)，假設(shè)陰影部分（記為陰影部分（記為 ）關(guān)于

56、）關(guān)于x、y的二的二zD重積分容易計(jì)算，那么就可以由如下關(guān)系：重積分容易計(jì)算，那么就可以由如下關(guān)系：( , , )( , , )zdcDVf x y z dxdydzf x y z dxdy dz 計(jì)算三重積分。這個(gè)關(guān)系還約定記為計(jì)算三重積分。這個(gè)關(guān)系還約定記為( , , )( , , )zdcDVf x y z dxdydzdzf x y z dxdy （2）（2+）【例【例7-16】計(jì)算】計(jì)算 其中其中V是由平面是由平面z=x+y , x=0 , y=0 , z= 所圍成的立體（圖所圍成的立體（圖7-29）.Vdxdydzzz,sin （圖（圖7-29）zOxyz Dz 注：這里的關(guān)鍵，是

57、被積注：這里的關(guān)鍵，是被積函數(shù)中沒(méi)有自變量函數(shù)中沒(méi)有自變量x、y出現(xiàn)。出現(xiàn)。 截面法十分簡(jiǎn)明。截面法十分簡(jiǎn)明。接續(xù)【例接續(xù)【例7-16】解解： V在在z軸上的投影為軸上的投影為 ，在，在 內(nèi)任一點(diǎn)作平內(nèi)任一點(diǎn)作平面垂直于面垂直于z軸，它在軸，它在V上的截面為上的截面為Dz，Dz是一個(gè)三角形是一個(gè)三角形區(qū)域，易知區(qū)域，易知Dz的面積是的面積是 于是于是, 0 , 0 221z VDzdxdydzzzdxdydzzz 0sinsin 0221sindzzzz01sin.22zzdz 解解： 由三重積分的物理意義知由三重積分的物理意義知2222,zccVDzzdVdzdxdycc 222222()V

58、xyzmdVabc 222222VVVxyzdVdVdVabc 而而【例【例7-17】已知橢球】已知橢球V： ，其密度，其密度1222222 czbyax222222czbyax ，求該橢球體的質(zhì)量，求該橢球體的質(zhì)量m.注：由積分對(duì)被積函數(shù)的可加性，可以對(duì)函數(shù)中每注：由積分對(duì)被積函數(shù)的可加性，可以對(duì)函數(shù)中每一單項(xiàng)式積分。同樣由截面法，計(jì)算十分簡(jiǎn)明。一單項(xiàng)式積分。同樣由截面法，計(jì)算十分簡(jiǎn)明。所以所以222222024(1).15cVzabzdVzdzabcccc 同理同理22224,15VVxydVdVabcab 因此因此.54abcm ),1()1)(1(222222czabczbcza 其中

59、其中 是橢圓是橢圓 所圍圖形的面積所圍圖形的面積zDdxdy 2222221czbyax 接續(xù)【例接續(xù)【例7-177-17】2.柱面和球面坐標(biāo)系下的三重積分計(jì)算柱面和球面坐標(biāo)系下的三重積分計(jì)算（1）三重積分的變量代換）三重積分的變量代換-換元法（略換元法（略-已知）已知）（2）柱坐標(biāo)下的積分計(jì)算）柱坐標(biāo)下的積分計(jì)算（i）柱坐標(biāo)的說(shuō)明）柱坐標(biāo)的說(shuō)明-平面極坐標(biāo)加上縱軸平面極坐標(biāo)加上縱軸z。（ii）將直角坐標(biāo)變換為柱坐標(biāo)：）將直角坐標(biāo)變換為柱坐標(biāo)：.;sin;coszzryrx 雅各比行列式為雅各比行列式為rzrzyxJ ),(),( （圖（圖7-33）1OxyzD1-1-11【例【例7-18】計(jì)

60、算】計(jì)算 ，其中，其中V是由錐面是由錐面 及平面及平面 z =1圍成的區(qū)域（圖圍成的區(qū)域（圖7-33）. VdVyxzI2222yxz 注：先用坐標(biāo)面投影法，然后對(duì)注：先用坐標(biāo)面投影法，然后對(duì)xOy平面做極坐標(biāo)平面做極坐標(biāo)變換。也就是將投影域變成變換。也就是將投影域變成“矩形矩形”區(qū)域。區(qū)域。 可以看出，在積分域是旋轉(zhuǎn)體，或與圓有關(guān)的區(qū)可以看出，在積分域是旋轉(zhuǎn)體，或與圓有關(guān)的區(qū)域；被積函數(shù)可以表示為關(guān)于投影域的變量二次齊域；被積函數(shù)可以表示為關(guān)于投影域的變量二次齊次的函數(shù)與另一個(gè)變量的函數(shù)乘積時(shí)，用柱坐標(biāo)計(jì)次的函數(shù)與另一個(gè)變量的函數(shù)乘積時(shí)，用柱坐標(biāo)計(jì)算積分，明顯會(huì)帶來(lái)計(jì)算方便。算積分，明顯會(huì)帶